课时分层作业3 等差数列及其通项公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(三) 1．B　[因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°．] 2．D　[∵an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋，∴a101＝2＋＝52．] 3．C　[根据an＝am＋(n－m)d得d＝＝＝－1，故d＝－1．故选C．] 4．D　[设从夏至到冬至，每个节气晷长为an，即夏至时晷长为a1＝15，冬至时晷长为a13＝135，由每个节气晷长损益相同可知，an＋1－an＝常数，所以为等差数列，设公差为d，由题意知，a13＝a1＋12d＝15＋12d＝135，解得d＝10，则a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，四十五寸即四尺五寸．] 5．B　[公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令即⇒21<n22． 又∵n∈N＋，∴n＝22．] 6．　[设公差为d，∵＝＝＝2d， ∴d＝．∴＝＋4×d＝＋4×＝． ∴a10＝．] 7．　[法一：利用等差中项，b＝＝，a＝＝，c＝＝．∴c－a＝＝． 法二：利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝，故c－a＝2×＝．] 8．10　[因为数列{an}为等差数列，且a1＝1，又a2＋a6＝a8，∴(1＋d)＋(1＋5d)＝1＋7d，∴d＝1．∴ap－aq＝(p－q)×d＝10．] 9．解：　(1)由等差数列的通项公式，得 a6＝3＋(6－1)(－2)＝－7． (2)设等差数列的公差为d，那么 解得 所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1． 10．解：　(1)证明：∵xn＝f (xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，∴＝＝， ∴＝(n≥2且n∈N＋)， ∴是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝， ∴＝＝，∴x2 028＝． 11．ABC　[由题可设an＝5＋(n－1)d，2 033是该数列的一项，即2 033＝5＋(n－1)d．∴n＝＋1． ∵d∈N＋，n∈N＋，∴d是2 028的约数，选项当中2，3，4均为2 028的约数，只有5不是2 028的约数，故选ABC．] 12．BC　[等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10， 所以12n－10190，解得n，而n∈N＋，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．故选BC．] 13．1　1　[由a1＝3，得2p＋q＝3．① 因为a1，a4，a5成等差数列，所以2a4＝a1＋a5． 又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q， 所以25p＋8q＝3＋25p＋5q．② 由①②得p＝q＝1．故所求p，q的值都是1．] 14．an＝36－3n　an＝38－5n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，可得 即 解得－<d<－， 又∵d∈Z，∴d＝－5， ∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．] 15．解：　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2， 所以λ＝．所以a3＝－a2＋22＝． (2)不存在．理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)， 所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16． 若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2， 即λ2－7λ＋13＝0． 因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解． 所以不存在实数λ，使{an}为等差数列． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三)　等差数列及其通项公式 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120° 2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　) A．49 B．50 C．51 D．52 3．已知在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　) A． B．1 C．－1 D．－ 4．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为(　　) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 二、填空题 6．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________． 7．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________． 8．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8．若p－q＝10，则ap－aq＝________． 三、解答题 9．(源自苏教版教材)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，公差d＝－2，求a6； (2)已知a3＝10，a9＝28，求an． 10．已知函数f (x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f (xn－1)(n≥2且n∈N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 028． 11．(多选题)已知数列{an}是首项为5，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若2 033是该数列的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 13．已知数列{an}的首项a1＝3，通项公式为an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，则p＝________，q＝________． 14．等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________． 15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)． (1)当a2＝－1时，求实数λ及a3． (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $