专题12 马尔科夫链与概率最值6大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

专题12 马尔科夫链与概率最值 题型一 连续两项特征的马尔科夫链 题型四 作差法求概率最值 题型二 连续三项特征的马尔科夫链 题型五 作商法求概率最值 题型三 基于期望的递推关系 题型六 函数单调性法求概率最值 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 连续两项特征的马尔科夫链 1．（2026·甘肃·一模）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 2．（2026·安徽芜湖·一模）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； (3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 3．（23-24高三上·江苏南京·期中）随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望； (2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 4．（2025·河南南阳·模拟预测）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 6．（2026·新疆·一模）在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 题型二 连续三项特征的马尔科夫链 7．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 8．（2026·四川广安·一模）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）． (1)记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和； (2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； (3)求甲获得训练赛胜利的概率． 9．（2025·湖南·模拟预测）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. (1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 10．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由. 题型三 基于期望的递推关系 11．（23-24高三下·湖北武汉·月考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 12．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·江苏常州·月考）在伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为（称为成功的概率），重复该试验直到第一次成功时，进行的试验次数的分布列为，称随机变量服从参数为的几何分布，记作． (1)求证：； (2)设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数，求的最小值；（参考公式：） (3)设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数，求． 14．（23-24高二下·河南安阳·期末）阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为_________________. 题型四 作差法求概率最值 15．（2026·陕西西安·模拟预测）某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 16．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 17．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 18．（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． (1)求甲未获得奖品的概率； (2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 题型五 作商法求概率最值 19．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 20．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 21．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 22．（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 题型六 函数单调性法求概率最值 23．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 24．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 25．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． (1)若，求和； (2)若价值最大的产品是第件（），求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 26．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 27．（2025·湖北襄阳·二模）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ $专题12 马尔科夫链与概率最值 题型一 连续两项特征的马尔科夫链 题型四 作差法求概率最值 题型二 连续三项特征的马尔科夫链 题型五 作商法求概率最值 题型三 基于期望的递推关系 题型六 函数单调性法求概率最值 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 连续两项特征的马尔科夫链 1．（2026·甘肃·一模）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式，易得与的值，对于第二轮操作，需要分成“甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片”与“甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片”两类情况分别求解即得与的值； （2）类比（1）中的第二轮操作，可得，构造等比数列，求出其通项公式，再代值计算即得. 【详解】（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片， 由独立事件的概率乘法公式，可得，同理； 第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0； 若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为， 故，同理可得； （2）由对称性可知， 而只有在次操作后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片时，甲才有的概率在第次有2张“欢”字卡片， 若在次操作后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0， 所以当时，，化简得， 则可构造为， 所以是一个以为首项，以为公比的等比数列， 可得，所以， 所以. 2．（2026·安徽芜湖·一模）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； (3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据已知有，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望； （3）根据已知有，当时，从而得到为等比数列，即可得. 【详解】（1）在一次摸球后有种等可能的结果， 其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果， 故“两球编号之和是3的倍数”的概率为. （2）由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 0 1 2 3 ； （3）由，当时，， 整理可得，又， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 3．（23-24高三上·江苏南京·期中）随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望； (2)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据乘法公式求解概率，即可由期望公式求解， （2）由题意得，即可利用构造法求解为等比数列，即可由等比数列的通项求解. 【详解】（1）设第二天获得的优惠券金额为的可能取值为，第二天抽1张奖券的概率为，抽2张奖券的概率为， 若抽2张奖券，优惠金额20元的概率为，优惠金额30元的概率为， ， ， ， 故第二天获得优惠金额的数学期望. （2）记“第天抽取1张奖券”的概率为，则“第天抽取2张奖券”的概率为， 则“第天抽取1张奖券”的概率为， ， 设，则， 又，则， 所以数列是公比为的等比数列， . 4．（2025·河南南阳·模拟预测）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． (1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； (2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析；数学期望为. (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以， 的通项公式是. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 【答案】(1)， (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率计算公式可求的值，结合的值可求的值.或者分情况讨论，利用互斥事件的概率加法公式求的值. （2）先探索与的递推关系，再根据递推公式求数列的通项公式. （3）先求移动步之后，动点停留在点的概率为，根据服从两点分布，利用给出的公式求即可证明. 【详解】（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， ， 另一种计算的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为； 四次移动中，全部水平移动的概率为； 四次移动中，全部竖直移动的概率是； 相加得. （2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为 则，； 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，. （3）设移动步之后，动点停留在点的概率为， 则根据全概率公式，，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则； ②当移动步之后，动点不停留在点，则； 显然服从两点分布，且， 所以 . 6．（2026·新疆·一模）在正方形轨道的顶点A处有一个机器人，它每次移动会以的概率顺时针移动到轨道上相邻的顶点，或以的概率逆时针移动到轨道上相邻的顶点． (1)若，设机器人移动次后在顶点A的概率为． （i）求； （ii）求． (2)设机器人首次回到顶点A所移动的次数为随机变量，证明：对任意为定值． 【答案】(1)（i），；（ii） (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）根据题意求出，移动2次回到顶点有两种可能：或者， 从而求出.（ii）求出当为奇数时；当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为，所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案：①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点；②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点．从而求出，利用等比数列的通项公式求出，从而得解； （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3，从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为．根据题意得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，从而得到，通过计算求出，与无关，从而得到结论. 【详解】（1）假设为顺时针顺序． （i）机器人移动1次只能到顶点或顶点处，所以， 移动2次回到顶点有两种可能：或者， 所以. （ii）注意到机器人移动奇数次，只能在顶点或顶点处，所以当为奇数时，； 当机器人移动偶数次时，只能在顶点或顶点处，因为在顶点处的概率为， 所以在顶点处的概率为，想要移动次到达顶点，只有两种方案： ①移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点； ②移动次时在顶点，然后再移动2步回到顶点． ， ，是等比数列，公比， 首项为，利用等比数列的通项公式得到， 由（i）知，代入得为偶数， 综上，可得. （2）设机器人在顶点时记为状态1，在顶点时记为状态2，在顶点时记为状态3， 从状态首次回到顶点的移动次数的数学期望记为． 初始从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到，．① 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．② 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．③ 从出发，移动1步，可能以的概率移动到，或者以的概率移动到， ．④ ①+②+③+④可得， 得，与无关， 对任意为定值，都等于4. 题型二 连续三项特征的马尔科夫链 7．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)1499元. 【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为，所以，结合数列递推关系，即可证明是公比为的等比数列. （2）由（1），运用累加法可求得，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等奖的奖金为元，进而可得，解不等式即可. 【详解】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为； 累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为. 所以， 则，又 故为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 将所有等式相加得， 所以， 所以， 设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元， 由题意知元， 解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元. 8．（2026·四川广安·一模）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）． (1)记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和； (2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； (3)求甲获得训练赛胜利的概率． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知获胜条件，分析甲在不同局数下获得最终胜利的可能赛况，再结合相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算可得； （2）由题意易得与，再分析当时可进行下一局比赛，根据已知条件利用全概率公式建立递推关系，可得，经过变形证明等比数列即可； （3）利用第（2）问的等比数列结论，结合 “净胜3局（甲胜）、净胜局（乙胜）” 边界条件（即与），求解比赛初始状态下甲的最终获胜概率即可． 【详解】（1）由题意，甲每局比赛获胜的概率为，则乙每局比赛获胜的概率为， 表示经过 3 局比赛甲获胜的概率， 由甲经过 3 局比赛获胜，又净胜局数为，则甲3局全胜， 故； 为经过5局甲获胜的概率， 某人的净胜局数=某人胜的局数-某人负的局数， 由经过5局甲才获胜，净胜局数为， 则5局中甲胜局负局，且负局必在前局中（若不在，则3 局甲全胜比赛结束），第、局均获胜， ． （2）由题意，​为事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率， 由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为， 故即为甲的净胜局数，所以. 经过若干局后，假定当前， ①当时，即甲的净胜局数， 则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以； ②当时，即甲的净胜局数，乙的净胜局数， 则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则； ③当时， 由甲的净胜局数，则乙的净胜局数为，且， 故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局. 记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”（），事件“下一局比赛甲获胜”， 下一局若甲赢（即事件发生），则；若乙赢（即事件发生），则； 因为，，，且， 所以由全概率公式得， ，即， 因此，整理得， 两边都减去，则可得， 又当时，， 故数列：是公比为2的等比数列． 即数列是公比为2的等比数列． （3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为. 记， 则， 由（2）知，数列是公比为2的等比数列， 则，解得， 所以， 又， 所以， 故甲最终获得训练赛胜利的概率为. 9．（2025·湖南·模拟预测）高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. (1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； (2)若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得. （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对， 所以，，，，， 由全概率公式可得. 所以，该学生能猜对的概率为. （3）由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为， 记得分为的概率为，且，， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 . 因此，丁组获胜的概率为. 10．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i），（ii），当时，是否无限趋近于一个常数，即. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论即可求解， （2）根据，可得递推关系，分情况讨论，结合等比数列的性质求解. 【详解】（1）甲从A盒中摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，乙从B盒中摸到黄球的概率为， 红球的概率为，乙从C盒中摸到黄球的概率为，红球的概率为， 故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为. （2）（i）, , （ii）设事件表示甲乙两人在第轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片， 则 ， 则，或 又， 当时，， 所以，， ， 故为等比数列，且公比为，首项为， 则，故， 而满足上式，因此； 当时，， 则，则， 故为等比数列，且公比为，首项为， 故， 而满足上式，因此， ， 当时，则. 综上可得：故当时，无限趋近于一个常数，即. 题型三 基于期望的递推关系 11．（23-24高三下·湖北武汉·月考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和及极限可得答案； （2）（i）根据可能发生的三种情况即可求解. （ii）根据题意得到，利用递推关系可得. 【详解】（1）由题可知， 记， 则， 相减得： ； 由题意：. （2）（i）. 解得：. （ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为. 即. 整理得：，即， 是公比为的等比数列， 所以. 由（1）知， 代入得：. 12．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据发生的三种可能情况，即可求解. 【详解】由条件可知，， 解得：. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解，以及根据前2次试验结果，发生的三种可能情况. 13．（23-24高二下·江苏常州·月考）在伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为（称为成功的概率），重复该试验直到第一次成功时，进行的试验次数的分布列为，称随机变量服从参数为的几何分布，记作． (1)求证：； (2)设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数，求的最小值；（参考公式：） (3)设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意，由条件概率的公式代入计算，结合几何分布的概率计算公式，即可证明； （2）根据题意，由几何分布的概率公式，即可得到随机变量的分布列，再由期望的计算公式，代入计算，结合错位相减法，即可得到结果； （3）方法一：根据题意，分第一次试验失败与第一次试验成功考虑，列出分布列，结合期望计算公式，即可得到结果；方法二：根据题意，考虑首次出现成功时，下一次成功与下一次不成功讨论，再结合期望计算公式，即可得到结果. 【详解】（1）， （2）的所有可能取值为2，3，…， 且． 由错位相消法，得 同理，（时取等号） （3）记 法1：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2；若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. 2 ，解得 法2：期望表示首次出现成功， 当下一次再成功时，即有连续两次成功，则总试验次数为，概率为； 当下一次不成功时，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为，概率为. 所以，又. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了随机变量分布列问题，以及期望的相关计算，难度较大，解答本题的关键在于理解几何分布的定义，以及结合几何分布的概率公式进行计算. 14．（23-24高二下·河南安阳·期末）阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为_________________. 【答案】12 【分析】根据题意，结合材料可得是公比为的等比数列，即可得到，然后代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，期待在次试验后，首次出现连续次成功， 若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为， 若下一次试验失败，相当于重新试验，后期望仍是， 此时总的试验次数为， 即， 整理可得，即， 即是公比为的等比数列， 所以，其中， 所以. 由问题可知，，则. 故答案为： 题型四 作差法求概率最值 15．（2026·陕西西安·模拟预测）某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 【答案】(1) (2)应先派出同学参加资格赛 (3)应先派出同学参加资格赛 【分析】（1）将所求的概率转化为求同学资格赛至少答对一道试题，同学决赛至少答对一道试题的概率． （2）分别求出，两名同学参加资格赛时要取得分最终成绩的概率，进行比较． （3）分别求出，同学参加资格赛时所取得的最终成绩的期望，进行比较． 【详解】（1）该队最终成绩不低于10分的概率，即为同学资格赛至少答对一道试题，同学决赛至少答对一道试题的概率， 所以． （2）若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 因为， 所以 ， 即，所以应先派出同学参加资格赛． （3）若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 所以． 若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 同理，． 所以． 因为，则，， 则，即， 所以应先派出同学参加资格赛． 16．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和. 某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立. (1)若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率； (2)若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望； (3)设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？ 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3)为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可. （2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可. （3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可. 【详解】（1）已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为. 因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为. 该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对， 所以该班进入决赛的概率为. （2）已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分， 乙初赛答对概率，甲决赛答对概率. 的可能取值为0，3，6，9. ①乙初赛全错或乙初赛至少答对1次但甲决赛全错. . ②乙初赛至少答对1次，甲决赛答对1次. . ③乙初赛至少答对1次，甲决赛答对2次. . ④乙初赛至少答对1次，甲决赛答对3次. . 所以该班的比赛成绩的分布列为 0 3 6 9 数学期望为. （3）成绩为9分的条件：初赛选手至少答对1次，决赛选手3次全答对. 甲初赛，乙决赛：. 乙初赛，甲决赛：. . 因为，所以. 又，，所以，所以. 当时，，此时，即，故乙初赛，甲决赛时，成绩为9分的概率更大； 当时，，此时，即，故甲初赛，乙决赛时，成绩为9分的概率更大； 综上，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛. 17．（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【答案】(1)可靠度   (2)见解析. 【分析】（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案. 【详解】（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为， 故甲型部件的可靠度； （ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且， 故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B， 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C， 则, 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D， 则, 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E， 则, , , , （2）（2）优化后系统可靠度提高了. 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了. 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为； 方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为. ； 因为，所以，，即， 所以当时，两个方案都可以； 当时，方案二可靠度更高. 18．（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． (1)求甲未获得奖品的概率； (2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 【答案】(1) (2)当时，甲投篮次数的期望最大 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）先求出期望的表达式，再利用作差法即可得解. 【详解】（1）甲三次投篮都命中的概率为， 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为 ， 所以甲未获得奖品的概率为. （2）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为 X P 则， 令，则， 所以，其中随的增大而减小. 当时，，，当时，， 所以， 故当时，甲投篮次数的期望最大． 题型五 作商法求概率最值 19．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 20．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算. （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列. （3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【详解】（1）估计平均年龄为. （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 21．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 22．（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球． (1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，； (2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)第次或第次 【分析】（1）分情况列举出所有符合题意的事件，再利用条件概率公式进行求解即可； （2）设该游戏在第次停止的概率为，表示，通过作商确定的最大值. 【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”， “第次摸出红球，并且答题正确”，， “第次摸出黑球，并且答题正确”，， “第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 所以，， 因为，， ，， 所以， 又因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，， 所以， 所以. （2）设该游戏在第次停止的概率为， 则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确， 所以， 所以， 令，解得，令，解得， 所以， 所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为. 题型六 函数单调性法求概率最值 23．（25-26高二上·江西九江·期末）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】(1)①0.5；②答案见解析 (2)第1题 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 24．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 25．（24-25高三上·湖北·期末）某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． (1)若，求和； (2)若价值最大的产品是第件（），求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为，此时 【分析】（1）根据题意直接求，根据同学乙的选法规则，结合排列问题，即可求解； （2）根据题意，结合排列，组合问题，以及古典概型概率公式，即可求解； （3）根据（2）的结果，以及全概率公式求，再构造函数，利用导数求函数的最值. 【详解】（1）由题意可知，， 依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况： 最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个， 其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率 （2）法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法， 先从件产品中挑件产品出来， 其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列， 即； 法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品， 只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即； （3）记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则， 由全概率公式可知，， 当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时, 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时， 此时， 令，，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同学乙的选法规则，利用排列，组合，解决概率问题. 26．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【详解】（1）根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. （2）（ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. 27．（2025·湖北襄阳·二模）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)第2分钟 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. $