专题11 随机变量及其分布全章28种题型（期中复习专项训练）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 以概率公式为基础、分布模型为核心，构建从基础概念到实际应用的递进式训练体系，覆盖期中高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基础|5题型（条件概率至贝叶斯公式）|结合生活情境考查公式应用|从条件概率到全概率、贝叶斯公式，形成概率推理链条| |离散型随机变量|8题型（分布列至方差性质）|强调分布列性质及数字特征计算|以分布列为桥梁，衔接均值方差的定义与性质应用| |常见分布|6题型（二项分布至超几何分布）|突出模型识别与实际问题转化|对比二项分布与超几何分布的适用场景，强化模型思想| |正态分布|4题型（密度函数至实际应用）|结合3σ原则考查概率计算|从密度函数性质到标准化转换，体现连续型随机变量的统计应用|

专题11 随机变量及其分布 题型1计算条件概率 题型16方差的期望表示 题型2条件概率性质的应用 题型17利用二项分布求概率 题型3乘法公式 题型18二项分布的分布列与均值 题型4利用全概率公式求概率 题型19服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型5利用贝叶斯公式求概率 题型20建立二项分布模型解决实际问题 题型6写出简单离散型随机变量分布列 题型21超几何分布的均值 题型7利用随机变量分布列的性质解题 题型22超几何分布的方差 题型8由随机变量的分布列求概率 题型23正态密度函数 题型9两点分布 题型24正态曲线的性质 题型10求离散型随机变量的均值 题型25标准正态分布的应用 题型11均值的性质 题型26正态分布的概率问题 题型12由离散型随机变量的均值求参数 题型27根据正态曲线的对称性求参数 题型13两点分布的均值 题型28正态分布的实际应用 题型14离散型随机变量的方差 题型15方差的性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 计算条件概率 1．（2026高三·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 2．（2026高三·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 【答案】/ 【详解】评委团中至少要有2名男教练，共有种， 其中评委团有2名女教练有种， 所以评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为. 3．（2026高二·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 4．（2026高二·山东·期末）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解. 【详解】依题意，的事件有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. 故选：B 5．（2026高二·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出所有满足条件的四位数，再分别计算事件的概率，最后用条件概率公式求解. 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则， 所以， 故选：A． 6．（2026高三·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率可求第一空答案，利用条件概率的公式可求第二空的答案. 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   题型2 条件概率性质的应用 7．（2026高二·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 8．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用条件概率公式及概率的性质判断A、C、D；由事件运算有，进而有判断B. 【详解】A：由，，显然不一定相等，错； B：由，则，而不一定为0，错； 由条件概率公式有，而不一定相等，但有，C错，D对； 故选：ABC 9．【多选】（2026高二·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据并事件的概率计算公式求解；对于B，由即可求解，再由对立事件的概率计算公式即可求；对于C，由A，B可判断C；对于D，由条件概率及其性质可求. 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 10．【多选】（2026高二·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据概率的性质即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据条件概率的性质即可判断D. 【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确； B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确； C选项，若独立，则，C选项错误； D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 表示在事件发生的情况下事件发生的概率， 所以，所以D选项正确． 故选：ABD． 11．（2026高二·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 12．【多选】（2026高二·河北·月考）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则M，N可能不相互独立； C．若，则； D．若，则． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式，结合题设条件即可一一判断正误. 【详解】对于A项，因，且，代入可得， 此时，故A正确； 对于B项，由A项知，当时，有，故M，N互相独立，即B错误； 对于C项，由，得， 因,故，即C正确； 对于D项，， ，故有，即D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题主要考查条件概率公式的应用，属于较难题. 对于条件概率的相关问题，在求解或推理条件概率时，常用方法有： （1）用事件所含的样本点数目表示：即通过公式计算推理； （2）用事件的概率表示：即通过公式计算推理. 题型3 乘法公式 13．（山东泰安市2025-2026学年高二学期4月考试数学试题）若，，则=______． 【答案】/0.3 【详解】由条件概率公式得. 14．（浙江强基联盟2025-2026学年高二学期4月题库数学试题）若随机事件满足，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.08 【答案】D 【详解】根据条件概率公式，可得． 15．（2026高三·贵州贵阳·月考）对于随机事件，若，，，则_________. 【答案】 【分析】利用条件概率公式得到，从而. 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 16．（2026·江西·模拟预测）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 17．（2026·山东临沂·模拟预测）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 18．（2026高二·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】/0.5 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 19．（2026高二·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 20．（2026高二·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解. 【详解】代入，， . 21．（2026高二·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 题型4 利用全概率公式求概率 22．（2026高三·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 23．（2026高三·安徽·月考）若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 24．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 25．（山东东营市2026届高三学期4月份适应性测试数学试题）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】根据全概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】设第2天使用模型为事件C，则. 26．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 27．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 28．（2026高二·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 29．（2026高二·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则，所以， ，， 由全概率公式，得， 即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为． （2）由（1）知，， 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为． 30．（2026高二·浙江衢州·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算概率； （2）应用全概率公式结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则 记恰有两人成功破译的概率为，则 （2）记事件为“丁成功破译密码，则， 设密码能被成功破译为事件E， . 题型5 利用贝叶斯公式求概率 31．（2026高二·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 32．（2026高二·福建·期中）在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率； (2)求接收器测量到两个“1”光子的概率； (3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合条件概率公式求解即可； （2）利用概率的乘法公式、加法公式，结合全概率公式求解即可； （3）直接利用条件概率公式求解即可； 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0”偏振态的光子”， 事件“第二次发送“1”的光子”偏振态， 则，， 由条件概率公式，； （2）设事件“接收器测量到两个1偏振态光子”， 事件“发射器先后发射了0，0光子”， 事件“发射器先后发射了0，1光子”， 事件“发射器先后发射了1，0光子”， 事件“发射器先后发射了1，1光子”， 事件“发射器使用基发送1偏振态光子时接收器测量结果为1”， 事件“发射器使用基发送0偏振态光子时接收器测量结果为0”. ，， ，，，， 则，， ，. 由全概率公式，得： . （3）. 33．（2026高二·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 34．（2026高二·辽宁·期中）假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. （2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. 【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式：, （2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 35．（2026高二·福建厦门·期中）假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． (1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； (2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题，发现这架坠毁飞机残骸分3种情况，利用全概率公式求解； （2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸，利用条件概率公式，全概率公式求出，，再利用贝叶斯定理求解. 【详解】（1）根据题意，飞机坠落在区域1，2，3的概率均为， 所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率： . （2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸， 则，， 利用贝叶斯定理可得. 所以快速检查区域1，2之后未发现残骸，飞机坠落在区域3的概率为. 36．（2026高二·河北沧州·月考）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 题型6 写出简单离散型随机变量分布列 37．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 38．（2026高二·四川凉山·期中）2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 【答案】(1) (2)的情况：0，10，20；对应概率：，， 【分析】（1）甲同学投中2次或3次通过测试分别求出概率即可； （2）分别求出甲、乙通过测试和没有通过测试的概率，分析出0，10，20，进而可以求出所对应的概率； 【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为． （2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为， 根据题意乙同学通过测试的概率为， 所以乙同学没有通过测试的概率为， 则，10，20， 因， ， . 39．（2026高二·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 （2）解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 40．（2026高二·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 41．（2026高二·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)，， (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）利用甲、乙、丙三人都进入决赛的概率之积列方程求解即可； （3）利用分类计算三人相互独立事件发生概率之积来求分布列即可. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 题型7 利用随机变量分布列的性质解题 42．（2026高二·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 【答案】 【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解. 【详解】由概率之和为1可得：，解得. 43．（2026高二·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 44．（2026高二·贵州黔东南·期中）随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，故, 故选：C 题型8 由随机变量的分布列求概率 45．（2026高二·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 46．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 47．（2026高二·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 48．（2026高二·山东临沂·期中）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求解，即可根据求解. 【详解】由表可得， 故， 故选：A 49．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 50．（2026高二·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【详解】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 51．（2026高二·浙江·期中）已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【分析】根据，之间的关系计算即可求得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：C. 52．（2026高二·河北沧州·期中）已知离散型随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 53．（2026高二·全国·单元测试）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】. 故选：A. 54．（2026高二·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 55．（2026高二·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列的性质可得，即可求解. （2）根据即可求解. 【详解】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 56．（2026高二·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】根据两点分布概率性质即可求解. 【详解】由题意有：解得. 故选：B. 57．（2026高二·河北石家庄·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】设，因为服从两点分布， 所以，则，解得． 故选：C． 题型9 两点分布 58．（2026高三·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 59．（2026高二·贵州黔西南·期中）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 所以，∴，∴． 故答案为：. 60．（2026高二·广东·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以． 故答案为：. 61．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举法即可求解. 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 62．（2026高二·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 题型10 求离散型随机变量的均值 63．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列： X -1 0 1 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出的值，进而根据期望公式求解得出答案. 【详解】根据分布列的性质可得，解得， 所以，. 故选：B. 64．（2026高二·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列如图，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率之和为1得，即可根据期望的公式即可求解. 【详解】由表可得，故， 故， 故选：D 65．（2026高二·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】依题意知：的取值为， 故（第一次摸到红球）， （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）， （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）， （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）， 期望：， . 66．（2026高三·河南·开学考试）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【详解】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 67．（2026高二·北京丰台·期中）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. (1)记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； (2)求李华能通过考试的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可； （2）利用互斥事件和的概率公式求解. 【详解】（1）由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. （2）因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知， ，， 所以.   所以李华能通过考试的概率为. 68．（2026高二·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析为： 0 1 2 3 期望为. 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件同时发生的概率建立方程求解； （2）根据次独立重复试验的概率公式求出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件A， 那么，解得. （2）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 69．（2026·广东广州·模拟预测）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 （2）由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 题型11 均值的性质 70．（2026高二·天津·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得； 因此. 故选：D 71．（2026高二·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 72．（2026高二·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得， 所以， 可得. 故选：D 73．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【详解】由表可得， 又可得,解得， 故选：A 74．（2026高二·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【答案】B 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 题型12 由离散型随机变量的均值求参数 75．（2026高二·福建泉州·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质及均值的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， 又，所以. 故选：C． 76．（2026高二·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质及期望公式即可求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：，解得. 故选：A. 77．（2026高二·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【详解】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 78．（2026高二·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 79．（2026高二·北京怀柔·月考）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 80．（2026高二·河北邯郸·期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 题型13 两点分布的均值 81．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 82．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 83．（2026高二·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 84．（2026高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【详解】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 85．（2026高二·广东深圳·月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 86．（2026高二·全国·课后作业）某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（    ） A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，利用期望公式求解. 【详解】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8． 故选：B 题型14 离散型随机变量的方差 87．（2026高二·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 88．（2026高二·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.36 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望、方差的定义列式求解. 【详解】依题意，，解得或， 当时，，不符合题意，符合题意，此时分布列为 X 0 1 2 P 0.36 0.6 0.04 ， 故选：D 89．（2026高二·广东·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 90．（2026高二·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 91．（2026高二·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可； （2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. （2）由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 92．（2026高二·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得； （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得； （3）列出随机变量的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望与方差. 【详解】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，， 因为，， 所以， 即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为. （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，， 因为，，， 所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为 ； （3）由题意可取，，， 所以，，. 所以的分布列为： 0 1 2 则，. 93．（2026高二·海南省直辖县级单位·期中）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）利用概率乘法公式与加法公式计算即可得； （2）得出随机变量X的可能取值后，结合二项分布的性质可得其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布的均值与方差公式即可得其均值和方差. 【详解】（1）设事件{A老师审核通过}，事件{B老师审核通过}，事件{C老师审核通过}， 事件{征文通过筛选}，事件{征文经过复审}， 则，，， ， 所以，每篇征文通过筛选的概率为； （2）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， 则，， ， ， ， ， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 故，. 题型15 方差的性质 94．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（   ） X 0 1 P 0.6 m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而方差为，故B正确； 可得，故D错误. 95．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 96．（2026高二·山西长治·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 且，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先利用分布列的性质求出，再求，最后利用方差的性质求即可. 【详解】由题意有，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 97．（2026高二·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D 98．（2026高二·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 99．（2026高二·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 题型16 方差的期望表示 100．（2026高二·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______． X 0 1 2 P 【答案】1 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 101．【多选】（2026·全国·模拟预测）已知，，随机变量，的分布列如下表所示： 0 1 0 1 下列说法中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据期望与方差公式表示出、、、，再利用作差法结合各选项所给条件判断即可. 【详解】依题意， ， 则， 又， ， 所以， ， 所以 ， 对于A：因为且，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，由于无法确定与的大小关系， 即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故B错误； 对于C：因为，所以，， 所以，即，即，故C正确； 对于D：因为，所以，但是无法确定与的大小关系， 即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故D错误； 故选：AC 102．（2026高二·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）由题意可知，，再根据随机变量表示的意义，利用古典概型概率公式求概率，再写出分布列； （2）根据分布列求期望，再根据公式，求方差. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4. ；； ；. ∴的分布列为 1 2 3 4 （2）的期望：， 又， ∴方差. 103．（2026高二·上海浦东新·期中）一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球，3个是黄球．规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分．现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的得分之和为随机变量．求： (1)的所有可能的取值（直接列出，不需要说明理由）； (2)的分布； (3)的期望和方差（结果保留三位小数）． 【答案】(1)，4，5，6 (2) X 3 4 5 6 P (3)， 【分析】（1）根据取出小球分类即可得到X的值； （2）根据离散型分布列的步骤求解即可； （3）利用方差与期望之间的关系求解可得. 【详解】（1）取出的小球有3红、2红1黄、1红2黄、3黄，共4种情况， 所以 （2）因为 所以的分布列为： X 3 4 5 6 P （3）因为 所以 题型17 利用二项分布求概率 104．（2026高二·安徽蚌埠·月考）若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 105．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 106．（2026高二·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 107．（2026高二·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 题型18 二项分布的分布列与均值 108．（2026高三·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出第二轮拓展知识比拼成功的概率； （2）先求两项任务均成功的概率，利用独立事件的性质得出闯关成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 109．（2026高三·四川成都·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 110．（2026高三·云南昆明·期中）幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合频率分布直方图中每组的频率，利用百分位数的定义求解即可； （2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望． 【详解】（1）由于当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌， 所以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染的频率为， 所以一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数为：； （2）因为这3人中感染幽门螺杆菌的人数为，幽门螺杆菌的感染概率为， ， 因为的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 111．（2026高三·云南玉溪·期中）玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解； （2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望． 【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为， ， ． （2）乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率， ， 的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 112．（2026高三·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 113．（2026高三·云南昆明·月考）某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. (1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 【答案】(1)，75； (2)，2. 【分析】（1）在频率分布直方图中，利用所有小矩形面积和为1，列出的等式，解出．在频率分布直方图中，利用平均数等于每个小矩形的中点值乘以这个小矩形的面积相加求和求出平均成绩； （2）求出内的频率和人数，求出内的人数，求出每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，又，利用二项分布求出和 【详解】（1）由题意，得，解得．参加测试的职工的平均成绩估计为 （2）在内的频率为，由题意得总人数为， 所以在内的人数为． 每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，因此， ，的数学期望. 题型19 服从二项分布的随机变量概率最大问题 114．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 115．（2026高二·山东德州·月考）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 116．（2026高二·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据二项分布概率公式构造不等式组，解题即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 117．（2026高二·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 118．（2026高二·安徽阜阳·月考）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 119．（2026高三·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 120．（2026·北京昌平·模拟预测）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 121．（2026高二·福建厦门·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值，并说明理由 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)5，理由见解析. 【分析】（1）由题意可确定各组内的人数，根据分层抽样确定各组抽取的人数，即可确定X的可能取值，结合超几何分布的概率计算求出每个值对应的概率，即可得分布列以及数学期望； （2）由频率分布直方图可得学生日平均阅读时间在内的概率，确定恰有名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，则可得，结合组合数性质，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数如下， 分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人， 从阅读时间在中抽取1人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望． （2），理由如下：由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率如下， 为 ， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， 则， 由组合数的性质可得时 最大． 122．（2026高三·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 123．（2026·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图： 用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数. (1)若，求的分布列与数学期望； (2)若，求使得取得最大值时的值. 【答案】(1)分布列答案见解析， (2) 【分析】（1）由题意可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）由题意可得，解出的取值范围，结合可得出的的值. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有直方图的面积之和为， 可得，所以， 样本中，成绩在的高中生所占的频率为， 当时，由题意可知， 所以，， ，， 故随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）由题意可知，因为最大，则， 所以，解得， 因为，可得， 故使得取得最大值时的值为. 124．（2026高二·浙江·期中）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. (1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； (2)若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； (3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 【答案】(1)分布列见解析， (2)5个 (3)40 【分析】（1）首先确定随机变量服从二项分布，根据二项分布概率公式，以及期望公式，即可求解； （2）首先确定随机变量服从二项分布，再根据不等式，即可求解； （3）方法一：求获赠1个齐天大圣的次数，再计算花费；方法二：利用状态转移的方法，列出方程，即可求解. 【详解】（1）可取0，1，2，3，由题可知.则，， 分布列： 0 1 2 3 P 期望：； （2）设其开出的哪吒手办的数量为，则. 所以. 由，得，其中且. 即，解得. 所以开出的哪吒手办的最有可能的数量为5个 （3）方法一：设通过活动购买第X个盲盒时，恰好连续开出2个哪吒手办，设其期望为E， 则. 解得. 平均需花费元. 方法二：设总共购买手办的个数的期望为E；表示没有开出哪吒手办，需要连开两个哪吒手办才能获赠；表示刚好开出一个哪吒手办，则需再开一个哪吒手办就能获赠. 由 解得 平均需花费元. 125．（2026高二·辽宁·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分别求解3局2胜制和5局3胜制甲获胜的概率，然后列不等式求解即可. （3）根据二项分布列的概率公式求出，然后根据列不等式求出p的取值范围，然后通过对相邻项作比建立不等式，确定唯一性，即可得解. 【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． （2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． （3）由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 题型20 建立二项分布模型解决实际问题 126．（2026高二·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）基本事件总数，田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，由此能求出田忌获胜的概率； （2）根据（1）及题意三次比赛，田忌获胜次数服从，再由求概率. 【详解】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 127．（2026高二·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【分析】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”．则，根据条件可求结论； （2）方法一：由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求. 方法二：设这4箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则，由二项分布期望公式求，结合关系和期望的性质求. 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 128．（2026·海南海口·模拟预测）2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 【答案】(1)比赛中只完成了一个项目的概率为 (2)答案见解析 (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为 【分析】（1）分析可得每个项目完成的概率均为，结合二项分布求解概率即可； （2）记比赛中得分，则的可能取值为，确定完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变量对应的概率，从而得 分布列； （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，求解的概率，再结合条件概率公式即可得所求. 【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次， 则每个项目完成的概率均为， 设完成比赛项目个数为，则， 则， 故比赛中只完成了一个项目的概率为； （2）记比赛中得分，则的可能取值为， 完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为， 所以， 所以的分布列为： （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为， 所以，， 记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件， 则， 故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 129．（2026高三·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【答案】(1)（i）0.4；（ii）0.352； (2)不存在. 【分析】（1）（i）根据过往比赛中郑钦文胜负情况估算概率求；（ii）法一：用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，再应用二项分布的概率求法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率； （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，进而有求概率范围，即可得结论；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求出不同赛制下郑钦文获胜的概率，列不等式求概率范围，即可得结论. 【详解】（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4． （ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即． 法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1， 前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜． 因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为． （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 那么获胜的概率为 同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中， 那么获胜的概率为 综上，，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率， 所以，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 130．（2026·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）确定的可能取值，再由即可求解； （2）由题意确定，均服从二项分布.即可求解. 【详解】（1）(1)由题意知的所有可能取值为1，2，3， 且，. 所以的分布列为 1 2 3 . （2）设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为， 则，均服从二项分布. 则 . 题型21 超几何分布的均值 131．（2026高二·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 132．（2026高三·重庆·期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【详解】（1）依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2）设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 133．（2026高二·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 134．（2026高二·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）由已知可得从7个球中取3个球的基本事件总数为，设事件然后根据古典概型的计算方法求解即可； （2）由题意可得的所有可能取值，分别计算出概率可得分布列，由期望的公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数， 设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”， 表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥， 且，，， 所以摸出的红球个数多于黄球的概率； （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. 135．（2026高二·福建福州·期中）某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． (1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2) 【分析】（1）根据超几何分布列出其分布列即可； （2）设“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”，则根据题意可得 ，，，再利用全概率公式计算即可. 【详解】（1）可能取的值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列为 则. （2）记“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”， 则由题意知，，， 则， 所以由全概率公式知 ， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为． 题型22 超几何分布的方差 136．（2026高二·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，，． 【分析】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【详解】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 137．（2026高二·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 138．（2026高二·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 139．（2026高二·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)，; 【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差； （2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，得， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 ； . （2）依题意，得， 则，. 140．（2026高二·湖北十堰·期末）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的． (1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率； (2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 【答案】(1) (2)分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好 【分析】（1）利用对立事件：甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，利用超几何分布和二项分布运算求解；（2）利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差，分析理解判断． 【详解】（1）设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A 由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目 故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误 因为 所以 （2）X的所有可能取值为1，2，3 ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以 因为乙班能正确回答题目的人数， 所以，即． 因为， ，， 所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班， 所以选择甲班代表学校参加比赛更好． 题型23 正态密度函数 141．【多选】（2026高二·山东·月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解. 【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，， ，故，所以曲线关于直线对称正确； 对于B，当时，的峰值为，故不正确； 对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确； 对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确. 故选：ACD 142．【多选】（2026·山东泰安·模拟预测）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为100 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大 【答案】AC 【分析】由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D. 【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确； ，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确； 根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误； 故选：AC 143．【多选】（2026高二·广东广州·月考）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中正确的是（    ） A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学标准差为100 【答案】AC 【分析】首先由正态密度函数的表达式，确定，，判断AD；再结合函数的对称性，判断BC. 【详解】利用正态密度函数的表达式知，．故A正确，D不正确；利用正态曲线关于直线对称，根据对称性可知，，所以分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数不相同，故B不正确，知，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确． 故选：AC 题型24 正态曲线的性质 144．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 145．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 146．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 题型25 标准正态分布的应用 147．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 148．（2026高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，参考列方程即可求得； （2）根据对立事件的概率可得，从而可知指标在之内的件数服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 149．（2026·江苏南通·模拟预测）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准正态分布的对称性可得，运算求解结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 150．（2026·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 151．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型26 正态分布的概率问题 152．（2026高二·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为，则. 故选：A. 153．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 154．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知随机变量，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.5 【答案】C 【分析】由随机变量得正态曲线关于直线对称，所以且，进一步可得结果. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 所以，且， 所以， 故选：C. 155．（2026高二·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，则， 所以. 故选：C 156．（2026高二·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合对称性得出，再由对称性得出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以A正确； 故选：A 157．【多选】（2026高二·山东青岛·期末）已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解. 【详解】由，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差性质，，故D正确. 故选：ABD 题型27 根据正态曲线的对称性求参数 158．（2026高二·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解本题. 【详解】已知随机变量，实数满足， 所以，解得. 159．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 160．（2026·江西新余·模拟预测）已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 161．（2026高三·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求的值. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为． 又因为，所以，解得． 162．（2026高三·上海黄浦·月考）已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 【答案】30 【详解】该正态曲线关于对称，所以，即. 163．（2026·四川德阳·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 【答案】2 【详解】由，则， 结合正态分布的对称性知， 所以，则 164．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 165．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 题型28 正态分布的实际应用 166．【多选】（2026·四川·模拟预测）某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 【答案】ABC 【详解】日销售量的平均值为， 所以可以估计约为，故A正确； 因为日销售量X近似服从正态分布，所以， 所以， 所以日销售量在范围内的天数约为天，故B正确； 可得， 所以，故C正确； 若未来连续3天的日销售量都超过，这不能说明日销售量不服从正态分布， 在正态分布下它也是可能发生的，只是发生的可能性极小，故D错误. 167．（2026高二·云南·期中）据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（   ） 参考数据：，， A．216 B．221 C．237 D．241 【答案】D 【分析】根据三段区间的概率及对称性求概率，进而估计人数. 【详解】身高不在的概率为或， 所以，人数大约是人. 故选：D 168．（2026高二·广东惠州·期中）在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【分析】将正态总体向标准正态总体转化，求出概率 ，随后乘以总人数即可得到答案． 【详解】解：因为理科生的数学成绩服从正态分布，，， 所以 ， 所以， 故该学生的数学成绩大约排在全市第名． 故选． 169．（2026高二·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 【答案】A 【分析】计算出，结合，得到答案. 【详解】，故， 又，故， ， 所以估计不合格的学生人数约为23人. 故选：A 170．（2026高二·宁夏银川·期中）我校高中三年级名学生参加了自治区高考模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布（试卷满分为分），统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性求出，乘以可得结果. 【详解】因为，所以，， 因此，此次统考中成绩不低于分的学生人数约为. 故选：C. 171．（2026高三·甘肃白银·月考）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 172．（2026·山东济南·模拟预测）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 173．（2026高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)2.3% (2)32740． 【分析】（1）利用正态分布的对称性求指定区间的概率可得； （2）由正态分布的对称性求指定区间的概率可得. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量X，则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.3%． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为32740． 174．（2026高二·宁夏石嘴山·期中）某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 175．（2026高二·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 176．（2026高二·福建三明·期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 177．（2026高二·宁夏银川·期中）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)数学期望为6，方差为5 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【小题1】事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小题2】的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小题3】由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 178．（2026高二·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 179．（2026高二·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】(1)62； (2)71； (3)455. 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【详解】（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. （2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. （3）由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 180．（2026高二·河南驻马店·月考）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数. （2）利用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. $专题11 随机变量及其分布 题型1计算条件概率 题型16方差的期望表示 题型2条件概率性质的应用 题型17利用二项分布求概率 题型3乘法公式 题型18二项分布的分布列与均值 题型4利用全概率公式求概率 题型19服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型5利用贝叶斯公式求概率 题型20建立二项分布模型解决实际问题 题型6写出简单离散型随机变量分布列 题型21超几何分布的均值 题型7利用随机变量分布列的性质解题 题型22超几何分布的方差 题型8由随机变量的分布列求概率 题型23正态密度函数 题型9两点分布 题型24正态曲线的性质 题型10求离散型随机变量的均值 题型25标准正态分布的应用 题型11均值的性质 题型26正态分布的概率问题 题型12由离散型随机变量的均值求参数 题型27根据正态曲线的对称性求参数 题型13两点分布的均值 题型28正态分布的实际应用 题型14离散型随机变量的方差 题型15方差的性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 计算条件概率 1．（2026高三·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 2．（2026高三·江西赣州·期中）某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 3．（2026高二·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·山东·期末）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 题型2 条件概率性质的应用 7．（2026高二·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高二·河南商丘·期中）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高二·吉林通化·期末）已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则独立 C．若独立，则 D． 11．（2026高二·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高二·河北·月考）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则M，N可能不相互独立； C．若，则； D．若，则． 题型3 乘法公式 13．（山东泰安市2025-2026学年高二学期4月考试数学试题）若，，则=______． 14．（浙江强基联盟2025-2026学年高二学期4月题库数学试题）若随机事件满足，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.08 15．（2026高三·贵州贵阳·月考）对于随机事件，若，，，则_________. 16．（2026·江西·模拟预测）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026·山东临沂·模拟预测）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026高二·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 19．（2026高二·浙江宁波·月考）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 20．（2026高二·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 题型4 利用全概率公式求概率 22．（2026高三·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 23．（2026高三·安徽·月考）若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 24．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 25．（山东东营市2026届高三学期4月份适应性测试数学试题）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 26．（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 27．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 28．（2026高二·北京丰台·期中）某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 29．（2026高二·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 30．（2026高二·浙江衢州·期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 题型5 利用贝叶斯公式求概率 31．（2026高二·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 32．（2026高二·福建·期中）在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率； (2)求接收器测量到两个“1”光子的概率； (3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率. 33．（2026高二·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 34．（2026高二·辽宁·期中）假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 35．（2026高二·福建厦门·期中）假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． (1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； (2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率． 36．（2026高二·河北沧州·月考）“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 题型6 写出简单离散型随机变量分布列 37．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 38．（2026高二·四川凉山·期中）2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 39．（2026高二·广东佛山·期中）甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 40．（2026高二·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 41．（2026高二·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 题型7 利用随机变量分布列的性质解题 42．（2026高二·北京丰台·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 43．（2026高二·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026高二·贵州黔东南·期中）随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（    ） A． B． C． D． 题型8 由随机变量的分布列求概率 45．（2026高二·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 46．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 47．（2026高二·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 48．（2026高二·山东临沂·期中）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 49．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 50．（2026高二·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 51．（2026高二·浙江·期中）已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 52．（2026高二·河北沧州·期中）已知离散型随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D．1 53．（2026高二·全国·单元测试）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 54．（2026高二·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 55．（2026高二·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 56．（2026高二·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 57．（2026高二·河北石家庄·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 题型9 两点分布 58．（2026高三·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 59．（2026高二·贵州黔西南·期中）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 60．（2026高二·广东·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______． 61．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 62．（2026高二·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 题型10 求离散型随机变量的均值 63．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列： X -1 0 1 则的值为（    ） A． B． C． D． 64．（2026高二·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列如图，则（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 65．（2026高二·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 66．（2026高三·河南·开学考试）不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 67．（2026高二·北京丰台·期中）李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. (1)记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； (2)求李华能通过考试的概率. 68．（2026高二·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 69．（2026·广东广州·模拟预测）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 题型11 均值的性质 70．（2026高二·天津·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 71．（2026高二·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 72．（2026高二·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（    ） A．2.4 B．6.4 C．12 D．16 73．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 74．（2026高二·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 题型12 由离散型随机变量的均值求参数 75．（2026高二·福建泉州·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） A． B． C． D． 76．（2026高二·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 77．（2026高二·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 78．（2026高二·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 79．（2026高二·北京怀柔·月考）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 80．（2026高二·河北邯郸·期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 题型13 两点分布的均值 81．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 82．（2026高二·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 83．（2026高二·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 84．（2026高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 85．（2026高二·广东深圳·月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 86．（2026高二·全国·课后作业）某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（    ） A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 题型14 离散型随机变量的方差 87．（2026高二·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 88．（2026高二·安徽合肥·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.36 则（    ） A． B． C． D． 89．（2026高二·广东·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 90．（2026高二·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 91．（2026高二·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 92．（2026高二·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 93．（2026高二·海南省直辖县级单位·期中）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响． (1)求每篇征文通过筛选的概率； (2)从投稿的征文中随机抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列、均值和方差． 题型15 方差的性质 94．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（   ） X 0 1 P 0.6 m A． B． C． D． 95．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 96．（2026高二·山西长治·期中）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 且，则（   ） A．5 B．7 C． D． 97．（2026高二·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 98．（2026高二·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 99．（2026高二·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型16 方差的期望表示 100．（2026高二·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______． X 0 1 2 P 101．【多选】（2026·全国·模拟预测）已知，，随机变量，的分布列如下表所示： 0 1 0 1 下列说法中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 102．（2026高二·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 103．（2026高二·上海浦东新·期中）一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球，3个是黄球．规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分．现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的得分之和为随机变量．求： (1)的所有可能的取值（直接列出，不需要说明理由）； (2)的分布； (3)的期望和方差（结果保留三位小数）． 题型17 利用二项分布求概率 104．（2026高二·安徽蚌埠·月考）若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 105．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 106．（2026高二·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 107．（2026高二·北京·月考）某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 题型18 二项分布的分布列与均值 108．（2026高三·安徽宣城·期末）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 109．（2026高三·四川成都·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 110．（2026高三·云南昆明·期中）幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000份体检报告，发现共有600份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况. (1)当地一社区约有居民10250人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数； (2)从当地随机抽取3人，求这3人中感染幽门螺杆菌的人数的分布列和数学期望. 111．（2026高三·云南玉溪·期中）玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 112．（2026高三·云南·期中）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 113．（2026高三·云南昆明·月考）某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. (1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 题型19 服从二项分布的随机变量概率最大问题 114．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 115．（2026高二·山东德州·月考）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 116．（2026高二·湖南·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 117．（2026高二·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 118．（2026高二·安徽阜阳·月考）重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 119．（2026高三·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 120．（2026·北京昌平·模拟预测）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 121．（2026高二·福建厦门·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值，并说明理由 122．（2026高三·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 123．（2026·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图： 用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数. (1)若，求的分布列与数学期望； (2)若，求使得取得最大值时的值. 124．（2026高二·浙江·期中）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. (1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； (2)若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； (3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 125．（2026高二·辽宁·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 题型20 建立二项分布模型解决实际问题 126．（2026高二·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 127．（2026高二·安徽芜湖·期中）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 128．（2026·海南海口·模拟预测）2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 129．（2026高三·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 130．（2026·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过. (1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望. (2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求. 参考数据：. 题型21 超几何分布的均值 131．（2026高二·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 132．（2026高三·重庆·期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 133．（2026高二·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 134．（2026高二·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 135．（2026高二·福建福州·期中）某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． (1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 题型22 超几何分布的方差 136．（2026高二·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 137．（2026高二·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 138．（2026高二·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 139．（2026高二·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 140．（2026高二·湖北十堰·期末）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的． (1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率； (2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 题型23 正态密度函数 141．【多选】（2026高二·山东·月考）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 142．【多选】（2026·山东泰安·模拟预测）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为100 B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大 143．【多选】（2026高二·广东广州·月考）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中正确的是（    ） A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学标准差为100 题型24 正态曲线的性质 144．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 145．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 146．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 题型25 标准正态分布的应用 147．【多选】（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 148．（2026高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 149．（2026·江苏南通·模拟预测）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 150．（2026·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 151．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型26 正态分布的概率问题 152．（2026高二·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 153．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 154．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知随机变量，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.5 155．（2026高二·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 156．（2026高二·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 157．【多选】（2026高二·山东青岛·期末）已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 题型27 根据正态曲线的对称性求参数 158．（2026高二·辽宁大连·期中）已知随机变量，实数满足，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 159．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 160．（2026·江西新余·模拟预测）已知随机变量，且，则___________ 161．（2026高三·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 162．（2026高三·上海黄浦·月考）已知随机变量 服从正态分布 ，实数 满足 ，则 ___. 163．（2026·四川德阳·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 164．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 165．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 题型28 正态分布的实际应用 166．【多选】（2026·四川·模拟预测）某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 167．（2026高二·云南·期中）据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（   ） 参考数据：，， A．216 B．221 C．237 D．241 168．（2026高二·广东惠州·期中）在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 169．（2026高二·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 170．（2026高二·宁夏银川·期中）我校高中三年级名学生参加了自治区高考模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布（试卷满分为分），统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为（ ） A． B． C． D． 171．（2026高三·甘肃白银·月考）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 172．（2026·山东济南·模拟预测）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 173．（2026高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 174．（2026高二·宁夏石嘴山·期中）某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 175．（2026高二·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 176．（2026高二·福建三明·期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 177．（2026高二·宁夏银川·期中）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 178．（2026高二·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 179．（2026高二·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 180．（2026高二·河南驻马店·月考）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． $