专题06 函数基础与一次函数、反比例函数（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“函数基础与一次函数、反比例函数”专题，覆盖函数基本性质、一次函数含参问题、反比例函数几何综合等中考核心考点，通过“考点梳理-题型突破-真题训练”三阶教学流程，帮助学生构建知识网络，突破数形结合、参数探究等难点。 亮点在于“情境化问题驱动”和“分层能力培养”，如结合体能测试、净化器净化等生活化案例分析函数关系，培养学生数学眼光与模型意识。设置“基础过关-综合应用-创新拓展”三级练习，配合k的几何意义专题微课，强化推理能力，教师可通过命题预测精准把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力。

专题06 函数基础与一次函数、反比例函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数与一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：函数基本性质 题型二：一次函数含参问题 必备知识 知识1 一次函数 命题预测 考点二 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：反比例函数与几何综合 题型二：反比例函数基本性质 必备知识 知识1 反比例函数 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现新情境、生活化、动态化特点，以图像、表格、实际问题为载体，突出对数形结合、运算求解、模型构建的考查，渗透应用意识与函数思想。 命题内容： 1）一次函数：侧重函数图象与性质应用，常与方程、不等式、几何图形结合，实际应用建模、图象交点分析、参数范围探究为核心考点。 2）反比例函数：侧重数形结合与几何转化，常与面积、特殊图形、一次函数综合，k 的几何意义、双曲线性质、函数综合计算为创新考法。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 函数基本性质 T25：求自变量的值或函数值；从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T25：求自变量的值或函数值；从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T25：从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T8：函数图象识别 一次函数含参问题 T21：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；求一次函数自变量或函数值 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；求一次函数自变量或函数值 T23：一次函数平移；一次函数与一元一次不等式 反比例函数 T8：反比例函数与几何综合；已知比例系数求特殊图形的面积 T12：求反比例函数值 T12：求反比例函数解析式；反比例函数值求自变量 T12：反比例函数图象性质 T12：反比例函数解析式 命题预测 1. 考情预测 · 一次函数： · 核心考点：侧重基础性质与实际应用综合考查，题型覆盖选择、填空、解答题。 · 反比例函数： · 综合趋势：侧重图象性质与几何融合考查，难度分层明显。 2. 备考建议 · 夯实基础：命题以图象分析、参数探究、方案问题为主，常与一元一次方程、不等式、几何图形结合；注重数形结合思想，强化读图识图、建模运算与分类讨论能力，实际情境应用题、动态图象问题为高频考查方向。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：反比例函数重点围绕k的几何意义、增减性、对称特征命题，常与一次函数、特殊三角形、四边形、面积计算综合设问；弱化复杂计算，强化几何直观、转化思想与逻辑推理，函数交点问题、反比例几何综合探究为中考高频创新题型。。 考点一 函数与一次函数 题型一 函数基本性质 1）描点法画图，注意题干是要求画出曲线图象还是只描点。 1．(25-26九下·北京平谷区·一模)为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2)见解析 (3)② (4)8 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，且已知时的路程，所以先求出乙的匀速速度，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）解：的图象如下； （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学跑了，跑了， 则匀速速度， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为8分． 2．(25-26九下·北京一零一教育集团区·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 【答案】(1)见解析 (2)，，，． 【分析】本题主要考查对实验数据的分析、函数图像的绘制，以及利用数据解决实际问题的能力． （1）描点绘制出大致函数图； （2）①观察表格和图象，找出两种净化器降低的浓度相同和的交点；从2到4时，设为一次函数，可得当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间；②依据表格分别求出两种方案剩余浓度． 【详解】（1）解：如图 （2）解：①观察表格和图象，当净化时间约为2.2小时，两种净化器降低的浓度相同； 由图可知∶ 从2到4时，可近似为一次函数，设解析式为． 当时，；时，，则 解得 当时， ，解得． 则当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为小时 故答案为∶，． ②第6小时两种方案的剩余浓度 方案甲∶全程使用净化器A，第6小时降低的浓度毫克/立方米， 初始浓度为毫克/立方米， 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 方案乙∶先使用净化器B至第2小时，毫克/立方米； 再使用净化器A从第2小时到第6小时，净化器A在这4小时降低的浓度为（毫克/立方米） 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 故答案为∶，． 3．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 5 6 8 11 13 16 19 20 22 时的值 0 19 24 27 m 32 34 36 37 38 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为___________时，的值首次超过30； (2)写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线： (3)完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．甲、乙、丙、丁四位同学也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆32个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，甲同学最早在完成理论学习后的第___________日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定：在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数少于20将被淘汰．乙、丙、丁三位新学员分别接受为期2日、1日、0日的记忆强化训练，根据上述函数关系，3日后胜出的是___________． 【答案】(1)7 (2)；见解析； (3)①7；②丙同学； 【分析】（1）找图象上y的值首次超过30时的x值； （2）根据时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变，列出不等式组，解不等式组即可；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日每分钟至少记忆32个数字的只有与，再分别求出和时，单日每分钟至少记忆32个数字需要的天数，然后比较即得甲同学最早在完成理论学习后的第7日可获得“记忆达人”证书； ②分强化训练日，日，日，求出对应的3日内的记忆数字总数与20比较即可． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为7时，y的值首次超过30； （2）解：∵时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变， ∴， 解得； 画出时的曲线： （3）解：①单日每分钟至少记忆32个数字的只有与， ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达32个数字， ∴； ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达32个数字， ∴； ∵， ∴甲同学最早在完成理论学习后的第7日可获得“记忆达人”证书； ②当记忆强化训练日时，3日内的测试时间日，3日内记忆数字个数分别是5，6，8， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时，3日内的测试时间日，根据函数图象可得，2日内记忆数字个数分别约是12，18， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时，3日内的测试时间日，1日内记忆数字个数是19， ∴记忆数字共有； ∴在这3日中丙同学胜出． 题型二 一次函数含参问题 求斜率取值范围：找到直线恒过点，旋转直线找两条直线相交的临界； 求常数项取值范围：画出已知直线之后上下平移找临界。 1．(25-26九下·北京平谷区·一模)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意，可知当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象，结合图像得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 2．(25-26九下·北京大兴区第七中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)m的取值范围是． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直线平行，且经过点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， 在同一坐标系中画出，的图象如下 当时，， 若经过，则， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得． 3．(25-26九下·北京第二十中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)函数的表达式为，点的坐标为 (2)的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可，由时，得出点的坐标； （2）由题干条件，分别求出满足情况下的的取值范围，取公共部分，即可得出结果． 【详解】（1）解：将点、代入， 得，解得， ∴该函数的表达式为， 过点且平行于轴的直线为直线， 当时，得， ∴点， 故函数的表达式为，点的坐标为． （2）解：由题意得， 所以：， 当时，， 又∵， ∴，不等式组无解， 当时，， 又∵， ∴，解得， 又∵，结合，解得， ∴结合，得，解得， 综上所述，的取值范围为． 4．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可； （2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线， 得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入直线， 得： 解得：； （2）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 线段的长为 ， 当时，线段的长恒大于1， 在时恒成立， ∴当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最小值在， 则当时， 解得， ∴； 当时，，恒成立， 当时，随n的增大而减小，最小值在， 则当时， 解得， ∴， ∴k的取值范围为； 当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最大值在， 则当时， 解得，无解； 当时，，不成立，无解； 当时，随n的增大而减小，最大值在， 则当时， 解得，无解； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析． 知识1 一次函数 1.基本概念  正比例函数：y=kx (k=0)，过原点  一次函数：y=kx+b (k=0)；b=0 时，为正比例函数 2.图象性质 1 图象：一条直线 2 k 决定增减性：k>0：图象上升，y 随 x 增大而增大；k<0：图象下降，y 随 x 增大而减小 3 b 决定与 y 轴交点：(0, b) 4 经过象限规律 a) k>0,b>0：一、二、三 b) k>0,b<0：一、三、四 c) k<0,b>0：一、二、四 d) k<0,b<0：二、三、四 3. 常用考点 1 求解析式：待定系数法（两点代入列方程组） 2 与坐标轴交点：与y轴：x=0；与x轴：y=0 3 两直线位置关系：K相等⇒ 平行 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出水所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为_________L； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为_________s（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为_________mm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)①见解析②③ 【分析】本题主要考查了正比例函数、函数关系探究以及函数图象的绘制． （1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系，设（），代入一组数据时，，即可解答； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象；②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为的水龙头放出水所用的时间；③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：因为同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系，故设（）， 当时，，将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 2．(25-26九下·北京师达中学·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为20毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下： （小时） 0 1 2 4 6 8 10 0 0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为_____小时时，两种净化器降低的浓度相同（结果保留小数点后一位）； 当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器所需时间约为_____小时（结果保留小数点后一位）； ②假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，现先使用净化器净化小时，然后停止，改用净化器继续净化至第6小时．请结合以上资料判断：约为_____时，对的净化效果最好，此时的剩余浓度为_____（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②2，． 【分析】本题主要考查对实验数据的分析、函数图像的绘制，以及利用数据解决实际问题的能力． （1）描点绘制出大致函数图； （2）①观察表格和图象，找出两种净化器降低的浓度相同和的交点；从2到4时，设为一次函数，可得当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间；②依据表格分别求出两种方案剩余浓度． 【详解】（1）解：如图 （2）解：①观察表格和图象，当净化时间约为小时，两种净化器降低的浓度相同； 由图可知∶ 从2到4时，可近似为一次函数，设解析式为． 当时，；时，，则 ， 解得 当时， ， 解得． 则当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为小时 故答案为∶，； ②由图可知，先使用净化器B至第2小时，毫克/立方米； 再使用净化器A从第2小时到第6小时，净化器A在这4小时降低的浓度为（毫克/立方米） 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 故答案为∶2，． 3．(25-26九下·北京清华大学附属中学·零模)某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． (2)①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． (3)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②18 (3)①60；②20；80 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【详解】（1）解：描点并连线为： （2）解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． （3）解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 4．(2025九下·北京中考模拟)鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 【答案】(1)； (2)画图象见解析； (3)； 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，从函数图象中获取信息，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据表格数据与为正比例函数关系，求得，然后将代入即可求解； （）通过函数图象方法即可求解； （）根据表格数据和函数图象观察即可得解； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天，则，分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为，然后相减即可． 【详解】（1）解：通过分析数据可得，与为正比例函数关系， 设， 将代入可得， 解得， ∴， 将代入可得， 故答案为：； （2）解：画出图象如图， （3）解：根据图象可知当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为天， 故答案为：； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天， ∴， 分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为， ∴， 故答案为：． 5．(2025九下·北京中考模拟)在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该函数的解析式为，点； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）把代入，得，把点代入，得，解得，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：把代入，得， ∴把点代入，得， 解得， ∴， 如图， 当时，函数的值大于的值， ∴的取值范围为． 6．(24-25九下·北京三帆中学·三模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴直线与直线都经过点， 当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 7．(25-26九下·北京八一教育集团·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数经过， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为． 8．(25-26九上·北京通州区潞河中学·月考)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及解不等式组，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解； （2）根据题意得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴函数的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴且， ∵， ∴且， ∴． 9．(25-26九下·北京三帆中学·零模)已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得时，的值，再根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 把代入， 可得， 解得； （2）解：由（1）可得直线解析式为，反比例函数解析式为， 如图，根据题意可得 ， 根据，可得， ， 根据，可得， ， ， 当时，解得，，，（舍）， 根据图象可得若时，或． 10．(25-26九下·北京汇文中学·模拟)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 考点二 反比例函数 题型一 反比例函数与几何综合 1．(2026九下·北京平谷区·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】确定交点坐标，得到对应线段长及面积即可判断①②；利用对称性可知当的解析式为时，的长度最大，再求出坐标即可判断③④． 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 2．(25-26九下·北京第六十五中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】运用即可证明，即可判断①，进一步证得，再结合等边对等角，则，可证得四边形是平行四边形，即可判断②；先证明四边形是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是4，故矩形的面积是2，因为反比例函数的图象过点A，则，即可判断④；若点C是的中点，则为等边三角形，由于无法求得，即可判断③． 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故②正确； ∴，， 延长交y轴于一点E，过点D作轴，如图： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 故④正确； 若点C是的中点，则， 由于，则为等边三角形， ∵无法求得， ∴故③错误． 综上所述，正确的有①②④． 故选：D． 3．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论： ①与的面积一定相等； ②可能是等边三角形； ③若点M是边的中点，则点N一定为的中点； ④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据四边形是矩形，得出，根据值的几何意义得出，则与的面积一定相等，故①正确；根据等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，得出当且对称轴都为直线可能是等边三角形，故②正确；根据点是中点，得出，则，结合，和矩形的性质得出，即点一定为的中点，故③正确；设点坐标为，则点，表示出，即可得④不正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线可能是等边三角形，故②正确； 是中点， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即点一定为的中点，故③正确； 设点坐标为， 则点， ， ∴，故④不正确． 题型二 反比例函数基本性质 反比例函数关于原点、y=x对称 1．(2026九下·北京平谷区·一模)已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 2．(25-26九下·北京十一学校·月考)已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数中的符号，判断函数图象的分布与同一象限内的增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可. 【详解】解：已知反比例函数为 根据反比例函数的性质可得， 当时，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 因为点，的横坐标都小于， 所以两点都在第三象限的反比例函数图象上. 因为 ， 所以． 3．(25-26九·北京景山学校·零模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得，再根据点在图象上求出和，进而比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 点，都在该图象上， ，， ，， ， ， 又， ， 则． 4．(25-26九下·北京·调研)平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于m和n的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：把点代入得，； 把点代入得， ∴， 故答案为：． 知识1 解一元一次方程 1.解析式三种形式 2. 图象与性质 · 图象：双曲线，两支分开，不过坐标轴 · k>0：一、三象限，每个象限内，y 随 x 增大而减小 · k<0：二、四象限，每个象限内，y 随 x 增大而增大 · 对称性 · 中心对称：关于原点对称 · 轴对称：关于直线对称 3. 核心必考：k 的几何意义 设双曲线上任一点 P(x,y) ①向坐标轴作垂线，围成矩形面积：S=∣k∣ ②围成直角三角形面积： 1．(2026九下·北京三帆中学·零模)已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 2．(25-26九·北京第八中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据反比例函数值的几何意义可得，根据矩形的性质得出，则；当是的中点时，，根据，得出，根据矩形的性质得出，即可得出；根据点坐标为，得出点，，表示出，即可得出；若为等边三角形，则，令，得出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∵四边形为矩形， ， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， 即点是边的中点时，点一定为的中点，故②符合题意； ∵点坐标为， 则点，， ∴， ∴，即，故③不符合题意； 若为等边三角形，则， 令，得，解得， 此时，， 此时都与重合，不符合题意，故不存在等边三角形，故④正确． 3．(25-26九下·北京师达中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上运动，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，点是射线上一点，连接，，．若，给出四个结论： ①四边形是平行四边形； ②的面积与的面积不可能相等； ③； ④当时，．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】结合题意推出，设点，则点，，可推得，可证四边形是平行四边形；由，，可得当时，的面积与的面积相等；结合平行四边形的性质，利用边角边可证；当时，即点与点重合时，，结合点坐标可求出． 【详解】解：依题得：轴，轴， ， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， 设点，则点，， ， 四边形是平行四边形，即结论①正确； ， ，， 当时，的面积与的面积相等，即结论②错误； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，即结论③正确； 当时，即点与点重合时，， 即， 解得，经检验，是分式方程的解， 即，结论④错误． 综上所述，正确结论的序号是①③，选项符合题意． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数与几何综合、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分式方程的实际应用，解题关键是综合运用反比例函数的性质解题． 4．(2026九下·北京八一教育集团·零模)若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的符号为负． 5．(2026九下·北京八一教育集团·零模)如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．③④ B．①② C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，得到；证明四边形是矩形，得出，结合，即可判断②是否正确；利用三角形面积公式得出，即可判断④是否正确；连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，即可判断①是否正确；当时，可能是等腰直角三角形，即可判断③正确． 【详解】解：分别是反比例的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵轴于点A，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， ∵轴于点A，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ∵， 无法判定， 不一定成立， ，故结论②不正确； ， ，， ∵， ， ， ， 即，故结论④正确； 连接，如图所示： 四边形是矩形， ， ∵， 在和中， ，， ， ， ， 即， ∵轴于点A，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ，故结论①正确， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 当时，∴， ∴可能是等腰直角三角形，故结论③正确； 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 6．(2026九下·北京一零一教育集团·零模)如图，点在函数图象上，过点作轴于点，交函数图象于点，连接和，如果的面积为2，那么___________． 【答案】2 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点M在函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴． 7．(25-26九上·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴ ，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．(2026九下·北京人大附·零模)在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 9．(2025·北京中考模拟)在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，根据反比例函数的图像和正比例函数的图像均关于原点对称，进而得到点和关于原点对称，求出的值，进而求出的值，进行求解即可． 【详解】解：∵直线 与反比例函数 的图像均关于原点对称， ∴两个图像的交点也关于原点对称，即点和关于原点对称， ∴， ∴，， 把分别代入和中，得， ∴， ∴； 故答案为：． 10．(25-26九·北京中国人民大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴，即 解得 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数基础与一次函数、反比例函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数与一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：函数基本性质 题型二：一次函数含参问题 必备知识 知识1 一次函数 命题预测 考点二 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：反比例函数与几何综合 题型二：反比例函数基本性质 必备知识 知识1 反比例函数 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现新情境、生活化、动态化特点，以图像、表格、实际问题为载体，突出对数形结合、运算求解、模型构建的考查，渗透应用意识与函数思想。 命题内容： 1）一次函数：侧重函数图象与性质应用，常与方程、不等式、几何图形结合，实际应用建模、图象交点分析、参数范围探究为核心考点。 2）反比例函数：侧重数形结合与几何转化，常与面积、特殊图形、一次函数综合，k 的几何意义、双曲线性质、函数综合计算为创新考法。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 函数基本性质 T25：求自变量的值或函数值；从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T25：求自变量的值或函数值；从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T25：从函数图象获取信息；用描点法画函数图象 T8：函数图象识别 一次函数含参问题 T21：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；求一次函数自变量或函数值 T22：求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；求一次函数自变量或函数值 T23：一次函数平移；一次函数与一元一次不等式 反比例函数 T8：反比例函数与几何综合；已知比例系数求特殊图形的面积 T12：求反比例函数值 T12：求反比例函数解析式；反比例函数值求自变量 T12：反比例函数图象性质 T12：反比例函数解析式 命题预测 1. 考情预测 · 一次函数： · 核心考点：侧重基础性质与实际应用综合考查，题型覆盖选择、填空、解答题。 · 反比例函数： · 综合趋势：侧重图象性质与几何融合考查，难度分层明显。 2. 备考建议 · 夯实基础：命题以图象分析、参数探究、方案问题为主，常与一元一次方程、不等式、几何图形结合；注重数形结合思想，强化读图识图、建模运算与分类讨论能力，实际情境应用题、动态图象问题为高频考查方向。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：反比例函数重点围绕k的几何意义、增减性、对称特征命题，常与一次函数、特殊三角形、四边形、面积计算综合设问；弱化复杂计算，强化几何直观、转化思想与逻辑推理，函数交点问题、反比例几何综合探究为中考高频创新题型。。 考点一 函数与一次函数 题型一 函数基本性质 1）描点法画图，注意题干是要求画出曲线图象还是只描点。 1．(25-26九下·北京平谷区·一模)为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 2．(25-26九下·北京一零一教育集团区·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 3．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 5 6 8 11 13 16 19 20 22 时的值 0 19 24 27 m 32 34 36 37 38 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为___________时，的值首次超过30； (2)写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线： (3)完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．甲、乙、丙、丁四位同学也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆32个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，甲同学最早在完成理论学习后的第___________日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定：在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数少于20将被淘汰．乙、丙、丁三位新学员分别接受为期2日、1日、0日的记忆强化训练，根据上述函数关系，3日后胜出的是___________． 题型二 一次函数含参问题 求斜率取值范围：找到直线恒过点，旋转直线找两条直线相交的临界； 求常数项取值范围：画出已知直线之后上下平移找临界。 1．(25-26九下·北京平谷区·一模)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 2．(25-26九下·北京大兴区第七中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 3．(25-26九下·北京第二十中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 4．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 知识1 一次函数 1.基本概念  正比例函数：y=kx (k=0)，过原点  一次函数：y=kx+b (k=0)；b=0 时，为正比例函数 2.图象性质 1 图象：一条直线 2 k 决定增减性：k>0：图象上升，y 随 x 增大而增大；k<0：图象下降，y 随 x 增大而减小 3 b 决定与 y 轴交点：(0, b) 4 经过象限规律 a) k>0,b>0：一、二、三 b) k>0,b<0：一、三、四 c) k<0,b>0：一、二、四 d) k<0,b<0：二、三、四 3. 常用考点 1 求解析式：待定系数法（两点代入列方程组） 2 与坐标轴交点：与y轴：x=0；与x轴：y=0 3 两直线位置关系：K相等⇒ 平行 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出水所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为_________L； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为_________s（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为_________mm（结果保留小数点后一位）． 2．(25-26九下·北京师达中学·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为20毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下： （小时） 0 1 2 4 6 8 10 0 0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为_____小时时，两种净化器降低的浓度相同（结果保留小数点后一位）； 当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器所需时间约为_____小时（结果保留小数点后一位）； ②假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，现先使用净化器净化小时，然后停止，改用净化器继续净化至第6小时．请结合以上资料判断：约为_____时，对的净化效果最好，此时的剩余浓度为_____（结果保留小数点后一位）． 3．(25-26九下·北京清华大学附属中学·零模)某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． (2)①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． (3)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 4．(2025九下·北京中考模拟)鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 5．(2025九下·北京中考模拟)在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 6．(24-25九下·北京三帆中学·三模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 7．(25-26九下·北京八一教育集团·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 8．(25-26九上·北京通州区潞河中学·月考)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 9．(25-26九下·北京三帆中学·零模)已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 10．(25-26九下·北京汇文中学·模拟)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 考点二 反比例函数 题型一 反比例函数与几何综合 1．(2026九下·北京平谷区·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．(25-26九下·北京第六十五中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 3．(25-26九下·北京第四中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论： ①与的面积一定相等； ②可能是等边三角形； ③若点M是边的中点，则点N一定为的中点； ④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 反比例函数基本性质 反比例函数关于原点、y=x对称 1．(2026九下·北京平谷区·一模)已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 2．(25-26九下·北京十一学校·月考)已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 3．(25-26九·北京景山学校·零模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 4．(25-26九下·北京·调研)平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 知识1 解一元一次方程 1.解析式三种形式 2. 图象与性质 · 图象：双曲线，两支分开，不过坐标轴 · k>0：一、三象限，每个象限内，y 随 x 增大而减小 · k<0：二、四象限，每个象限内，y 随 x 增大而增大 · 对称性 · 中心对称：关于原点对称 · 轴对称：关于直线对称 3. 核心必考：k 的几何意义 设双曲线上任一点 P(x,y) ①向坐标轴作垂线，围成矩形面积：S=∣k∣ ②围成直角三角形面积： 1．(2026九下·北京三帆中学·零模)已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．(25-26九·北京第八中学·零模)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，存在点使得； ④的形状不可能为等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 3．(25-26九下·北京师达中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上运动，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，点是射线上一点，连接，，．若，给出四个结论： ①四边形是平行四边形； ②的面积与的面积不可能相等； ③； ④当时，．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．(2026九下·北京八一教育集团·零模)若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 5．(2026九下·北京八一教育集团·零模)如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．③④ B．①② C．②③ D．①③④ 6．(2026九下·北京一零一教育集团·零模)如图，点在函数图象上，过点作轴于点，交函数图象于点，连接和，如果的面积为2，那么___________． 7．(25-26九上·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 8．(2026九下·北京人大附·零模)在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是______． 9．(2025·北京中考模拟)在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为________． 10．(25-26九·北京中国人民大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $