课时分层作业2 数列的递推公式及数列的性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二) 1．D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D．] 2．BC　[A不对，B、C经验证符合an＝an－1，D中，因为首项为0，故不正确，故选BC．] 3．C　[由题知ln an－ln an－1＝1， ln an－1－ln an－2＝1， … ln a3－ln a2＝1， ln a2－ln a1＝1， 以上各式累加得ln an－ln a1＝n－1， ln an＝n－1＋ln a1，又a1＝1， ∴ln an＝n－1，∴an＝en-1．] 4．B　[由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝．故选B．] 5．C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9．] 6．an＝2n　[因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*， 两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 整理得nan＋1＝(n＋1)an， 得＝，n∈N*，所以为常数列， 所以＝＝2，所以an＝2n．] 7．108　[an＝－2n2＋29n＋3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝－＝＝7， ∵n是整数，∴当n＝7时，数列取最大值，此时最大项的值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．] 8．2 026　[由条件可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，所以可推测a2 026－a2 025＝2 026．故应填2 026．] 9．解：　(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16． 因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16． (2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以 a2＝2－＝2－＝， a3＝2－＝2－＝， a4＝2－＝2－＝， a5＝2－＝2－＝． 因此，数列{an}的前5项依次为2，． 10．解：　(1)当k＝1时，an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝＝>0， 故数列{an}是递增数列． (2)若数列{an}是递减数列，则an＋1－an<0恒成立， 即an＋1－an＝＝<0恒成立． 因为(2n＋5)(2n＋3)>0，所以必有3k<0，故k<0． 11．A　[∵a1＝2，an＋1＝1－， ∴a2＝1－＝，a3＝1－＝－，a4＝1－＝－3，a5＝1－＝2，…，即an＋4＝an， ∴数列{an}是以4为周期的数列． 又a1·a2·a3·a4＝a5·a6·a7·a8＝…＝a2 025·a2 026·a2 027·a2 028＝1， 又Tn为数列{an}的前n项之积， ∴T2 028＝(a1·a2·a3·a4)·(a5·a6·a7·a8)·…·(a2 025a2 026a2 027a2 028)＝1．故选A．] 12．BCD　[当k＝时，a1＝a2＝，知A错误； 当k＝时，＝·，当n<4时，>1，当n>4，<1， 所以可判断一定有最大项，B正确； 当0<k<时，＝k·<1，所以数列为递减数列，C正确； 设＝m，当n>m，即n≥m＋1时数列{an}为递减数列，当n<m时{an}为递增数列，k＝，最大项为am＝，am＋1＝(m＋1)＝，所以数列{an}必有两项相等的最大项，D正确．故选BCD．] 13．－12　－2n　[由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，∴a1＝－2．a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－8，a5＝a4＋a1＝－10，∴a6＝a5＋a1＝－12，依此类推可知an＝－2n．] 14．136　11　[令an＝(25－2n)2n-1，则a4＝(25－2×4)×24-1＝136． 当n≥2时，设an为最大项，则 即 解得n． 而n∈N＋，所以n＝11， 又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42， 所以数列{(25－2n)2n-1}的最大项所在的项数为11．] 15．解：　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)． 结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)． ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0． (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N＋，都有ana6成立，结合函数f (x)＝1＋的单调性， 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8． 即a的取值范围是(－10，－8)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二)　数列的递推公式及数列的性质 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　　　 B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 2．(多选题)符合递推关系式an＝an－1(n≥2且n∈N＋)的数列是(　　) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C．，2，2，4，… D．0，，2，2，… 3．已知数列{an}，a1＝1，ln an＋1－ln an＝1，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝en-1 D．an＝ 4．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6 5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为________． 7．(教材P9例8改编)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是________． 8．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2 026个三角形数与第2 025个三角形数的差为________． 三、解答题 9．(源自苏教版教材)试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*； (2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*． 10．已知数列{an}的通项公式an＝(k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{an}的单调性； (2)若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围． 11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－．记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 028＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D． 12．(多选题)已知数列满足an＝n·kn，下列命题正确的有(　　) A．当k＝时，数列为递减数列 B．当k＝时，数列一定有最大项 C．当0<k<时，数列为递减数列 D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项 13．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________． 14．数列{(25－2n)2n-1}的第4项是________，最大项所在的项数为________． 15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有ana6成立，求a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $