专题05 圆综合（5大考点）（广西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 圆综合 5大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆周角 考点03点、直线、圆与圆位置关系 考点04弧长、扇形面积、圆锥计算 考点05圆与三角形综合 垂径定理 考点01 1．（2026·广西南宁·一模）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出的长，用表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， 经过圆心O，D是的中点， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的半径为． 2．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周角定理，得到，由垂径定理得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故选：B ． 3．（2026·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 圆周角 考点02 1．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 连接，根据正六边形的性质可得 为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴ 为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 2．（2026·广西桂林·一模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，连接，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使得，且交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据过直线外一点作直线平行线的尺规作图方法作出即可； （2）结合垂径定理逆定理得，再结合可证，即是的切线； （3）先由直径所对的圆周角为直角得，再由勾股定理得，利用两角相等证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】 3．（2026·广西南宁·一模）如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)的长为5 【分析】（1）根据切线长定理得到，结合圆的特点，运用“边边边”证明即可求解； （2）如图所示，连接交于点得到是线段的垂直平分线，即，，是的中位线，则，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点， ∵， ∴是线段的垂直平分线，即，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，即的长为5． 4．（2026·广西南宁·一模）如图，是外一点，连接，以 为直径作圆与相交于、两点，连接 、、、． (1)求证：直线、是 的切线； (2)当，时，求圆心距的长（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，由切线的判定定理即可证得结论； （2）根据，先求得，进而即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径作圆与相交于A、B两点， ∴， ∴，， ∵，是的半径， ∴直线、是的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·广西南宁·一模）如图，已知为的直径，与相切于点，于点． (1)求证：平分； (2)若的直径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，结合可判定，因此．根据等腰三角形的性质可得，则，命题得证； （2）连接，容易证明，则，代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）． 6．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； (2)【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； (3)【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆的性质等： （1）①根据已知条件，容易证得，求得，结合，，即可证明结论；②过点作的垂线，交于点，可证得，求得，结合，即可证明结论； （2）过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，根据题意可证明，得到，然后证明，进而可证明，得到，结合勾股定理，即可求得答案； （3）过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接，根据已知条件容易证得，得到，进而证明，得到，求得，得到点的运动轨迹为以为直径的半圆． 【详解】（1）①因为，， 所以． 因为， 所以，，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． ②如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 因为． 所以． （2） 如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 同（1）可证得， 所以． 同（1）可证得． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． （3） 如图所示，过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接． 因为为的直径， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以点的运动轨迹为以为直径的半圆． 所以点的运动路径的长． 点、直线、圆与圆位置关系 考点03 1．（2026·广西南宁·一模）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线．由待定系数法可求抛物线解析式，可得点坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点时，有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接， 抛物线与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线解析式为：， 抛物线过原点与点， 对称轴为， 当时，． 顶点， 与轴相切， 的半径为4， 点为的中点， ， 最大时，有最大值， 当过点时，有最大值， 的最大值为， 的最大值为， 故选：A． 3．（2026·广西南宁·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由是的直径得，即可得，由得，结合得，可证，结合是的半径即可证明； （2）设的半径为，在中利用勾股定理列方程求得半径，进而得长，由是的切线得，即可得，由得，即可得，进而得，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 4．（2026·广西钦州·一模）如图，线段经过圆心O，交⊙O于点A，C，为的弦，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 5．（2026·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析 (3)或 【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形； （2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得 ②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线； （3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 关于直线对称 四边形是矩形； （2）解：①由（1）知， ∴，，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：，即； ②如图，过圆心作直线于点，交于点 ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ 在中， ∴，即为的半径 又∵ ∴是的切线； （3）解：如图所示，当时， ∴ 关于直线对称 ∴ ∵ ∴； 如图所示，当时，延长交于点， 关于直线对称 ，， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得：，即 综上所述，当点落在的三等分线上时，或． 弧长、扇形面积、圆锥计算 考点04 1．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据点为的三等分点得，，，根据得，，进而根据直角三角形三角函数值计算，进而得出，根据勾股定理计算，在中，结合三角函数值解直角三角形得，再由，计算即可． 【详解】解：如图所示，、交于点， 在扇形中，，点为的三等分点， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 故答案为：． 2．（2026·广西南宁·一模）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作． (1)求反比例函数的解析式； (2)则菱形的边长为______； (3)求图中阴影部分的周长（结果保留）． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）代入反比例函数，解方程即得； （2）由点，用勾股定理即得求出的长，即得菱形的边长； （3）连接，根据菱形性质得，是等边三角形，，代入 计算即得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象上的点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点， ∴， ∴菱形的边长为2； （3）解：连接， ∵， ∴由轴对称知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 3．（2026·广西柳州·一模）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点O对称，画出； (2)将绕点A顺时针旋转，在网格中画出旋转后对应的，并求出此过程中线段扫过的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【分析】（1）分别作出三角形关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形，再求出扫过的面积． 本题考查了求图形旋转后扫过的面积，画旋转图形，求关于原点对称的点的坐标，掌握上述知识点并能运用求解是解题关键． 【详解】（1）如图，,,关于原点对称的点分别为： ,,， 所以即为所求 （2）如图，即为所求， , ∴． 故答案为：． 圆与三角形综合 考点05 1．（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】(1)①，②，顶点坐标为 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆综合 考点01 垂径定理 1.C 2.B 3. 1)解：0A=OD,0B=0C, :.0A-0B=OD-0C, ..AB=CD. (2)证明：如图，过点O作0E⊥于点E, 0 D B A 0E⊥l, ..AE=DE,BE=CE, .AE-BE=DE-CE, ∴AB=CD (3)解：如图，连接FH,过点N作NRI FH交EF于点R,过点P作PT I FH交GH于点T, B .AB II EF,NRII FH, 四边形NRFB是平行四边形， NR=FB,∠NRM=∠BFR, 同理可得，PT=DH,∠DHT=∠PTQ, ~四边形ABCD与四边形EFGH均为菱形，O为它们的中心， ..OF=OH,OB=OD,GH I EF, FB=DH,∠PQT=∠NMR,∠DHT=∠BFR, 1/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NR=PT,∠NRM=∠PTQ, △MNR≌△QPT(AAS), .MN PQ, MN 0=1. 考点02 圆周角 1.B 2. (1)解：如图所示，直线DE即为所求： (2)证明：点D是弧AC的中点， ..AD=CD, OD为半径， ..OD LAC, DE II AC, ∠CM0=∠ED0, 即OD1DE, ·DE是⊙O的切线； (3)解：BC为⊙O的直径， ∠A=90°，0D=BC=5, ·在Rt△ABC中，AB=6,BC=10,AC=VBC2-AB2=V102-62=8, .OD 1 DE, ∠0DE=90°， ∠A=∠0DE=90°， .DE I AC, .∠ACB=∠OED, 2/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC一△DOE, DE OD AC=BA 即5- 06=品 3. (1)证明：DB,DC是⊙O的两条切线， .DB=DC, OC=0B,OD=OD, .△COD≌△BOD(SSS), ∴LCOD=∠BOD: (2)解：如图所示，连接BC交OD于点E, B .DB=DC,OB=OC, ∴OD是线段BC的垂直平分线，即BC⊥OD,CE=BE=BC, 点O是AB的中点， OE是△ABC的中位线， 0E MAC,OE=AC=1. DC是切线， 0C⊥CD, .∠DC0=∠CE0=90°， 又∠D0C=∠C0E, △DC0一△CE0, 品-器即8-言 D0=5,即0D的长为5. 3/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 (1)证明：~以OP为直径作圆⊙M与⊙O相交于A、B两点， .∠0AP=∠OBP=90° OA⊥AP,OB⊥BP, OA,OB是⊙O的半径， 直线PA、PB是⊙O的切线： (2)解：0A=3,∠0PA=15°，∠0AP=∠0BP=90°， sin15°=0A≈0.26， OP 3 0P≈026≈11.54， 0M=0P≈5.8 5. (1)证明：如图，连接0A, M ~PQ与⊙O相切于点A, ..0A LPQ, .∠0AP=90°， MB⊥PQ, .∠MBP=90°=∠0AP, ..OA II MB, .∠OAM=∠AMB, 0A=OM, .∠OAM=∠AMN, ∴∠AMN=∠AMB, MA平分∠BMN; (2)解：如图，连接AN, 4/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M /d B MN为⊙O的直径， ∠MAN=90°， 由(1)可知，∠AMN=∠AMB,∠MBP=90°， ∠MAN=∠MBP, △ABM△NAM, =即品= MA2=144, 解得MA=12(负值舍去). (1)①因为AB=BC,∠B=90°， 所以∠A=∠ACB=180°-∠B)=45 因为EGWBF, 所以∠AEG=∠B=90°，∠GED=∠F,∠AGE=∠ACB. 所以∠AGE=∠A, 所以AE=GE. 又因为AE=CF, 所以GE=CF, 在△DGE和△DCF中 ∠GED=∠F,∠GDE=∠CDF,GE=CF, 所以△DGE≌△DCF(AAS): ②如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H, 5/17 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E B 因为△DGE兰△DCF, 所以DE=DF 所以EF=2DF 因为DH⊥BF, 所以∠DHF=90. 所以∠DHF=∠B=90° 又因为∠F=∠F, 所以△DHF一△EBF. 所以-器- 所以BE=2DH. 因为DH=CD·∠sinBCA=2CD. 所以BE=V2CD (2) H G B 如图所示，过点E作AB的垂线，交AC于点G,过点D作BF的垂线，交BF于点H, 因为GE⊥AB, 所以∠AEG=90°. 所以∠AEG=∠B=90°. 又因为LA=∠A, 所以△AEG一△ABC. 6/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以器-能=2。 所以AE=2GE. 又因为AE=2CF, 所以GE=CF. 同(I)可证得△DGE兰△DCF, 所以DE=DF. 同(1)可证得BE=2DH. 因为LDHC=∠B=90°，∠ACB=∠DCH=90°， 所以△ACB一△DCH. 所以器-脂- 所以CH=DH. 所以GD=DH2+Cm=DH+DH2=DH. 所以DH=25cD. 5 所以BE=5CD. 5 (3) D E δa 如图所示，过点E作BC的平行线，交AC于点G,取BE的中点为点H,连接DH 因为AB为⊙O的直径， 所以LACB=90°. 因为GENBC, 所以△AEG一△ABC. 所以爱-恶 所以BC=4GE. 又因为BC=4CF, 7/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以GE=CF, 因为GENBC, 所以∠GED=∠F. 在△DEG和△DFC中 LGED=∠F,∠GDE=∠CDF,GE=CF, 所以△DEG≌△DFC. 所以DE=DF. 又因为EH=HB, 所以DHIBC, 所以∠ADH=∠ACB=90° 所以点D的运动轨迹为以AH为直径的半圆. 所以点D的运动路径的长=×π·AH=ncm。 5 考点03 点、直线、圆与圆位置关系 1.B 2.A 3. (1)证明：如图，连接0D, AB是⊙O的直径， ..LADB =90, .∠BAD+∠CBD=90°， 0A=0D, ∴∠BAD=∠ODA, ∠CDA=∠CBD, ∴L0DA+∠CDA=90°，即∠0DC=90°， 8/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD⊥CD, 又0D是⊙0的半径， CD是⊙O的切线； (2)解：设⊙0的半径为r,则0D=0A=r,0C=0A+AC=r+1, 在Rt△0DC中，0D2+CD2=0C2, x2+22=(r+1)2, 解得r=》 01=0B= ..BC=0B+OA+AC=4, BE是⊙O的切线， .∠0BE=90°， ∠CBD+∠DBE=90°， ∠ADB=90° LCDA+∠EDB=90°， .∠CDA=∠CBD, ∠DBE=∠EDB, ∴BE=DE, 设BE=DE=x,则CE=DE+CD=x+2, 在Rt△CBE中， BC2+BE2=CE2, 42+x2=(x+2)2, 解得x=3, BE=3. 4. (1)证明：连接0D, D B 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LA=∠B=30°， ∠ADB=180°-∠A-∠B=120°， .0A=OD ∠A=∠0DA=30°， ∴∠0DB=120°-30°=90°， .OD⊥BD 且0D是⊙O的半径， ∴直线BD是⊙O的切线： (2)解：在Rt△D0B中，∠0DB=90°，LB=30°， 0D=20B, 设0D=OC=r,则OB=OC+BC=r+3 r=(r+3), 解得r=3, LA0D=180°-∠A-∠0DA=120°， 而的长为：瑞 ×3=2m. 5. (1)证明：连接0C,如图， P D AC平分∠DAB, ∴.∠BAC=∠DAC, .BC DC, .OC⊥BD, CP为⊙O的切线， .OC L PC, ..BD II CP. 10/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：BD II PC, LABD=∠P, cOSABD cosP= AB是⊙O的直径， ∴LADB=90°， 在Rt△ABD中， scos/AD 4B=8D=×24=30, .0B=0C=15, OC L PC, .∠0CP=90°， 在Rt△OCP中， veosP= 设PC=4x,P0=5x, 0C=3x, 即3x=15, 解得x=5, .0P=5x=25, ∴BP=0P-0B=25-15=10. (3)解：AB是⊙O的直径，AB=4, ∠ADB=90,0A=0B=2, 四边形OADC为菱形， AD=OC=0A=AB=2,ADIIOC, sin-ABD--治-号 LABD=30°， 由(1)知BD IICP, .∠PCO=∠ADB=90°，∠P=∠ABD=30°， ∠P0C=60°， 11/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..PC=oc 2 Ftan2p=项=23， SAP0C-S扇形0Bc=0CPG-60XX2=23号. 2 360 6.(1)证明：四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠C=∠D=90% △ABE,△FBE关于直线BE对称 △ABE≌△FBE ·∠A=∠BFE=90° .∠EFC=909 .∠EFC=∠C=∠D=90 ·四边形EFCD是矩形； (2)解：①由(1)知，△ABE≌△FBE LA=∠BFE=90°，∠AEB=∠FEB,EF=EA=8,BF=BA=6 ·四边形ABCD是矩形 ..AD II BC .∠AEB=∠EBG ∴LEBG=∠FEB ..BG=EG 设BG=x,则GE=X,GF=8-x 在Rt△BGF中，BG2=BF2+GF2 x2=62+(8-x)2 解得：X=草即8G=孕 ②如图，过圆心O作直线MN⊥CD于点M,交AB于点W D 图2 .∠NMD=∠A=∠D=909 12/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形ANMD是矩形 MN=AD=9,MN⊥AB ∴AN=BN 又O是BE的中点 :ON是△BAE的中位线 0N=2AE=4 .0M=MN-0N=9-4=5 在Rt△ABE中，BE=VAE2+AB2=V82+62=10 :0M=BE,即0M为⊙0的半径 又：OM⊥CD CD是⊙O的切线； (3)解：如图所示，当∠FBC=30时， E ∴.∠ABF=∠ABC-∠FBC=90°-30°=609 △ABE,△FBE关于直线BE对称 .∠ABE=∠FBE=30° AB=6 4E=AB.tan∠ABE=6×5=25, 如图所示，当LABF=30时，延长BF交AD于点G, F ~△ABE,△FBE关于直线BE对称 ∠A=LBFE=90°，∠ABE=∠FBE=15°，AE=EF ∴LAEF=∠BEF=75 .∠FEG=309 13/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设AE=X,则EF=x, FG-BF.tnLFEG- BG-BF+FG-6+ 又LABG=∠ABF=30° AB 6 .BG=- SLABG==4V3 6+兽=4h3 解得：x=12-63,即AE=12-63 综上所述，当点F落在∠ABC的三等分线上时，AE=2V3或AE=12-63. 考点04 孤长、扇形面积、圆锥计算 1.2红3 33 2. (1)解：反比例函数y=图象上的点A(V3,1), 1=高 k=3, =9 (2)解：点A(3,1), 0A=V(32+12=2, 菱形AOCD的边长为2； (3)解：连接AC, D A(V3,1), ∴由轴对称知，C(3,-1), ∴AC=1-(-1)=2, 14/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=AC=0C=2, .△OAC是等边三角形， .∠A0C=60°， C阴影=AD+CD+CAC ∠A0C·π·OA =2AD+ 1800° 60.π.2 =2×2+180 =4+9 3. (1)如图，A(1,1),B(4,2),C(3,4关于原点对称的点分别为： A1(-1,-1),B1(-4,-2),C1(-3,-4, 所以△A1B1C1即为所求 (2)如图，△AB2C2即为所求， -5-4-3-2-19 12 AC=22+32=V13 S=90m(国=1 360 4π. 故答案为：早。 15/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 圆与三角形综合 1. (1)解：①一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,1)，(0，-2)， 根据题意得形士21， 解符6-之 y的解析式为y=x-2. ②二次积点函数为y=x(x-2)=x2-2x, ∴y=(x-1)2-1. 顶点坐标为(1，-1) (2)解：二次积点函数为y=x(kx+b)=kx2+bx, 由kx2+bx=kx+b,整理得kx2+(b-k)x-b=0, k≠0， ∴△=(b-k)2+4kb=(b+k)2≥0. 该方程总有实数根， y与其二次积点函数的图象必有交点 (3)解：~y=2x+b的二次积点函数为y=x(2x+b)=2x2+bx, 由2x2+bx=2x+b,解得x1=1,x2=之 交点4，B坐标分别为(1,2+b,(-0) 又C为(1,0)， ∴△ABC为直角三角形. .LACB=90; ∴AB的长为△ABC外接圆的直径d, 3=Ac2+Bc2=(2+b2+(--1)°=b+22, 当d=V5时，b=0或-4， 当d=2W5时，b=2或-6， >0, 抛物线d开口向上， 16/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又抛物线d2的对称轴为b=-2, ①当b>-2时，d2随b的增大而增大， ∴当V5≤d≤25，即5≤d2≤20时，0≤b≤2， ②当b<-2时，d2随b的增大而减小， 当V5≤d≤25，即5≤d2≤20时，-6≤b≤-4， 综上，-6≤b≤-4或0≤b≤2. 17/17 专题05 圆综合 5大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆周角 考点03点、直线、圆与圆位置关系 考点04弧长、扇形面积、圆锥计算 考点05圆与三角形综合 垂径定理 考点01 1．（2026·广西南宁·一模）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 3．（2026·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 圆周角 考点02 1．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·广西桂林·一模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，连接，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使得，且交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 3．（2026·广西南宁·一模）如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 4．（2026·广西南宁·一模）如图，是外一点，连接，以 为直径作圆与相交于、两点，连接 、、、． (1)求证：直线、是 的切线； (2)当，时，求圆心距的长（精确到）．（参考数据：，，） 5．（2026·广西南宁·一模）如图，已知为的直径，与相切于点，于点． (1)求证：平分； (2)若的直径，，求的长． 6．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； (2)【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； (3)【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 点、直线、圆与圆位置关系 考点03 1．（2026·广西南宁·一模）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B．5 C． D．8 3．（2026·广西南宁·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 4．（2026·广西钦州·一模）如图，线段经过圆心O，交⊙O于点A，C，为的弦，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 5．（2026·广西桂林·二模）如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 6．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 弧长、扇形面积、圆锥计算 考点04 1．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 2．（2026·广西南宁·一模）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作． (1)求反比例函数的解析式； (2)则菱形的边长为______； (3)求图中阴影部分的周长（结果保留）． 3．（2026·广西柳州·一模）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点O对称，画出； (2)将绕点A顺时针旋转，在网格中画出旋转后对应的，并求出此过程中线段扫过的面积．（结果保留） 圆与三角形综合 考点05 1．（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $