1.1 数列的概念第2课时 数列的递推公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式 一、必备知识基础 1.若数列{an}的通项公式为an=kn,且数列{an}是递减数列,则实数k的取值范围是(　　) A.R B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0] 2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则a5的值为(　　) A.30 B.31 C.32 D.33 3.(多选题)下列数列{an}的通项公式中,是递增数列的是(　　) A.an=-3n-1 B.an=5n-3 C.an=7+2n D.an=(-1)nn2 4.已知数列{an},a4=,且满足an+1=an+,则此数列的首项是(　　) A.1 B. C. D. 5.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an(n∈N+),则数列{an}的最大项是(　　) A.a1 B.a9 C.a10 D.a11 6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an=(　　) A.n+1 B.n C. D. 7. 如图所示的“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….从上到下各层的球数构成一个数列{an},满足an=an-1+n,n>1且n∈N+.则该数列{an}的通项公式为　　　　　.  8.已知数列{an}的通项公式为an=(k∈R). (1)当k=1时,判断数列{an}的单调性; (2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围. 二、关键能力提升 9.若数列{an}满足a2n=a2n-1+a2n+1(n∈N+),则称{an}为“Y型数列”,则下列数列不可能是“Y型数列”的是(　　) A.-1,0,1,0,-1,0,1,… B.1,2,1,3,5,2,3,… C.0,0,0,0,0,0,0,… D.2,1,-1,0,1,2,1,… 10.(多选题)(2025湖南长沙高二检测)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的研究对象普遍存在于自然界中,因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律,可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为an,白圈的个数为bn,则下列结论正确的是(　　) 图1 图2 A.a4=8 B.b5=13 C.bn+1=2an-bn D.an+1=2an+bn 11.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024=(　　) A.-1 B. C.2 D.1 12.已知数列an=,则数列{an}的前30项中的最大项与最小项分别是(　　) A.a1,a30 B.a30,a1 C.a5,a6 D.a6,a5 13.已知an=n2-tn+2 024(n∈N+,t∈R),若数列{an}中的最小项为第3项,则t的取值范围为　　　　　.  14.请写出一个符合要求①②③的数列{an}的通项公式. ①{an}为无穷数列;②{an}为递增数列;③0<an<2. 这个数列的通项公式可以是　　　　　.  15.若数列{(2n-1)}中的最大项是第k项,则k=　　　　　.  16.在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+). (1)试写出数列{}的一个递推关系; (2)求数列{an}的通项公式. 三、学科素养创新 17.若数列{an}不是递增数列,但数列{|an|}是递增数列,则称{an}是T数列.下列数列不是T数列的是(　　) A.{2-2n} B.{(-4)n} C.{} D.{} 18.在数列{an}中,a1=2,且an+1=an+ln(1+),求数列{an}的通项公式. 参考答案 1.C　∵{an}是递减数列,∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. 2.B　∵在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1, ∴a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.故选B. 3.BC　对于A,∵an+1-an=-3(n+1)-1+3n+1=-3<0,∴数列{an}为递减数列,故A错误; 对于B,∵an+1-an=5(n+1)-3-5n+3=5>0, ∴数列{an}为递增数列,故B正确; 对于C,∵an+1-an=7+2n+1-7-2n=2n>0,∴数列{an}为递增数列,故C正确; 对于D,an+1-an=(-1)n+1(n+1)2-(-1)nn2=(-1)n+1(2n2+2n+1), ∵2n2+2n+1=2>0,∴当n为偶数时,an+1-an<0, ∴数列{an}不是递增数列,故D错误.故选BC. 4.A　由a4=,且an+1=an+,得a4=a3+,可得a3=.由a3=a2+,可得a2=1.由a2=a1+,可得a1=1. 5.A　因为a1>0且an+1=an, 所以an>0,<1,所以an+1<an,所以此数列为递减数列,故最大项为a1. 6.C　由题意,an+1=an,即an+1·(n+2)(n+1)=an·(n+1)n. 因为a1=1,所以an+1·(n+2)(n+1)=an·(n+1)n=…=a1·2·1=2,可得an=.故选C. 7.an=　解析 因为an=an-1+n,n>1,所以an-an-1=n,n>1, 所以当n>1时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=, 又a1=1,所以当n=1时,上式也成立,所以an=. 8.解(1)当k=1时,an=,所以an+1=, 所以an+1-an=>0, 故数列{an}是递增数列. (2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=<0恒成立.因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.所以k的取值范围为(-∞,0). 9.B　数列{an}满足a2n=a2n-1+a2n+1(n∈N+),即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和,B不符合条件,故选B. 10.ABD　解析 已知an表示第n行中的黑圈个数,设bn表示第n行中的白圈个数, 则由题可知an+1=2an+bn,bn+1=an+bn,故C错误,D正确; 又a1=0,b1=1,所以a2=1,b2=1,a3=2×1+1=3,b3=1+1=2,a4=2×3+2=8,b4=3+2=5,a5=2×8+5=21,b5=8+5=13,故A,B正确.故选ABD. 11.B　由题意得a1=2,a2=1-=1-,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…, 故{an}中的项以3为周期重复出现, 故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B. 12.D　an==1+,又因为f(n)=是反比例函数,且5<<6,所以当n=5时,an最小,即最小项为a5. 当n=6时,an最大,即最大项为a6.故选D. 13.(5,7)　已知an=n2-tn+2 024(n∈N+,t∈R), ∵数列{an}中最小项为第3项, ∴,解得5<t<7. 14.an=2-(答案不唯一) 15.6　根据题意知,当k>1时,有 即 解得<k<. 又k∈N+,所以k=6.又a1=<a6,所以k=6. 16.解(1)因为a1=1,an+1=, 所以an≠0,+1, 所以+1(n≥1),=1为数列{}的一个递推关系. (2)由(1)可得=1(n≥1),则=1,=1,=1,…,=1(n≥2), 将上述(n-1)个等式相加,得=n-1,即=n,即an=,n≥2.当n=1时,a1==1,符合上式,所以an=(n∈N+). 17.D　当an=2-2n时,{an}是递减数列,|an|=因为|a1|-|a2|=4-6<0,当n≥2时,{2n-2}是递增数列,所以{|an|}是递增数列,所以{2-2n}是T数列,故A错误; 当an=(-4)n时,易知{(-4)n}不是递增数列,因为|(-4)n|=4n,所以{|an|}是递增数列,所以{(-4)n}是T数列,故B错误; 因为-n),所以{}是递减数列,因为|-n)|=(n-)≥0,且{|an|}是递增数列,所以{}是T数列,故C错误; 当an=时,an>0,a1=1>a2=,所以{|an|}不是递增数列,{}不是T数列,故D正确.故选D. 18.解 由题设an+1-an=ln(), 所以an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=ln()+…+ln+2=2+ln n,且n≥2, 显然a1=ln 1+2=2满足上式, 所以an=2+ln n. 8 学科网（北京）股份有限公司 $