专题04 三角形综合（5大考点）（广西专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形综合 考点01 三角形相关的角 1.D 2.D 3.5 4.(1)证明：在△A0C和△BOD中， 「∠AOC=∠BOD ∠C=∠D AC=BD AAOC≌aBOD(AAS). (2)解：在△A0C中，∠C=75°，∠A0C=40°， ∠A=180°-∠C-LA0C=65°. 由(1)知，△A0C≌△B0D, ∠B=∠A=65° 考点02 全等三角形 1.2 2.(1)①因为AB=BC,∠B=90°， 所以=∠4CB=l80-∠A)=45. 因为EG∥BF, 所以LAEG=∠B=90°，∠GED=LF,∠AGE=∠ACB. 所以LAGE=∠A. 所以AE=GE. 又因为AE=CF, 所以GE=CF. 在△DGE和ADCF中 ∠GED=∠F,∠GDE=∠CDF,GE=CF, 所以△DGE≌△DCF(AAS). ②如图所示，过点D作BF的垂线，交BF于点H. 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A E B 因为△DGE≌△DCF, 所以DE=DF. 所以EF=2DF. 因为DH⊥BF, 所以LDHF=90°. 所以∠DHF=∠B=90°. 又因为LF=LF, 所以△DHF∽△EBF. 所以1、F1 BEEF2 所以BE=2DH. 因为DH=CD·∠sin BCA= cD· 2 所以BE=√2CD· (2) F C 刀 H G 如图所示，过点E作AB的垂线，交AC于点G,过点D作BF的垂线，交BF于点H. 因为GE⊥AB, 所以∠AEG=90°. 所以LAEG=LB=90°. 又因为∠A=∠A, 所以△AEG∽△ABC. 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以能是2。 所以AE=2GE. 又因为AE=2CF, 所以GE=CF· 同(1)可证得△DGE≌△DCF, 所以DE=DF. 同(1)可证得BE=2DH. 因为∠DHC=∠B=90°，∠ACB=∠DCH=90°， 所以△ACB∽△DCH. 所以CH-BC、1 DH AB 2 所以CH=2DH. 所以cD=DH+cH=DH+Dm-5DH. 4 所以DH=25cD. 5 所以BE=4 -CD 5 (3) D Q E δH 如图所示，过点E作BC的平行线，交AC于点G,取BE的中点为点H,连接DH, 因为AB为OO的直径， 所以LACB=90°. 因为GE∥BC, 所以△AEG∽△ABC. 所ug 所以BC=4GE. 又因为BC=4CF, 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以GE=CF. 因为GE∥BC, 所以LGED=LF. 在△DEG和△DFC中 LGED=∠F,LGDE=∠CDF,GE=CF, 所以△DEG≌△DFC. 所以DE=DF. 又因为EH=HB, 所以DH∥BC. 所以LADH=∠ACB=90°. 所以点D的运动轨迹为以AH为直径的半圆. 所以点D的运动路径的长=)x·AH=无cm. 3. (1)解：如图，过点F作FG∥AB, 则∠A+∠1=180°， 6 G D E :六边形ABCDEF是对等角六边形， LA+∠B+∠C+∠D+LE+LF=(6-2)x180°=720°，∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F, ∴.∠A+∠F+∠E=360°， .∠2+∠E=180°， .FG∥DE, ∴.AB∥DE (2)连接AC、DE,如图， 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 由(1)知，AB∥DE, 同理，AF∥CD, :CD=AF, :四边形ACDF是平行四边形 :AC=DF,∠CAF=∠CDF .:∠BAF=∠EDC :LBAC=∠EDF :∠B=∠E, .△ABC≌ADEF(AAS), .BC=EF (3)解：对等角六边形ABCDEF的对角线AD、BE、CF交于点O, “.对角线将六边形分割为6个小三角形， B 由(1)知，六边形相对的边平行， .相对的两个三角形相似， OB OA OC OD OB OC OE OD OF OA OE OF OA OD OD OA ∴.OA2=OD2, .0A=0D, 同理，0B=0E,0C=0F, .点O是六边形的对称中心， 3/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :S大边形4 BCDEF=15, :.S四边形ADEF 2 六边形ABCDEF=7.5 故四边形ADEF的面积为7.5. 考点03 等腰三角形 1.B 2.B 3.22.5 4. (1)证明：如图，连接OA, M A B :PQ与o0相切于点A, OA⊥P9, .∠0AP=90°， :MB⊥PQ, .∠MBP=90°=∠OAP, .OA∥MB, ∠OAM=∠AMB, :0A=0M, .∠OAM=∠AMN, .∠AMN=∠AMB, MA平分∠BMN; (2)解：如图，连接AN, 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :MN为O0的直径， .∠MAN=90°， 由(1)可知，∠AMN=∠AMB,∠MBP=90°， ∴.∠MAN=∠MBP, .△ABM∽△NAM, B=,即=期 MM-16' .Mm2=144, 解得MA=12(负值舍去). 5. (1)证明：连接0D, 0 :∠A=∠B=30°， .∠ADB=180°-∠A-∠B=120°， .0A=0D, ∴∠A=∠0DA=30°， .∠0DB=120°-30°=90°， OD⊥BD, 且0D是00的半径， .直线BD是OO的切线； (2)解：在RtaD0B中，∠ODB=90°，∠B=30°， 0D=20B, 设OD=OC=r,则0B=0C+BC=r+3 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 r=2r+3到， 解得r=3, :∠A0D=180°-∠A-∠0DA=120°， AD的长为： 120m ×3=2π 180 考点04 直角三角形与勾股定理 1.B 2.C 警9 4.2√6 5.(①)25+2海里。(2)渔船在前往作业点C途中不会遇到海雾 6. (1)证明：：四边形ABCD是矩形 .∠A=∠C=∠D=909 ,△ABE,△FBE关于直线BE对称 :.△ABE≌△FBE .∠A=∠BFE=90° ∠EFC=90° :LEFC=LC=∠D=90° :四边形EFCD是矩形； (2)解：①由(1)知，△ABE≌△FBE ∴∠A=∠BFE=90°，∠AEB=∠FEB,EF=EA=8,BF=BA=6 :四边形ABCD是矩形 .AD∥BC LAEB=∠EBG ∴.∠EBG=LFEB .BG=EG 设BG=x,则GE=x,GF=8-x 在RtABGF中，BG2=BF2+GF2 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2=62+(8-x)2 ：=草即8G ②如图，过圆心O作直线MN⊥CD于点M,交AB于点N D G F 图2 .∠NMD=∠A=∠D=90° :.四边形ANMD是矩形 MN=AD=9,MN⊥AB .AN =BN 又：O是BE的中点 :.ON是△BAE的中位线 :0N=4B=4 ∴.0M=MN-0N=9-4=5 在Rt△ABE中，BE=VAE2+AB2=V82+62=10 :0M=号6E,即0w为00的￥径 又：OM⊥CD CD是OO的切线： (3)解：如图所示，当∠FBC=30°时， B ∠ABF=∠ABC-∠FBC=90°-30°=60° :△ABE,△FBE关于直线BE对称 .LABE=LFBE=30° 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=6 :AE=AB-an∠ABE=6xV =25； 如图所示，当∠ABF=30°时，延长BF交AD于点G, E G D :△ABE,△FBE关于直线BE对称 B :∠A=∠BFE=90°，LABE=LFBE=I5°，AE=EF ∴∠AEF=LBEF=75° .∠FEG=30° 设AE=x,则EF=x, FG=EF:tan∠FEG= -x 3 BG=BF+FG-64 3 又：∠ABG=∠ABF=30° AB 6 BG= COS LABG3 =45 6* x=45 解得：x=12-6V5,即AE=12-6V5 综上所述，当点F落在∠ABC的三等分线上时，AE=25或AE=12-6√5. 7. (1)解：如图所示，直线DE即为所求： B E (2)证明：：点D是弧AC的中点， .AD=CD, 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0D为半径， .OD⊥AC, .DE Il AC, :∠CMO=LEDO, 即OD⊥DE, .DE是OO的切线： (3)解：：BC为O0的直径， ∠A=90,0D=BC=5, 2 在Rt△ABC中，AB=6,BC=10,AC=VBC2-AB2=V102-62=8, :OD⊥DE, :L0DE=90°， ∠A=∠0DE=90°， .DEl AC, ∠ACB=OED, △ABCn△DOE, DE OD AC BA 即DES 86' DE=20 3 &缩 3 9.0 (2AB=85 9 94E-合5 10.y=5 (2)2 3)4+3 π 11. (1)证明：如图，连接0D, 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :AB是OO的直径， ∠ADB=90°， ∠BAD+LCBD=90°， 0A=0D, .∠BAD=∠ODA, :∠CDA=∠CBD, .∠0DA+∠CDA=90°，即∠0DC=90°， .OD⊥CD, 又：0D是00的半径， .CD是OO的切线： (2)解：设00的半径为r,则0D=0A=r,0C=0A+AC=r+1, 在RIAODC中，OD+CD=OC☐， 2+2=(r+1)2, 解得多 0A=0B=3 .BC=0B+0A+AC=4, :BE是OO的切线， .∠0BE=90°， ∴∠CBD+∠DBE=90°， :∠ADB=90° .∠CDA+LEDB=90°， :∠CDA=∠CBD, ∴.∠DBE=∠EDB, :BE DE, 2/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BE=DE=x,则CE=DE+CD=x+2, 在RtACBE中， BC2+BE2 =CEC, 42+x2=(x+2）C, 解得x=3, BE=3. 12.(1)2,3-√5 (2)①正确，正确；②见解析 6)4B_3w5-i西或- BC 4 4 考点05 相似三角形 1. (1)证明：：DB,DC是⊙O的两条切线， :DB=DC, .OC=OB,OD=OD, .aCOD≌△B0DSSS), .∠C0D=∠B0D; (2)解：如图所示，连接BC交OD于点E, B DB=DC,OB=OC, :OD是线段BC的垂直平分线，即BC⊥OD,CE=BE=BC, :点O是AB的中点， OE是△ABC的中位线， OE IIAC,OE=。AC=1, 2 .DC是切线， OC⊥CD, ∴∠DC0=LCE0=90°， 3/3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠D0C=∠C0E, ..ADCOACEO, CO OE Do=D元，即V51 D0=5' :D0=5,即0D的长为5. 2. (I)证明：：在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线， :∠ADB=∠ACB=∠DAC=45°， ∠DAF=45°-∠CAF, .∠EAF=45°， .∠CAE=45°-∠CAF, ∠DAN=∠EAC, .△DAN∽△CAE. (2)解：：在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线， ·AD=CD=BC,AC=BD=√AD2+CD2=√2AD, 由(1)知△DAN∽△CAE, DN AD CE AC 2 ·DW=2EC 2 :BE=1, BN-ND=BD-2ND=2BC-2EC=(BC-CE)=2BE=2 (3)解：连接AD,交CF于O, CG :在正六边形ABCDEF中，0A=0F,∠A0F=360=60, 6 .aAOF是等边三角形， 23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAF=60°，0A=0D=AF,AD=2AF, :AF∥CD, ∴.∠ADG=∠AFH=∠FAD=60°， :∠GA1=60°， ∠GAI=∠FAD, .LGAI-∠IAD=∠FAD-∠IAD,即∠GAD=∠HAF, △FAH∽△DAG, GD AD =2, HF AF .GD=2HF, AD=CF,AF=CD, ∴.CF=2AF=2CD, .CH-HF=CF-2HF=2CD-GD=CD+CG, :G为CD的三等分点， 2 :.CG=CD=1或CG=。CD=2, 3 3 CD=3, .CH-HF=4或5. 3. (1)45°； (2)V2: 8 的值与α无关，理由见解析； (④)BF+BA=2 BE cos B 4. ) 20 19 1 (2)PB=380mm,tanB= 20 (3)合格， 5. (1)解：根据题意得：ABC和△ACD是等腰直角三角形， .∠CAB=LACD=45°， 3/3 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB∥CD: (2)证明：根据题意得：ABC和△ACD是等腰三角形， :∠CAB=180-∠BC4,∠ACD-180-∠D 2 2 :∠BCA=∠D, ∠CAB=∠ACD, AB∥CD, 即(1)中的结论依然成立； (3)证明：由旋转的性质得，AD=AB,AE=AC,DE=BC,∠ADE=∠B, ∠B=∠ADB, ∠BAD=180°-2∠B, .AC=BC, ∴AE=DE, .∠DAE=LADE, .∠E=180°-2∠ADE, ∠E=∠BAD, :四边形ABDE是双等四边形； (4)如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点C作AB的平行线，交AC的垂直平分线HD于点D,连接AD 则∠BGC=90°， D CG 4 :在RtABCG中，sinB= BC5' .CG-4BC, 5 :.BG-BC-CG-3BC. 5 :AC=BC,CG⊥AB, AB=2BG=SBC=10,∠B=∠BAC, AC=BC=25 ,∠BCA=180°-2∠B, 2/3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD∥AB, ∠ACD=∠BAC, ∠ACD=∠B, :DH是AC的垂直平分线， .AD=CD, ∴.∠DAC=∠ACD, .∠ADC=180°-2LACD, ∴∠ADC=∠BCA, :四边形ABCD是以ABC为原属三角形的双等四边形， ∠ADC=LBCA,∠ACD=∠B, ∴.△ACD∽△ABC, 25 AC CD ABBC 即3-CD 10-25, 3 解得CD=125 18 3/3动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形综合 ☆5大考点概览 考点01三角形相关的角 考点02全等三角形 考点03等腰三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05相似三角形 考点01 三角形相关的角 1.(2026广西桂林一模)如图为某种可调节式露营椅的示意图.AE,AF分别与CD相交于点0，F,当 各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠A=35°，∠D=53°， ∠E=49°，则∠AFC的度数是() B D A.110° B.111 C.112 D.113° 2.(2026广西柳州一模)如图，将ABC绕点A顺时针旋转40°得到ADE,点B的对应点D恰好落在边 BC上，则∠B为() D A.75 B.55° C.40° D.70° 3.(2026广西南宁.一模)如图，在等腰直角ABC中，己知∠BAC=90°，AB=AC,P是BC上一点， BP=AB.若AP=I0,则点C到AP的距离为· B 4.(2026广西南宁.一模)如图，AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=LD. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：△A0C≌△B0D; (2)若∠C=75°，∠A0C=40°，求∠B的度数。 考点02 全等三角形 1.(2026广西南宁一模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，按以下步骤作图： C B ①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D; ②分别以点C,D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧在CD右侧相交于点E: ③作射线AE,交边BC于点F.根据作图， SAE的值是 SACF 2.(2026广西南宁.一模)综合与探究 己知ABC中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D. F D G 图1 图2 图3 (I)【初探】如图1，若LB=90°，AB=BC,AE=CF,过点E作EG11BF交AC于点G. ①求证：△DGE≌△DCF; ②求证：BE=√2CD; (2)【再探】如图2，若∠B=90°，AB=2BC,AE=2CF,探究CD与BE之间的数量关系； (3)【深探】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上， AB=8,AE=2,BC=4CF,当点C从点B运动到点A,请直接写出点D的运动路径的长， 3.(2026广西南宁.一模)【对等角六边形】定义：在凸六边形ABCDEF中，满足∠A=∠D,∠B=∠E, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=∠F,我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”. B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，对等角六边形ABCDEF的对边AB,DE的位置关系是； (②)如图2，六边形ABCDEF是对等角六边形，若CD=AF,求证：BC=EF. (3)如图3，在对等角六边形ABCDEF中，对角线AD、BE、CF交于点O,已知S六边形4 &CDEF=15,求四边形 ADEF的面积. 考点03 等腰三角形 1.(2026广西贵港一模)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,已知∠A=22.5,0C=2√2，则 CD的长为() A.3V2 B.4 C.42 D.3 2.(2026广西柳州一模)如图，正六边形ABCDEF内接于O0,半径为2cm,若G为CD的中点，连接 AG,则AG的长度为()cm, B D A.11 B.√13 C.5 D.7 3.(2026广西柳州一模)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形 ABCDEFGH为正八边形，连接AC,则LBAC= 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D E 图1 图2 4.(2026广西南宁.一模)如图，已知MN为O0的直径，PQ与O0相切于点A,MB⊥P2于点B. M A B Q (I)求证：MA平分∠BMW; (2)若O0的直径MN=16,MB=9,求MA的长. 5.(2026广西钦州一模)如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,AD为⊙O的弦，连接BD, ∠A=∠B=30° D B (I)求证：BD是⊙O的切线： (②)已知BC=3,求AD的长（结果保留）. 考点04 直角三角形与勾股定理 1.(2026广西南宁.一模)如图，在矩形ABCD中，点N在AD上，将矩形沿NP折叠，使点B落在顶点D处 若aDNP刚好是等边三角形，则4D的值为() AB B D A.2:1 B.√5：1 C.2:V3 D.√21 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026广西玉林.一模)如图，四边形ABCD是正方形，点E表示的数为() 、C B: AD -3-2-10E1 A.1 B.1-√2 C.√2-1 D.2 3.(2026广西柳州一模)如图，在扇形A0B中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接0C, 过点B作BD⊥OC交OA于点D,连接CD,则阴影部分的面积为 4.(2026广西南宁.一模)如图，将AOB绕点O逆时针旋转得到△C0D,∠0AB=75°，若CD恰好经过 点A,且0C10B,0A=4,则AB=· D B 5.(2026广西桂林一模)涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔+塔高）超过97 米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑.某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正 南方向航行.欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C,渔船的航行速度为8海里/小时.当天该 艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： 防城港市 北海市 B 北部湾 涠洲岛 D ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处： ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散. 请根据以上信息，解决下列问题： 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求涠洲灯塔P到航线AC的距离： (2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：√5≈1.73）. 6.(2026广西南宁.一模)综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变 化中的不变量.下面我们来探究以下问题： 在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,点E是边AD上一动点，连接BE,作△ABE关于直线BE对称的△FBE ,点A的对称点为点F. D 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点F落在边BC上时，求证：四边形EFCD是矩形； (2)如图2，当AE=8时，EF交BC于点G,以BE为直径作⊙O经过点A. ①求BG的长； ②求证：CD是OO的切线： (3)当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长， 7.(2026广西桂林一模)如图，ABC内接于⊙O,BC为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，连接0D, 交AC于点M· D B (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线DE,使得DE∥AC,且交BC的延长线于点E(保留作图痕迹，不写作 法)； (2)求证：DE是⊙O的切线： (3)若AB=6,BC=10,求DE的长。 8.(2026广西桂林.一模)如图，在△ABD与△EBC中，∠ABD=90°，∠ADB=∠C,且点D,M,N分 别是BE,AD,CE的中点，连接MN,点A,B,C共线，若BC=6,BE=8,则MN的长为 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D M A B 9.(2026广西桂林.一模)综合探究 如图1，在ABC中，AB=BC=5,过点A作AK⊥BC于点K,AK=4,AC=2√5，四边形DGFE为矩形， 点D,E分别在线段AB,AC上，点G,F在线段BC上. G K F GKF 图1 图2 (I)当点D为AB中点时，直接写出DE的长度； (②)当DE=DG时，求AE的长度； (3)如图2，过点G作GH⊥AB,垂足为点H,连接EH,EG,当EH=EG时，求AE的长度 10.(2026广西南宁.一模)广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中.“双鱼共头”等图案象征多 子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰，如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直 角坐标系，再以反比例函数y=图象上的点AN5)为顶点，作菱形AOCD,点D在x轴上，以点0为圆 心，OA长为半径作AC. ()求反比例函数的解析式： (②)则菱形AOCD的边长为 (3)求图中阴影部分的周长（结果保留π）. 11.(2026广西南宁.一模)如图，AB是00的直径，点C在BA的延长线上，点D在⊙0上，连接CD, 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD,AD,已知∠CDA=∠CBD. (1)求证：CD是O0的切线： (2)过点B作OO的切线BE,BE与CD的延长线交于点E,若AC=1,CD=2,求BE的长. 12.(2026广西南宁.一模)综合与实践 【教材重现】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比， 我们就说这个点是这条线段的黄金分制点，这个比值叫做黄金比，这个比值为5一. 2 图1 图2 图3 (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点；若点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC),AB=2,求 AC的长. (②)【操作探究】数学兴趣小组的同学认为可以通过折叠的方法得到线段的黄金分割点，下面是讨论片段， 请仔细阅读，并完成对应的任务. 方法一：如图1，先将边长为2的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，得到折痕EF,把纸片展开， 连接CE,继续沿过点C的直线折叠，使点B落在CE上的点G处，得到折痕CP,把纸片展开，连接PG, 则点P为线段AB的黄金分割点. 方法二：如图2，先将边长为2的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，得到折痕EF,把纸片展开， 连接CE,继续沿过点C的直线折叠，使点E落在CB的延长线上的点G处，得到折痕CP,把纸片展开，连 接PE,PG,BG,则点P为线段AB的黄金分割点， ①请你判断两种方法是否正确（在横线上填写“正确”或“错误”） 方法一： ；方法二： ②请写出①中正确折叠方法的证明过程（如果有多种任选一种证明即可）. (3)【知识运用】如图3，先将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开，继续 沿过点B的直线折叠，使点A落在EF上的点G处，得到折痕BP,把纸片展开，连接BG,连接PG并延长 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交BC于点H.若点H是线段BC的黄金分割点，请直接写 AB的值， B 考点05 相似三角形 1.(2026广西南宁.一模)如图，过⊙0外一点D作⊙0的两条切线DB,DC,切点是B,C,AB为直径， 连接OD,OC,AC. B (1)求证：∠C0D=LB0D: (2)AC=2,0C=V5,求0D的长 2.(2026广西南宁.一模)相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径.某小组在进行“探秘正方形内的45 角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多45°角，以正方形的任一顶点为顶点 在正方形内部构造一个45°角时，可以得到许多结论. B M B E D 图1 图2 【探究活动】如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD,E、F分别是BC、CD上的点，且 ∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N. (I)证明：△DANn△CAE; (2)若BE=1,试求BN-ND的值； (3)【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图2，在边长为3的正六边形ABCDEF中，连接对角线CF,过点A构造LGAI=60°，当点G落在边CD 上时，点I落在EF上，AI交CF于点H.当G为CD的三等分点时，求CH-HF的值. 3.(2026广西柳州一模)探究与证明 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 究. 【特例研究】 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. O D B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，AOB可以看成是△ADC绕点A顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为 (2)如图2，将AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E, F),使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BC的值： OE (3)【类比探究】如图3，在菱形ABCD中，LABC=60°，0是AB的垂直平分线与BD的交点，将AOB绕点 A逆时针旋转，旋转角为a,并缩放得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD 上，点F落在BC上.猪想BF的值是否与a有关，并说明理由： OE (4若(3)中∠ABC=2B,其余条件不变，请直接写出BA,BE,BF之间的数量关系： (用含B的式 子表示) 4.(2026广西南宁一模)综合与实践：数学与音乐 【问题背景】制作尤克里里 尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关， 而有效弦长由品丝位置决定. 琴枕 品丝 琴弦 琴弦 指板 品丝 弦桥 图1 【建立模型】 小州设计了如下确定品丝（如图1的MN1)位置的方法：如图2，设琴枕为点A,弦桥为点B,则完整琴 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 弦为AB,以AB为直角边构造Rt△ABC,在AB上截取.AP=AC,在P处确定第一根品丝，则第一根品 丝的对应有效弦长为B,过？作P2⊥AB交BC于点g,接着在AB上截取PP=PQ,在B处设计第二 根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为PB,以此类推确定后续品丝位置.在制作过程中，为了让发音和 谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm,P2长为19mm. co00 NYYT 琴枕APPF 弦桥B 图2 【求解模型】 B Q①求PB (2)求第一根品丝的有效弦长PB及tanB. 【检验模型】 (3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置￡到弦桥B的长度约为342mm,若允许偏差是±2mm,请判 断该品丝是否合格，并说明理由 5.（2026广西钦州一模)综合与实践. 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双 等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”，如图1，在ABC中，AB=AC,AD=AC, ∠D=∠BAC,此时，四边形ABCD是“双等四边形”，ABC是“原属三角形” 图2 图 图5 备用图 (I)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出AB与CD的 位置关系： ； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，(1)中AB与CD的位置关系依然成立， 请证明： (3)如图4，在钝角ABC中，AC=BC,将ABC绕点A逆时针旋转至ADE,点D恰好落在BC边的延 长线上，得到四边形ABDE.求证：四边形ABDE是双等四边形； ④【托展应用】刻图5，在锐角48C中，AC=8C,SnB=手，4B=10,在4C的右侧是否存在一点D. 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 使四边形ABCD是以ABC为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由. 1/23 专题04三角形综合 5大考点概览 考点01三角形相关的角 考点02全等三角形 考点03等腰三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05相似三角形 三角形相关的角 考点01 1．（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．，分别与相交于点，，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依图得， 中，， 中，， ，，， ， 点在上， ，选项符合题意． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；核心技巧是利用旋转得到的等线段和旋转角，构造等腰三角形求解；易错点是误将旋转角当作三角形的内角，或忽略等腰三角形两底角相等的性质． 先根据旋转性质得到和，从而判定为等腰三角形；再利用等腰三角形 “等边对等角” 和三角形内角和定理，直接计算出的度数． 【详解】由旋转可知：，． 为等腰三角形． 在等腰中，． 故选：D． 3．（2026·广西南宁·一模）如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 【答案】5 【分析】过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，根据，得，得，得，得，可得，即得． 【详解】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E， 则， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·广西南宁·一模）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件，，，运用证明即可； （2）由三角形内角和定理得，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：在中，，， ∴． 由（1）知，， ． 全等三角形 考点02 1．（2026·广西南宁·一模）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D； ②分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧在右侧相交于点E； ③作射线，交边于点F．根据作图，的值是________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，根据作图可得是的垂直平分线，的平分线，连接，则，，根据三角形面积可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 由作图得，，垂直平分， ∴平分， 连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 2．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 已知中，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)【初探】如图1，若，，，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； (2)【再探】如图2，若，，，探究与之间的数量关系； (3)【深探】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，请直接写出点的运动路径的长． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆的性质等： （1）①根据已知条件，容易证得，求得，结合，，即可证明结论；②过点作的垂线，交于点，可证得，求得，结合，即可证明结论； （2）过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，根据题意可证明，得到，然后证明，进而可证明，得到，结合勾股定理，即可求得答案； （3）过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接，根据已知条件容易证得，得到，进而证明，得到，求得，得到点的运动轨迹为以为直径的半圆． 【详解】（1）①因为，， 所以． 因为， 所以，，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． ②如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 因为． 所以． （2） 如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 同（1）可证得， 所以． 同（1）可证得． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． （3） 如图所示，过点作的平行线，交于点，取的中点为点，连接． 因为为的直径， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以． 在和中 ，，， 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以点的运动轨迹为以为直径的半圆． 所以点的运动路径的长． 3．（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____； (2)如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：． (3)如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）过点F作， 得，由，，得，得，得，即得答案； （2）连接， 可得四边形是平行四边形，得，可得，即得答案； （3）由六边形相对的边平行，得相对的两个三角形相似，得，得，得，同理，，得点O是六边形的对称中心，即得 【详解】（1）解：如图，过点F作， 则， ∵六边形是对等角六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）连接，如图， 由（1）知，， 同理，， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵. ∴. ∵， ∴, ∴. （3）解：∵对等角六边形的对角线交于点， ∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形， 由（1）知，六边形相对的边平行， ∴相对的两个三角形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点O是六边形的对称中心， ∵， ∴ 故四边形的面积为7.5． 等腰三角形 考点03 1．（2026·广西贵港·一模）如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周角定理，得到，由垂径定理得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故选：B ． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 连接，根据正六边形的性质可得为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 3．（2026·广西柳州·一模）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 【答案】22.5 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴， ∴． 4．（2026·广西南宁·一模）如图，已知为的直径，与相切于点，于点． (1)求证：平分； (2)若的直径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，结合可判定，因此．根据等腰三角形的性质可得，则，命题得证； （2）连接，容易证明，则，代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）． 5．（2026·广西钦州·一模）如图，线段经过圆心O，交⊙O于点A，C，为的弦，连接，． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 直角三角形与勾股定理 考点04 1．（2026·广西南宁·一模）如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等边三角形的边长为a,根据矩形性质，等边三角形性质和折叠性质得，得，，得，即得答案． 【详解】解：∵在矩形中，，刚好是等边三角形，设边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 即． 故选：B． 2．（2026·广西玉林·一模）如图，四边形是正方形，点表示的数为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点表示的数为． 3．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据点为的三等分点得，，，根据得，，进而根据直角三角形三角函数值计算，进而得出，根据勾股定理计算，在中，结合三角函数值解直角三角形得，再由，计算即可． 【详解】解：如图所示，、交于点， 在扇形中，，点为的三等分点， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 故答案为：． 4．（2026·广西南宁·一模）如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则______． 【答案】 【分析】由旋转的性质得出，，从而得到，再求出，结合求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点F，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：、、， ， ， ， ∴， ， ， 如图，作于点F， 在中，、， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 5．（2026·广西桂林·一模）涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑．某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行．欲前往位于涠洲灯塔P南偏西方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时．当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点A处； ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求涠洲灯塔P到航线的距离； (2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1)海里 (2)渔船在前往作业点途中不会遇到海雾，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，先得出，再在中，解直角三角形即可； （2）过点作于点，先求出的长，再求出，然后求出14时，渔船距离作业点的距离，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，（海里）， ∴， ∴， ∴， 设海里，则海里， 在中，，即， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 答：涠洲灯塔到航线的距离海里． （2）解：如图，过点作于点， 在中，海里， 由题意得：， ∴， ∴， ∴海里， ∴14时，渔船距离作业点的距离为（海里）， ∵海里海里， ∴渔船在前往作业点途中不会遇到海雾． 6．（2026·广西南宁·一模）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析 (3)或 【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形； （2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得 ②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线； （3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 关于直线对称 四边形是矩形； （2）解：①由（1）知， ∴，，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：，即； ②如图，过圆心作直线于点，交于点 ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ 在中， ∴，即为的半径 又∵ ∴是的切线； （3）解：如图所示，当时， ∴ 关于直线对称 ∴ ∵ ∴； 如图所示，当时，延长交于点， 关于直线对称 ，， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得：，即 综上所述，当点落在的三等分线上时，或． 7．（2026·广西桂林·一模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，连接，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使得，且交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据过直线外一点作直线平行线的尺规作图方法作出即可； （2）结合垂径定理逆定理得，再结合可证，即是的切线； （3）先由直径所对的圆周角为直角得，再由勾股定理得，利用两角相等证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求： （2）证明：点是弧的中点， ， 为半径， ， ， ， 即， 是的切线； （3）解：为的直径， ，， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 8．（2026·广西桂林·一模）如图，在与中，，，且点，，分别是，，的中点，连接，点，，共线，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接并延长，作延长线于点，先用勾股定理求出，利用两角相等证明，由相似三角形性质可求出的长，再结合中位线定理推得后即可证，由相似三角形性质求出、的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长，作延长线于点， 点，，共线，，，， ，， 又， ， ， ， ，，分别是，，的中点， ，，， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， 中，， ． 9．（2026·广西桂林·一模）综合探究 如图1，在中，，过点A作于点K，，，四边形DGFE为矩形，点D，E分别在线段，上，点G，F在线段上． (1)当点D为中点时，直接写出的长度； (2)当时，求的长度； (3)如图2，过点G作，垂足为点H，连接，，当时，求的长度． 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）根据矩形的性质证明，结合点D是中点从而求得的长度； （2）设，证明，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求得结果； （3）通过构造辅助线，设未知数利用解直角三角形的性质求得相关线段的长度． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，点D是中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，设与相交于点P， 当时，四边形为正方形，设， ，， ， ，即， 解得， ，即， ∴． （3）解：， ， ， 设， 如图2，过点E作于点M，则， 过点E作于点N，则可证得四边形为矩形， ，， ，， 点N为的中点，即， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴， 在中，， ， ， ， 解得， ． 10．（2026·广西南宁·一模）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数图象上的点为顶点，作菱形，点在轴上，以点为圆心，长为半径作． (1)求反比例函数的解析式； (2)则菱形的边长为______； (3)求图中阴影部分的周长（结果保留）． 【答案】(1) (2)2. (3). 【分析】（1）代入反比例函数，解方程即得； （2）由点，用勾股定理即得求出的长，即得菱形的边长； （3）连接，根据菱形性质得，是等边三角形，，代入 计算即得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象上的点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点， ∴， ∴菱形的边长为2； （3）解：连接， ∵， ∴由轴对称知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 11．（2026·广西南宁·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知． (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由是的直径得，即可得，由得，结合得，可证，结合是的半径即可证明； （2）设的半径为，在中利用勾股定理列方程求得半径，进而得长，由是的切线得，即可得，由得，即可得，进而得，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 12．（2026·广西南宁·一模）综合与实践 【教材重现】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． (1)【概念理解】一条线段有______个黄金分割点；若点是线段的黄金分割点，，求的长． (2)【操作探究】数学兴趣小组的同学认为可以通过折叠的方法得到线段的黄金分割点，下面是讨论片段，请仔细阅读，并完成对应的任务． 方法一：如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，把纸片展开，连接，则点为线段的黄金分割点． 方法二：如图2，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点的直线折叠，使点落在的延长线上的点处，得到折痕，把纸片展开，连接，，，则点为线段的黄金分割点． ①请你判断两种方法是否正确（在横线上填写“正确”或“错误”） 方法一：______；方法二：______ ②请写出①中正确折叠方法的证明过程（如果有多种任选一种证明即可）． (3)【知识运用】如图3，先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，继续沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，把纸片展开，连接，连接并延长交于点．若点是线段的黄金分割点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①正确，正确；②见解析 (3)或。 【分析】（1）由黄金分割点的定义计算即可得出结果； （2）①由黄金分割点的定义判断即可得出结果；②分别利用折叠的性质并结合勾股定理计算即可得出结果； （3）连接，由折叠的性质可得，，，证明为等边三角形，得出，求出，，解直角三角形得出，由黄金分割点的定义得出或，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：一条线段有个黄金分割点； ∵点是线段的黄金分割点， ∴, ∵， ∴， ∴； （2）解：①方法一：正确；方法二：正确； ②方法一：如图，连接， ， 设，则， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 方法二：设，则， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴或， 当时，由可得：； 当时，由可得：； 综上所述，或． 相似三角形 考点05 1．（2026·广西南宁·一模）如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)的长为5 【分析】（1）根据切线长定理得到，结合圆的特点，运用“边边边”证明即可求解； （2）如图所示，连接交于点得到是线段的垂直平分线，即，，是的中位线，则，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点， ∵， ∴是线段的垂直平分线，即，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，即的长为5． 2．（2026·广西南宁·一模）相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的角”数学主题探究活动时发现：连结正方形的两条对角线即能产生许多角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个角时，可以得到许多结论． 【探究活动】如图1，在正方形中，连接对角线、，、分别是、上的点，且，、分别与相交于点、． (1)证明：； (2)若，试求的值； (3)【拓展延伸】探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索： 如图，在边长为的正六边形中，连接对角线，过点构造，当点落在边上时，点落在上，交于点．当为的三等分点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合，得出，即可证明； （2）根据正方形的性质得出，，结合得出，根据即可得答案； （3）连接，交于，根据正六边形的性质得出是等边三角形，，，，进而得出，根据可得，即可证明，得出，，根据为的三等分点得出或，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵在正方形中，、是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵在正方形中，、是角平分线， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，交于， ∵在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G为的三等分点， ∴或， ∵， ∴或． 3．（2026·广西柳州·一模）探究与证明 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，相交于点． (1)如图1，可以看成是绕点顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______； (2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点落在上，点落在BC上，求的值； (3)【类比探究】如图3，在菱形中，是AB的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由； (4)若（3）中，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)的值与无关，理由见解析； (4)． 【分析】（1）根据题意得到得出答案； （2）根据题意得，得到证明即可得出答案； （3）证明得到过点作于点，根据解直角三角形得到即可求解； （4）由（3）可得，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴旋转角为 故答案为：； （2）解：根据题意得， ， （3）解：的值与无关，理由如下，如图， 由（2）， ∵菱形ABCD中，， 是AB的垂直平分线与BD的交点， 过点作于点， ， 的值与无关； （4） 解：由（3）可得，， 即． 4．（2026·广西南宁·一模）综合与实践：数学与音乐 【问题背景】制作尤克里里 尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定． 【建立模型】 小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为． 【求解模型】 (1)求； (2)求第一根品丝的有效弦长及． 【检验模型】 (3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)合格，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求解； （2）由（1）得，可得，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得，在中，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ． 又， ． ． （2）解：由（1）得， ， ，即． 解得． 在中，． （3）解：合格，理由如下： ， ． 在中， ． ． ． ， ∴该品丝合格． 5．（2026·广西钦州·一模）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在中，，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“原属三角形”． (1)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出与的位置关系：______； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中与的位置关系依然成立，请证明； (3)如图4，在钝角中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，得到四边形．求证：四边形是双等四边形； (4)【拓展应用】如图5，在锐角中，，，，在的右侧是否存在一点D，使四边形是以为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)存在，的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，再结合，得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据旋转的性质得，，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，则，再根据双等四边形的定义即可证明； （4）过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，在中利用正弦的定义以及等腰三角形三线合一性质得到，再根据双等四边形的定义可知四边形是以为原属三角形的双等四边形，再通过证明，得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：和是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：根据题意得：和是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即（1）中的结论依然成立； （3）证明：由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是双等四边形； （4）如图，过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是以为原属三角形的双等四边形， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $