课时分层作业4 等差数列与一次函数(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(四) 1．D　[在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，即3a7＝4π， ∴a7＝，又∵a2＋a12＝2a7．∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－．] 2．B　[∵2an＝an－1＋an＋1， ∴{an}是等差数列， 由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， ∴a3＋a4＝3＋4＝7．] 3．B　[由题：＝an，P，A，B三点共线， 根据共线定理，则an＋2－an－1＝1，即an－an－1＝－1， 所以数列是一个公差为－1的等差数列，所以是递减数列．] 4．D　[利用等差数列的单调性可得：若a2>a1，所以公差d>0，所以等差数列是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，∴A，B正确； 则a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，∴D不一定成立； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立， ∴C正确．] 5．A　[在等差数列中，由a1＝13，a5＜0，得，得－d＜－， ∵公差d 为整数， ∴d＝－4．] 6．132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．] 7．－10　[设等差数列通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2＝－10．] 8．　[由题可知：bn＝1＋， 当n∈和时，该数列递减． 若1－a0，则该数列在n∈N＋上递减，不可能满足题意； 若1－a>0，要满足题意，只需1－a∈，解得a∈．] 9．解：　法一：设{an}的首项为a1，公差为d， 则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4， ∴a1＝4－7d． 代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±． 当d＝时，a1＝－，an＝n－； 当d＝－时，a1＝，an＝－n＋． 法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4． a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28， ∴16－25d2＝7， ∴d＝±． 当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－； 当d＝－时，an＝－n＋． 法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12， ∴a8＝4，∴ ∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根， ∴或 由a3＝1，a13＝7，得d＝＝， ∴an＝a3＋(n－3)d＝n－． 同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋． 10．解：　法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得解得 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2， ∴这三个数为4，6，8． 11．AD　[在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；＝＝＋d．当b＞0时，数列递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列，D正确．故选AD．] 12．A　[∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0．∵Δ＝62－4×10＝－4＜0，∴方程无实根．] 13．2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度的气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n． ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．] 14．　[由题意可设四个根分别为＋d，＋2d，＋3d，由一元二次方程根与系数的关系可得a＋b＝，且＋3d＝＋d＋＋2d＝1，解得d＝，a＋b＝．] 15．解：　由题图甲可知，从第1年到第6年每个养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；由题图乙可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn． (1)由a1＝1，a6＝2得 所以⇒a2＝1.2． 由b1＝30，b6＝10得 所以⇒b2＝26． 故c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2． 综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年平均出产鸡31.2万只． (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，所以第6年这个县的养鸡业规模相比第1年缩小了． (3)因为an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6且n∈N＋)， bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1n6且n∈N＋)． 所以cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝＋3.6n＋27.2(1n6且n∈N＋)． 上式可以看作cn关于n的二次函数关系式．因为二次函数f (x)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的图象的对称轴为直线x＝，所以当n＝2时，cn最大，即第2年该县的养鸡业规模最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(四)　等差数列与一次函数 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分 一、选择题 1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A．　　　B．±　　　C．－　　　D．－ 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且＝an，当P，A，B三点共线时，数列为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列 4．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 5．已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________． 7．已知(1，3)，(3，－1)是等差数列图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq的值为________． 8．已知是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N＋，都有bnb5成立，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式． 10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 11．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 12．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________，________，________． 14．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是________． 15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息图如图．甲调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30减少到第6年的10． 甲　　　　　　　　　乙 请根据提供的信息回答问题． (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数． (2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $