绵阳市2025年初中学业水平考试-【中考密码】备战2026年中考数学真题汇编

11.随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越17.如图，小明在课外实践活 绵阳市2025年初中学业水平考试 来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利. 动中对一棵大树的高度进 厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人， 行测量.他淮备了一根竹 智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍 数学 竿，将竹竿垂直固定于离 若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器 大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹 (本武卷满分150分.考武时间120分钟) 人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每 竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点 6.设a>b,则下列不等关系正确的是 小时可以装载货物 时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D, 第I卷（选择题共36分） A.a十3<b+3 B.-2a>-2b A.0.1吨 B.0.15吨 测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m,竹 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共 c号 C.6吨 D.9吨 D.a-3<b-3 竿CD长3m,则大树的高度EF为 m 12.如图，矩形ABCD的 36分，每个小题只有一个选项符合题目要求) 8.如图，在四边形ABCD 7.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样 对角线AC,BD相交 D 1.一7的相反数为 r 中.AD∥BC,∠ABC= 一个问题：“良马日行二百四十里，鸳马日行一百五 A.-7 B.7 于点O,AB=43, 十里，鸳马先行一十二日，问良马几何追及之.”其 90°，BC=4,AD=2, BC=4,将△OCD绕 c n 大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每 点E在四边形内，DE⊥ 点O顺时针旋转至 天走150里，慢马先走12天，问快马儿天可追上慢 CE,EF⊥CD于点F, 2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形 △OCD1,CD,与 马.据此可知快马追上慢马的天数是 将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合 的是 A5天 B.10天 CD,OC分别交于点E,F,当CE= 2时， 延长FE交折痕CG的延长线于点H,∠DCG C.15天 D.20天 △OFC:的周长为 45,则点B到直线FH的距离为 8.如图，在平面直角坐标系 A.4+43 B.6+33 三、解答题（本大题共7个小题，共90分.解答应写 中，等边△ABC的顶 出文字说明、证明过程或演算步骤) B D C.8+23 D.10+3 3.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在 点A(1,0),C(1,23),将 19.(本小题满分16分) △ABC向左平移1个单位 第Ⅱ卷（非选择题共114分） 上线仅20天后，其日活跃用户数(DAU)迅速突 长度，则平移后点B的坐 1)计算：6+(》 -2(tan45°-1). 被两千万大关，达22150000.将数据22150000 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24 用科学记数法表示为 标为 ( 分，将答案填写在相应的横线上) B(-3,3) ②先化千)小片，再从下面两个条 xy A.(-3,w3) A.0.2215×10 B.2.215×10 13.因式分解：x2-1= 件：①(2)=2,2·2"=16，②x+y=4,x+ C.22.15×10 D.2.215×10 C.(-3,2) D.(-23) 14.如图，在个弯形管道ABD中，已知拐角∠BCD y2=14中任选一个求值 4.若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是 9.观察下列单项式：一xy,xy,一xy,xy,… 60°，管道ABCD,则∠AB℃ 探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项 ) D0= 式是 ( ) A.√π+1 B./+1 A.-xl5y B.-x“y29 C.√3-z D. C.x D.y ...... 5.如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合 10.如图，在正方形ABCD中， 15.若关于x的一元二次方程x2一6x十a=0的 而成，它的主视图是 点E在BC的延长线上， 个根为1，则a的值为 点F是CD的中点，连接 16.水是生命之源.水分子的化学式为H(0,即1个 EF并延长交AD于点G, 水分子H,O由2个氢原子H和1个氧原子O 连接BF,BG,AB=4CE= 组成.现有形状大小完全相同的4张卡片，分别 4,则tan∠FBG 有H,H,O,O图案，小明从打乱的这4张卡片 G26 中随机任取3张，则这3张卡片对应的元素符号 D.2 5 恰能组成水分子化学式的概率是 第28页 20.(本小题满分12分)为促进学生健康成长，提高21.（本小题满分12分）如图，在中心为O的正六边 23.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，25.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中， 身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活 形ABCDEF中，点G,H分别在边AF,CD上， 正比例函数y=mx(m≠0)的图象与反比例函数 直线y=2x十2与x轴交于点A,与y轴交于 动.为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况， 且不同于正六边形的顶点，CH=FG. 点C,点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y=ax2十 随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数 (1)证明：四边形BGEH为平行四边形. y华≠0)的图象交于A(一2m-9,B两 点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限 2x+c(a≠0)经过A,B,C三点，顶点为D. 用x表示，单位：次)，将其分成以下五组：60 (2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心， r90,90x<120,120≤x<150,150≤x< OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部 内点B的右侧，连接BC,OC,△BOC的面积 (1)求抛物线的解析式及点B,D的坐标. 180,180≤x<210.并绘制成不完整的频数分布 分，求图中阴影部分的面积. 为5. (2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最 直方图，部分信息如下： (1)求点A,B的坐标及反比例函数的解析式 小时，求点P的坐标 频数 (2)探究在x轴上是否存在点M,使得以点O, (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩 C,M,N为顶点的四边形为菱形.若存在，求出 形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边上). 点N的坐标：若不存在，请说明理由. 若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标： 若不能，请说明理由， 0V6090120150180210xx 1分钟的跳绳次数在90≤x<120中的具体数据 22.(本小题满分12分)某学校摄影社到商场购买 为92,97,99,103,105,105,105,110,113,113， A,B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以 114,115,115,117,119. 下两种： 根据以上信息，解答下列问题： ①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售 备用图 (1)1分钟的跳绳次数在90x120中的众数 价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比罗 售价低6元销售 24.(本小题满分12分)如图，点A,C在⊙O上，连 是次，中位数是次 接AO,CO并延长，分别与⊙O的切线相交于 (2)补全频数分布直方图. ②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售 价销售：超过15本时，超过部分每本的价格比零 点B、点D,切点为E,CD与⊙O交于点F,连 (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于 120次的人数. 售价低4元销售. 接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3, 若购买30本A型相册和10本B型相册，共需 DF=1. 支付2240元：若购买20本A型相册和40本 (1)求证：AE平分∠BAD. B型相册，共需支付3100元. (2)设AB=kOB(k>0),求k的值. (1)这家商场A,B型相册每本的零售价分别是 (3)求cos∠EAF的值 多少元？ (2)若该社团计划购买A型和B型相册共 15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册 数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计 购买方案，并写出所需费用最少的购买方案 备用图 第29页绵阳市2025年初中学业水平考试 答案速查 精准定位，正误立现 点B的坐标为（一2√3）..将点B向左平移1个单位长度 1-5 BCDAC 610 CDABB 11D 12B 后的坐标为（一3，W3).故选A 13(x-1)(x+1) 14120 155 162 1710 18 4w5 5 详解详析 理清思路，拓展思维 1.B【考点】相反数 2.C【解析】中心对称图形的概念+轴对称图形的概念在已知 知识拓展 的四个选项中，选项A中的图形是轴对称图形，但不是中心对 平面直角坐标系内点平移后坐标的变化规律 称图形.选项B中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形. 点(a,b)向左平移m(m>0)个单位长度后坐标变为(a一m, 选项C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形.选项D b),向右平移m个单位长度后坐标变为(a十m,b),向上平移 中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.故选C n个单位长度后坐标变为(a,b十n),向下平移n个单位长度 3.D【考点】科学记数法 后坐标变为(a,b-n). 4.A【解析】二次根式有意义的条件 逐项分析如表所示， 9.B【解析】探究规律+单项式由题意可知，对于第个单项 选项 逐项分析 是否符 合题意 式，n为奇数时，其系数为一1，字母x的指数为n,字母y的指 A x2+1≥1，∴.√x2+1一定有意义 是 数为2m一1，故从左到右第15个单项式是一x15y29.故选B. 夕 当x<-1时，x+1<0,∴√x+不 0.B【解析】正方形的性质+全等三角形的判定与性质+勾股 否 定理及其逆定理十锐角三角函数的概念 定有意义 [第1步，结合正方形的性质证明△DFG2△CFE,得GF= :当x>3时，3-x<0,.√3-x不一定 C 动 EF 有意义 :当x取不为0的任意实数时，一x2<0, 四边形ABCD是正方形，∴.∠D=∠BCD=90°. D ∴∠DCE=90°=∠D.点F是CD的中点，DF=CF. .√一x2不一定有意义 又∠DFG=∠CFE,∴，△DFG≌△CFE(ASA).∴.GF=EF. 故选A [第2步，根据已知线段长，利用勾股定理求出E℉的长，从而 5.C【考点】几何体的主视图 得到GF的长] 6.C【解析】不等式的性质逐项分析如表所示. 选项 逐项分析 正误 AB-4CE-4.-CE-1.DC--AB-4.:CF-DC- A 若a>b,则a十3>b+3 × 2,在Rt△CEF中，由勾股定理可得EF=√CE2+CF= B 若a>b,则-2a<-2b × √12+22=5，∴.GF=EF=√5】 C 若a>6,则号>骨 [第3步，利用勾股定理求出BF的长，根据勾股定理的逆定 D 若a>b,则a-3>b一3 理判定△BFG是直角三角形，即可求出tan∠FBG的值] 故选C 在Rt△BCF中，由勾股定理可得BF=√BC2+CF= 7.D【解析】一元一次方程的应用+数学文化根据题意，设快 √4+22=25.又BE=BC+CE=4+1=5,∴.EF2+ 马x天可以追上慢马，可得方程：240x-150(x十12)，解得 x=20,即快马20天可以追上慢马，故选D. BF2=(5)2+(2W5)2=25=BE2..∠BFE=90°（提示：勾股定 理的逆定理).∴.∠BFG=9O,∴△BFG是直角三角形. 8.A【解析】等边三角形的性质+特殊角的三角函数值+点的 平移如图，过点B作BM⊥x轴于点M.点A(1,0),C(1, G器-希专放选B 23),.AC=23,AC⊥OA.△ABC是等边三角形， 11.D【解析】分式方程的应用设普通机器人每小时可以装载 .AB=AC=2√3，∠BAC=60°..∴.∠BAM=90°-60°=30°. 货物x吨，则智能机器人每小时可以装载1.5x吨，可列方程 在R△ABM中，BM=AB·sin30°=23X2=B,AM= 为是器解得x-6经检验，女=6是原分式方程的 AB·m0-25×号-3i0M-AM-A0-3-1-2 解，且符合题意，∴.1.5x=1.5×6=9,即智能机器人每小时可 以装载货物9吨.故选D. 又∠BCD=60°，.∠ABC=180°-60°=120°. 12.B【解析】矩形的性质+勾股定理+旋转的性质+等腰三角15.5【解析】-一元二次方程的根根据题意，把x=1代入方程 形的判定与性质+相似三角形的判定与性质 x2-6x十a=0中，得12-6×1+a=0,解得a=5,即a的值 [第1步，利用矩形的性质求出对角线AC=BD=8,利用特殊 为5. 角的三角函数值求出∠OCD=∠ODC=30°] 16弓【解折】随机事件的概率根据题意，从4张卡片中任取 如图，连接CD1.四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°， CD=AB=4W3.由勾股定理可得BD-√BC+CD= 3张的结果有(H,H,O),(H,H,O),(H,O,O),(H,O,O), 共4种等可能的结果，其中能组成水分子化学式的结果有 √42+(43)2=8，.AC=BD=8.∴.OA=OC=OB=OD= 2种P能组成水分子化学式=是-分 4..sin/BDC BD=8=2∠BDC=30°.∠0CD= BC 4 1 17.10【解析】相似三角形的应用+矩形的性质如图，过点B ∠ODC=30° 作BM⊥EF于点M,交CD于点N,由题意可知，MN=CE= 第2步，根据旋转的性质可得OC1=OD1=OD=OC=4和 10,BN=AC=2,EM=CN=AB=1.6,CD=3,.DN= CD-CN=3-1.6=1.4..DC∥EF,.△BDN∽△BFM. ∠OD1C1=∠OCD=30°，根据等角对等边可得ED1=CE= 器-又BM-BN+MN-2+10-12品-藏 21.4 专从而求出BC的长灯 解得FM=8.4.∴.EF=FM+EM=8.4+1.6=10,即大树的 由旋转可知，D1C1=CD=4√3，OC1=OD1=OD=OC=4, 高度EF为10m. ∠OD1C1=∠ODC=∠OCD=30°，∴.∠OCD1=∠OD1C. ∴∠BCD,=∠ED,C.ED,=CE=号（提示：等角对等 边.∴EC:=D,G-ED,=45- [第3步，根据两组角对应相等证明△CEF∽△C1OF,求出 C1F和OF的长，即可求出△OFC1的周长] 模型分析 ,∠OC1D1=∠OCD=30°，∠CFE=∠OFC1,∴.△CEF∽ 利用相似三角形测高 如图1：利用平面镜测高，△ABO∽△CDO. 4 △cor恶-票-界 4--C 4 OF CF,解得C,F=93 4-OF -3,OF=5 2 .△OFC的周 3√3 长Ca%,=0C+0F+CF=4+5-3y3+93 2 2 -3=6十 图1 3√3，即△OFC1的周长为6十33.故选B. 由因2：利月影子测高韶8品。 4R D 影子 影子 C E 图2 H难点突破 如图3：利用立柱测高，△CEHc∽△CAG. 解答本题有两个难，点，一是利用等腰三角形OCD1的两底 A 角相等得∠BCD,=∠ED,C,证得ED,=CE=专，求出线 G H 段EC,的长；二是利用相似三角形的对应边成比例求出线 段C,F和OF的长， B F D 图3 13.(x一1)(x十1)【考点】用平方差公式分解因式 14.120【解析】平行线的性质：AB∥CD,∴∠BCD十 1846 【解析】折叠的性质+全等三角形的判定与性质+锐角 5 ∠ABC=180°（提示：两直线平行，同旁内角互补）. 三角函数+正方形的判定 若选②，x十y=4, [第1步，作辅助线将原图补成矩形，证明△CDE≌△CDP] .(x十y)2=x2十y2+2xy=16(方法：运用完全平方公式进 如图，过点C作CP⊥AD,交AD延长线于点P,易知四边形 行代换)： APCB为矩形，.∠PCB=90°.由翻折得∠GCB=∠GCE. x2+y2=14, .∠GCE+∠DCE=∠DCG=45°，∴.∠DCP+∠GCB= .xy=1. ∠PCB-∠DCG=45°..∠DCP=∠DCE.:DE⊥CE, ∴原式=义=1 x+y41 (8分) .∠DEC=∠DPC=90°.又CD=CD,.△CDE≌△CDP. [第2步，作BQ⊥CD,根据平行线间距离处处相等将点B到20，频数分布直方图+众数+中位数+用样本估计总体 FH的距离转化为FQ的长度] 解：(1)105110. (6分) 过点B作BQ⊥CD于点Q,EF⊥CD,BQ⊥CD,,BQ∥ 【解题过程】从已知数据中可以看出，数据105出现了3次，出 FH.点B到FH的距离可转化为FQ的长度 现的次数最多， [第3步，通过锐角三角函数求出FC,QC的长度即可求解] .这组数据的众数是105次. 由折叠和△CDE≌△CDP可知，CP=CE=BC=4,.∴.矩形 已知数据共有15个，从小到大排列后第8个数据是110， APCB是正方形.∴AP=4.:AD=2,PD=2.在 .这组数据的中位数是110次 (2)补全频数分布直方图如图. Rt△CDP中，CD=VPD+Cp=2,5,sin∠DCp= 5 频数 ∠DCP-25.:∠BD-∠CP,ias∠BCD 20 15 RC=CE·∠☑BD-85.:∠QBc+ os∠DCP-2W5 10 ∠QCB=∠DCP+∠DCB=90°，∴.∠QBC=∠DCP. asin∠Qc-5Qc=BC·sa∠Qc-4 0 5 ..FQ= 6090120150180210x/次(10分) 【解题过程】由题意得，在90≤x<120范围内的人数为15，则 PCQC-5,即点B到直线FH的更离为 在120≤x<150范围内的人数为50-5一15一8一2=20. (3)估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为 D P 800×20+8+2=480. (12分) 50 21.正六边形的性质+全等三角形的判定与性质+平行四边形的判 G 定+等边三角形的判定与性质+勾股定理+扇形的面积公式 B 解：(1)证明：如图1，由正六边形ABCDEF,得BC=EF, 9.立方根+负整数指数幂+特殊角的三角函数值+分式的化简 ∠BCH=∠EFG」 (2分)》 求值+整式的运算 解：(1)原式=4+8一2×(1一1)（提示：任何一个不为0的数 的负整数指数暴等于它的正整数指数暴的倒数) (7分) =12-0 =12. (8分) (2)原式=（ 2x+2x） (2分) x+y x+y/z+2y 图1 =+2型. xy (BC=EF, x+y x+2y (4分) 在△BCH和△EFG中，3∠BCH=∠EFG, =xy xty (6分) CH-FG, 若选①，(2)=2=2， ∴.△BCH≌△EFG(SAS). (4分) .xy=1. .'.BH=EG. ,2·2=2+=16=24(方法：运用暴的乘方和同底数幂的 同理可得BG=HE(提示：证明△ABG≌△DEH可得BG= 乘法进行计算)， HE). .x+y=4. ,'.四边形BGEH为平行四边形（提示：两组对边分别相等的 1 四边形是平行四边形)， 小原式= (6分) x+y41 (8分) (2)如图2，连接OA,OB,OF,取AB的中点为I,连接IO. 23.正比例函数和反比例函数的图象与性质+三角形的面积公 式+勾股定理+菱形的判定与性质 解：(1)由题意，得-2m=m一9，解得m=3. .A(-2,-6) (2分) 将A(一2，一-60的坚标代入y兰≠0，得-6=合2 图2 解得k=12. 由正六边形ABCDEF,得△AOB和△AOF为全等的等边三 一反比例函数的解析式为y= (4分) x 角形（提示：根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角 :反比例函数的图象关于原点对称，即点A(一2，一6)关于原 形”可证明△AOB和△AOF是等边三角形)， 点O的对称点为点B, IO LAB(方法：运用等边三角形“三线合一”的性质). 点B的坐标为(2,6) (6分) ,正六边形的边长为4， (2)由题意，得直线AB的解析式为y=3x. .AB=4 M1=2AB=2x4=2 (8分) 设c(a,）a>2 如图1，过点C作x轴的平行线交AB于点D, 在Rt△AI0中，由勾股定理得102=A02-AI2=42-22=12, 即10=√12=2√3. △A0B的面积SAm=号AB,I0=专×4X25=45 由正六边形ABCDEF,得∠BOF=120°. 扇形B0F的面积S角影=120xX华_16m 360 3 (11分) ∴.阴影部分的面积=S扇形一2S△A0B 16m-2×4V5=16m 3 图1 85. (12分) 22.二元一次方程组的应用+一元一次不等式组的应用+一次函 :点D的楼坐标为是 数的应用 解：(1)设A,B型相册每本的零售价分别为x元、y元. CD- △BOC的面积为5， (20x+10(x-6)+10y=2240, 由题意，得 (3分) 20x+15y+25(y-4)=3100, 2(a-4)×6=5, 3x+y=230, x=60, 整理，得 解得 (5分) 整理，得3a2-5a-12=0, x+2y=160, y=50. 解得a=3或a= 3舍). 4 答：A型相册每本60元，B型相册每本50元 (6分) (2)设购买A型相册t本，B型相册(15一t)本，总费用为Z元. .a=3.∴.C(3,4). (8分) (t≥2(15-t), ∴.0C=V32+4=5. 由题意，得 (8分) Z=60t+50(15-t)≤870， 如图2， t≥10， 整理，得 t≤12， NN 解得10≤t≤12. (10分) ,t为正整数， ∴.t=10,11,12(提示：根据题意，需取解集内的正整数). 有以下3种购买方式： ①A型相册10本，B型相册5本； ②A型相册11本，B型相册4本； 图2 ③A型相册12本，B型相册3本. ①当OC为菱形的边，且OC=OM1时，将点C(3,4)向左平移 ,购买总费用Z=10t+750,Z随t的增大而增大， 5个单位长度，得N1(一2,4)（方法：根据平移的性质确定点 ,∴.当t=10,即购买A型相册10本，B型相册5本时，所需费 的坐标) 用最少 (12分) 此时菱形为OCNM1. (9分) ②当OC为菱形的边，且OC=OM2时，将点C(3,4)向右平移 5个单位长度，得N2(8,4). 此时菱形为OCN2M2 (10分) ③当O℃为菱形的边，且OC=ON3时，作点C(3,4)关于 x轴的对称点为N3(3,一4). 此时菱形为OCM3N3. (11分) C ④当OC为菱形的对角线，且OM4=ON4时. 图2 设M4(b,0). 将点C(3,4)向左平移b个单位长度，得N4(3-b,4). .DE//OH OM=ON, 由(1)得AD/OE,.四边形DEOH为平行四边形 ..DH=OE=4,DE=OH=3. .b2=(3-b)2+16, (6分) 解得6-2N.(-石4 在Rt△AH0中，AH=√OA2-OH=√42-3=√7， ∴.AD=AH+HD=√7+4. 此时菱形为OM,CN4. [第3步，利用△BEO△BDA的对应边成比例求出k的值] 综上，在x轴上存在点M,使以点O,C,M,N为顶点的四边 由(1)得AD/OE, 形为菱形，点N的坐标为(-2,4)，(8,4)，(3，一4)， (名4 △B0n△BA品2- (12分) 4 24.圆的切线的性质+平行线的判定与性质+勾股定理十平行四 AB-kOB(k0),AB OB 边形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+圆周角定理 k=4+万 (8分) 的推论+等腰三角形的判定与性质+锐角三角函数 4 解：(1)证明：如图1，连接OE. (3)[第1步，连接CE,EF,并延长EF交AD于点I,利用同 D 角的余角相等证明∠CEO=∠DEF,再结合等边对等角可得 ∠ECO=∠DEF,从而得∠EAF=∠DEF] 如图3，连接CE,EF,并延长EF交AD于点I. D 图1 点E为⊙O的切点， “.OE⊥BD(提示：圆的切线垂直于过切，点的半径)，OE=OA, .在△AOE中，∠EAO=∠AEO(提示：等边对等角)， 图3 AD⊥BD, CF为⊙O的直径， ADOE(提示：同一平面内，垂直于同一条直线的两直线 ,∴.∠CEF=90°（提示：直径所对的圆周角是直角） 平行). (2分) ,∴.∠CEO+∠FEO=90°」 ∠DAE=∠AEO(提示：两直线平行，内错角相等). OE⊥BD,∴∠DEF+∠FEO=90° .∠EAO=∠DAE. ∴∠CEO=∠DEF(提示：同角的余角相等). .AE平分∠BAD. (4分) OE=OC,∴.∠CEO=∠ECO.∠ECO=∠DEF. (2)[第1步，利用勾股定理列方程，求出圆的半径长] :EF=EF,∠EAF=∠ECF. 设⊙0的半径为r,即OE=OF=r. ∴∠EAF=∠DEF. (10分) DE=3,DF=1, [第2步，通过等量代换证明∠DFI=∠DIF,从而证明DI= ∴.在Rt△DEO中，OE2+DE2=OD2, DF=1] 即x2+32=(r+1)2, .OE∥AD,.∠FEO=∠DIE. 解得r=4. .OE=OF,∴∠FEO=∠EFO..∠DIE=∠EFC. [第2步，作OH⊥AD,可证四边形DEOH是平行四边形，再 又∠EFC=∠DFI,∴∠DFI=∠DIF.∴.DI=DF=l. 利用勾股定理求出AH的长，从而求出AD的长] [第3步，在Rt△DEI中，利用勾股定理求出EI的长，再求出 如图2，过点O作OH⊥AD,垂足为H. cos∠DEI的值，等角代换得cos∠EAF的值] 在Rt△DEI中，DI+DE2=EI2, [第2步，利用对称点求线段和的最小值] 即12+32=EI2,解得E1=√10. 连接B'P,DP, mr-晋-得 .PB+PD=PB'+PD≥B'D, 即B',P,D共线时，PB十PD最小（方法：利用对称点求线段 cos∠EAF-os∠DEI=3y0 和的最小值) 10 (12分) BD为定值， 25.二次函数的图象与性质+矩形的性质+相似三角形的判定与 ∴.此时△BDP的周长最小 (8分)》 性质 [第3步，利用待定系数法求出直线B'D的解析式，联立方程 解：(1)：直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C, 组求出交点的坐标，即为满足条件的点P的坐标] .A(-1,0),C(0,2). (2分) 设直线B'D的解析式为y=kx十b(k≠0). 点A,C都在抛物线上， 14=-4k十b, 3 a 2 十c=0, .25_3 8=2+b, c=2, 7 k=一44' a= 解得 解得 2, (3分) 37 c=2. ∴抛物线的解析式为y=一之2+十2 7 (4分) 直线B'D的解析式为y=一石十. (9分) ∴顶点D(停，)方法：运月配方法成项点坐标公式求抛物 37 的/3 44x+ 线的顶点坐标) (5分) y=2x+2, 令-弓+号x十2=0（方法：利用函数值为0求抛物线与 12 x -19 解得 62 P(侣). x轴交点的横坐标)， y= 19 解得x=一1或x=4. 点B在y轴右侧的x轴上， 当△BDP的周长最小时，点P的坐标为（侣，铝）.10分) .B(4,0). (6分) (3)[第1步，当矩形的两个项点在AB上时，设GH=d,根据 (2)[第1步，利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角 比例式表示出CK的长，从而表示出矩形的面积，利用配方法 形，延长BC到，点B',使B'C=BC,可得BB'的中，点为C,再利 求出S最大时EF,CK的长，得OK=EH=1] 用中点坐标公式求出点B的坐标] ①如图2，当矩形的两个顶点在AB上时，设CO交GH于K. 由(1)可得AB=5,AC=√5，BC=2√5. .AC2+BC2=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 如图1，延长BC到点B',使B'C=BC, y 图2 .'GH∥AB, ∴.△CGH∽△CBA. .CK IGH,CO⊥AB, 图1 鼎瓷 即点B关于直线AC的对称点为点B', 即SCK 5 BB的中点为C(0,2). 21 设B'(m,n). 设GH=d0cd<则EF-d,cK=号d. .m=0X2-4=-4,n=2×2-0=4. .点B的坐标为（一4,4）. (7分) ∴矩形EnGH的面积5=Gh·0K=d(么-号d)=-号+ a=号a》+ .EH//BC, .△AEH∽△ABC. 当4=号，即EF-号，CK=1时，S最大，大值为 畏是即 25√5 此时OK=EH=1. [第2步，利用△AEH∽△AOC求出AE的长，即可求出OE, 设EH=0<1<25),则AH=台， OF的长，从而求出点E,F的坐标] △AEH∽△AOC, GH=5-台 福肥- ∴矩形EGH的面积S=(5-台)=-名2+5= 1 .AE=2 -3-5+ 0E=7,0F=2 当=5，即EH=5,A1-时S最大最大值为号 E(-20）,F20 (12分) 此时AE=VA+HD= [第3步，当矩形的一个顶，点在AB上时，求出点E的坐标] 又OA=1, ②如图3，当矩形的一个顶点在AB上时，点G与点C重合. 0E=E(受0)： y 综上，当矩形的面积最大且有两个顶点在AB上时，其坐标分 GC 别为(-号0.2,0. 当矩形的面积最大且只有一个顶点在AB上时，其坐标为 (层o (14分) 图3