26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的综合运用，涵盖k的几何意义、与一次函数的综合应用等核心知识点。课堂导入通过复习反比例函数的图象（双曲线）及性质（k与象限、增减性的关系），搭建前导知识支架，逐步过渡到待定系数法求解析式、k的几何意义探究等综合内容。 其亮点是以数形结合为主线，通过k的几何意义探究（从具体函数实例到一般证明）培养抽象能力和推理意识，结合一次函数综合问题（如交点坐标、面积计算、图象比较大小）发展模型意识。例题与练习层次分明，如例3用三角形面积求k，例7通过图象确定取值范围，帮助学生提升综合运用能力，也为教师提供系统教学资源。

26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 第二十六章 反比例函数 学习目标 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 复习引入 问题1 反比例函数的图象是什么？ 问题2 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ ①当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象 限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 反比例函数的图象是双曲线 ②当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象 限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. ③ 越大图像离原点越远. 用待定系数法求反比例函数的解析式 一 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 所以有 ， 所以反比例函数的解析式为 . 解：设这个反比例函数的解析式为 ， 因为点A (2，6)在其图象上， 解得 k =12, 练一练 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， 解：∵ 当 x = －3时， ； 当 x = －1时， ， 反比例函数图象和性质的综合 二 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象， 回答下列问题： 所以m－5＞0， 解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 因此当x1＞x2时，y1＜y2. 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， 练一练 如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可 以是 ( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q(－2，2) 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k 的关系是 . S矩形 AOBP=|k| O P A B y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab= 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab= B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ， 证明： 自己尝试证明 k > 0的情况 即 ab=k. PB=－a,PA=b PB=a,PA=－b －k －k. 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的 关系是 . Q A B y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 对于反比例函数 ， 点Q是其图象上的任意一点， 作QA y轴，作QB x轴， 矩形AOBQ的面积与 k 的关系是 . |k| S矩形AOBQ= S△QAO=S△QBO= A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB y x O A B C C 做一做 如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y 轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则( ) 例3 如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴 于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式． 解： ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴反比例函数的表达式为 ∵反比例函数的图象在一、三象限， 1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 练一练 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 y x O P A N M y x O P A N M 例4 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，PA， CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ； 梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2； △POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 ＞ ＝ y x O P A C D E 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 练一练 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 < S3 A B O C D P E S1 S2 S3 F 解析： 由反比例函数面积的不变性 易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F， 连接 OF， 而 S3＞S△OFE， S△OFE = S1 = S2， 易知， 例5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意 一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于 点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =__ _. y D B A C x 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. 3 2 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为C，D，则四边形ACBD的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 练一练 4 4 y＝－x 4 4 y x O B D y＝－x A C 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ 反比例函数与一次函数的综合 二 b >0 k1 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② k2 >0 k2 >0 y= k2 x+b y= k2 x+b k2 <0 k1 <0 k2 <0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O b <0 b >0 y= k2 x+b y= k2 x+b 例6 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 练一练 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) 例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小简洁明了. 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. y1=kx+b 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 练一练 －1 2 y x 0 A B －1< x <0 或 x >2 如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ． 例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 所以 解得 所以正比例函数的解析式为 反比例函数的解析式为 P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 想一想： 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 反比例函数关于原点对称 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． (2，6)，(－2，－6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练 y = 3x －k + b =2 例9 已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数 y= kx+b与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数解析式及 m 的值. 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 k = 解得 b = －4k + b = 所以一次函数的解析式为 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. 1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) 当堂练习 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 O B A P x y A 2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_______． 3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交 于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集是___________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 解得 k = －8 4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，　 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 . 5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，－4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； x y O B A 所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 得到a =4，b =－2. 得 k = 2， 解：把 A(1，2)代入双曲线解析式 中, 故其解析式为 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中， 将B(m，－4)代人 ，得 x y O B A (2) 求不等式 的解集. 则 x＞1或 . 解：根据图象可知，若 ， (1，2) 1 y=ax + b 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图 象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解：根据题意得 解得 x = 4 y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2 y = 4 y=－x + 2 则AC=2，BD=4. (2) 求△AOB的面积. O A y B x M C D ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 解：一次函数 与x轴的交点为M (0，2) y =－x + 2 ∴OM=2. 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， (－2，4) (4，－2) O A y B x M (－2，4) (4，－2) C E F 课堂小结 反比例函数图象和性质的综合运用 面积问题 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 面积不变性 Lavf57.83.100 $