专题06 函数综合（5大考点）（广西专用） 2026年中考数学一模分类汇编

专题06函数综合平面直角坐标系及应用 考点01 1. D 2. C 3. B 4. A 函数图像 考点02 1．C 2．D 一次函数 考点03 1．C 2． （1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 3． （1）解：描点画图如下： 观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设与之间的关系为，把代入得： ，解得：， ∴与之间的关系为； （2）解：由题，把代入， 可得 解得， ， 验证：当时，，与表格数据一致； （3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车， 此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离）， 由， 可得， 整理得， 对于二次函数， 其最大值在时取得 把代入，得， ∴的最大值是． 4．(1)A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元 (2)购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元 5.(1)，，(2)安全初始距离的最小值是 （3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾。 6.(1) （2)①，；②或 7.(1) (2)售价应定为元 (3)销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 二次函数 考点04 1．A 2．（或） 3．(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 4．(1)（答案不唯一） （2）①得 ② ③的值为或 5．(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇。 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米。 反比例函数 考点05 1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7． 8．(1) (2)2 (3) 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06函数综合 5大考点概览 考点01平面直角坐标系及应用 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 平面直角坐标系及应用 考点01 1．（2026·广西柳州·一模）若点在平面直角坐标系中的第二象限，则关于a，b符号，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第二象限点的坐标符号规律可判断结果． 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 又∵ 点在第二象限，是点的横坐标，是点的纵坐标， ∴ ． 2．（2026·广西南宁·一模）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由开口向上，可得，由抛物线与y轴交于负半轴，可得，又由对称轴在y轴右侧，即可得a，b异号，继而求得答案． 【详解】解：∵开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∴， ∴点在第三象限． 3．（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 4．（2026·广西南宁·一模）在学习了平面直角坐标系的知识后，小红同学将广西地图中的南宁、北海、百色、贺州、防城港这五座城市所表示的点放置在如图所示的方格纸中，然后以南宁为原点建立平面直角坐标系，则点所表示的城市为（   ） A．北海 B．百色 C．贺州 D．防城港 【答案】A 【分析】先明确平面直角坐标系中点的坐标表示规则，再分析各城市坐标，确定点对应的城市． 【详解】以南宁为原点，观察方格纸中各城市的位置： 百色位于原点左侧2个单位、上方1个单位，其坐标为； 贺州位于原点右侧4个单位、上方3个单位，其坐标为； 防城港位于原点下方2个单位，其坐标为； 北海位于原点右侧2个单位、下方3个单位，其坐标为， ∴点所表示的城市为北海． 函数图像 考点02 1．（2026·广西南宁·一模）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（   ） A．0时 B．4时 C．14时 D．24时 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时． 2．（2026·广西南宁·一模）在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 【答案】D 【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可． 【详解】解：A项：由图象可知，随着物距u的增大，纵坐标L先减小后增大，故A说法正确； B项：由图象可知，当时，， ∵， ∴，故B说法正确； C项：当时，，则， 当时，， ∴物距从增大到，像距减小，故C说法正确； D项：由图象可知，当时，对应的物距u的范围是或，故D说法错误， ∴说法错误的是D． 一次函数 考点03 1．（2026·广西南宁·一模）一次函数的图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入解析式，得到关于k的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 解得． 2．（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】(1)①，②，顶点坐标为 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 3．（2026·广西柳州·一模）综合与实践 跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【模型一】根据表格中和的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用________函数表示（选填：一次、二次、反比例）．利用表中数据可以求出这个函数的解析式为________（不需要写出自变量的取值范围）． (2)【模型二】根据猜想、探究得知与满足，请根据表格中的数据求出与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围），并从表格中再选取一组数据进行验证． (3)【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上点时，点前方点处有一辆电动实验小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】(1)图见解析，一次，； (2)，验证见解析； (3)． 【分析】（1）利用描点法画图，根据题意可知与的关系符合一次函数特征，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出，进而即可求解． 【详解】（1）解：描点画图如下： 观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设与之间的关系为，把代入得： ，解得：， ∴与之间的关系为； （2）解：由题，把代入， 可得 解得， ， 验证：当时，，与表格数据一致； （3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车， 此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离）， 由， 可得， 整理得， 对于二次函数， 其最大值在时取得 把代入，得， ∴的最大值是． 4．（2026·广西柳州·一模）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． (1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元 (2)购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元 【分析】（1）设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元，再根据题意建立方程组求解即可； （2）设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元，列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元． 根据题意，得， 解得， 答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元； （2）解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元． 根据题意，得， 随的增大而增大， ∴当时，， 答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 5．（2026·广西桂林·一模）【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下： 时间 速度 路程 【问题探究】 (1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值； (3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因． 【答案】(1)，，； (2)安全初始距离的最小值是； (3)见解析． 【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式，再求出时的、的值即可得出车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （2）目标障碍物测试车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值； （3）由于雨天，使得地面摩擦力减小（答案不唯一） 【详解】（1）解：设， 将，；，代入， 得， 解得， 速度关于时间的一次函数为； 设， 将，；，；，代入， 得， 解得， 路程关于时间的二次函数为， 当时，，即， 此时， 车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为． （2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足， ， ， ， 当时，有最大值， 最小为时才安全， 安全初始距离的最小值是． （3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾． 6．（2026·广西钦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①，；②或 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 7．（2026·广西南宁·一模）某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； (2)超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为元． (3)销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为，从已知条件可以列出关于，的二元一次方程组，进而求出，； （2）设售价应定为元，根据题意可得，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元．根据题意可得，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为． 因为函数图象经过点，，可得 解得 所以与之间的函数关系式为． （2）解：设售价应定为元．根据题意，可得 ． 解得（舍去），． 所以，售价应定为元． （3）解：设最大利润为元．根据题意，可得 ． 变形，得． 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值为． 所以销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 二次函数 考点04 1．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线．由待定系数法可求抛物线解析式，可得点坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点时，有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接， 抛物线与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线解析式为：， 抛物线过原点与点， 对称轴为， 当时，． 顶点， 与轴相切， 的半径为4， 点为的中点， ， 最大时，有最大值， 当过点时，有最大值， 的最大值为， 的最大值为， 故选：A． 2．（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 【答案】（或） 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式得： ． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线向左平移个单位，自变量加，再向下平移个单位，整体减，可得： ． 整理得：． 化为一般式得． 3．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：。 (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 4．（2026·广西南宁·一模）在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一．当两个二次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义．它为我们剖析二次函数间的联系搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻辑关联． (1)已知二次函数，请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数； (2)已知二次函数和，若与为“同轴二次函数”． ①求的函数表达式（用含的代数式表示）； ②若与直线恰好只有一个交点，求的值； ③当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) ①得 ② ③的值为或 【分析】(1) 先求已知二次函数，对称轴，再构造二次项系数与原函数符号相反且对称轴为的二次函数； (2)①先求二次函数，对称轴，再求对称轴表达式，根据“同轴”列等式求出与关系，得表达式；②联立与得方程，利用判别式求解； ③先求对称轴，分和，根据对称轴与区间时，位置关系判断单调性求最小值． 【详解】（1）解：∵二次函数，其中 ∴对称轴， ∵“同轴二次函数”需对称轴相同，开口方向不同， ∴设新函数为， 由对称轴得，，即， 取，则， 取任意值：，得（答案不唯一）； （2）解：①∵二次函数，其中， ∴对称轴， ∵，， ∴， ∵与为“同轴二次函数”， ∴对称轴， 即：， 将代入， 得； ②与直线恰好只有一个交点， 联立， 整理，得， 方程有唯一解时，判别式， ∴， 展开得：， ， 故的值为； ③的对称轴为，区间为，对称轴在区间内， 当时（开口向上）最小值在对称轴处取得， 代入得： ， ∵的最小值为， ∴，解得； 当时（开口向下）最小值在区间端点处取得， 计算端点值： 时， 时， ∵，， 故最小值为， ∵的最小值为， ∴，解得， 综上可得：当时，的最小值为，的值为或． 5．（2025·广西柳州·一模）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇。 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米。 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 反比例函数 考点05 1．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项． 【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点在函数的图象上， ∴，即， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，即点在函数图象上， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，则， 即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，， 根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵，在反比例函数中， 当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意， 综上，说法错误的是D． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出的面积，设，进而得到，，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵为线段的中点，的面积为， ∴的面积为， 设， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴D点横坐标为， 此时， 即 ∵， ∴ 解得：． 3．（2026·广西南宁·一模）《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 【答案】D 【分析】根据题意可得平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，再结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， ∴平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意； 设该函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 4．（2026·广西桂林·一模）如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，，则，根据点，在反比例函数上，推出，，，再根据求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设点，，则， ， ， 点，在反比例函数上， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 5．（2026·广西南宁·一模）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 6．（2026·广西贵港·一模）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得， 故选D． 7．（2026·广西柳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是设，用n表示出的面积． 把点分别代入和，求出b、k的值，设，用n表示出的面积，根据，求出面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：把点分别代入和得： ，解得：， ，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 点P是线段上一点，设， 把点代入可得， ， ， ，且， 当时，S有最大值，且最大值是2， 当或时，S有最小值，且最小值是， ∴S的取值范围为． 故答案为：． 8．（2026·广西南宁·一模）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作． (1)求反比例函数的解析式； (2)则菱形的边长为______； (3)求图中阴影部分的周长（结果保留）． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）代入反比例函数，解方程即得； （2）由点，用勾股定理即得求出的长，即得菱形的边长； （3）连接，根据菱形性质得，是等边三角形，，代入 计算即得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象上的点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点， ∴， ∴菱形的边长为2； （3）解：连接， ∵， ∴由轴对称知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06函数综合 ☆5大考点概览 考点01平面直角坐标系及应用 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 D 考点01 平面直角坐标系及应用 1.(2026广西柳州一模)若点P(a,b)在平面直角坐标系中的第二象限，则关于α，b符号，下列说法正确 的是() A.a>0,b>0B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a<0,b>0 2.(2026广西南宁.一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点M(ab,c)所在 的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2026广西南宁.一模)如图，已知平行四边形0ABC的顶点A为(0.4,1.2)，若将平行四边形先沿着y轴 进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循V轴、x轴、 y轴、x轴、.的规律进行，则经过第2026次变换后，平行四边形的顶点A的坐标为() 2 A.(-1.2,-0.4) B.(-0.4,-1.2)C.(-0,4,1.2)D.(0.4,-1.2) 4.(2026广西南宁.一模)在学习了平面直角坐标系的知识后，小红同学将广西地图中的南宁、北海、百色、 贺州、防城港这五座城市所表示的点放置在如图所示的方格纸中，然后以南宁为原点建立平面直角坐标系， 则点(2，一3)所表示的城市为() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 百色 贺州 南宁 0 防城港 北海 A.北海 B.百色 C.贺州 D.防城港 考点02 函数图像 1.(2026广西南宁一模)如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时 刻是() AT/℃ 4 14 24时 A.0时 B.4时 C.14时 D.24时 2.(2026广西南宁.一模)在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时 的物距、像距，算出物、像间距L(即1+v),绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）.结合图象， 下列说法错误的是() 个L(u+D) 4.5f T1.5fT2.5f1 2f 3f A.随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B.当物距为2f时，像距为2f C.物距从1.5f增大到2f,像距减小 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.当物、像间距大于4.5f时， 物距大于3f 考点03 次函数 1.（2026广西南宁.一模) 一次函数y=kx+1的图象经过点A(2,2),则k的值为() A.-2 B.-1 c.贵 D.2 2.(2026广西南宁.一模)【研究内容】二次积点函数 将一次函数y=kx+b(k≠O)图象上的任意点P(x,y)的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为 x与y的乘积，得到新的点P(x,y)·点P所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点 函数，例如：若一次函数y=2x,则其二次积点函数为y=x·2x=2x2 【特殊感知】 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,1)，(0，-2)，完成下列问题： ①求y的解析式： ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标： 【探索求证】 (②)猜想：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立， 并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数y=2x+b的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A,B,点C为(1,0)，设 △ABC外接圆的直径为d,若V5≤d≤2√5，求b的取值范围. 3.(2026广西柳州一模)综合与实践 跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究 先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用. 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t($、运 动快慢v(cm/)、运动路程y(cm)的数据。 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 v(cm/s) 3 10 8 6 →前方 2 04812162024t(s) 图1 图2 【收集整理数据】 运动时间t(S) 0 8 12 16 20 运动快慢(cm/s) 12 10 8 6 4 2 运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 (1)【模型一】根据表格中v和t的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间 的关系可以近似地用 函数表示（选填：一次、二次、反比例）.利用表中数据可以求出这个函数的 解析式为 (不需要写出自变量t的取值范围). (2)【模型二】根据猜想、探究得知y与t满足y=at2+bt(a≠0，b≠0)，请根据表格中的数据求出y与t之 间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围），并从表格中再选取一组数据进行验证， (3)【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上A点时，A点前方B点处有一辆电动实验小车以3cm/s的 速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？ 4.(2026广西柳州一模)“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众 多游人拍照打卡，某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购 A、B两种型号的紫荆花树苗.若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160 元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元. (I)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ (②)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株， 怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 5.(2026广西桂林.一模)【综合与实践】 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验.测试开始时，测试车辆A以初速度V.进入 段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 度等量减小)；与此同时，其正前方距离为dm处，目标障碍物车辆B以恒定速度V(VB<V同向匀速行驶. 为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约 束的最小初始车距.实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如下： 时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 速度 20 16 12 8 4 v/(m/s) 路程s/m 0 16 21 24 场景模拟图 【问题探究】 (I)已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式， 并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； (2)测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方dm处开始，以VB=8m/s的速度匀 速向前行驶.为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B,求安全初始距离d的最小值； (3)在(2)的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当d=12m时两车却发生了追尾事故，请结合所学知 识分析事故原因。 6.(2026广西钦州一模)如图，在平面直角坐标系中，△D0E是等腰直角三角形，∠0DE=90°， DO=DE=3,点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B(4,2),点C在x轴的正 半轴上，点A在y轴的正半轴上.将△D0E沿x轴向右平移，得到△DOE. M NB D'O D 图1 图2 (I)如图1，当E0经过点A时，求直线0'A的函数解析式； (2)设00=t,△D0E与矩形ABC0重叠部分的面积为S. ①如图2，当△DOE与矩形ABC0重叠部分为五边形时，DE'与AB相交于点M,EO分别与AB,BC交 于点N,P,求重叠部分面积S(用含有t的式子表示)，并直接写出t的取值范围； 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②△D0E从初始位置起向右平移的过程中，当S=时，直接写出t的值. 7.(2026广西南宁.一模)某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进 价且不高于70元，经过市场调研发现，日销量y(千克)与售价x(元)满足如图所示的一次函数关系.。 y(千克) 160 120 5060 x(元) (I)根据上述信息，直接写出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）： (2)超市要想获得每天1600元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 考点04 二次函数 1.(2026广西柳州一模)如图，己知在平面直角坐标系x0y中，O为坐标原点，抛物线 y=一品x2+bx与x轴的一个交点为A(-8,0),点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为 ⊙C上一动点.若点D为PA的中点，连接OD,则OD的最大值是() A.号 B.5 c.9 D.8 2.(2026广西柳州一模)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x一1先向左平移2个单位，再向下 平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 3.(2026广西南宁：一模)【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识.某数学兴趣小组对双向通行隧 道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆 应避免通行 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.隧道的最高点C到地 面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米. 隧道入口 隧道 ←一限高架 侧面 涉水线处 M 一斜坡 图1 图2 D 图3 (I)【初步探究】如图2，过点M作MP⊥1，已知斜坡的坡角α=10°，求涉水线离坡底的距离MN(精确 到0.01米，sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176). (②)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式， (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在 竖直方向的空隙不小于0.3米，己知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限 高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 4.(2026广西南宁.一模)在二次函数的研究领域中，对称轴是决定函数图象特征的关键要素之一，当两个 二次函数的图象对称轴相同时，便有了“同轴二次函数”这一特殊关系定义.它为我们剖析二次函数间的联系 搭建了新的桥梁，引领我们从对称轴的相同性深入探究函数表达式，图象以及取最值等内在规律与逻辑关联 (1)已知二次函数y=2x2+4x一3，请写出一个与它是“同轴二次函数”且开口方向不同的二次函数； (2)已知二次函数y1=3x2-6x+7和y2=ax2+bx-1(a≠0)，若y1+y2与1为“同轴二次函数”. ①求y,的函数表达式（用含a的代数式表示）； ②若y2与直线y=x恰好只有一个交点，求a的值： ③当-1≤x≤2时，Y,的最小值为-3，求a的值 5.(2025·广西柳州一模)钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱 塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮.某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日天气：阴能见度：1.8千米 11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地： 12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮°，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 钱塘江观潮示意图 北 As/千米 潮头闲 甲 丙 2 钱塘江 55 t/分钟 图1 图2 图3 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(单位：千米)与时间t(单位：分钟)的函 数关系用图3表示.其中，“11：40时，甲地交叉潮的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B的坐标 为(m,0),曲线BC可用二次函数：S=t2+bt+c(b,c是常数)刻画. (I)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度. (2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后 与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而 单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后.求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离.（潮 水加速阶段的速度v=Vo+(t-30),Vo是加速前的速度) 考点05 反比例函数 1.(2026广西钦州一模)已知点(a,b)在函数y=一的图象上，下列说法错误的是(） A.当x=-1时，y=3 B.点(b,a)和(-a,-b)在此函数图象上 C.图象位于第二、第四象限 D.当x<0时，y随x的增大而减小 2.(2026广西柳州一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A为反比例函数y=(k≠0，x<0)图象 上一点，线段BC⊥0C于点C,交反比例函数y=(k≠0，x<0)图象于点D,连接0D,线段B0经过点 A,且A为线段B0的中点，若△OAD的面积为号，则k=() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.-3 C.-2 D.-1 3.(2026广西南宁.一模)《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多， 平均每人分到的数量越少.现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当 x=40时，y=15,则下列说法错误的是() A.平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B.当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C.当x=50时，平均每人分到粮食12千克 D.这批粮食总量有500千克 4.(2026广西桂林一模)如图，反比例函数y=会与矩形ABC0的边BC,AB分别交于D,E两点，连接 OE,OD,DE.若S△0DE=8,CD:OA=1:3,则k的值是() A.3 B.6 C.9 D.12 5.(2026广西南宁一模)如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两 点，若反比例函数y=奈(x>O)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是() B A.2≤k≤8B.2≤k≤9 C.5≤k≤8 D.5≤k≤9 6.(2026广西贵港一模)若点P(-1,3)在反比例函数y=奈(k≠0)的图象上，则k的值是() A.5 B.3 c.-5 D.-3 7.(2026广西柳州一模)如图，一次函数y=一x+b与反比例函数y=袁(x>0)的图象交于点 A(m,3)和B(3,1).点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,若△POD的面积 为S,则S的取值范围是 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 8.(2026广西南宁一模)广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中.“双鱼共头等图案象征多 子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰.如图，设计“鱼形图案时，先在图纸上建立平面直 角坐标系，再以反比例函数y=奈图象上的点A(N3,1)为顶点，作菱形AOCD,点D在x轴上，以点0为 圆心，OA长为半径作AC, (1)求反比例函数的解析式； (2)则菱形AOCD的边长为； (3)求图中阴影部分的周长（结果保留π）. 1/23