济南市2025年九年级学业水平考试-【中考密码】备战2026年中考数学真题汇编

济南市2025年九年级学业水平考试 @选择题答案速查 选项 分析 是否符合题意 12345678910 a>b,.a-1>b-1(依据：不 DBC BAD CA D A 否 等式的性质1). 1D2B3C4B5A (依据：不等式 6D逐项分析如下，故选D. B a>b,号>2 否 的性顶2). 续表 ●快招解题法试题秒解考场速用 选项 分析 是否符合题意 如图，连接DE(或DF,关候辅助线)，由题意可知CD平分 C a>b,.-a<-b(依据：不等式 ∠ACB,EF垂直平分线段CD,∴.∠ECD=∠FCD,CE=DE 否 (依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距高相等)， 的性质3). .∠ECD=∠EDC,.∠FCD=∠EDC,.DE∥BC,.AADE .·a>b,∴.a+a>a+b,即2a> D 是 a+b. △0c(妆：字型荆软模型)小治能-光：0 4,DB=2,BC=32,,4=e,.DE=22,.CE=DE= 知识积累44 AE 不等式的性质 22,…. 2万音证=4反放选D (1)性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等 号的方向不变 (2)性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变 (3)性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变， 7c 名师教解题 将由题干得到的信息在题图上标注如图所示： D 10A由二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是(-1， ! n),且经过点(1,0)，(0，m)可知，抛物线的对称轴为直线 x=-1,且开口向下，.a<0,抛物线与x轴的另一交点坐 1 ! 标为(-3,0)，画出大致图象如图所示.逐个分析如下： B (-1,n)4 6 y=n-1 结合图中数据可知m∠DAC=专=子，m∠BA= 2 3 .tan∠DAC=tan∠EBA,.∠DAC=∠EBA.故选项A,B错 误，选项C正确m∠AC=n∠BB号≠：∠DMC 序号 分析 正误 由函数图象可知，抛物线y=ax2+bx+c与 ∠EBA≠30°，∴.∠DAC+∠EBA≠60°.故选项D错误故选C. ① 直线y=n-1有两个交点，.方程ax2+bx+ 8A画树状图如图所示： c=n-1(a≠0)有两个不相等的实数根. 开始 .抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, ② ·当x>-1时，y的值随x值的增大而 减小 :抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，（-3， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选 0),∴y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)= 到同一种客养套餐的结果有4种，故所求概率是高-子 ③ ax2+2ax-3a,∴.m=-3a.,3<m<4,.3< L 故选A -3a<4- 3 <a<-1. 一题多解 ⑦ 结合函数图象可知，当x=-2时，y=4a 列表如下： 2b+c>0. A C D b A(A.A)(B.A)(C.A)(D,A) -2a=-1,6=2a,(t+1)(at-a+ B(A,B) (B,B)(C,B)(D,B) ⑤ b)=(t+1)(at-a+2a)=(t+1)(at+a)= a(t+1)(t+1)=a(t+1)2,a<0,(t+1)2≥ C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C) 0,.a(t+1)2≤0，即对于任意实数t,(t+ D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D) 1)(at-a+b)≤0. 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一 综上，结论①②③④⑤正确，故选A #营养套餐的结果有4#，故所求瓶率是=子放适 m反2号 1397 9D 【解新】如图，：∠ABC=(6-2）×180°=120，∠1=37°， 的四边形是平行四边形)， (4分) 6 .∠AEC=∠CFA, (6分) .∠3=∠ABC-∠1=120°-37°=83°.l1∥L2,.∠3+ .LAEB=∠CFD. (7分) ∠2=180°，∴.∠2=180°-∠3=97°. 一题多解 A 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AB=CD,∠B=∠D. AF CE..'.FD=EB. .△ABE≌△CDF(SAS), .∠AEB=∠CFD. 19(1)由题意知MC=DF=11m. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°， 49 ∴.AC=ABsin B≈21×0.643=13.503(m), .AC-MC=13.503-11=2.503≈2.50(m). 【解析】结合题图可设s甲=kt,52=,t+100,将(2,30)， 答：两滑梯的高度差约为2.50m. (3分)》 (1,80)分别代入s甲=kt,Sz=2t+100,得k1=15,k2= (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°， -20,.5甲=15t,52=-20t+100.令15t=-20t+100,解得 .BC=ABc0sB≈21×0.766=16.086(m). 4=9s-9,即他们相遇时距离A地9m 在Rt△EFD中，∠DFE=90°，∠DEF=32, ..EF= DE DF 11 152+25 tan L DEF=tan 320.625=17.6(m), ∴.BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6=36.686≈36.69(m). 思维导引 答：BE的长约为36.69m. (8分) 连接AC,过点F作FNLAD,垂足为N证明 △ADG≌△FWE→ 20(1)证明：如图，连接0C, AG=EF=4,5在R△ADG中， .:OC=OA,.∠OAC=∠0CA 利用勾版定理MB的长 .OP∥AC,∴.∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP, 【解析】如图，连接AG交EF于点M,过点F作FN⊥AD, ∴.∠COP=∠BOP 垂足为N,则∠FNA=∠FNE=90°.，·四边形ABCD是正方 rOC=OB. 形，.AB=AD=CD,∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴.四边形 在△COP和△BOP中，{ ∠COP=∠BOP, ABFN是矩形（依据：有三个角是直角的四边形是矩形）， LOP=OP, .NF=AB=AD.由折叠可知AG⊥EF,∴.∠GAE+∠AEF= .△COP≌△BOP(SAS),·.∠OCP=∠OBP=90°， 90°=∠NFE+∠AEF,∴.∠GAE=∠NFE.又∠FNE= .0C⊥PC. ∠D=90°，.△ADG≌△FNE(ASA)(点按：“十”字全等 又.OC是⊙0的半径，.P℃与⊙0相切. (4分) 巧作辅 模型)，.AG=EF=4V5.设AB=AD=CD=x,则DG= CD-CG=x-4.在Rt△ADG中，DG+AD=AG,即(x- 4)2+x2=(45)2,解得x1=2+25,2=2-25(舍去)， .AB=2+25. 巧作辅助线：作2条辅助线， 构造“十”字全等模型 解题突破4《 本题的关键在于结合题目条件，通过作辅助线，构造全等三 角形，再利用勾股定理，求AB的长. 16原式=1+2+5+2× -22 2 (5分) =8+2-22 (6分) =8-2. (7分) 17解不等式①，得x>-2, (2分) 解不等式②，得x<4, (4分) .不等式组的解集是-2<x<4, (6分) 整数解为-1,0,1,2,3. (7分) 18证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴.AF∥CE. (2分) 又.AF=CE, .四边形AFCE是平行四边形（依据：一组对边平行且相等 卡 解法提示：将抽取的八年级学生体育测试成绩这组数据按 由xD=4,xA=1可知DH=3, 照从小到大排列.观察表格，.：1+5+8<25,1+5+8+ 16>26,.第25,26个数据均在D组.结合D组数据可知第 3 《1万0·6之 (5分) 25,26个数据均为70分，∴.抽取的八年级学生体育测试成 绩的中位数为70分. 由yA=6,Yn=2 可知4H=6-3=9 2=2, (4)800x16+20=576(人). 50 461 、3 答：估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以 9=3AG=2 上的学生人数为576人. (9分) 22 名师教审题 实际应用题系列。《 =6-=号82,2》 (6分) 题干①：…甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 y 300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元 购买乙型健身器材的数量相同. 提取信息：乙型健身器材的单价=甲型健身器材的单价+ G 50000元 56000元 300元，甲型健身器材的单价二乙型健身器材的单价 题干②：…计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台， ------ D 且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量 的3倍… 提取信息：甲种型号的健身器材的数量+乙种型号的健身器 材的数量=20，甲种型号的健身器材的数量≤3×乙种型号 的健身器材的数量. 图(1) (1)设甲种型号的健身器材的单价为x元/台，则乙种型号 ②对于y=2x+4,当x=0时，y=4,.C(0,4). 的健身器材的单价为(x+300)元/台， .CM=1,.M(0,3). (7分) 根据题意，得50000_56000 如图(2)，过点C作CP⊥AB交AN于点P,过点P作PK⊥y轴 x+3001 于点K,过点A作AI⊥y轴于点I,则LAIC=∠CKP=90°， 解得x=2500, (3分) 检验，当x=2500时，x(x+300)≠0，且符合题意（点拨： 易失分点，蔚分式方程时一定要验根)， 此时x+300=2800. 答：甲种型号的健身器材的单价为2500元/台，乙种型号的 健身器材的单价为2800元/台. (5分) (2)设购买甲种型号的健身器材α台，则购买乙种型号的健 身器材(20-a)台， 0 根据题意，得a≤3(20-a),解得a≤15： (7分) 图(2) 设采购费用为w元， .:∠IAC+∠ACI=90°=∠ACI+∠PCK, 根据题意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000, .∠IAC=∠PCK ·k=-300<0,.0随a的增大而减小， .∠BAN=45°，.△ACP为等腰直角三角形，..AC=CP, .当a=15时，w取最小值，最小值为-300×15+56000= 51500. .AAC≌△KCP(AAS)(点拔：“-线三直角”全等模型). 答：购买甲种型号的健身器材15台，采购费用最少，最少费 (8分) 用为51500元. A(1,6),C(0,4),CK=A1=1,PK=C1=2. (10分) CM=CK=1,点M与点K重合，∴.P(2,3) 23(1):点A(m,6)在一次函数y=2x+4的图象上， 设直线AN的表达式为y='x+b, .6=2m+4,解得m=1. (1分) 将A(1,6),P(2,3)分别代入， :点11,6)在反比例函数y=车的图象上， 得6+，解得皮。3， 3=2k'+b, b=9. 6=年，解得k=6 (2分) .直线AW的表达式为y=-3x+9. (9分) (2)①如图(1)，过点A作AF⊥x轴于点F,分别过点E,D 设N(m,-3m+9), 作EC⊥AF于点G,DH⊥AF于点H,则EG∥DH, .四边形OMDN是平行四边形， .△GAE∽△HAD(点拔：“A”字型相似模型)， ∴.xp=0+m-0=m,yn=3-3m+9=-3m+12, 胎品品号 .D(m,-3m+12). :D为反比例函数y=6图象上的一点， 由()知y=将w=4代人y=名，得0=是 3 、-3m+12=6,解得m,=2+2,m,=2-万（不合题意， D4,). m 舍去)， .-3m+12=-3(2+√2)+12=6-32， 解法提示：如图(3)，过点B作BN⊥BM交MG的延长线于 .D(2+2,6-32) (10分) 点N,分别过点M,N作MQ⊥y轴，NP⊥y轴，垂足分别为 24(1)将A(3,1),B(0,-2)分别代人y=x2+bx+c, 0,P. 得9+36+c=1解得6=-2， lc=-2, lc=-2, .二次函数的表达式为y=x2-2x-2. (2分) -2 方法一“二次函数图象的对称轴为直线x=一2文=1. 对于y=x2-2x-2,当x=1时，y=-3, .顶点G的坐标为(1，-3). (3分) 方法二：y三心-2x-2=(x-1)2-3(点按：一般式化成 项点式)， .顶点G的坐标为(1，-3) (3分) G (2)根据题意，可得新函数图象的表达式为y=(x-1-之-3 (点按：水平平移时，几值变化为“左”加“右”减)， 图(3) .新函数图象的对称轴为直线x=n+1. 设直线AB的表达式为y=x+b', .…n>0,∴.n+1>1 将A(3,1),B(0,-2)分别代人， 分两种情况讨论. 得+6l解得， ①当1<u+1≤子，即0<a≤2时，如图()， b'=-2, b'=-2, .直线AB的表达式为y=x-2. 行2x3 设二次函数的图象向上平移了m个单位长度，则向右平移 了m个单位长度（点拔：结合直线AB平行于直线y=x可得）， ∴.A'(3+m,1+m),G(1+m,-3+m). 连接AG,GC,A'G, 由平移可得AA'=GC,AA'∥GC .四边形A'AGG是平行四边形（依据：一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形)， 由点A,G的坐标易得M(”4,”2子) 图(1) MQ⊥y轴，NP⊥y轴，BN⊥BM, 由新函数图象可知，当x=3时，新函数取最大值， .∠MQB=∠BPN=90°，∠MBN=90°， .新函数的最大值是8， .∠QBM+∠QMB=90°，∠QBM+∠PBN=90°， .(3-1-n)2-3=8, .∠QMB=∠PBN, 解得n=2士厅，与0<n≤分矛盾，不合题意 ·Rt△QMB∽Rt△PBN(点拔：“一线三直角”相似模型)， (6分) tanL BMC=BN1 ②当a+1>2,即a>分时，如图(2). BM=3, 刷6器即，2 行行3 2+m-2m+4=3, y 22 w-若2即若兰若是， 6 6 设直线A'G的表达式为y=:+e, 将A'(3+m,1+m),G(1,-3)分别代人， 得3+mf+e=1+m解 f=m+4 m+2, f+e=-3, es-4m+10 m+2, 图(2) 六直线A'C的表达式为y=m+号-4m+10 由新函数图象可知，当x=0时，新函数取最大值， m+2*- m+2} :新函数的最大值是8， 将Nm+2,-m+16)代入， 6 6 .(0-1-n)2-3=8, 得-m+16_m+4.m+2_4m+10 解得n1=-1-√T(不合题意，舍去)，n2=-1+√T. 6 m+2 6m+2 综上可知，n的值为-1+√11 (10分) 解得m1=√10，m2=-√10（舍去）， (3)G(1+√10，-3+√10). (12分) .G(1+√10，-3+√10). 2西(1)90子 (4分) 小时，四边形AECF的面积最小 解法提示：易证△AOF≌△COE, ∴.∠OAF=∠C,AF=CE,∴AF∥BC, .∴.∠ABC+∠DAF=180°. ∠ABC=90°，.∠DAF=90°. .AB=6,BC=8,DB=3,BE=4, AD=3,CE=4, AF=CE=4=4 AD 3 图(1) (2)仍然成立. BE+EM≥BM(点拨：两点之间，线段最短)，BE=4, 证明：点0为AC的中点，.OA=0C, ∴.EM≥BM-4. 又.0F=E0, 当点B,E,M三点共线时，EM取最小值，最小值为BM-4, ·.四边形AECF为平行四边形（依据：对角线互相平分的四 此时BM⊥AC,如图(2)， 边形是平行四边形)， .AF=CE,AF∥CE, .∠OAF=∠OCE. .·AB=6,BC=8,DB=3,BE=4, 器子品 .'∠DBE=∠ABC=90° .∠ABD=∠CBE,.△ABD∽△CBE, ∠4D=LBcE,0-器-子 图(2) ∴∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=∠BCE+∠BAC+ :SAm=号-ABxRC=-AC×BM, 1 LACE=LBAC+LACB=90,AD=3 ’AF=4 (8分) 分×6x8=宁×108MBM=学BM= -4=4 ②在Rt△ABC中，AB=6,BC=8, .AC=√AB2+BC=6+82=10. cM=ac-w-√8--器 由①知，四边形AECF为平行四边形， S四边形ABCr=2 S AAEC, .当SAAEC最小时，S四边形ABCr最小. E=Vm+W=√号P+4 5 当E到AC的距离最小时，S△Bc最小，则S四边形Bcr最小. 如图(1)，过点E作EM⊥AC于点M,连接BM,则当EM最 由0脚2提-0-子0=子×4g.3画 5 59.如周，在△AC中，按如下步常作图 17.(本小题满分7分) 济南市2025年九年级学业水平考试 ①在CA和B上分别餐取CM.GY,使C=CN.分别以点M和N为图心，以大于 4-x>21-x).① 2N的长为半径作瓦，两氟在LACB内交于点0，作财线C0交AB于点D: 解不等式￥-27，，② 并写出它的所有整数解 2 数学 ②分别以点C和D为心，以大于CD的长为半径作，两相交于点P和Q,作 直线P四交AC于点E,交C于点R (满分150分，考试时间120分钟) 根据以上作图，若AD=4,DB=2,BC=32,美线段AE的长为 选择题都分共40分 一，选择置{本大题共10个小题，每小盟4分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合盟 A”2 C.5 D.4v2 日要求的) 10.已知二次函数y=2++(u,,c为常数，a*0》图象的顶点坐标是(-1，n),且经过(1,0》，{0，m)两 1.下列各数中为负数的是 点，3cm<4,有下列结论： A.3 且.0 C.2 ①关于x的一元二次方程a◆缸+-n+1=0(a0)有两个不相等的实数眼：②当x>-1时，y的值面 18.(本小题满分7分) 2如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何休，其主视图是 r值的增大而减小，③-于<a<-1:④4a-26+c>0:5对于任意实数，总有：+1(-+6)0 已知：如粥，在平行四边形ACD中，点,F分别在C和AD上，且AP=CB求证：LAE∠CFD 田 以上结论正确的有 A.5个 B.4 C.3个 D.2个 正面 二，本空盟：本整共5小题，每小题4分，共20分直接填写答案 3.225年五一”很蝴.济南市图书馆推出金民阅读文北市集.集廊展销等活动，累计接待读者96110 11.已知一个正方形的面积为2.期其边长为 人次，数据9%110用料学记数法表示为 12.在一个不透明的袋中有2个红球，3个黄球和4个白球，这些球除顾色外挥相同.从中随提摸出+个球。 A.9.611×10 B.6.11×10 C9.611×10 D.0.61×10 这个球是红线的撒率为 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 13.如图.两条直线，分别经过正六边形ARCDEF的溪点B.C,且4∥%当∠1=37时.∠2 19,(本小题满分8分】 等边三角 正 ●材水上滑梯某水上乐同有两个相邻的水上滑棉，如图所示，左边滑棉的长度A为 5下列运算正确的是 21m,倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m,领斜角为32“，支果AC,NF都与地面垂直，AN,MD m2·m'=m 且.m台m2=m C.2w◆3n=5n .m2)'=m 2 都与地面平行，两支果之闻的距离CF为3m(点B,C,F,B在问一条直线上). 6.已知>b,划下列不等式一定成立的是 (第13题) (第14题) (第15题) (1》求两滑梯的高度差： -1c6-1 B52 14.A,B两地和距10km,甲，乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶.甲，乙 .=t2=b D.2a3m+6 (2)两滑梯的底端分别为B,E,求B的长 两人各自到A地的距离(km)与骑车时间(h)的关系图所示，则他们相遇时距离A地 km (结果精疏到0.01m.参考数据：in32°m0.50,320.848,un32°0.625，in40°w0.643, 7.如图，在由边长为1个单拉长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D, 15.如图，正方形纸片ACD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处， cs40°-0.766，lan40°✉0.839) E都在网格的格点上，划下列结论正确的是 点B落在点H处，折痕EF交BC于点F若CG=4.EF=4万，则AB= A.∠DC>∠EBA 三，解答题：本靡共0小题，共0分，解答应写出文字说明、证阴过程或演算步豫 R∠AC∠ERA 16.(本小题满分7分) C∠DC=∠EB4 D.∠D4C+:∠ER4=60 计算：(m-3)'+(2)+1-51+2in45°-8. &某学校食堂准备了A,B,C,D四种营养套管，如果小明和小亮每人随机选择其中一种霄养套餐， 们恰好达到同一种营养套窖的复率是 c 第3页 20.〔本小题清分8分) 22(本小题满分10分) 24.(本小题满分12分) 如图.4B是⊙0的直径，C为@0上一点.P为⊙0外一点，0P∥4C,且∠0P=0°，连接PC 随着“体重管理年”三年行诗的实饱，全民体重管理意便和技能运步提升.某健身中.心要采购甲，乙两种 二次函数y=x2++e的图象经过4(3,1).(0.-2)两点，顶点为 【1》求正：Pc阿⊙》相切 型号的但身器材以请足群众的健带求.据了解，甲泵陆身器材的单价比乙裂过身器材的单价低300元： 《1款二次函载的表达式和顶点：的华标 (2)若A0=3,0P=5,求AC的长 用50000元购实甲型健身器材的数量和用5约00元购实乙型健身塑材的数量相同 (2)如图(1)，将二次雨数y=+血+c的图象沿x轴正方向平移n(n>0》个单位长度得到一个河 (1)求甲，乙两种型号健身器材的单价分划是多少元 函数的图象.当0写x写3时.新属数的最大值是8，求和的值. (2)该过身中心计划期买甲，乙两种耀号的过身幂材共20台，且甲型健身器材的购买数量不短过乙型陆 《3)如图(2)，降二次雨数y■+血+c的图象沿直线AB向上平移，点A,G的对应点分别为”，G, 身器材购实数量的3倍，购实甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元 连接AG,4'G,线段AG与4'G交于点从.若am∠G=，请直写出点G的座标 4 21.〔本小题满分9分) 某学较为了更好地开展学生依育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分材），从中和机抽取了部 分学生的成城成墙用x表示，单位：分)，并对数据（成绩》进行整理，数据分为五组，下面给出了部 分信息： 23.(本小避清分10分) 取的学生体有试成绩流计表和不完整的南形筑计图如下： 25.(本小避清分12分)】 一次两数y=2x+4的图象与反比例病数y=(x>0)的图象交于点A(樱，6)，与x轴交于点B,与y轴交 在R△ABC中，∠ABC=0°，AB=6,BC=8,点0为AC的中点在h△DBE中，∠DBE=90°，DB= 成销/分 人数数} 3.BE=4,连接E0并延长到点F,使OF=E0,连接AF A 0≤年20 于点C 《1)求m.的值 初步盛知： B 240 5 40写60 (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m （)如周D,当点D.5分别在，c上时，请完线空：∠0：一 ①如图(1)，若点D的横坐标为4，连接A机，E为线段0上一点，且统=2，求点E的坐标： 深入探究： 20 ②如图(2)，制为线段OC上一点，且C=1,四边形0MDN是平行四边形，连接AW,若∠BAN=45 《2)如图(2)，若将图(1)中的△DBE绕点B按逆时针方向靛转一定的角度a(0°<a<0),连接 AD.CE.AE.CF. hD组的数累：60,60,61.62,62,6363,66.6767,70.70,71.74,75,79， 求点D的坐标 ①以1)中的结论是香仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由， 请根据以上信皂完成下列问圈： ②当回边形ACF的面积最小时，求线段AD的长 (1)求随机袖取的学生人数； (2)统计表中的四= ,扇形统计图中E组所对应角形的圆心角为度： (3)抽取的人年缓学生体育测试的中位数为 分： 〔4》若该校八年线共有800名学生参加了此次体有测试，请休估计该校八年级参加此次体育测试成 锁达到60分及以上的学生人数， 2 图(2) 备用图 第4页