湖北武汉市部分学校2025-2026学年高三下学期4月学情测试数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.D因为i(i+2)=P+27=-1-2i,所以其虚部为一2.故选D. 2.BA={x|x2-5.x-14<0}={x|-2<x<7},所以CuA={xx≤-2或x≥7}.故选B. 3.C由等差数列{a}中，a1十a十2a2=4得2a4十2a2=4,a十as=4十a=2,所以S6=15Ca,+a》=15.故选C 2 4.D设该圆锥的底面半径为r,所以圆锥的表面积为2πr十π产，球的表面积为4xX1=4π，所以2πr十π2=4π，解得r= √5-1或r=一√5-1（舍）.故选D. 五A通项公式1=C(2)(方)》广=C(-12号，令9当=-0，可得=6，所以展开式中的常数项为T =C(-1)629-6=672.故选A 6.C设圆心到C的准线的距离为d,则2√20-一1=2厅，所以d=3,号=1，p=2,由=4x与(x-2)2十=20联 立，解得x=4,y=4,所以|AB=8.故选C. 2.D因为(os十cosB》(msa0s8》=msa-cms月=1+9s2-1+gs22=号(os2a-oms29)= 2 2 一sin(a+sin(a=-,所以sim(a十)sin(a-=立，又sin(a-)=子，所以sin(a+)=子，又sin(a-9)= sin as月-sasi=子，sin(a十p)=moc0s计s sin=子，解得sinc=名0 sn=4,所以mg 7 tan B sin acosB=7,故选D. cos asin B 8.C由题意知an=2M·2-1=2M,设第k轮训练的模型参数的数量为Tk,则T1=M,当k≥2时，T6=M十a1十a2+… +a-1=M+M(21+22+…十2-1)=(2-1)M,T=M<1024M,当k≥2时，令T>1024kM,则(2-1)M> 1024kM,即2*-1024k-1>0,设b=2-1024k-1,则b+1一b=2+1-1024(k+1)-1-(2-1024k-1)=2* 1024,当k≤9时，b+1一b<0,当k=10时，b+1一b=0,当k≥11时，b+1一b%>0,所以b2>…>b1o=b1<b12<…,又 b2=一2045<0，b13=一5121<0，b14=2047>0,所以满足2一1024k一1>0的最小正整数是14，即当第k轮训练的模 型参数的数量大于1024kM时，k的最小值为14.故选C 9.BC将10个数由小到大排列为34,35,36,37,37,38,38,38,38,39，则平均数m=34+35+36+37X2+38X4+39= 10 37,A错误；中位数n=37十38=37.5，B正确：极差1=39-34=5，C正确； 2 7=34-372+(35-372+(36-372+(37-37)2×2+(38-37)×4+(39-37》=2.2,D错误.故选BC. 10 10.ACf代x)=5snar+cosa=2sin(u+吾），其最小正周期为x,即T==,所以w=2,A正确：f(r)= 2sin(2x+晋），令2x+吾-=x,k∈Z,解得x=一最+经，k∈乙，由题知a=一音+气，k∈乙又a>0,所以a的最小 值为登，B错误：令-吾+2kx≤2+吾<受+2m,∈7，解得-吾十kx≤≤吾十kx,k∈，所以当=1时，写≤≤ 【高三4月·数学参考答案第1页（共6页）】 WH 号所以x)在区间[管，]上单调递增，C正确：令=2%n(2x+吾)=尽，即sm(2x+若)=9，所以2x+ 晋=哥+kx,6长Z或2x+晋-牙+2，∈乙.即x=x+音k∈Z或x=晋+标，kcZ因为-吾<≤受，所以满 足条件的所有x的值为臣，子，，平，故所有交点的横坐标之和为登十++-，D结误故选AC 11.ACD因为椭圆C与双曲线C2共焦点，所以a一房=a+号，即a好一a=+房，故A正确；根据椭圆和双曲线的定义及P PF+PF2I=2a,(IPFiI=a+a, 在第一象限，得 所以好 设|FF2|=2C,在△FPF2中，由余弦定理，得|FF2|= IPF|-|PF2l=2a,(|PF2|=a-a®， |P℉+|PF2-2 1PE IIPF∠RPR,所以2)2=(a+ae)+(a-a)2-2(a+a)a-e)s经，即 3d+,所以3(d-心)三心一a,即36=%，所以=B6,放B错误；若听+吃=2e6,则怎+ 2:G:发，所以a+a5=22,所以2a+2a5=42,即(a+a)2+(a-a)2=(2c)2,所以Pp2+P |FF2|2,所以PF⊥PF2,故C正确：因为|FF2|=6|PF2|,所以2c=6(a一a2),即c=3(a一a2),所以ee2= 5·-9aa》=9@-20+2=9(-2+号)令1=品，则s=9(-2+}),因为PF|+ al a2 aaz |PFl>FEl,所以2a>2c=6(a-a),所以g<号，因为PF-1PFl<Frl,所以2ae<2c- 6(a-a:),所以0>青所以专<K号，因为y=1一2+在（学，是）上单调递增，所以位<<行，所以<e <号，故D正确.故选ACD, 12.x-y-1=0由f(x)=2x-e,得f(x)=2-e2,所以f(0)=2-e°=1，又f(0)=0-e°=-1，所以函数f(x)的 图象在x=0处的切线方程为y一（一1）=1×(x一0)，即x一y一1=0. 13.v5设5a,b=3bc=4a·c=,则cosa,b>=写ab-60,cosb,c)=3bTa-60,osa,c)=4aTcT 前，又向量夹角的范围为[0，x],所以a,b:c两两的夹角相等，且为兰，所以a+b十c=√a+b十c)= √3+p+5+24cos+40c0s琴+30cosξ=5. 144函数fx)的定义域为R由/)-得f(-)-2-x),所以函数)是偶函数，当>0时， f)=纤)-品，当0时，x>0,当>1时，)<0，放fx)在(0,1上单润递指，在 (1,+∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以∫(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1,0）上单调递减，所以 [f(x)]mx=f(1)=1,又f(0)=0,x~士o∞时，f(x)→0，所 2 f(t)=- 以f(x)的值域为[0,1].令f(x)=t,则t∈[0,1]，由g(x) 2+1 y=cos 0 =0,得f(1)=cos0,因为0<0<交，所以cos0∈(0,1)，画出 y=f(t)与y=cos0的图象如图所示，所以f(t)=cos0有4个根t1,t2,t,t4,其中t1∈(-o∞，一1)，t2∈(-1,0)，t3 【高三4月·数学参考答案第2页（共6页）】 WH ∈(0,1)，t4∈(1，十∞)，由f(x)的图象知f(x)=ti无解，f(x)=t2无解，f(x)=3有4个根，f(x)=t4无解，故 函数g(x)的零点个数是4 15,解：1因为6台中有4台合格品，所以第1次查找的是合格品的概率P=青=号 …2分 (2)X的可能取值为2,3,4,5，…3分 PX=2)号×号，P(X=3》=号×号×+告×号×-PX=4)=青×号×导×号+×告× 是×日+×号× 33 4 3 X PX=5)=1-P(X=2)-PX=3)-PX=40=号，…9分 15 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 品 是 8 1 …11分 0=2x+3×是+4X+5x是-得 13分 16.解：(1)因为2c=a+2 bcos A,由正弦定理得2sinC=sinA十2 sin Bcos A, 即2sin(A+B)=2 sin Acos B+2 sin Bcos A=sinA+2 sin Bcos A,所以sinA(2cosB-1)=0,…2分 又A∈(0，x),sinA>0,所以cosB=2, 1 …3分 又B∈(0，x),所以B= 4分 由S=rsmB=c×号-号得ac=2 …6分 由余弦定理得osB=+。公-号得d+-2=ac,得(a十c)1=3ac十2=8，得a+c=2反.…8分 所以△ABC的周长为a十b+c=√2十2√2=32.…9分 (2)由题意知S△BC=S△BD+S△CD, 所以7arsn号=子×3asn吾+号X3csn吾，即au=月(a+o). 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 12分 由余弦定理得=a2+c2-2acos号则a2+c2-ac=12, 所以(ac)2-9ac=36,解得ac=12,… 14分 所以S=7 aesin B=-X12×号=3.… 15分 17.(1)证明：在△ACC中，由AC-4,CC=BB=2,∠ACC=号， 得AC=√AC+CC-2 ACXCC1Xcos∠ACC=2√3， ……1分 所以AC+CC=AC°，所以AC1⊥CC1, 因为四边形BCCB1是矩形，所以CC1⊥B1C,…。 …3分 【高三4月·数学参考答案第3页（共6页）】 WH 因为AC1,B1C1C平面AB1C,且AC∩BC=C, 所以CC⊥平面ABC.… …5分 (2)解：(1)由(1)知CC⊥平面ABC,因为CCC平面BCCB,ABC平面ABC, 所以平面BCCB⊥平面ABC,CC⊥AB,… …6分 因为BB1∥CC,所以BB1⊥AB, 由AB=AC,BB=CC1,得△ABB1≌△ACC1,所以AB1=AC1=2√3， 取BC1中点O,连接AO,则AO⊥BC, 因为BC1=BC=4,所以AO=22,… …8分 所以VE黄tA,4S=S△GXBB,=子X4X2EX2=8/E. 10分 (ⅱ)以点O为原点，直线OC,OA分别为x轴，之轴，过点O与平面AB1C垂直的直线为 y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2√2)，B(-2,2,0),C(2,2,0), C(2,0,0), 所以AC=(2,2,-22),BC=(4,0,0),CC=(0,2,0). 11分 n…AC=0,2a+2b-22c=0, 设平面ABC的一个法向量n=(a,b,c),则 即 n·BC=0,4a=0, 令c=1,得a=0,b=√2，所以n=(0,2,1),… 12分 m·AC=0,2x+2y-2/2x=0, 设平面ACC1的法向量为m=(x,y,x),则 即 m.CC=0,(2=0, 令之=1，得x=2,y=0,所以m=(2,0,1),… 13分 设平面ABC与平面ACC的夹角为0， 则cos0= n·m 1 1 nm3x,53' 所以平面ABC与平面ACC,夹角的余弦值为3： 15分 a 2 18.解：(1)由题意知 c=5, 2分 (a2=b+c2, (a=2, 解得c=5, …3分 b=1, 所以C的方程为子+y=1 …4分 (2)当直线1的斜率不存在时，直线l的方程为x=5,易得P(,0),此时Q(一2√5,0)，不符合题意；…5分 【高三4月·数学参考答案第4页（共6页）】 WH 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x一√5)，M(x,y),N(x2,), 学+y=1. 由 得(4k2+1)x2-8/5kx+12k2-4=0, y=k(x一√5) 则有十西=m+奥=t(5)十a-5)=-2盛 4k2+1 6分 所以=梦酷w=-码成+0亦- 2 8√3k2 所以xQ=一2xp=- 0=-m-2又点Q在C上，所以 85k2 4k2+1 123k)=1, 4k2+1/ …8分 解得=土2 ,即直线1的斜率为号或一 4 10分 (3)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线1的方程为x=my十，M(,y),N(x2,2). 由题意知直线（的斜率存在，设直线（的方程为y=rx十s, +2=1 4 由 得(42+1)x2+8rsx+(42-4)=0, (y=rx+s 所以△=(8rs)2-4(42+1)(4s2-4)=16(42-2+1)=0,得2=42+1， 所以x1=2(4r年)=2 所以=一学= 所以直线的方程为y=一十，即+一1.… 12分 4y1y1 同理可得直线的方程为兴十%y=1。… 13分 +=1 解得x=4y二)，可得T点的横坐标，即=4y二)， 14分 x2y1一x1y2 x2y1一x1y2 +y=1 又xT=4,可得x2y一x12十y2一1=0，所以(m2十n)y1一(my十)y2十次一y=0,整理得 (n-1)yⅥ-(-1)2=0，即(n-1)(y1一2)=0，所以n=1,…16分 所以直线l的方程为x=y十1，即直线l过定点(1,0).… 17分 19.解：(1)由题意知g(x)=a一e,…1分 当a≤0时，g(x)<0,所以g(x)在（一∞，十∞）上单调递减；… 2分 当a>0时，令g'(x)<0,解得x>lna,令g'(x)>0,解得x<lna,所以g(x)在(-∞，lna)上单调递增，在 (lna,十o∞)上单调递减.… 4分 (2)因为f(一x)=一xcos(一x)=一rcos=一f(x),所以∫(x)是奇函数， …5分 【高三4月·数学参考答案第5页（共6页）】 WH 又fx)=cosx-sinx,当x∈[受，x]时，cosx≤0，sinx≥0，所以f(x)<0,令u(x)=∫()，所以i(x)= -sinx-sim-cosx=-2in-xosx,当xe[0,受]时d(x)≤0.所以u()即∫(x)在[0，受]上单调递减， ……… …6分 又f(0)=1>0,f(受）=-受<0，所以3m∈(0，受），使得f(m)=0,…7分 所以当x∈[0，x)时，(x)>0,当x∈(o,π]时，f(x)<0,所以f(x)在[0，x]上单调递增，在[x0,π]上单调递 减，又f(0)=0,f(π)=一π，f(x0)=ZoCOS Zo∈(0，x),所以当x∈[0，π]时，f(x)∈[-π，f(x0)],…9分 又f(x)是奇函数，所以当x∈[一π，0]时，f(x)∈[-f(xo),π]. 综上，∫(x)在区间[一π，π]上的值域为[一π，π].… …… 10分 (3)若f(x)>≥xg(x)对任意的x∈[一受，十∞)恒成立，即x(e+cosx-ax一2)≥0对任意的x∈[一受，十∞)恒 成立，记(x）=e十osx-ax-2,即h(D≥0对任意的x∈[-受，十o∞)恒成立，且N()=e-snx-a, 当a>1时，当x∈[0，十o∞)，令k(x)=h'(x),则k'(x)=e一cosx≥0，所以k(x)=h(x)在[0，+o∞)上单调递增， 令9(x)=e一x一1，x>0,则9(x)=e-1>0,故9(x)在(0，+o∞)上单调递增，则9(x)≥9(0)=0，所以当x>0 时，e>x+1,又h(0)=1-a<0,h'(1+a)=e1+a-sin(1+a)-a≥e+a-1-a≥1+a+1-1-a=1>0,故存在唯 一的x∈(0，十∞)，使得h(x)=0,当x∈(0，x)时，h'(x)<0,h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)< h(0)=0,此时xh(x)<0,不符合题意。……12分 当a≤1时，(1)若x>0,令m(x)=x-sinx,x>0,则m'(x)=1-cosx≥0，故m(x)在(0，十o∞)上单调递增，则 m(x)>m(0)=0,所以h'(x)=e-sinx-a>1+x-sinx-a>1-a≥0，则h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 h(x)>h(0)=0恒成立，即h(x)>0成立，符合题意； …14分 (i)当x∈[-受，0时，若(x)=(x),则(x)=c+sinx在[-交，0上单调递增，又(0)=1,1(-受)=e音 一1<0，所以存在唯一的x∈(-受，0)，使得(x)=0, 当x∈(-受，)时，1(x)<0,x)在(-受，）上单调递减，当x∈(x,0)时，1(x)>0,1(x)在(，0)上单调递 增，又1(-交）=e音>0,1(0)=0，故存在唯一的∈（-乏，0，使1()=k'()=0, 故当x∈（-变，)时，1(x)=k'(x)>0,k(x)='(x)在(-受，)上单调递增，当x∈(x,0)时，t(x)=k'(x)< 0,k()=(x)在(0)上单调递减，又(-受)=e+1一a>0,k(0)=1-a≥0， 所以x∈[-受，0]时，)='()≥0.则h()在[-受，0]上单调递增，故h(r)≤h0)=0,即h()≥0恒 成立.… …16分 综上，a的取值范围是（一∞，1门.… 17分 【高三4月·数学参考答案第6页（共6页）】 WH高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数i(i+2)的虚部为 A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.已知全集U=R,集合A={x|x2一5x一14<0}，则CA= A.{x|-2<x<7》 B.{xx≤-2或x≥7} C.{x-7<x<2} D.{x|x≤-7或x≥2} 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若a1十a7十2a2=4,则S1s= A.8 B.11 C.15 D.20 4.已知母线长为2的圆锥的表面积与直径为2的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为 A.3-1 2 B.5-1 C51 2 D.5-1 的展开式中，常数项为 A.672 B.84 C.-84 D.-672 6.已知圆(x一2)2+y2=20与抛物线C:y2=2px(p>0)的交点为A,B,与C的准线的交点为D,E.若 IDE=2√1I,则|AB引= A.12 B.46 C.8 D.82 7.已知(cosa+cos)(cosa-c0s月)=-bsin(a-3)=子，则0g ”tanB A.-7 B.-6 C.6 D.7 【高三4月·数学第1页（共4页）】 WH 8.2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办.经过了初赛的“人机协同”，复赛 的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式.最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管 理和精准的反驳能力夺得冠军.某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量 会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为M,从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型 每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列{an},且首项α1=2M,公比q=2.若第k轮训练的模型参 数的数量大于1024kM,则k的最小值为 A.12 B.13 C.14 D.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某地7月11日到7月20日连续10天的最高气温分别为38,38,37,37,35,34,36,39,38,38（单 位：℃)，若这10个数据的平均数为m,中位数为n,极差为t,方差为s2,则 A.m<37 B.n=37.5 C.t=5 D.s2<2 l0.已知函数f(x)=√3sinx十cOS wx(w>0)的最小正周期为π，点(a,0)(a>0)是f(x)图象的一个对 称中心，则下列说法正确的是 A.w=2 Ba的最小值为爱 C(x)在区间[，]上单调递增 D直线y-5与y一x)(一登≤x<）图象的所有交点的横坐标之和为 1已知椭圆G若+苦 @4>b>0)与双曲线C2:名一左=1(a2>0,b2>0)有共同的焦点F,1 为左焦点)，O为坐标原点，C与C2在第一象限交于点P,C1与C2的离心率分别为e1,2,则下列结 论正确的是 A.a-a2=b+b号 B若∠FPF,-,则6=3b, C.若e+e=2eie,则PF⊥PF2 D.若FF=6PF,则ae:的取值范围是(，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=2x一e的图象在x=0处的切线方程为 13.已知两两不共线的三个平面向量a,b,c满足：a=3,b=4,c=5,使得5a·b=3b·c=4a·c, 则|a+b+c= 14已知函数f)者0<受·则函数g()=fr)-as0的零点个数是 【高三4月·数学第2页（共4页）】 WH 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区 别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找 (1)求第1次查找到的是合格品的概率； (2)记X为查找结束时的查找次数，求X的分布列和数学期望， 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2c=a+2 bcos A. (①)若b=厄，△ABC的面积为号，求△ABC的周长： (2)若b=2√，D为AC边上的一点，BD=3,且∠ABD=∠CBD,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面BCCB是矩形，BB=2,AB=AC-4,∠ACC=号. (1)求证：CC⊥平面ABC1; (2)若BC=4. (1)求三棱柱ABC-A1B,C1的体积： (ⅱ)求平面ABC与平面ACC1的夹角的余弦值. 【高三4月·数学第3页（共4页）】 WH 18.(本小题满分17分) 已知横圆C三+芳-1K。>6>0)的右焦点为F(5,0),且C的商心率为汽，直线1与C有两个不同 的交点M,N. (1)求C的方程； (2)若点F在直线l上，点P是线段MN的中点，O为坐标原点，若C上存在点Q,使得OQ十2OP=0, 求直线I的斜率； (3)若C在点M,N处的切线分别为l1,l2,l1与l2交于点T,点T在直线x=4上.试判断：直线1是否 过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xcos x,g(x)=ax十2-e(a∈R). (1)讨论g(x)的单调性： (2)求f(x)在区间[一π，π]上的值域： (3)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[一受，十∞)恒成立，求a的取值范围. 【高三4月·数学第4页（共4页）】 WH