广东省2025年初中学业水平考试-【中考密码】备战2026年中考数学真题汇编

9.如图，在直径BC为22的圆内有一个圆心角为三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 广东省2025年初中学业水平考试 90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米 16.(本小题满分7分)在解分式方程二=，1 x-22-x 落在扇形内的概率为 ( 2时，小李的解法如下： 数学 (本试卷满分120分，考试时间120分钟) 第-步二u-20=已2-2》-2 第二步：1一x=一1一2， 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.6.某校机器人编程闭队参加广东省创意机器人大 第三步：-x=-1-2-1, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 赛，7位评委给出的分数为95,92,96,94,95,88， 第四步：x=4. 目要求的。 B.- 95.这组数据的中位数、众数分别是 () 4 第五步：检验，当x=4时，x一2≠0 1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g士0.02g A.92,94 B.95,95 第六步：原分式方程的解为x=4 如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记 c C.94,95 D.95,96 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据 作十0.02g,那么低于标准质量0.02g记作() 10.如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等 7.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制 是什么？判断小李的解答过程是否正确，若不正 A.-0.02g B.+0.02g 分点，连接DE,AF相交于点G,连接CG.若 确，请写出你的解答过程. 造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今 C.-0.04g D.十0.04g AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是() 2.依据广东省推动低空经济高质量发展行动方案 年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至 (2024-2026年)》，预计2026年广东省低空经济 9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长 规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数 率为x,可列出的方程为 ) 法表示为 () A.2500(1+x)2=9100 A.3×10 B.3×1010 B.2500(1-x)2=9100 细 C.30×10 D.3×10 C.2500(1-2x)2=9100 3.计算√12×3的结果是 D.2500(1+2x)2=9100 C. n号 A.3 B.6 C.6 D.26 8.在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 4.如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图 率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程 11.因式分解：ab十ab2= 形，它的左视图是 x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于 12.如图，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB 100W·h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列 与△COD的相似比是 结论正确的是 ( ) &o 8 ↑/W·h 600H D 500 400 5.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点， 300 200 ∠A=70°，则∠EDF= ( 100 13.不解方程，判断一元二次方程2x2+x一1=0的 051015202530km 根的情况是 A.电池能量最多可充400W·h 14.计算2°-2sin30的结果是 B.摩托车每行驶10km消耗能量300W·h 15.已知二次函数y=一x2十bx十c的图象经过 C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25km 点(c,0),但不经过原点，则该二次函数的表达式 A.20° B.40°C.70° D.110 D.摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 可以是 (写出一个即可). 第13页 17.(本小题满分7分)如图，点O是Rt△ABC斜边18.（本小题满分7分）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.20.（本小题满分9分）2025年2月，广东省教有厅发 AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC 主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可视为抛 19.(本小题满分9分)如图，CD是Rt△ABC斜边 布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不 相切于点D,求证：AD平分∠BAC. 物线，主缆垂度0.1785km,主缆最低处距离桥 AB上的中线，过点A,C分别作AE∥DC,CE∥ 低于两小时的通知，.某校为更好地落实文件精神 面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km.请 AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题： 并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分 在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该 命题1：若连接BE交CA于点F,则Sm 学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分 抛物线的表达式 2S△F· 信息如下： 命题2：若连接ED,则ED⊥AC 调查问卷 整理与描述 命题3：若连接ED,则ED=C. 1.你每天参加体育活 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例」 动（含体育课）的时间 (单位：小时)是( (单选》 230% A0.5≤x<1 1.7km 主塔 B1≤x<1.5 每天参加体育话动（含体有课）的 C.1.5r2 主塔、。 主窥 0.1785km 时间统计图 桥面 D.x≥2 0.27km 0.0015km 希里增设的活动项目统计表 0.09km 海平面 2随着体有活动时间 的延长，学校拟增设体 体 水 有活动项日，你希望增 动 球 项 径 操 上 设的活动项目有( 类 类 类 (可多选) E球类 F.田径类 百 G.体操类 分 72%23%40%46% H,水上类 比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数 (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动 时间不低于两小时的学生人数 (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息， 并向学校提出相应的建议. 第14页 21.(本小题满分9分)综合与实践 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，23.（本小题满分14分）定义：把某线段一分为二的 【阅读材料】 第23小题14分，共27分. 点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段 如图1，在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 22.(本小题满分13分)%九章算术》是世界上较早给 时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外 边长分别为a,b,c,则有a 出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法 比点 sin A sin B 【问题解决】 对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形 (1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP> snC,这是解三角形的重要结论，可用于解决 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两 的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组 PN,MN=2,求PN的长. 岛间的距离.（参考数据：sin43°≈0.682， N 实际问题。 “勾股数”，下表中的每一组数都是勾股数 sin51°≈0.777，sin86°≈0.998) 图1 3,4,57.24.2511.60.6115,112,11319,180.181 【评价反思】 (2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C 4,3.58,15,1712,35,3716,63,6520,21,29 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要 把线段AB分为中外比（保留作图痕迹，不写 5,12,139,12,1513,84,857,144,1421,28.35 求：选用方案设计】中的工具，写出你的方案和 作法). 6,8,1010,2614.48,5018,80,8222,120.122 所用的数学知识 图 (1)请补全上表中的勾股数 【问题提出】 (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整 B 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源 数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能 图2 地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平 表示上表中所有的勾股数，并证明。 面示意图，如图2.现需要知道湖中A,B两岛间 (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图 的实际距离.由于地形原因，无法利用测距仪直 所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形 (3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 接测量，该小组对这一问题进行了探究 组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角 y-产>0>0)的图象分别与矩形OABC的 。W 形顶点处都种一一株花，各边上相邻两株花之间的 边AB,BC相交于点D,E,与对角线OB相交于 距离均为1m.如果每个三角形最短边都种 点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究 21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 点D,E,F是否分别为AB,BC,OB的中外比 点，并证明。 图2 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪，无人机（只能测角度、水平 面高度)，如图3所示。 图3 测角仪测距仪 无人机 图3 测量过程： 步骤1：如图4，在空旷地找一点C, 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 ∠A≈43°，∠B51°： 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341m,AC≈388.5m. 第15页广东省2025年花 答案速查 精准定位，正误立现 1-5 ADBCC 610 BACDB 11 ab(a+b) 121:3(或号) 13方程有两个不相等的实数根140 15y=一x2+x十2（答案不唯一，只要c,b值满足c-b=1均给 3分) 详解详析 理清思路，拓展思维 1.A【考点】正负数的意义 2.D【考点】科学记数法 3.B【解析】二次根式的乘法√12×√3=√36=6，故选B. 4.C【考点】简单几何体的三视图 5.C【解析】三角形中位线定理+平行线的性质，点D,E, F分别是△ABC各边上的中点，.DE∥AC,DF∥AB. ,.∠DEB=∠A=70°..∠EDF=∠DEB=70°.故选C. 6.B【解析】众数和中位数的概念将这组数据按从小到大的顺 序排列为88,92,94,95,95,95,96，所以这组数据的中位数为 95,众数为95.故选B. 7.A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 8.C【解析】从函数图象中识别信息由题中图象可得，当x=0时， y=500,.电池能量最多可充500W·hA错误.500÷25=20， 20×10=200,.摩托车每行驶10km消耗能量200W·h.B错误 由题中图象可得，当x=25时，y=0,∴.一次性充满电后，摩托 车最多行驶25km.C正确.(500-100)÷20=20，∴.摩托车充 满电后，行驶20km将自动报警.D错误，故选C. 9.D【解析】概率+扇形的面积如图，过点A作AD⊥BC于 点D.,∠BAC=90°，AB=AC,.△ABC是等腰直角三角形. AD1BC,BC=2E,∴AD=BD=CD=2BC-E.∴AB- VAD+BD=2.S=90X空=元又：S属=X 360 2)=2,该粒米嘉在期形内的概率为会-宁：放适D 0.B【解析】矩形的性质+等腰直角三角形的判定和性质+锐 角三角函数 [第1步，作GH⊥BC,由已知条件判断△ABF,△CDE, △GEF是等腰直角三角形] 如图，过点G作GH⊥BC于点H,在矩形ABCD中，AB=8, BC=12,∠B=90°.：点E,F是BC的三等分点，∴.BE= EF=CP=专BC=4BF=BE+EP=8∴AB=BF=8 ∴△ABF是等腰直角三角形.∴∠BFA=45°.同理△CDE 是等腰直角三角形..∠CED=45°.∴.∠BFA=∠CED. .△GEF是等腰直角三角形 中学业水平考试 [第2步，由等腰直角三角形的性质求GH,CH的长，从而求 得tan∠GCF的值] 1 GH⊥EF,GH=EH=FH=2EF=2.∴.CH=CF+ H那-4+2-6.在R△GHc中，m∠GCF8票吕-子， 故选B B EH F C 11.ab(a十b)【考点】因式分解 121:3(或号）【解析】相似三角形的性质△A0B放大后得 到△COD,则△AOB∽△COD,相似比为OB:OD=2：6= 1:3. 13.方程有两个不相等的实数根【解析】一元二次方程根的判别 式一元二次方程2x2+x-1=0,.△=12-4X2X(-1)=9> 0..该方程有两个不相等的实数根 14.0【解析】零指数幂+特殊角的三角函数值2°一2sin30°= 1-2×2=1-1=0. 15.y=一x2十x十2（答案不唯一，只要c,b值满足c一b=1均给 3分)【解析】二次函数的图象和性质二次函数y= 一x2十bx十c的图象经过点(c,0),.0=一c2+bc十c.二 次函数y=一x2十bx十c的图象不经过原点，.c≠0.，.c一 b=1.若取b=1,则c=2,.该二次函数的表达式可以是y= 一x2十x十2（答案不唯一）. 16.解分式方程 解：第一步是去分母，依据是等式的性质[或等式两边同时乘 同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍相等]. 解答过程第一步错了 (3分) 我的解答过程： 1 ·(x-2)=-二2·（x-2)-2(x-2),7 1-x=-1-2x+4, (4分) x=2. (5分) 检验：当x=2时，x一2=0， ∴，x=2不是原分式方程的解. (6分) .原分式方程无解 (7分) 7.圆的切线的性质+平行线的判定和性质+等腰三角形的性 质+角平分线的定义 证明：连接OD(巧作辅助线：连接切，点与圆心，可得垂直关 系).如图 B ) C BC是⊙O的切线，∴.OD⊥BC. (2分) AB⊥BC,∴.OD∥AB. (3分) .∠ODA=∠BAD. (4分) .'OD=OA, .∠ODA=∠OAD (5分) .∠DAB=∠OAD. (6分) .AD平分∠BAC. (7分) 模型分析 角平分线与平行线结合 角平分线和平行线结合能构造出等腰三角形或直角三角形， 常应用于角度计算、线段证明： 模型1：一条角平分线十平行线→等腰三角形 如图1，AD∥BC,BD平分∠ABC,则AD=AB,故△ABD 为等腰三角形 D 图1 模型2：平行线间的角平分线组合→直角三角形 如图2，a∥仍，两个同旁内角的平分线相交于，点C,则△ABC 为直角三角形. Bb 图2 18.二次函数的实际应用 评分说明：建立平面直角坐标系给1分，设所求抛物线的表达 式给1分，正确写出点的坐标给1分，正确代入所设表达式给 1分，正确求出各项系数的值给2分，正确写出表达式给1分. 解法一：建立如图1所示的平面直角坐标系， (1分) 设所求抛物线的表达式为y=ax2. (2分) ↑y 1.7 主塔 km 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km 0.0015km 0.09kn 海平面 图1 由抛物线经过点(0.85,0.1785)得a×0.852=0.1785.(4分) 解得a- 85 21 所求抛物线的表达式为y=85x(-085≤x≤0.8).(7分) 解法二：建立如图2所示的平面直角坐标系， (1分) 设所求抛物线的表达式为y=ax2+0.0015. (2分) y 1.7km 主塔 主塔、 主缆 0.1785km 桥面 0.27km 0.0015km 0.09km 海平面O -------------------- 图2 由抛物线经过点(0.85,0.18)得a×0.852+0.0015=0.18, (4分) 21 解得a=851 ∴所求抛物线的表达式为y 85x2+0.0015(-0.85≤x≤ 0.85) (7分) 解法三：建立如图3所示的平面直角坐标系， (1分) 设所求抛物线的表达式为y=ax2-0.1785. (2分) y 1.7km 主塔 O x 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09km 海平面 图3 由抛物线经过点(0.85,0)得a×0.852一0.1785=0.(4分) 解得a一85 1 21 所求抛物线的表达式为)y=852-0.1785(-0.85<x≤ 0.85). (7分) 9.直角三角形的性质+平行四边形的判定与性质+菱形的判定 与性质+命题+相似三角形的判定与性质 评分说明：判断所选两个命题是真命题，给1分：正确证明一 个命题，给4分： 解：所选两个命题都是真命题 (1分) 命题1：如图1，连接BE, E D 图1 ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， 溜司 (1分) .AE//DC,CE//AB, ∴四边形ADCE是平行四边形. ∴.EC=DA. 器 (2分) CE∥AB,∴.△EFC∽△BFA. (3分) EF EC 1 …FB-AB2' S△cEr_EF-1 小SAGR FB-2 即S△CFB=2S△cEF, (4分) 命题2：如图2，连接ED. E D 图2 ,CE∥AB,AECD, .四边形ADCE是平行四边形 (1分) .'CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴.AD=CD=DB. (2分) .平行四边形ADCE是菱形， (3分) .DE⊥AC (4分) 命题3：如图3，连接ED. E D 图3 ,CE∥AB,AECD, .四边形ADCE是平行四边形. (1分) ..EC=AD ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴.AD=CD=DB (2分) .'EC=DB. (3分) .CE∥AB, ∴.四边形DBCE是平行四边形 ∴.ED=BC (4分) 20.条形统计图+扇形统计图+统计表+用样本估计总体+统计 分析 评分说明：第(1)问解法不唯一.第(3)问答案不唯一.综合考 虑两项调查数据提炼出一条信息，给3分；没有综合考虑两项 调查数据提炼出的信息，给1分；提出相应的建议，给1分. 解：(1)解法：46÷23%=200（人）. (1分) 答：该校参与这次问卷调查的学生人数为200人. (2分) 解法二：35+44+46+75=200（人）. (1分) 答：该校参与这次问卷调查的学生人数为200人. (2分) (2)1000×37.5%=375(人). (4分) 答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于 两小时的学生人数有375人. (5分) (3)根据两项调查的数据所获得的信息提出相应的建议，比 如：每天参加体育活动的时间不低于两小时的人数比例最多， 且希望增设球类项目的人数也是最多，我建议学校优先增设 球类项目 (9分) 21.解三角形 解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°. r阅读材料sin Bsin C' (2分) AC≈388.5，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998， AB=AC.sin C≈38.5X0.998=49. sin B 0.777 答：A,B两岛的距离约499米. (4分) (2)评分说明：方案和数学知识给4分；画图1分 测量方案一： ①如图1，在空地上找一点D,利用测角仪多次测得∠D≈90°； ②利用测距仪多次测量并取平均值，测出BD,AD长度； ③用勾股定理求出A,B两岛的距离 (9分) B D 图1 测量方案二： ①在空地上找一点E; ②利用测距仪多次测量并取平均值，测出AE,BE长度； ③如图2所示延长AE至A',延长BE至B',利用测距仪多 次测量并取平均值，测出AE=AE,BE=E(a为正 整数)； ④利用测距仪多次测量并取平均值，测出A'B'； ⑤用三角形相似求出A,B两岛的距离. (9分) A B' A 图2 22.勾股数+数字规律探究+整式的混合运算+平方差公式 解：(1) 3,4,57,24,25 11,60,6115,112,11319,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,24,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1分) (2)①根据表中数据(3,4,5)，(4,3,5)，(5,12,13)，(7,24， 25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15, 112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20, 21,29)的规律能用含字母n,m(m>n,且n,m均为正整数) 的代数式表示三角形的三边，设为a=m2一n2,b=2mm,c= m2+n2. (4分) 证明：a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n, b2=(2n)2=4m2n2, .a2+b2=m4+2m2n2+n4. c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4, .a2+b2=c2 根据勾股定理的逆定理，得a=m2-n2,b=2mm,c=m2十n2 能够成为直角三角形的三边长 (7分) ②根据表中数据可知(6,8,10)，(9,12,15)，(21,28,35)分别 是(3,4,5)的2倍，3倍，7倍；(10,24,26)，(14,48,50)，(18， 80,82),(22,120,122),分别是(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40， 41),(11,60,61)的2倍，经验算(9,40,41)满足m2-n2,2mm, m2十n2。 因此，表中数据能用含字母n,m,k(m>n,且n,m,k均为正 整数)的代表式表示三角形的三边.设为a=(m2一n2)k,b= 2mmk,c=(m2十n2)k. 证明：."a2=[(m2一n2)k]2=m4k2-2m2n2k2+n4k2, b2=(2nk)2=4m2n2k2, .a2+b2=m4k2+2m2n2k2+n4k2. c2=[(m2+n2)]=m4k2+2m2n2k2+n2, .a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，得(m2一n2)k,2mnk,(m2十n2)k能 够成为直角三角形的三边长，所以利用a=(m2一n2)k,b= 2mk,c=(m2十n2)k能够表示出表中所有勾股数组.(8分) 评分说明：若有下列解法，酌情给分，不超过7分 ①根据表中数据(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)等，设a= 2n+1,b=2n2+2n,c=2nm2+2n+1(n为正整数). 证明：，∵a2=(2m+1)2=4n2+4n+1, b2=(2n2+2n)2=4n4+8n3+4n2, .∴.a2+b2=4n+8n3+8n2+4n+1. c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, ∴.a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，得a=2n十1，b=2m2十2n,c=2n2+十 2n十1能够成为直角三角形的三边长且是勾股数， (3分) ②根据表中数据(4,3,5)，(8,15,17)，(12,35,37)等，设a= 2n,b=n2一1，c=n2+1(n为大于1的正整数). 证明：a2=4n2, b2=(n2-1)2=n4-2n2+1, ∴.a2+b2=n4+2n2+1. ,c2=n4+2n2+1,.a2+b2+c2. 根据勾股定理的逆定理，得a=2m,b=n2-1,c=n2+1能够 成为直角三角形的三边长且是勾股数 (3分) ③根据表中规律(6,8,10)，(9,12,15)，(21,28,35)等分别是 (3,4,5)的2倍，3倍，7倍.设a,b,c是勾股数，同时扩大k倍 (k是正整数)，三角形的三边可表示为ak,bk,ck. 证明：，(ak)2=a2k2,(b)2=b2k2,(ck)2=c2k2,a2十 b2=c2, .(ak)2+(bk)2=(a2十b2)k2=c2k2=(ck)2」 根据勾股定理的逆定理，得ak,bk,ck能够成为直角三角形的 三边长且是勾股数， (1分) (3)依题意设a=20,且直角三角形三边长均为正整数.由勾 股定理可得a2+b2=c2,则有c2一b2=202,即(c+b)(c b)=400,下面分4种情况讨论： c+b=40, ①/ c-b=10, 解得c=25,b=15. a<b,∴.b=15(舍去) (9分) ②/+h=100, \c-b=4, 解得c=52,b=48. 所需花为4×120=480（株）. (10分) ③/+b=20, \c-b=2, 解得c=101,b=99, 所需花为4×220=880（株）. (11分) c十b=50, ④ c-b=8, 解得c=29,b=21. 所需花为4×70=280（株）. (12分) 答：这块绿地最少需要种植280株花. (13分) 评分说明：若有其他解法，酌情给分 3.新定义+尺规作图+矩形的性质+全等三角形的判定和性 质+反比例函数的图象和性质+勾股定理+相似三角形的判 定与性质 解：(1)由中外比的定义可得M=MP MPPN' 即MP2=MN·PN. 设PN长为x,则PM=MN-PN=2-x, (2分) .(2-x)2=2x, 解这个方程得x=3-√5，x=3十5（舍去）. .PN长为3-√5 (4分) (2)评分说明：线段AB上有两个中外比点，作出其中一个即可. 如图，点C为所求 (8分) 评分说明：线段AB上有两个中外比点，作出其中一个即可. 【解题过程】如图，作线段AB的垂直线平分DE,交AB于 点D,过点B作BF⊥AB,取BF=BD,连接AF,取FG= BF,在线段AB上取AC=AG,点C即为所求. 证明：设BD=x,根据题意得AD=BD=BF=FG=x,AB 2x. ∴.AF=√AB2+BF2=√(2x2)+x2=√5x. .AC=AG=5x-x=(5-1)x. .BC=AB-AC=2x-(W5-1)x=(3-√5)x. AB=2x一=5+1 AC(W5-1)x2 瓷55士.是C点C为线段AB的 BC(3-5)x2 中外比点. (3)证法一：①[第1步，当∠OED=90°，DE=OE时，设 E(m,n),证明△COE≌△BED,用m,n表示出点B,A,D的 坐标] 当∠OED=90°，DE=OE时，点D,E,F分别为AB,BC,OB 的中外比点，证明如下： 设点E的坐标为(m,n),则OC=n,CE=m, △ODE是等腰直角三角形， I∠OCE=∠EBD, 根据∠CEO=∠BDE, OE=DE, .△COE≌△BED. .'.BD=m,BE=n,m<n. ..B(m+n,n),A(m+n,0),D(m+n,n-m). [第2步，由点E,D在反比例函数图象上，得到关于m,n的比例 式，结合新定义可证明点E,D分别是BC,AB的中外比，点] 又：点E,D在反比例函数y=的图象上， x .k=m=(n十m)(n-m), 整理得，”十m-”或m=” mn-m m 又器-"器-品-品” 器品0 即证得点E,D分别是BC,AB的中外比点. [第3步，作FHLA0,设F(,四）>0).利用相似三角形 的判定和性质求F的坐标，从而证明点F为OB的中外比，点] 过点F作FHLA0于H,如图1，设点F(,四）e>0). 0 o H A ∠BAO=∠FHO=90. ∴.AB∥FH. ∴∠ABO=∠HFO. ∴.△HFOp△ABO. 腮盟 mn 即 t nm十n .t2=m2+mn. 又，mm=n2-m2, .t2=m2+mn=n2. .∴.t=n. ∴.F(n,m) 8器8器- 器器 即证得点F是OB的中外比点. (11分) [第4步，当∠ODE=90°，OD=ED时，同理可证] ②当∠ODE=90°，OD=ED时，点D,E,F分别为AB,BC, OB的中外比点，同理可证. (14分) 证法二： ①[第1步，当∠OED=90°，OE=ED时，证E是BC的中外 比，点，设EC=a,BE=b.利用全等三角形的判定和性质及 点D,E在反比例函数y=的图象上得出结论] 当∠OED=90°，OE=ED时，点D,E,F分别为AB,BC,OB 的中外比点. 先证点E是BC的中外比点如下： 如图，设EC=a,BE=b. 由矩形OABC,△ODE是等腰直角三角形， 可得∠OCB=∠ABC=90°， .∠3+∠2=90°，∠1+∠2=180°-90°=90° ∠1=∠3. 又.EO=DE,∴.△ECO≌△DBE .'.EC=DB=a,CO=BE=6. .b>a且DA=b-a. “点D,E在反比例函数y冬的图象上， .CO·EC=OA·DA, ab=(b+a)(b-a)=b2-a2. 两边同时除以。得名-（侣）-1， 第得会-6士或名-1（合去》。 a 2 器 2 又罷--台+1 2+1=5+1, √5+1 2 佛器 ∴E是BC的中外比点 [第2步，证D是AB的中外比，点，设b=(W5十1)n,a=2n,列 比例式化简后得出结论] 再证点D是AB的中外比点如下： …AB=b5+1 BD a 2 可设b=(W5+1)n,a=2m. 又0.2.5+a-2 2n =5+1 21 品0 D是AB的中外比点. [第3步，证F是OB的中外比，点，作FH⊥AO,利用相似三 角形的判定和性质得出结论] 最后证F是OB的中外比点如下： 过点F作FH⊥AO于点H,如图. .∠BAO=∠FHO=90°. ..AB//FH .△ABO△HFO. /OB2 AOF SAAM S△ABO_AB SAHFO TS△ADO AD 》-品产。 b (5+1)m_(5+1)2 (5+1)n-2n 4 漂- 2 可设OB=(W5+1)m,OF=2m得BF=(5-1)m, 2m-5+1 旺二5-1m2 器邵 ∴F是OB的中外比点. (11分) [第4步，当∠ODE=90°，OD=ED时，同理可证] ②当∠ODE=90°，OD=ED时，点D,E,F分别是AB,BC, OB的中外比点，同理可证 (14分) y 6 29 1 D H 评分说明：1.当∠OED=90°，DE=OE时，点D,E,F分别为 AB,BC,OB的中外比点并写出正确的证明过程，给3分. 2.当∠ODE=90°，OD=ED时，点D,E,F分别是AB,BC, OB的中外比点并写出正确的证明过程，给3分， 3.若有其他证明方法且解答过程正确，给分点可参考本评分 点给分