2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学模拟卷(一)（辽宁适用）

**基本信息** 聚焦三角函数、向量与解三角形，通过基础题（如终边相同角、扇形面积）巩固概念，综合题（如解三角形取值范围、三角函数图像变换）提升逻辑推理与数学建模能力，适配高一期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|终边相同角、扇形弧长面积、三角函数定义|基础巩固，突出数学抽象| |选择题（多选）|3/18|三角恒等变换、三角函数图像性质|能力区分，考查推理意识| |填空题|3/15|三角化简、向量运算、解三角形|情境应用，体现数学语言| |解答题|5/77|三角恒等变换、三角函数单调性、解三角形综合|分层设计，发展逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(一) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 2．已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 7．已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 11．点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（   ） A． B．若是的重心，则 C．若为的外心，且，则为的垂心 D．若，，，点在线段上运动时，最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_____． 13．如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 14．已知锐角的内角的对边分别为，且，则角______；若，则周长的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 16．已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，求函数的值域． 17．在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)已知，，在边上，且满足，求的长． 18．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. (1)求中线BN的长； (2)求的余弦值. 19．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟卷(一) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 2．已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 则，解得. 3．已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角终边过点, 根据,其中, 可得. . 4．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 6．若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】由，，得，所以. 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 7．已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即， 化简得， 令，当时，， 由题意可知，要使在区间上没有零点， 则函数在上的图象与直线无交点， 由余弦函数性质可知，，解得， 即的取值范围为. 8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用是锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意得，代入余弦定理，化简得， 由正弦定理得：， 由于，代入化简得， 因为，则， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则， 因为是锐角三角形，所以有，解得，则， ， 令，则有二次函数， 由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增， 因此，故C正确. 【点睛】本题的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得，从而得到的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，当时，无意义，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 10．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有3个实数根，则 【答案】BCD 【分析】借助图象计算可得A、B；结合诱导公式计算可得C；利用三角函数性质计算可得D. 【详解】对A：由图知，，因此，故A错误； 对B：由五点法可知，因此，令，， 得经过最大值点的对称轴为，， 故，即为单调递减区间，故B正确； 对C：由诱导公式可知， 故C正确； 对D：令，故，故， 因为在上有且只有3个实数根，则，故D正确. 11．点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（   ） A． B．若是的重心，则 C．若为的外心，且，则为的垂心 D．若，，，点在线段上运动时，最大值为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A选项；利用重心的向量表示可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质推导出，，，可判断C选项；求出的长，利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 因为，则，所以， 所以，A错； 对于B选项，若是的重心，则，B对； 对于C选项，因为为的外心，则， 因为， 所以， 所以，故， 同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 易知，，， 由余弦定理可得，故， 因为为的中点，所以， 所以 ， 当且仅当点与点重合时，等号成立，即最大值为，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_____． 【答案】2 【分析】根据和差角公式展开，即可得求解. 【详解】由可得，故， 则. 13．如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________. 【答案】/ 【详解】以为原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，， 所以，， ，即. 14．已知锐角的内角的对边分别为，且，则角______；若，则周长的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合可得出关于角的三角等式，进而可求得的值，即可；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出，根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.即可求解. 【详解】因为， 又正弦定理得 整理可得， ，，可得，，. 又是锐角三角形，，解得， 由正弦定理得， ， ，，，. 又， 所以周长的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果； （2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 16．已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数性质列不等式计算求解； （2）由，得，结合余弦函数性质计算求解. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）当时，， 所以，， 即函数的值域为. 17．在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)已知，，在边上，且满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的余弦公式结合三角形内角和计算求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形． 【详解】（1）由得， 即， ，即， ， 又， ． （2）已知，，，在边上，且满足， ， ， ， 在中，由余弦定理得， 在中，已知， 则 ， 解得． 18．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. (1)求中线BN的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可. 【详解】（1）由，BN为中线，则， 在中，由余弦定理得， 则. （2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由，，，得， 则， 则，即， 所以， ，， 则， 所以的余弦值为. 19．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对进行化简，根据正弦函数性质列不等式计算即可求出答案； （2）利用换元法令，根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象求出的范围，即可求出在上的值域，即可求出答案； （3）求出变换后的函数解析式，将函数的零点转化为方程的解，求出的值，再结合，即可求出在上的零点，求和即可得到答案. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）令，因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为，，所以， 所以当时，取得最大值， 即，则， 则在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象向左平移个单位得， 纵坐标伸长为原来的2倍得， 所以， 令，即， 所以或， 即或， 又，所以只能取，所以或或或， 即函数在上的零点为， 所以函数在上所有零点之和为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $