湖北省武汉市第二中学2025届高三下学期5月高考模拟数学试卷

武汉二中2025届高三年级高考模拟试题 数学试卷 1/11 考试时间：2025年5月21日下午15：00-17：00流卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设类合A={p=x2+3reR,B={xeNk2-2x-850,则AnB=（) A.[3,4 B.34 C.[3,to) D.【-24 2.若复数：是纯虚数，则尖数a（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.将正弦曲线y=s血x向左平移个单位得到曲线G,再将曲线G上的每一点的横坐标变为 原来的一得到曲线9，最后将曲线G上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的G.若 曲线G怡好是函数心倒的图象，则)在区间上的值域是（) A.【-l,j B.[-1,2] c.,2 D.[-2,2J 4.把分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号的，那么不同的分法种数为() A.60 B.36 C.30 D.12 5.在无穷等差数列a}中，公差为d,则“存在me,使得4+马+马=a”是“a=d（keN)" 的（) A.充分而不必要条件 B。必要而不充分条件 C.充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 6.某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盘如图所示：底面ABCD是边 长为2的正方形，△4EB,aFBC,△GCD,△DA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCD垂直，则该包装盒的容积为() A.25+6 B.9 D.20 7.如图，椭圆子+分-(e>b0与双曲线号-片-1有共同的右焦点F, 这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B,直线F与双曲线右支的 另个交点为C,△BFC形成以BC为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的 离心率为() B. 2 c.i D. 8.已知函数∫(x)的定义域为R,∫(-)=0，函数y=对(x+3)是奇函数，函数y=(x+)/(s)的图象 关于直线x1对称，则（) A.∫(x)是偶函数 B.(x-)是奇函数 C.f(x+8)=∫x) D.)=0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设样本空问2-5,6,7,8)，且每个样本点是答可能的，已知事件4=5,6，B={57.C=-5,8}, 则下列结论正确的是（) A,事件A与B为互斥事件 B.事件A,B,C两两独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(AC)=P(ClA) 10.如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中，M是梭M上一点（不包含端点），平面MBD与 梭CC交于点N.则下列说法正确的是() A.四边形MBND是平行四边形： B.四边形MBND可能是正方形： C.任意平面MBWD都与平面ACB垂直； D,对任意M点，一定存在过M的直线，使I与直线CD和BC都相交， 11.设0为坐标原点，对点4(y)（其中+y20)进行一次变换，得到点 B(xcos8+ysin8,-xin9+cos),记为B~f(A,),则() A.若B-4,则QA1OB B.若B~f(4),则lo4=lol 高三数学试卷第2页，共4页 C.若c-(Ma小c-f(a,),则4-f(8,a-) D.A为g(小-ar-图象上一动点，B-月 若B的轨迹仍为函数图象，则a2-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(x+)”的展开式的第5项的系数是一、（用数字作答) 13、近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升” 的良好局面.新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂.下表是某地2023 年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码x 2 3 电池级碳酸锂价格y(十万元/吨) 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为9=-0.05x+a,根据数据计算出在样本点(3,3.8) 处的残差为0.1，则a-m的值为一 14.在△MBC中，AB-AC=1,∠A=120°，D为△ABC所在平面内的动点，且AC.AD=1, 则丽+而的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知数列{a,}的各项均为正数，前n项和为S,且a=l,√S是1-S,与S的等差中项 ()证明：数列{风网是等差数列： (2)设b=((S.+a),求数列他}的前2n项和T. 16.已知在三棱锥D-BC中，DM1DC,AB LAC,MD=DCm5,B=√反，BD=V5. (I)证明：平面BCD⊥平面ABC: (2)求二面角A-BD-C的正弦值. 17.已知函数r倒-号-m-l, (1)当m=0时，求曲线f()在(0，f(O)处的切线方程： (2)当m■-2时，求函数()的单调区间： (3)若∫八)在(0，+)上存在签点，求实数m的取值范围. 高三数学试卷第3页，共4页 18。如图，已知椭圆芳+片e>b>0与椭圆6舌+片-1有相同的离心率，点P.列在 椭圆E上.过点P的两条不瓜合直银，山与椭圆E相交于Q,H阴点，与椭四E相交于A,0和 CD四点. (1)求椭四6，的标准方程： (2)求证，Sa■S40wo1 BO DA 3)诺厨 设直线4山的倾斜角分别为a,P,求证： a+P为定值. 19.阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围拱世界冠军.它可 以借助计算机，通过深度种经网络模拟人脑的机削来学习、判断、决策，工程师分别用人类图 拱对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个阶 段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙. (I)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相 互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，分，子记该棋手连胜两局的概率 为p,试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (②)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛 进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率 为“，乙获胜的概率为B,且每局比赛结果相互独立， ()若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E()的最大值： 《)若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛"为事件M,证明：PW)=云+B a 高三数学试卷第4页，共4页 武汉二中2025届高三年级高考模拟试题 数学试卷参考答案 题号 2 3 4 6 8 10 11 答案B B B A B BD ACD ABD 3.【详解1将正弦曲线y=sinx向左平移g个单位得到曲线C:y=sn×+6 的图象： 再将曲线C上的每一点的横坐标变为原来的2得到曲线C,:y=sn2x+君的图象， 最后将曲线c,上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的G:y=2n2x+号的图象 由于曲线G恰好是函数f(凶)-2sn2x+君的图象， 在区同，2x+[,n2x+引[别，2an2x+}et1 故f()在区间0月上的值城是[-1,2]，故选：B. 4.【详解】先将卡片分为符合条件的三份，由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5,6这六个数用两个隔板隔开，在五个 空位插上两个隔板，共C号=10种情况，再对应到三个人有A}=6种情况，则共有10×6=60种法. 故选：A. 5.【详解】充分性：若a=0,d+0,此时a+a2+a=3a+3d=3d,而a%=a+3d=3d,满足4+4+马=a, 即存在meN,使得马+马+马=am,但是马=kd不成立故充分性不成立； 必要性：若a=kd,则A+a+a=d+(k+1)d+(k+2)d=(3k+3)d=a,此时m=2k+4.故必要性满足.故选： B 【详解1如图，把几何体补全为长方体，则AE=AH-号AB=1, AM=√AE2-AE=V2-下=V5,所以该包装盒的容积为 Vo AncVx10 3,故选：c 7.【详解】设左焦点为F,则Al=a+m,|AF=a-m,CF=a+m, |CFl=a+3m,在aA5C中用勾股定理(a+m+(2a)}=(a+3m,化简得 m号所以A-号-a所以F=2c=里，所以-四 故选C 8.【详解】因为y=对(x+3)是奇函数，所以f(x+3)为偶函数， 所以f(-x+3)=f(x+3),即f(-x)=f(x+6),故f(x)的图象关于直线x=3对称， 由y=(x+1)f(X)的图象关于直线x=-1对称得(X+1)f(x)=(-2-x+1)f(-2-), 即(x+1)f(x)=-(x+1)f(-2-×),即f(x)=-f(-×-2),所以f(×)关于(-1,0)对称， 所以f(-x)=-f(x-2),所以f(-×-1)=-f(x-1),故f(x-1)是奇函数，所以B选项正确； 因为f(-x)=-f(x-2),又f(-x)=f(x+6),所以f(x+6)=-f(x-2), 即f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),故C选项错误； 不能得到f(×)的奇偶性与f()的值，故A,D选项错误故选：B 9,【详解】对于选项A,因为A门B={5},所以事件A与B不互斥，故A错误； 对于选项B,PAG)=PBC)=PAg=子，PN=P=P(C)=号 6/11 PAB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),故B正确： 对于选项C,ABC交集为份，则P(ABC)=P(P(e)P(C)-日，故C错误影 对于志频D,风40-智号GA需：故D正放速0 10.【详解】对于A,因为平面MBD,与棱CC,交于点N,所以M,B,D,N四点共面， 在正方体ABCD-ABCD,中，由平面BCCB∥平面ADD,A, 又平面MBD,∩平面ADD,A=MD,平面MBD∩平面BCCB=BN,所以MD,BN, 同理可得ND,MB,故四边形MBND一定是平行四边形，故A正确 对于B,在正方体ABCD-ABCD,中，AD⊥面ABBA,因为BMc面ABBA,所以AD1BM, 若MBND是正方形，有MD,⊥BM,MD=BM,若A,M不重合，则MD⊥BM与AD,⊥BM矛盾，若 A,M重合，则MD,=BM不成立，故B错误； 对于C,因为B8⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以BB⊥AC,又BD⊥AC,BBBD=B,BB,BDc 平面BBDD,所以AC⊥平面BBD,D,又DBc平面BBD,D,所以D,B⊥AC, 同理：D,B⊥A8,又ACc平面ACB,A8c平面 ACB,ACAB =A, 2 D Ci 所以D,B⊥平面ACB,因为DBc平面MBND,所以 平面MBND⊥平面ACB,故C正确 对于D,设M坐标为(1,0，m),/与直线cD和BC分别 相交与N,P Q点坐标(0，q,1),P点坐标为(p,10),且NW=2PM 则有： 1-0-p)得g=m1,时 -9=-1 a网qO0）点线a m-1=m 1 P=1-m 求故D正确， 另解：设平面C,D,M与BB交于R,CR交BCQ 于P,则PM∈平面C,D,M,又CD,∈平面 7/11 CDM 故PM与CD必相交，故直线PM满足要求】 故选：ACD 11,【详解】因为OA=(x》,OB=(y-x),所以可AOB=0,所以OA⊥OB,故A正确； 因为1OA=√？+y,IOB=√？+y,所以OAI-0BI,,故B正确： 因为C~f(Aa),故A~f(C,-a), C(xcos(-a)+ysin(-a).-xsin(-a)+ycos(-a)),Cf(B.B), =[xcos(-a )ysin(-a cosB+[-xsin(-a )ycos(-a)cosB =x(cos(-a)cosB-sin(-a)sinB)+y(sin(-a)cosB+cos(-a)sinB) =xcos(B-a)+ysin(B-a), 同理%=-xsin(B-a)+ycos(B-a),故A~f(B,B-a),故C错误； 对于D,因为B、fA牙)，故将g()=x-又顺时针旋转后仍为函数图像， 故g(X)图象上的任意一点切线的斜率大于或等于-1， 故是之2-1即a2-+到在Qo)上恒成立，故g2-2,故D成立故选：A80 12.210 13.0.25 14.7 13.【详解】由题知3.8-9=3.8-(a-0.05×3)=-0.1,可得a=4.05. 又x.1+2+3+4+5-3,y=41+39+3.8+m+32_15.7+m 5 5 5 由15.7+m.-0.05×3+405,可得m=3.8.故a-m=0.25,故答案为：0.25 5 14.【详解】因为ACAD=1,故AC.AD=AC2,故AC(0-AC)0,故AC.CD=0,所以AC⊥CD, 延长AC至CE,使得CE=AC=1,连接DE,则CD为AE的垂直平分线 故AD=DE,故AD+BD=BD+DE2BE,当且仅当B,D,E共线时等号 成立， 而BE=,1+4-2×1×2× =√万，故B可+可的最小值为万，故答 案为：√万 15.【答案】(1)证明见解析(2)2+3n 【详解】(1)因为√S1是1-S,与S1的等差中项，所以2√S1=1-S,+Sn1, 所以S,=1+S1-251=(（5-1,因为数列{a,}的各项均为正数，所以5>0， 所以5。=5-1，所以S-5。=1, 所以数列{5}是公差为1，首项为√=√瓦=1的等差数列；…(6分) (2)因为数列{5，是公差为1，首项为√5=1的等差数列，所以√S,=1+(n-1)x1=n, 所以5，=7，当n=1时，4=1，当n22时，a=5。-5n1=7-(n-12=2n-1,所以an=2n-1, 所以b=(-1)°(Sn+a). Tan=-S-a+S2+-S-a++a++Sin+a2n =(S2-S)+(S-S)+…+(Szn-S2n-1)(a-马+-a2n)=a2+a+…+a2n-(a-a2+-azn) =-(a+++)+2(a+a+…+a）=-na+anl+2xn@+） 2 2 =-n+4n-3+2xn3+n-.-n2n-1)+n4n+2)=2m+3n (13 2 2 分) 16.【答案】(1)证明见解析 (2)3V1而 10 【详解】(1)取BC的中点为点O,AC的中点为点E,连接DO,EO, 因为△ACD为等腰直角三角形，故AC=√6，故BC=√6， 在△BCD中，DB=DC,DO⊥BC, 在DE0中00-1DE9E09.0,E0-DE, D0⊥E0,:E0nBC=O,且EO.BCc面ABC D0⊥面ABC,又D0面BCD,面BCD1面ABC.…（7分) (2)由(1)得D01面ABC,ABL AC,所以可以以点A为坐标原点，过点A作平行于DO的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则Aaa.K2ao.cQ.o.停 D c-(6o叭-号9-西-aa 设平面BCD的法向量m=(,,), mBC=0→-2x+6y=0 学-2x-4=0m-10) m明=0=26v 设平面A8D的法向量n=(%,,名)， [nAB=0--√2%=0 ni=0=2-6 mn2 2--z0·÷n=02-V6,c<m,丽2×7而=10 8n<m,n2，三面角ABD-G的亚正弦简为3/而 (15分) 10 17.【答案】(1)y=-2x(2)单调递减区间为(-o,0,单调递增区间为(0，+) (3)(-20) 详解】()当m=0时，f0)-=。-1,f0)-0,切点为@0， (X)-X2，六k=0=-2,切线方程为：y=-2x… (3分) 2)当m=-2时，f0-1+2x-1，r-+2 令g纱代W+2,g树-。，令g()-0,得到x=3, e ×e(-”,3)时，g刈>0，g(在(-0,3)》单调递增，即（在(-0,3）单调递增： Xe(3+)时，g(<0,g)在(3+o)单调递减，即f(0在(3，+o)单调递减； 0)=0,且x>3时，f(>0恒成立， ·x变化时，f(x),f()的变化情况如下表： ,00 (0,+m】 0 厂f风 极小值个 f(的单调递减区间是(”，0，单调递增区间为(0，+∞)，…(8分) 3)f1g-m-1, xe0,+o)时，1-x<1,e>1,。-1<0,若m20,则f(0<0恒成立， :f(X)在(0，+)上存在零点，·m<0: r)-会2-m,由(2)可知代在-m,3动单调迷增，在8+m)单调递减 1 f代w-f3-日-m,:m<0,f代3)>0， ①若f(0)20,即-2-m20,m5-2时，xe(0,3,f(W>f0)20,xe3+),fW--2-m>0, e xe(0+o),f八>0，f()在(0，+)单调递增，f(>fO)=0,÷f(无零点。 ②若f'(0)<0,即-2-m<0,-2<m<0时，f'(3)>0,3%∈(0,3)使得f()=0,当x>3时，f(>0, :×变化时，f(x),f(X)的变化情况如下表： ,名名 (名，to 0 极小值下 f()在(0，)上单调递减，∴f(名<f()=0,·f()在0，)无零点。 31.◆-系.8， m m h0=e-1>0,M)单调递增，M0>M)>e>0,÷d-t+1>0 t-410,号-1，-1,30 e m x)机子<0，f代闭在化，+回)上存在零点 综上所述，若f(X)在(0，+0)上存在零点，实数m的取值范围为(-20》… (15分) 18,塔案0营+兰1 (2)证明见解析 (3)a+B=π，证明见解析 84 【详解】()）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有号充子：3戏， 又点P(.)在椭圆气上，有子+日-1，解得2=6，仔=2，所以椭团气的标准方程为+号=1.… 31 6 2 …(3s分） (2)要证Sw=Sno,即证A9=Bq,设A(x,ya)B(a⅓)，P(),Q(名). 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知A9=Bq成立， 当直线斜率存在时，设斜率为k,则AB方程为y-1=k(《-3), y-1=k(x-5) +学1 得(3k+1)X+(6k-63k)x+3(-V3)-6=0. 名*名 63-6k,×%= ；30-3k)-6 3+1 3+1 y-1=k(x-3) 得(3K+1)x+(6k-6W3k)x+30-3kJ-12=0, 61312-6k,x 30-3k)-12 Xa+始= 3k+1 3k+1 得为，+名=X+为，六-X=-名， 1A9=1+2×-x,BQ=V+-l,则有A9=B0. 所以△APD与aBQD等底等高，有S%p0=S00…(10分) (3)由(2)可知AP=BQ,同理有CP=DH, 由8-1品，可得铝-8，则有A91-G404 设直线CD的斜率为k,直线CD方程为y-1=k(x-√)，设C(飞，)，D(,%), y-1=k(x-3) 得(3K+1)x+(6k-6W3)x+31-V3k)-12=0, +%6影：丝%0-6了- 3k+1 3k+1 crDP=+匠x-V+x-l, |AlB职=V+kx-x1+x。-, 所以1+)--=1+片)x-x-, 即(1+)名-为（长+）+=(1+)x-为(+)+， 化商号器器即哈-，由题意长4，所以+传0 所以a+阝=元…（门7分） 19,【答案】(1)在第二局与甲比赛p最大，判断过程见解析 包0分布列见解析，只 ()证明见解析 【详解】(1)该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该机手与甲、乙、丙比赛获胜的餐率分别为子，子，名，记A=,A=子A= 1 1 1 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为A,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为2， 5 则A=2I-P)AA+AA（-A】+2I-AJAA+AAi-P】=A(A+A)-2ABA=2z' 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率P化=P(A+P)-2AAA= .1 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率P%=p(A+P)-2ABA=8' 1 因为A>亿>5，所以该棋手在第二局与甲比赛p最大…(5分) (2)()因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则α+β=1， 由题意得X的所有可能取值为：2,4,5， P(X=2)=a2+B2,