第六章——平行四边形 知识清单 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

知识清单 第六章 平行四边形 一、平行四边形的定义与相关概念 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号“”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”； 相关概念 · 对边：平行四边形中相对的边，如AB与DC、AD与BC； · 对角：相对的角，如∠A与∠C、∠B与∠D； · 邻边：相邻的边； · 邻角：相邻的角； · 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段，如AC、BD 二、平行四边形的性质 边的性质 平行四边形两组对边分别平行且相等 角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 对称性 · 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心； ⚠平行四边形不是轴对称图形； 拓展性质 · 平行四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分，两条对角线将其分成四个面积相等的小三角形； · 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积； 三、平行四边形的判定 判定1 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 判定2 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 判定3 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形； 符号语言：“”表示平行且相等，读作“平行且等于”； ⚠必须是同一组对边平行且相等，若四边形中，一对边平行而另一对边相等，不能判定为平行四边形； 判定4 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 补充：平行线间的距离 定义 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离 性质 平行线间的距离处处相等 四、三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，一个三角形有3条中位线 性质 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 五、多边形的内角和与外角和 多边形的定义 在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形; 各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形; 多边形的对角线 · 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线 · 从n边形的一个顶点出发的对角线把多边形分成(n－2)个三角形 · n边形对角线条数为： 内角和公式 · n边形的内角和 ＝ (n－2) × 180°（n≥3的整数） · 正n边形每个内角 ＝ 外角和定理 多边形的外角和都等于360°（与边数无关） 六、常见题型与考点 考点类别 常见题型 性质应用 利用平行四边形的性质求边长、角度、周长、面积 例题一：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12， ∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6， ∵AB⊥AC， 由勾股定理得：OB＝＝＝10， ∴BD＝2OB＝20． 故选：C． 例题二：如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是 ． 【答案】110 【解答】解：，， 平分， ． ， ． 故答案为：． 例题三：如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【解答】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 例题四：如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 【答案】16 【解答】过点P作PEBC于点E，如图： ∵△PBC面积是8， ∴BCPE=8，∴BCPE=16， ∴平行四边形ABCD面积是16， 故答案为：16． 判定应用 判断能否构成平行四边形： 例题：如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝DC，AD＝BC C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC 【答案】C 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AD∥BC，AB＝DC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵AB∥DC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 添加条件构成平行四边形 例题：在四边形ABCD中，AB=CD，请添加一个条件：        ，使四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AD=BC 【解答】添加条件为：AD=BC，理由如下： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AD=BC（答案不唯一）． 性质与判定综合 例题：如图，在中，，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，，求，两点之间的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【解答】（1）证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即，又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 中位线定理 利用中位线求线段长： 例题：如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵BC＝10，BF＝4， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣4＝6， ∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC， ∵AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DE＝FC＝×6＝3． 故选：B． 中位线与面积问题： 例题：如图，在中，点分别是的中点，连接．过点作于点，连接．若的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】3 【解答】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵的面积为1，即， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：3． 中位线与平行四边形综合问题： 例题：如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3 【解答】（1）证明：，， ． 又是边的中点， ∴， 为的中位线， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， ， ． 多边形 内角和与外角和问题： 例题一：若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（　　）边形． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：∵一个多边形每一个内角都为144°， ∴外角为180°﹣144°＝36°， ∴多边形的边数为360°÷36°＝10， 故选：C． 例题二：若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【解答】解：∵多边形外角和＝360°， ∴这个正多边形的边数是360°÷45°＝8． 故选：C． 例题三：一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（　　） A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6， 故选：D． 对角线问题： 例题：过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形， ∴n﹣2＝7，即n＝9． 故选：D． 截角问题： 例题：一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　） A．17 B．16 C．15 D．16或15或17 【答案】D 【解答】解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据（n﹣2）•180°＝2520°解得：n＝16， 则多边形的边数是15，16，17． 故选：D． 综合应用 平行四边形折叠问题： 例题：如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，交于点，折痕为，若，，则的度数为 ．    【答案】40° 【解答】将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，    ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 平行四边形旋转问题： 例题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝13，AD＝3，将平行四边形ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（    ） A．60 B．65 C．80 D．120 【答案】A 【解答】如图， ∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′， ∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13， ∵AB′∥C′D′， ∴∠D′AB′＝∠BD′C′， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C＝∠DAB， ∴∠C＝∠BD′C′， ∵点C′、B、C在一直线上， 而AB∥CD， ∴∠C＝∠C′BD′， ∴∠C′BD′＝∠BD′C′， ∴△C′BD′为等腰三角形， 作C′H⊥D′B，则BH＝D′H， ∵AB＝13，AD＝3， ∴BD′＝10， ∴D′H＝5， ∴C′H＝＝12， ∴△C′D′B的面积＝BD′•C′H＝×10×12＝60， 故选：A． 平行四边形最值问题： 例题：如图，O是平面直角坐标系原点，，，，，P为线段上一个动点，连结并延长至点E，使得点E落在直线上，以，为邻边作，则对角线的最小值为 ．    【答案】6 【解答】作轴于N，轴于M，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的值最小，此时， ∴最小值为6． 故答案为6．    平行四边形中的存在性问题： 例题：如图，平行四边形在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中，，，E是线段的中点． (1)求出C，D的坐标； (2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点N的坐标为或或 【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴点C的坐标为，点D的坐标为； （2）理由如下： 是线段的中点， ∴点E的坐标为，即， 设点N的坐标为， 当为对角线时，， 解得：， 的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， 的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， 的坐标为， 综上可知，点N的坐标为或或． 平行四边形的动点问题： 例题：如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，则t的值为 ． 【答案】3或3.5 【解答】依题意得：AP=t，PD=AD-AP=12-t，CQ=3t， BQ=BCCQ=13-3t， 若PQ=CD，分为两种情况： ①当四边形PQCD为平行四边形时，即PD=CQ， 12-t=3t，解得：t=3， ②当四边形PQCD为等腰梯形时，即CQ=PD+2(BCAD)， 3t=12-t+2(13-12)，解得：t=3.5， 综上：当t=3s或t=3.5s时，PQ=CD． 故答案为3或3.5． 学科网（北京）股份有限公司 $知识清单 第六章平行四边形 一、平行四边形的定义与相关概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号 定义 :口”表示，如平行四边形ABCD记作“口ABCD”,读 作“平行四边形ABCD”; 对边：平行四边形中相对的边，如AB与DC、AD 与BC; 对角：相对的角，如∠A与∠C、∠B与∠D; 相关概念 邻边：相邻的边； 邻角：相邻的角； 对角线：不相邻的两个顶点连成的线段，如AC、BD 二、 平行四边形的性质 边的性质 平行四边形两组对边分别平行且相等 角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它 对称性 的对称中心； 平行四边形不是轴对称图形； ·平行四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部 分，两条对角线将其分成四个面积相等的小三角形； 拓展性质 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线平 分平行四边形的周长和面积； 三、平行四边形的判定 判定1 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 判定2 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形； 符号语言：“业”表示平行且相等，读作“平行且等于”； 判定3 必须是同一组对边平行且相等，若四边形中，一对 边平行而另一对边相等，不能判定为平行四边形； 判定4 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 补充：平行线间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另 定义 一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离 性质 平行线间的距离处处相等 四、三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，一个三 定义 角形有3条中位线 性质 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 五、多边形的内角和与外角和 在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次 多边形的定义 相接所组成的封闭图形叫做多边形； 各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形； 从n边形的一个顶点可以引(n一3)条对角线 从n边形的一个顶，点出发的对角线把多边形分 多边形的对角线 成(n-2)个三角形 ·n边形对角线条数为：a-到 2 ·n边形的内角和=(n-2)×180°(n≥3的整 内角和公式 数) 正n边形每个内角= (n-2)×180° n 外角和定理 多边形的外角和都等于360°（与边数无关） 六、常见题型与考点 考点类别 常见题型 利用平行四边形的性质求边长、角度、周长、面积 例题一：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是() 性质应用 B A.16B.18C.20D.22 【答案】C 【解答】解：'四边形ABCD是平行四边形，AC=12, .OB=OD,OA=OC=AC=6, .AB⊥AC, 由勾股定理得：OB=√AB2+OA2=V82+62=10, .∴.BD=2OB=20 故选：C 例题二：如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交 CD边于点E,∠AED=35°，则∠B的度数是 【答案】110 【解答】解：~AB‖CD,∠AED=35°， ·∠BAE=∠AED=35° :AE平分∠BAD, ·∠BAD=2∠BAE=70°. :AD‖BC, ·∠B=180°-∠BAD=180°-70°=110°. 故答案为：110. 例题三：如图，MN过平行四边形ABCD对角线的交，点O, 交AD于点M,交BC于点N,若平行四边形ABCD的周长 为20，OM=2,则四边形ABNM的周长为 A B 【答案】14 【解答】'四边形ABCD是平行四边形，周长为20， ÷AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC, ÷CD+AD=10,∠OAM=∠OCN, 在△AMO和△CNO中， ∠OAM=∠OCN OA=OC ∠AOM=∠CON ∴△AMO三△CNO(ASA), ·OM=ON=2,AM=CN, 则四边形ABNM的周长， =BN+AB+AM+M=(BN+AM)+AB+MN =BC+AB+MN=10+4=14, 故答案为：14. 例题四：如图，平行四边形ABCD中，P是边AD上一点，若△PBC 面积是8，则平行四边形ABCD面积是」 B 【答案】16 【解答】过点P作PE⊥BC于点E,如图： △PBC面积是8， ..BC-PE-8,..BC-PE-16, ∴.平行四边形ABCD面积是16， 故答案为：16. 判断能否构成平行四边形： 例题：如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是() B A.OA=OC,OB=OD B.AB=DC,AD=BC C.AD∥BC,AB=DCD.AB∥DC,AB=DC 判定应用 【答案】C 【解答】解：A、OA=OC,OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、.AB=DC,AD=BC, ,四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AD∥BC,AB=DC,不能判定四边形ABCD是平行四 边形，故选项C符合题意； D、AB∥DC,AB=DC, ∴.四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C. 添加条件构成平行四边形 例题：在四边形ABCD中，AB=CD,请添加一个条件： 使四边形ABCD成为平行四边形. 【答案】AD=BC 【解答】添加条件为：AD=BC,理由如下： AB=CD,AD=BC, .四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AD=BC(答案不唯一). 性质与判定综合 例题：如图，在ABCD中，E,F为对角线AC上的两，点（点 E在点F的上方)，AE=CF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当DE⊥AC时，且DE=3,DF=5,求B,D两点之 间的距离· 【答案】(1)见解析(2)2√13 【解答】(1)证明：连接BD交AC于点O, 四边形ABCD是平行四边形， C OB=OD,OA=OC, AE=CF, ·OA-AE=OC-CF, 即OE=OF,又：OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形； (2)解：DE⊥AC,DE=3,DF=5, .EF=VDF2-DE2=V52-32=4, ~四边形BEDF是平行四边形， .OE=EF=2,BD =20D, .0D=VDE2+0E2=V32+22=√13， B,D两，点之间的距离为BD=2OD=2√13. 利用中位线求线段长： 例题：如图，在△ABC中，AB=BC=10,BD平分∠ABC交 AC于，点D,点F在BC上，且BF=4,连接AF,E为AF的 中点，连接DE,则DE的长为() 中位线定理 E B F A.2B.3C.4D.5 【答案】B 【解答】解：BC=10,BF=4, .∴FC=BC-BF=10-4=6, .AB=BC,BD平分∠ABC, ..AD=DC, .‘AE=EF, .DE是△AFC的中位线， .DE-FC-X6-3. 故选：B 中位线与面积问题： 例题：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， 连接DE.过点D作DF⊥BC于点F,连接EF.若△DEF 的面积为1，则四边形DECB的面积为 B 【答案】3 【解答】解：‘，点D、E分别是AB、AC的中点， .DE是△ABC的中位线， ∴.BC=2DE; △DEF的面积为1，即2DE·DF=1, DE·DF=2, ∴.四边形DECB的面积为(DE+BC)DF=×3DE: DF=2x2=3 故答案为：3 中位线与平行四边形综合问题： 例题：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F,G 在边AB上，AG=AC,AE⊥CG交CG于E,EF∥BC. (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)若AB=10,AC=4,求BF的长. 【答案】(1)见解析(2)3 【解答】(1)证明：~AG=AC,AE⊥CE, GE=EC. 又：D是边BC的中点， .'.BD=CD, ·DE为△CGB的中位线， .DE Il AB, EFI BC, :四边形BDEF是平行四边形. (2)解：四边形BDEF是平行四边形， :BF=DE, :D、E分别是BC、GC的中点， BF=DE=BG, AG=AC, BF=3(AB-AG)=3(AB-AC)=2(10-4)=3. 内角和与外角和问题： 例题一：若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是 ()边形. A.6B.8C.10D.12 【答案】C 【解答】解：一个多边形每一个内角都为144°， .外角为180°-144°=36°， .∴.多边形的边数为360°÷36°=10， 故选：C. 例题二：若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形 多边形 的边数是（) A.10B.9C.8D.6 【答案】C 【解答】解：多边形外角和=360°， .这个正多边形的边数是360°÷45°=8. 故选：C. 例题三：一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多 边形是() A.三边形 B.四边形C.五边形D.六边形 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n, 由题意得：(n-2)180°=360°×2，n-2=4,n=6, 故选：D. 对角线问题： 例题：过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形 分成7个三角形，则这个多边形是() A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形 【答案】D 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对 角线，可组成n-2个三角形， .∴n-2=7,即n=9. 故选：D 截角问题： 例题：一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角 和为2520°，则原多边形的边数是() A.17B.16C.15D.16或15或17 【答案】D 【解答】解：多边形的内角和可以表示成(n-2)180°(n≥ 3且是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可 能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据(n-2)180°=2520°解得：n=16, 则多边形的边数是15,16,17. 故选：D 平行四边形折叠问题： 例题：如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使 点A落到E处，交BC于点F,折痕为BD，,若∠CBD= ∠CBE,∠E=120°，则∠DFC的度数为 A B 【答案】40° 【解答】：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A 落到E处， A 综合应用 B ·∠E=∠A=120°，∠ABD=∠DBE, 四边形ABCD是平行四边形， ·AD∥BC, ·∠ABC=180°-∠A=60°， :∠CBD=∠CBE, ∠CBD=∠DBE=∠ABD, ∠DBC=3∠ABC=×60°=20°， ·∠CBE=∠CBD=20°， ÷∠DFC=∠BFE=180°-∠E-∠CBE=40°， 故答案为：40°. 平行四边形旋转问题： 例题：如图，在平行四边形ABCD中，AB=13,AD=3,将 平行四边形ABCD绕，点A旋转，当，点D的对应点D'落在 AB边上时，点C的对应点C'恰好与点B、C在同一直线上， 则此时△C'D'B的面积为() D D B B A.60B.65C.80 D.120 【答案】A 【解答】如图， D D'H B ·口ABCD绕点A旋转后得到~AB'C'D', .∠DAB=∠D'AB',AB=AB'=C'D'=13, AB′∥C'D', ∠D'AB'=∠BD'C', ·四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠C=∠DAB, .∠C=∠BD'C', ‘点C'、B、C在一直线上， 而AB∥CD, ∴.∠C=∠C'BD', ∠C'BD'=∠BD'C', .△C'BD'为等腰三角形， 作C'H⊥D'B,则BH=D'H, ‘AB=13,AD=3, .BD’=10, .D'H=5, .C'H=√132-52=12， △C'D'B的面积=BD'.C'H=10X12=60, 故选：A. 平行四边形最值问题： 例题：如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC,AO⊥OC, AB=1,OC=4,P为线段AO上一个动点，连结PB并延 长至点E,使得，点E落在直线X=2上，以PE,PC为邻边 作PEFC,则对角线PF的最小值为 【答案】6 【解答】作FN⊥x轴于N,EM⊥y轴于M,连接PF, ,四边形PEFC是平行四边形， .PE=CF,PE∥CF, ∴.∠FCN=∠ETC, EM⊥y轴，FN⊥X轴， ∴.∠EMP=∠FNC=90°， EM∥TC, ∴.∠MEP=∠ETC, ∴.∠MEP=∠FCN, ∴.△EMA=△CNF(AAS), ∴.EM=CN=2, .0C=4, .∴ON=OC+CN=4+2=6, 当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF=ON=6, ..最小值为6. 故答案为6. 平行四边形中的存在性问题： 例题：如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点 C都在x轴上，其中OA=4,OB=3,AD=6,E是线段 OD的中点. A E δ (1)求出C,D的坐标； (2)平面内是否存在一，点N,使以A、D、E、N为顶，点的四边 形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存 在，请说明理由. 【答案】(1)C(3,0),D(6,4) (2)存在，点N的坐标为(3,6)或(9,2)或(-3,2) 【解答】(1)解：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=6. OB=3, 0C=6-3=3, .点C的坐标为(3,0)，点D的坐标为(6,4)； (2)理由如下： :E是线段OD的中，点， 点E的坐标为 6+0 即3,2)， 设点N的坐标为（区，y), 当AD为对角线时，空=学”，学=4， 2,2 解得：x=3,y=6, N1的坐标为(3,6)； 当DE为对角线时，生=6空，学=4华， 22 2 解得：x=9,y=2, N2的坐标为(9,2)； 当AE为对角线时，空=学，学=学， 2,2 2) 解得：x=-3,y=2, N3的坐标为(-3,2)， 综上可知，点N的坐标为(3,6)或(9,2)或(-3,2). N2 B 0 平行四边形的动点问题： 例题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm, AD=12cm,BC=l3cm,点P从，点A出发，以lcn/s的速度向，点D运 动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向，点B运动.规定 其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运 动时间为t秒，当P№=CD时，则t的值为」 A P》 【答案】3或3.5 【解答】依题意得：AP=t,PD=AD-AP=12-t,CQ=3t, BQ=BC-CQ=13-3t, 若PQ=CD,分为两种情况： ①当四边形PQCD为平行四边形时，即PD=CQ, 12-t=3t,解得：t=3, ②当四边形PQCD为等腰梯形时，即CQ=PD+2(BC-AD), 3t=12-t+2(13-12),解得：t=3.5, 综上：当t=3s或t=3.5s时，PQ=CD. 故答案为3或3.5.