2026年中考数学模拟猜题卷（江苏徐州专用）

**基本信息** 2026年中考数学模拟猜题卷以《周髀算经》七衡六间图、染色体碱基对科学记数法、“光盘行动”统计等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、运算能力、数据意识等核心素养，适配二轮专题复习对综合能力的提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、中心对称图形、事件类型等|2题结合传统文化考查中心对称，体现数学眼光| |填空题|10/30|科学记数法、中位数、分式方程、反比例函数等|9题以染色体碱基对数据考查科学记数法，渗透数据意识| |解答题|10/86|方程不等式、概率统计、几何证明、函数应用等|22题“光盘行动”统计分析考查数据处理，27题篮球赛抛物线建模体现模型意识，28题正方形综合探究发展推理能力与创新意识|

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 2．七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图（不考虑图形中的文字），其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，则“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 4．下列运算中，不正确的是（　　） A．2a+3a＝5a B．（a3）2＝a6 C．a2•a3＝a5 D．（﹣2a）2＝﹣4a2 5．若式子有意义，则x应满足的条件为（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（　　） A．11 B．8 C．7 D．6 8．一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式mx+n≤ax+b的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣3 D．x≥﹣3 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．染色体是细胞核中遗传物质DNA的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共有超过249000000个碱基对，将249000000用科学记数法可表示为　 　 ． 10．一双好眼睛，能更好地探索未来，央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于5.0，特警需要裸眼视力不低于4.8，射箭运动员需要裸眼视力不低于4.8，船长需要裸眼视力不低于5.0．数据5.0，4.8，4.8，5.0的中位数是　 　 ． 11．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　 　 ． 12．分式方程的解是　 　 ． 13．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（2，y1）和（3，y2），当y1＞y2时，m的取值范围为　 　 ． 14．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为 　 　 cm． 15．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是 　 　 ． 16．若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是　 　 ． 17．由黑色和白色的正方形按一定规律组成的图形如图所示，从第二个图形开始，每个图形都比前一个图形多3个白色正方形，则第n个图形中有白色正方形　 　 个（用含n的代数式表示）． 18．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：①2b﹣c＝2；②a；③ac＝b﹣1；④0，其中正确的序号有 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算： （1）； （2）． 20．（10分）（1）解方程：2x2+4x﹣2＝0； （2）解不等式组： 21．（7分）三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液．记为A、B、C． （1）若从中任选一种溶液，则选中C溶液的概率为　 　 ； （2）已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．现从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，请用“画树状图”或“列表”的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 22．（6分）“粒米虽小君莫扔，勤俭节约留美名”，重庆一中校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重．于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了统计图，如图是两个不完整的统计图． 根据以上信息，解答以下问题： （1）这次被调查的同学有　 　 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“剩一半”对应的扇形的圆心角是　 　 度； （3）校学生会通过数据分析，估算出这次被调查的所有同学一餐浪费的食物可以供80名同学食用一餐．请估计全校3600名学生一餐浪费的食物可供多少名同学食用一餐？ 23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，若AC⊥BD时，求证：四边形AECF为菱形． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当cosC，BC＝10时，求的值． 25．（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是5m，物体C到定滑轮A的垂直距离是12m．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动4m，求物体C升高的距离． 26．（9分）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作出直线AP，使AP⊥AB，点P为格点； （2）在图②中作出以线段AB为腰的等腰三角形ABC，点C为格点，且△ABC的面积为8； （3）在图②中作出△ABC的外接圆圆心O（不要求画⊙O）． 27．（10分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 28．（10分）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，连接DE，过点F作DE的垂线，交AB边于点G上，他发现DE、GF之间的存在着一定的数量关系．小明将GF沿AD方向平移到DH，连接CH．根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE＝DH，继而得到DE＝GF． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A＝60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M．若∠EMG＝60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正方形ABCD中，点E在边AB上，M，N分别在边AD，BC上，连接DE，MN，若∠EON＝45°，AB＝4，，求线段DE的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG．若AB＝6，CE＝2BE，请直接写出AG+EF的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图（不考虑图形中的文字），其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A．选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．选项中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D．选项中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，则“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【分析】直接利用必然事件的定义得出答案． 【解答】解：∵一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同， ∴事件“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件． 故选：A． 【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键． 4．下列运算中，不正确的是（　　） A．2a+3a＝5a B．（a3）2＝a6 C．a2•a3＝a5 D．（﹣2a）2＝﹣4a2 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：A．2a+3a＝5a，正确，不符合题意； B．（a3）2＝a6，正确，不符合题意； C．a2•a3＝a5，正确，不符合题意； D．（﹣2a）2＝4a2，故不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．若式子有意义，则x应满足的条件为（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3 【分析】根据二次根式有意义的条件得2x+6≥0，求出答案即可． 【解答】解：因为有意义， 所以2x+6≥0， 解得x≥﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式被开方数大于等于零． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：A、，符合题意； B、32，不符合题意； C、4，不符合题意； D、2，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 7．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（　　） A．11 B．8 C．7 D．6 【分析】由正方体展开图的特征得出结论． 【解答】解：当折成纸盒时，与数2重合的数是6， 故选：D． 【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是关键． 8．一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式mx+n≤ax+b的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣3 D．x≥﹣3 【分析】依据题意，一次函数y＝mx+n与y＝ax+b的交点的横坐标为﹣2，当x＞﹣2时y＝mx+n的图象在y＝ax+b的图象下方，进而可以判断不等式mx+n≤ax+b的解集． 【解答】解：由题意得，不等式mx+n≤ax+b的解集是y＝mx+n的图象在y＝ax+b的图象下方部分对应的自变量的取值范围， 又∵由图知一次函数y＝mx+n与y＝ax+b的交点的横坐标为﹣2 ∴结合图象可得，x≥﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式与一次函数之间的关系．观察图象即可得解．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．染色体是细胞核中遗传物质DNA的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共有超过249000000个碱基对，将249000000用科学记数法可表示为　2.49×108 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：249000000＝2.49×108． 故答案为：2.49×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．一双好眼睛，能更好地探索未来，央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于5.0，特警需要裸眼视力不低于4.8，射箭运动员需要裸眼视力不低于4.8，船长需要裸眼视力不低于5.0．数据5.0，4.8，4.8，5.0的中位数是　4.9　 ． 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：把数据5.0，4.8，4.8，5.0从小到大排列为4.8，4.8，5.0，5.0， 故数据5.0，4.8，4.8，5.0的中位数是4.9． 故答案为：4.9． 【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 11．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　﹣1　 ． 【分析】由x与y互为相反数，得y＝﹣x，代入原方程组，得到关于x和m的方程，解出m的值即可． 【解答】解：∵x与y互为相反数， ∴y＝﹣x， 将y＝﹣x代入方程组得： 化简得： ， ①+②得：m+2+m＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 12．分式方程的解是x　 ． 【分析】根据解分式方程的步骤，对所给分式方程进行求解即可． 【解答】解：， 3（2x+1）+x（2x+1）＝2x2， 6x+3+2x2+x＝2x2， 7x＝﹣3， x． 当x时， x（2x+1）≠0， 所以x是原方程的解． 【点评】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． 13．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（2，y1）和（3，y2），当y1＞y2时，m的取值范围为m＞0　 ． 【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，y1）和（3，y2），且y1＞y2， ∴m＞0， 故答案为：m＞0． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 14．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为 　36　 cm． 【分析】由三角形中位线定理推出EF＝FG＝GH＝HE，得到四边形EFGH是菱形，即可求出四边形EFGH的周长为9×4＝36cm． 【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAC18＝9cm， 同理FGBD，HGAC，EHBD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）． 故答案为：36． 【点评】本题考查菱形的判定，矩形的性质，中点四边形，三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理，菱形的判定方法． 15．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是 　　 ． 【分析】由DG＝EG，得S△ADG＝S△AEG，则S△AED＝S△ADG+S△AEG＝9，由翻折得S△ABD＝S△AED，因为AD垂直平分BE，所以∠AFB＝∠DFB＝90°，则BF3，由AD•BF＝S△ABD，得3AD，则AD＝5，所以DF＝1，则BD，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DG＝EG，△AEG的面积为， ∴S△ADG＝S△AEG， ∴S△AED＝S△ADG+S△AEG， 由翻折得△ABD≌△AED， ∴S△ABD＝S△AED， ∵点E与点B关于直线AD对称， ∴AD垂直平分BE， ∴∠AFB＝∠DFB＝90°， ∵AF＝4，AB＝5， ∴BF3， ∵AD•BF＝S△ABD， ∴3AD， 解得AD＝5， ∴DF＝AD﹣AF＝5﹣4＝1， ∴BD， 故答案为：． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、“等底等高的三角形面积相等”、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出AD的长是解题的关键． 16．若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是　﹣4　 ． 【分析】根据题意，得出a＞0，再根据函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象与y＝﹣ax2+bx+2图象之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4， 所以a＞0，且抛物线顶点的纵坐标为4． 因为二次函数y＝ax2﹣bx﹣2的图象与二次函数y＝﹣ax2+bx+2的图象关于x轴对称， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2顶点的纵坐标为﹣4，且开口向上， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2有最小值﹣4． 将二次函数y＝ax2﹣bx﹣2向左平移1个单位长度可得函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象， 所以函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，能根据题意得出y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象与y＝﹣ax2+bx+2图象之间的关系是解题的关键． 17．由黑色和白色的正方形按一定规律组成的图形如图所示，从第二个图形开始，每个图形都比前一个图形多3个白色正方形，则第n个图形中有白色正方形　（3n﹣1）　 个（用含n的代数式表示）． 【分析】仔细观察图形，找到图形的个数与白色正方形的个数的通项公式，即可求解． 【解答】解：观察图形发现： 图①中有2个白色正方形， 图②中有2+3×（2﹣1）＝5个白色正方形， 图③中有2+3（3﹣1）＝8个白色正方形， 图④中有2+3（4﹣1）＝11个白色正方形， …， 图n中有2+3（n﹣1）＝3n﹣1个白色的正方形． 故答案为：（3n﹣1）． 【点评】此题主要考查了图形变化规律，根据已知数据得出第n个图形的白色正方形的数目的通项表达式是解题关键． 18．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：①2b﹣c＝2；②a；③ac＝b﹣1；④0，其中正确的序号有 　①②③　 ． 【分析】求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由B（﹣c，0），代入抛物线的解析式即可判断①；由a＞0，c＜0，b＞0，即可判断④． 【解答】解：观察图象可知a＞0，c＜0，b＞0， ∴，故④错误； 令x＝0，得y＝c， ∵OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0）， 故x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根， 由根与系数的关系可得， 解第二个等式可得：，故②正确； 把代入第一个等式得：﹣2+（﹣c）＝﹣2b， 移项得：2b﹣c＝2，故①正确； 把B坐标代入函数中得：ac2﹣bc+c＝0， ∴ac﹣b+1＝0，即ac＝b﹣1， 故③正确； 正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先进行零指数幂，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先化简二次根式，去绝对值，进行特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【解答】解：（1）先进行零指数幂，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算可得： 原式； （2）原式． 【点评】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值混合运算，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： 20．（10分）（1）解方程：2x2+4x﹣2＝0； （2）解不等式组： 【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式，判断方程解的情况，再利用公式法解一元二次方程即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”进行解答即可． 【解答】解：（1）2x2+4x﹣2＝0， a＝2，b＝4，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝42﹣4×2×（﹣2） ＝16+16 ＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴x11，x21； （2）， 由①得：x≥﹣2， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程和不等式组，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法和解不等式组的一般步骤． 21．（7分）三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液．记为A、B、C． （1）若从中任选一种溶液，则选中C溶液的概率为　　 ； （2）已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．现从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，请用“画树状图”或“列表”的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 【分析】（1）从中任选一种溶液，则选中C溶液的概率为； （2）通过列表法列出从A、B、C三种溶液中随机选择两种混合的所有等可能结果，数出总结果数为6种，再结合题目中给出的A与B、A与C混合变红，B与C混合不变色的条件，从所有结果中找出混合后溶液为红色的结果数为4种，最后将符合条件的结果数和总结果数代入概率公式计算，即可得到混合后溶液颜色为红色的概率． 【解答】解：（1）P（选中C溶液）， 故答案为：； （2）列出从A、B、C三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下： A B C A （A，B）红 （A，C）红 B （B，A）红 （B，C） C （C，A）红 （C，B） 由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有4种， ∴P（混合后溶液为红色）， ∴混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是． 【点评】本题考查了列树状图法与列表法，概率公式等，掌握概率是解题的关键． 22．（6分）“粒米虽小君莫扔，勤俭节约留美名”，重庆一中校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重．于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了统计图，如图是两个不完整的统计图． 根据以上信息，解答以下问题： （1）这次被调查的同学有　400　 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“剩一半”对应的扇形的圆心角是　45　 度； （3）校学生会通过数据分析，估算出这次被调查的所有同学一餐浪费的食物可以供80名同学食用一餐．请估计全校3600名学生一餐浪费的食物可供多少名同学食用一餐？ 【分析】（1）用剩少量的学生人数除以所占百分比即可求出本次调查人数；然后求出剩一半的学生人数，补全条形统计图； （2）360°乘以剩一半学生所占百分比即可求出“剩一半”对应的扇形的圆心角； （3）用学校学生总数乘以样本中一餐浪费的食物可以供80名同学所占百分比． 【解答】解：（1）这次被调查的同学有：100÷25%＝400（名）， 故答案为：400； 剩一半的学生人数为：400﹣200﹣100﹣50＝50（名）， 补全条形统计图： （2）“剩一半”对应的扇形的圆心角是：360°45°， 故答案为：45； （3）3600720（名）， 答：估计全校3600名学生一餐浪费的食物可供720名同学食用一餐． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，关键是利用统计图提供的信息解决实际问题． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，若AC⊥BD时，求证：四边形AECF为菱形． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得AE＝CF； （2）根据平行四边形 到现在和菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）由（1）可知AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形AECF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）当cosC，BC＝10时，求的值． 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证得∠ODB＝∠C，由平行线的判定得到OD∥AC，再由平行线的性质得到∠ODH＝∠DHC＝90°，根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线； （2）连接BE，AD，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，在Rt△BEC中，根据三角函数的定义求出CE＝2，由圆周角定理结合等腰三角形的性质求出DC＝5，在Rt△ADC中，根据三角函数的定义求出AC＝AB＝5，进而求出AE＝3，把数值代入即可求出结果． 【解答】解：（1）DH与⊙O相切，理由如下： 连接OD． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， 又∵DH⊥AC， ∴∠DHC＝90°， ∴∠ODH＝∠DHC＝90°， ∴OD⊥DH， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DH与⊙O相切； （2）连接BE，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°， 在Rt△BEC中，cos∠C， 又∵BC＝10， ∴CE＝2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴DCBC＝5（三线合一）， 在Rt△ADC中， ∵cos∠C， ∴AC＝5， ∴AB＝5， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴． 【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数的定义、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理和三角函数的定义是解决问题的关键． 25．（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是5m，物体C到定滑轮A的垂直距离是12m．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动4m，求物体C升高的距离． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB＝13m，然后计算AC+AB，从而得到绳子的总长度； （2）由于B1C＝B1B+CB＝9m，AC＝12m，则利用勾股定理计算出AB1＝15m，再计算出AC1，然后计算CC1即可． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝5m，AC＝12m， ∴AB13（m）， ∴AC+AB＝12+13＝25（m）． 答：绳子的总长度为25m； （2）∵B1C＝B1B+CB＝5+4＝9（m），AC＝12m， ∴AB115（m）， ∴AC1＝25﹣15＝10（m）， ∴CC1＝AC﹣AC1＝12﹣10＝2（m）． 答：物体C升高的距离为2m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用勾股定理是解决问题的关键． 26．（9分）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作出直线AP，使AP⊥AB，点P为格点； （2）在图②中作出以线段AB为腰的等腰三角形ABC，点C为格点，且△ABC的面积为8； （3）在图②中作出△ABC的外接圆圆心O（不要求画⊙O）． 【分析】（1）找到1×2的格点P，作直线AP即可求解； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形△ABC， （3）根据三角形的外接圆圆心的定义，找到AC，AB的垂直平分线的交点O，即可求解． 【解答】解：（1）如图，直线AP即为所求； ∵，∠C＝∠D＝90°， ∴∠APC＝∠DAB， 又∵∠CAP+∠APC＝90°， ∴∠CAP+∠DAB＝90°，即∠PAB＝90°； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形△ABC，如图，△ABC即为所求； ∵， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AC＝4，B到AC的距离为4， ∴△ABC的面积为8； （3）如图，点O即为所求， 同（1）作出AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于点O， ∴O到A，B，C的距离相等，即O是△ABC的外接圆圆心． 【点评】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题，三角形的外接圆圆心的定义，数形结合是解题的关键． 27．（10分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5； （2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令x＝7，求出y与3.05米比较即可得解． 【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 28．（10分）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，连接DE，过点F作DE的垂线，交AB边于点G上，他发现DE、GF之间的存在着一定的数量关系．小明将GF沿AD方向平移到DH，连接CH．根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE＝DH，继而得到DE＝GF． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A＝60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M．若∠EMG＝60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正方形ABCD中，点E在边AB上，M，N分别在边AD，BC上，连接DE，MN，若∠EON＝45°，AB＝4，，求线段DE的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG．若AB＝6，CE＝2BE，请直接写出AG+EF的最小值． 【分析】（1）连接BD，过点B作BH∥FG，交AD于点H，交DE于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质得到BD＝AB＝AD，ABD＝∠ADB＝60°，利用平行四边形的判定与性质，三角形的内角和定理得到∠AHB＝∠ENB，再利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）过点D作DK∥MN，交BC于点K，连接BD，过点B作BF⊥BD，交DE的延长线于点F，利用正方形的性质得到AD∥BC，CD＝AB＝4，∠BDC＝∠ABD＝45°，BDCD＝4，利用平行线的性质得到KD＝MN，∠ODK＝∠BDC＝45°，则∠FBD＝∠KDC，利用勾股定理求得KC，利用相似三角形的判定与性质得到FDDK，FBKC，再利用角平分线的性质得到，则DE； （3）过点A作AJ∥GF，过点F作FJ∥AG，交AJ于点J，过点F作FK⊥CD于点K，过点J作JL⊥AB于点L，连接JE，利用平行四边形的判定与性质得到AG＝FJ，AJ＝FG，利用正方形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，AB∥CD，利用勾股定理求得AE，利用全等三角形的判定与性质得到AE＝FG，则AE＝AJ＝2，利用等腰直角三角形的性质得到JEAJ＝4，利用线段的公理得到JF+EF≥JE，则当点J，F，E在一条直线上时，JF+EF取得最小值＝JE＝4，结论可求． 【解答】解：（1）DE与FG之间的数量关系为DE＝FG，理由： 连接BD，过点B作BH∥FG，交AD于点H，交DE于点N，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝AD，ABD＝∠ADB＝60°． ∵BH∥FG，AD∥BC， ∴四边形BGFH为平行四边形， ∴FG＝BH． ∵BH∥FG， ∴∠ENB＝∠EMG＝60°， ∵∠A+∠AHB+∠ABH＝180°， ∴∠AHB+∠ABH＝120°． ∵∠ABH+∠ENB+∠NEB＝180°， ∴∠AHB+∠ENB＝120°， ∴∠AHB＝∠ENB． 在△AHB和△EBD中， ， ∴△AHB≌△EBD（AAS）， ∴DE＝BH， ∴DE＝FG； （2）过点D作DK∥MN，交BC于点K，连接BD，过点B作BF⊥BD，交DE的延长线于点F，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∠BDC＝∠ABD＝45°，BDCD＝4． ∵DK∥MN， ∴四边形MNKD为平行四边形，∠ODK＝∠EON＝45°， ∴KD＝MN，∠ODK＝∠BDC＝45°， ∴∠FBD＝∠KDC． ∴KC1， ∵∠FBD＝∠C＝90°， ∴△FBD∽△KCD， ∴， ∴FDDK，FBKC． ∵∠FBD＝90°， ∴∠FBE＝90°﹣∠ABD＝45°， ∴∠FBE＝∠ABD＝45°， ∴， ∴DE； （3）AG+EF的最小值为4，理由： 过点A作AJ∥GF，过点F作FJ∥AG，交AJ于点J，过点F作FK⊥CD于点K，过点J作JL⊥AB于点L，连接JE，如图， 则四边形AJFG为平行四边形， ∴AG＝FJ，AJ＝FG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，AB∥CD， ∵FK⊥CD， ∴四边形FBCK为矩形， ∴FK＝BC， ∴AB＝FK． ∵四边形ABCD为正方形，AB＝6， ∴BC＝AB＝6， ∵CE＝2BE， ∴BE＝2， ∴AE2． ∵AB∥CD， ∴∠AFH＝∠FGK． ∵∠GFK+∠FGK＝90°，∠BAE+∠AFH＝90°， ∴∠BAE＝∠KFG． 在△BAE和△KFG中， ， ∴△BAE≌△KFG（AAS）， ∴AE＝FG， ∴AE＝AJ＝2． ∵AJ∥GF，FG⊥AE， ∴AJ⊥AE， ∴△AJE为等腰直角三角形， ∴JEAJ＝4． ∵JF+EF≥JE， ∴当点J，F，E在一条直线上时，JF+EF取得最小值＝JE＝4． ∵AG+EF＝JF+EF， ∴AG+EF的最小值为4． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A D C A D B 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．2.49×108 10. 4.9 11．﹣1 12． 13．m＞0 14. 36 15． 16．﹣4 17．（3n﹣1） 18. ①②③ 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 解：（1）先进行零指数幂，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算可得： 原式；······································5分 （2）原式．········································10分 20．（10分） 解：（1）2x2+4x﹣2＝0， a＝2，b＝4，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝42﹣4×2×（﹣2） ＝16+16 ＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴x11，x21；·······················································5分 （2）， 由①得：x≥﹣2， 由②得：， ∴不等式组的解集为：．····················································10分 21．（7分） 解：（1）P（选中C溶液）， 故答案为：；·······································································3分 （2）列出从A、B、C三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下： A B C A （A，B）红 （A，C）红 B （B，A）红 （B，C） C （C，A）红 （C，B） 由表可知，所有等可能的结果共有6种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有4种， ∴P（混合后溶液为红色）， ∴混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是．············································7分 22．（6分） 解：（1）这次被调查的同学有：100÷25%＝400（名）， 故答案为：400；····································································1分 剩一半的学生人数为：400﹣200﹣100﹣50＝50（名）， 补全条形统计图： ··········································2分 （2）“剩一半”对应的扇形的圆心角是：360°45°， 故答案为：45；·····································································4分 （3）3600720（名）， 答：估计全校3600名学生一餐浪费的食物可供720名同学食用一餐．······················6分 23．（8分） 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF；···········································································4分 （2）由（1）可知AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形AECF为菱形．································································8分 24．（8分） 解：（1）DH与⊙O相切，理由如下： 连接OD． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， 又∵DH⊥AC， ∴∠DHC＝90°， ∴∠ODH＝∠DHC＝90°， ∴OD⊥DH， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DH与⊙O相切；··································································4分 （2）连接BE，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°， 在Rt△BEC中，cos∠C， 又∵BC＝10， ∴CE＝2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴DCBC＝5（三线合一）， 在Rt△ADC中， ∵cos∠C， ∴AC＝5， ∴AB＝5， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴．·····································································8分 25．（8分） 解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝5m，AC＝12m， ∴AB13（m）， ∴AC+AB＝12+13＝25（m）． 答：绳子的总长度为25m；·····························································3分 （2）∵B1C＝B1B+CB＝5+4＝9（m），AC＝12m， ∴AB115（m）， ∴AC1＝25﹣15＝10（m）， ∴CC1＝AC﹣AC1＝12﹣10＝2（m）． 答：物体C升高的距离为2m．··························································8分 26．（9分） 解：（1）如图，直线AP即为所求； ······································································3分 ∵，∠C＝∠D＝90°， ∴∠APC＝∠DAB， 又∵∠CAP+∠APC＝90°， ∴∠CAP+∠DAB＝90°，即∠PAB＝90°； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形△ABC，如图，△ABC即为所求； ···································································6分 ∵， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AC＝4，B到AC的距离为4， ∴△ABC的面积为8； （3）如图，点O即为所求， ·····································································9分 同（1）作出AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于点O， ∴O到A，B，C的距离相等，即O是△ABC的外接圆圆心． 27．（10分） 解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5．·············································2分 ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m；················································5分 （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈．·····························································10分 28．（10分） 解：（1）DE与FG之间的数量关系为DE＝FG，理由： 连接BD，过点B作BH∥FG，交AD于点H，交DE于点N，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝AD，ABD＝∠ADB＝60°． ∵BH∥FG，AD∥BC， ∴四边形BGFH为平行四边形， ∴FG＝BH． ∵BH∥FG， ∴∠ENB＝∠EMG＝60°， ∵∠A+∠AHB+∠ABH＝180°， ∴∠AHB+∠ABH＝120°． ∵∠ABH+∠ENB+∠NEB＝180°， ∴∠AHB+∠ENB＝120°， ∴∠AHB＝∠ENB． 在△AHB和△EBD中， ， ∴△AHB≌△EBD（AAS）， ∴DE＝BH， ∴DE＝FG；··········································································3分 （2）过点D作DK∥MN，交BC于点K，连接BD，过点B作BF⊥BD，交DE的延长线于点F，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∠BDC＝∠ABD＝45°，BDCD＝4． ∵DK∥MN， ∴四边形MNKD为平行四边形，∠ODK＝∠EON＝45°， ∴KD＝MN，∠ODK＝∠BDC＝45°， ∴∠FBD＝∠KDC． ∴KC1， ∵∠FBD＝∠C＝90°， ∴△FBD∽△KCD， ∴， ∴FDDK，FBKC． ∵∠FBD＝90°， ∴∠FBE＝90°﹣∠ABD＝45°， ∴∠FBE＝∠ABD＝45°， ∴， ∴DE；···································································8分 （3）AG+EF的最小值为4，理由： 过点A作AJ∥GF，过点F作FJ∥AG，交AJ于点J，过点F作FK⊥CD于点K，过点J作JL⊥AB于点L，连接JE，如图， 则四边形AJFG为平行四边形， ∴AG＝FJ，AJ＝FG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，AB∥CD， ∵FK⊥CD， ∴四边形FBCK为矩形， ∴FK＝BC， ∴AB＝FK． ∵四边形ABCD为正方形，AB＝6， ∴BC＝AB＝6， ∵CE＝2BE， ∴BE＝2， ∴AE2． ∵AB∥CD， ∴∠AFH＝∠FGK． ∵∠GFK+∠FGK＝90°，∠BAE+∠AFH＝90°， ∴∠BAE＝∠KFG． 在△BAE和△KFG中， ， ∴△BAE≌△KFG（AAS）， ∴AE＝FG， ∴AE＝AJ＝2． ∵AJ∥GF，FG⊥AE， ∴AJ⊥AE， ∴△AJE为等腰直角三角形， ∴JEAJ＝4． ∵JF+EF≥JE， ∴当点J，F，E在一条直线上时，JF+EF取得最小值＝JE＝4． ∵AG+EF＝JF+EF， ∴AG+EF的最小值为4．······························································10分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $