精品解析：辽宁省凤城市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

凤城二中2025高一下学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案. 【详解】 . 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图像变换求解. 【详解】因为， 所以， 故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度. 故选:B. 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，故选：A. 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据三角函数的定义，可得其正误；对于B，利用举反例，可得其正误；对于C，根据弧长公式以及扇形的面积公式，可得其正误；对于D，利用同角三角函数，建立方程，可得其正误. 【详解】对于A，点到原点的距离为， 若，则，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，设扇形的半径为，则，解得，所以扇形的面积，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 所以，解得或， 因为，，且， 所以，所以，故D正确． 故选：CD． 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 若，且，则外接圆半径 C. 若，则是钝角三角形 D. 中，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析可知以及与不共线，结合平面向量的坐标运算可求出的取值范围，可判断A选项；利用正弦定理与两角和的正弦公式可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用余弦定理和三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项：因为，，所以， 因为与夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，所以，解得， 所以且，A错； 对于B选项，由及正弦定理得 ，而,故， 所以，的外接圆半径为，B对； 对于C选项，因为，故， 因为，故为锐角，无法判断为钝角三角形，C错； 对于D选项，中，若， 所以，即，故， 因为，故，D对. 故选：BD. 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用周期函数定义判断A；根据给定的图象，结合正弦型函数的图象性质求解判断BC；利用方程根的个数求出范围判断D. 【详解】对于A，， ， ，则的最小正周期不是，A错误； 对于B，由图分析知：，得或， 而，则，得，即，， 于是，，即，， 又，因此，，B正确； 对于C，，由得， 因此函数的对称中心为，C正确； 对于D，由，得，由，得， 由，得， 又在上有个根，则根从小到大为，因此，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分． 12. 已知非零向量，满足，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】先由可得，再用数量积的运算法则即可求解. 【详解】解：因为非零向量，满足， 则，所以， 则. 故答案为：0. 13. 在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域求出的范围即可 【详解】解：由可得 因为，所以 要使三角形有两解，所以且 所以，即，解得， 故答案为： 14. 已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算，利用向量平行的坐标公式，建站方程解得参数，根据模长公式，可得答案； （2）由向量数量积的定义以及运算律，利用垂直向量，可得答案. 【详解】（1）因为， 且与平行，所以，解得，所以， 所以． （2）已知与的夹角为，所以， 因为与垂直，所以 所以． 16. 已知，，记函数． （1）求函数取最小值时的取值集合； （2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据三角函数的性质，可得答案； （2）由三角函数的最值求得内角的值，根据余弦函数以及三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意，得 ，当取最小值时，即， 此时，解得， 所以的取值集合为． 【小问2详解】 因，由（1）得，又，即， 所以，解得，在中，由余弦定理， 得，即，所以 ， 所以面积的最大值为． 17. 某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板，其中顶点、在半径上，顶点在半径上，顶点在上，，.设，矩形的面积为. （1）用含的式子表示，的长； （2）试将表示为的函数； （3）求的最大值. 【答案】（1），； （2）（）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可表示出 的值； （2）求出，代入面积公式得出关于的函数； （3）利用二倍角公式及辅助角公式，三角恒等变换化简，根据的范围和正弦函数的性质即可得出的最大值． 【小问1详解】 因为，四边形是矩形， 所以在中，. 所以. 在中，. 【小问2详解】 在中，. 所以. 所以 （）. 【小问3详解】 因为， （）， 所以，当，即时，取得最大值. 18. 在中，内角所对的边分别是， （1）若，求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；②. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）①由已知可得AD是的平分线，利用三角形面积公式列式计算；②利用正弦定理，结合三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得，而， 所以． 【小问2详解】 ①由，得AD是的平分线， 由（1）知，，得，在中，， 即，则， 所以. ②在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得， 则，由，得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围为. 19. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值. （2）（i）利用正弦定理求得； （ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值. 【详解】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤城二中2025高一下学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 若，且，则外接圆半径 C. 若，则是钝角三角形 D. 中，若，则 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分． 12. 已知非零向量，满足，则______. 13. 在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________． 14. 已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 16. 已知，，记函数． （1）求函数取最小值时的取值集合； （2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值． 17. 某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板，其中顶点、在半径上，顶点在半径上，顶点在上，，.设，矩形的面积为. （1）用含的式子表示，的长； （2）试将表示为的函数； （3）求的最大值. 18. 在中，内角所对的边分别是， （1）若，求角； （2）若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 19. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $