专项05 二次函数中求线段、线段和、周长、面积最值问题5大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项05 二次函数中求线段、线段和、周长、面积最值问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，二次函数中的最值问题是中考数学解答题的压轴题高频核心内容，分值约 8–14 分（常为第 24–25 题，即最后一道或两道压轴题）。 命题趋势 - 解答题：稳定考查二次函数背景下几何图形的最值问题，核心为： 1. 竖直线段（铅垂高）：已知抛物线上一点和下方直线（或x轴）上对应点，求两点间竖直线段的最大值及此时点的坐标； 2. 水平线段：类似求水平方向距离的最值； 3. 线段和最小值：常结合将军饮马模型（对称点连线法），求抛物线上（或对称轴上）一动点到两定点距离之和的最小值； 4. 周长最值：给定三角形或四边形，其中部分顶点在抛物线上运动，求周长最小值（通常转化为线段和最小值）； 5. 面积最值：利用铅垂高×水平宽÷2或割补法将面积转化为二次函数，再求顶点处取得最值。 - 命题特点：“动点 + 函数 + 几何”深度融合。通常会先求出抛物线解析式（待定系数法），再设动点坐标（如设P(m, am2+bm+c)），将目标线段长或面积表示为关于m的二次函数，最后通过配方或顶点公式求最值，并确定动点位置。“设参 → 表达 → 配方 → 得最值” 是固定的解题流程。 2026 年预测 - 解答题极大概率仍为二次函数背景下的最值问题，形式稳定； - 铅垂高法求面积最值仍是绝对主流，需熟练掌握将斜三角形面积转化为竖直线段长度的技巧； - 线段和最小值可能不再局限于对称轴上找点，扩展到两条线段和（需作一次对称）或三条线段和（需作两次对称或利用路径最短模型）； - 可能出现新情境融合：与平行四边形存在性、等腰三角形存在性、直角三角形存在性相结合，先判定存在再求最值，提升思维容量； - 部分考区可能增加含参二次函数（如y = ax2 + bx + c中某个系数未知），要求先利用其他条件确定参数，再进行最值求解； - 难度趋势上，计算量略有增加（如出现分数系数、根号运算），但对基本方法的考查不变。 题型01 二次函数中线段的最值问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)抛物线的函数关系式为 (3)的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为 【分析】（1）由一次函数和抛物线的图象都与轴交于点，则由抛物线解析式求出点的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）由一次函数求出点的坐标，再由可得点的坐标，把点，的坐标代入抛物线解析式即可求解； （3）过点作于点，交于点，由点的横坐标为，可得点，的坐标，可得，再证明，则，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴当时，，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， ∴点， ∵，且点在轴负半轴上， ∴，即点， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为． （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，． ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，代入，得， ∴的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为． 研考点·通技法 1. 坐标表示，竖直线段：通常求纵坐标之差（y上- y下）表示竖直线段长度，转化为关于横坐标的二次函数。 2. 铅垂法，面积转化：求斜线段或三角形面积最值时，常作铅垂高，利用“水平宽 × 铅垂高 / 2”将问题转化为竖直线段最值。 3. 注意范围，顶点取舍：求最值时，先确认自变量（如x）的取值范围。若顶点横坐标在范围内，则在顶点处取最值；否则在端点处取得。 破类题·提能力 1．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)点； (3)有最小值为． 【分析】（1）将点、、代入即可求解； （2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解； （3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、， 则：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方， ∴设点， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ， ， ∴点； （3）解：∵， ∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点， 将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设点， ∵垂直于直线交直线于点， ∴点， ∴，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴． ∵垂直于直线，垂直于直线， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∴点， ∴点． ∵点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴当，有最小值为． 2．（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在点，使得的值最大，点的坐标为 【分析】（1）根据顶点坐标设解析式为，把代入，求出可求出抛物线解析式，令，求出的值，即可求出与轴的交点，的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设，则，可得，根据平行证明，可得，利用二次函数的性质即可求出的最大值和点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线点与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 当时，， 解得：，． ∵点在点的左侧， ∴点A，B的坐标为：，． （2）解：存在点，使得的值最大，理由如下： 如图，过点P作，交的延长线于点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：． 设点的坐标为：， ∵，且点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵时，， ∴此时点的坐标为． 题型02 二次函数中线段和之将军饮马最值问题 析典例·建模型 1．（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为； （）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得： 解得 ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入可得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∵， ∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为． 研考点·通技法 1. 定模型，找对称：求两线段和最小值（如PA+PB），若A, B为定点，P为动点（常在对称轴或直线上），作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接另一点即为最短路径。 2. 联立求点坐标：作出对称点后，求出对称点与另一点所在直线的解析式，再联立动点所在直线（如对称轴）的方程，解出交点坐标，即为P点位置。 3. 遇多条线段，连续对称：若涉及三条线段和（如PA+PQ+QB），且P, Q分别在两条不同直线上运动，可作两次对称，将折线拉直。注意区分“饮马点”与“桥”的位置。 破类题·提能力 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 2．（2026·广东东莞·一模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，点在轴正半轴上，，绕着点逆时针旋转，交抛物线于点，连接，点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】1）把和代入，可得，，即可得二次函数的解析式； （2）令，可得，可得，即可得的形状； （3）作，使得，连接，，则，证明，可得，，，共线时，的值最小，作于点，，设，则，可得，可得，，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】（1）解：把和代入， 可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由： ∵，， ∴，， ∴， 令， 解得，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：作，使得，连接，，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线时，的值最小， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 题型03 二次函数中周长的最值问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 研考点·通技法 1. 化折为直求最小：若三角形周长中两边和为动点至两定点的距离之和，可作对称点转化为线段和最短问题，利用“两点之间线段最短”确定动点位置。 2. 函数建模求最大：若图形周长可表示为含参数的二次函数（如矩形周长=2(长+宽)），先根据几何关系用自变量（如横坐标）表示边长，再求二次函数顶点坐标。 3. 分类讨论防漏解：动点位置变化（如在线段上或在抛物线上）会导致表达式不同，需分段建立函数关系，分别求最值后比较得出最终结果。 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 【答案】(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)面积的最大值为3． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 2．（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 题型04 二次函数中线段和之胡不归最值问题 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 研考点·通技法 1. 识别模型：形如PA + k×PB（0<k<1），动点P在直线上运动。求最小值时，在PB所在直线的一侧作射线l，使sin∠= k。 2. 作垂转化：过点A作射线l的垂线，垂足即为所求点P。此时k×PB转化为垂线段长，最小值即点A到直线的垂线段长度。 3. 坐标计算：在二次函数背景下，先求出点A, B及动点P所在直线解析式，利用三角函数值求射线斜率，再联立直线与抛物线方程求P坐标。注意k>1时提取系数化为标准形式。 破类题·提能力 1．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式； (2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 (4) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出、，得到抛物线解析式． （2）先利用待定系数法求直线、的解析式，再设点坐标，根据轴得、坐标，利用是中点列方程求解． （3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可． （4）先通过竖直距离转化求到距离最大时的点，再利用三角函数将转化为竖直距离，结合垂线段最短求最小值． 【详解】（1）解：将，代入， ， 化简得， 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为； 设， ∵轴， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ， 化简得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴； （3）解：存在，点的坐标为或． 分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点， 过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当时，该情况不存在． 综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∵在中，， ∴， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即， 过作轴于，连接， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离， ∴，即的最小值为． 题型05 二次函数中面积的最值问题 析典例·建模型 1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式，令点的坐标为，则，可求出，再根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 研考点·通技法 1. 铅垂法求面积：过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，将三角形面积表示为×水平宽×铅垂高。铅垂高通常为关于横坐标的二次函数，求其顶点最值。 2. 割补法转化：对于四边形或不规则图形，用坐标轴或已知点分割为几个三角形或梯形，分别表示面积后相加，得到关于动点坐标的二次函数。 3. 利用平行线等积变形：求面积最大的动点位置，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积最大。联立直线与抛物线，令判别式为零求切点坐标。注意面积最小值常为0（点重合时）。 破类题·提能力 1．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 2．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 2．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点P的坐标为 (2)的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）①将点代入求解即可； ②先求出点坐标，再求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，得出，作点E关于x轴的对称点，取得最小值时，即为点C，，三点共线时，求出此时的最小值和坐标即可． 【详解】（1）解：①由题意，抛物线过， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②如图所示， 由与y轴相交于点C，可知， 设经过B，C两点的直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， 此时，点P的坐标为； （2）解：如图所示， 由和，得中点， 由题意与平行且相等，可知与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点E关于x轴的对称点， 取得最小值时，即为点C，，三点共线时， 此时， 设经过，C两点的直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，线段最值问题，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的求法，平行四边形的性质与判定是解题的关键． 3．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 5．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)当取得最大值时，点的坐标为及的最小值为4 (3)符合条件的点N的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和，可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可； （2）过点P作交直线于点F，先求得点B的坐标，从而得到，设，则，表示出，利用，可推出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H，利用得到，结合，即可求解； （3）连接、、，利用等腰三角形三线合一可推出，从而求得，进而可知该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，得到的表达式；然后分两种情况讨论：①当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接，通过证明和，得到；接着过点M作于点H，则为等腰三角形，设，，利用，求得点F的坐标，进而求得直线的表达式，与的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当在x轴的下方时，同①可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作交直线于点F， 令，则， 解得或4， ∴， ∴， ∴， ∵点P是直线上方该抛物线的一动点， ∴设，直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴点F的纵坐标为， 则，此时， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴此时； 如图，过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当点P、E、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为， ∵，，轴，， ∴， ∴的最小值为4； （3）解：符合条件的点N的坐标为或； 如图，连接、、， ∵，， ∴，， ∴， 又∵点G是的中点，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∵， ∴，对称轴为直线； ①如图，当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接， ∵是抛物线对称轴上纵坐标为1的点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H，则为等腰三角形， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； ②如图，当在x轴的下方时， 同①可求得，直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，符合条件的点N的坐标为或； 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项05二次函数中求线段、线段和、周长、面积最值问题 ●e。eeee●。●e●e。●0●e●00000e0e000e0000●●●00●●●●●0●00●0000●0●e0●●●●●●●●●●●●●●0500●0●●●●●●●●●●●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 根据近五年考情，二次函数中的最值问题是中考数学解答题的压轴题高频核心内容，分值约8-14分 (常为第24-25题，即最后一道或两道压轴题)。 命题趋势 ·解答题：稳定考查二次函数背景下几何图形的最值问题，核心为： 1.竖直线段（铅垂高）：已知抛物线上一点和下方直线（或x轴）上对应点，求两点间竖直线段的最 大值及此时点的坐标； 2.水平线段：类似求水平方向距离的最值； 3.线段和最小值：常结合将军饮马模型（对称点连线法），求抛物线上（或对称轴上）一动点到两定 点距离之和的最小值； 4.周长最值：给定三角形或四边形，其中部分顶点在抛物线上运动，求周长最小值（通常转化为线段 和最小值)； 5.面积最值：利用铅垂高×水平宽÷2或割补法将面积转化为二次函数，再求顶点处取得最值。 ·命题特点：“动点+函数+几何”深度融合。通常会先求出抛物线解析式（待定系数法），再设动 点坐标（如设Pm,am2+b+c),将目标线段长或面积表示为关于m的二次函数，最后通过配方或顶点 公式求最值，并确定动点位置。“设参→表达→配方→得最值”是固定的解题流程。 2026年预测 ·解答题极大概率仍为二次函数背景下的最值问题，形式稳定： ·铅垂高法求面积最值仍是绝对主流，需熟练掌握将斜三角形面积转化为竖直线段长度的技巧： ·线段和最小值可能不再局限于对称轴上找点，扩展到两条线段和（需作一次对称）或三条线段和（需 作两次对称或利用路径最短模型)； 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·可能出现新情境融合：与平行四边形存在性、等腰三角形存在性、直角三角形存在性相结合，先判定 存在再求最值，提升思维容量； ·部分考区可能增加含参二次函数（如y=2+bx+c中某个系数未知），要求先利用其他条件确定参 数，再进行最值求解： ·难度趋势上，计算量略有增加（如出现分数系数、根号运算），但对基本方法的考查不变。 PART 02 解题建模•通技法 >题型01二次函数中线段的最值问题<《 析典例.建摸里 1. (2026安徽阜阳一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx-8k(k≠0)交x轴于点B,交y轴于 点C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+4a≠0)交x轴负半轴于点A,且AB=10. 图1 图2 备用图 (I)求直线BC的函数关系式： (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点P为第一象限内抛物线上一点，作PH⊥BC于点H,设PH的长为d,点P的横坐标为t,求 d的最大值，及d取得最大值时P点的坐标. 研考点通技法 一一一一一-一 》 !1.坐标表示，竖直线段：通常求纵坐标之差(y上~y下)表示竖直线段长度，转化为关于横坐标的二次函 ·数。 12.铅垂法，面积转化：求斜线段或三角形面积最值时，常作铅垂高，利用“水平宽×铅垂高/2”将问1 ·题转化为竖直线段最值。 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “一一一一。一"一"一。 3.注意范围，顶点取舍：求最值时，先确认自变量（如x)的取值范围。若顶点横坐标在范围内，则在顶 点处取最值；否则在端点处取得。 破类题提能力 1.（2026湖北襄阳二模)如图，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A-1,0)、B(3,0两点，与y轴交 于点C(0,3). 4 201245 /-1F (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上一点，位于x轴上方，连接AD、BD,若△ABD的面积为8，求点D的坐标； (3)点E是抛物线对称轴上一点，连接CE,将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接BF,求BF的最小值. 2.(2026云南曲靖模拟预测)如图，已知抛物线顶点C(1,4),且与y轴交于点D(0,3)· D (1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A,B的坐标： (②点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M,是否存在点P,使得P4的值最大？若存 AM 在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. >题型02二次函数中线段和之将军饮马最值问题<《 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 析典例.建模型 1.(2025宁夏固原·三模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. B (1)求该抛物线的表达式： (2)求点D和点M的坐标； (3)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值. 砑考点通技法 1.定模型，找对称：求两线段和最小值（如PA+PB),若A,B为定点，P为动点（常在对称轴或直线上） 」作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接另一点即为最短路径。 2.联立求点坐标：作出对称点后，求出对称点与另一点所在直线的解析式，再联立动点所在直线（如对称1 轴)的方程，解出交点坐标，即为P点位置。 3.遇多条线段，连续对称：若涉及三条线段和（如PA+PQ+QB),且P,2分别在两条不同直线上运动， 可作两次对称，将折线拉直。注意区分“饮马点”与“桥”的位置。 破类题提能力 1.(2025·江苏连云港·模拟预测)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=a(x+1)(x-3)(a>0)与x轴 交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为E,直线y=kx-k(k≠O)与x轴交于点 F,与抛物线交于M,N两点，且EF=4. B B 备用图 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式。 (2)若LCFN=2LAC0,求k的值 (3)直线AM与直线BN交于点P,求PA+PB的最小值. 荒一模)如图1，已知抛物线y三产+x+c与x轴交于A、B8,0 于点C(0,-4),连接CA、CB. 4 B 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)判断ABC的形状，并说明理由： (3)如图2，点D在y轴正半轴上，OD=OB,BD绕着点B逆时针旋转90°，交抛物线于点Q,连接DQ, 点E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，且QE=DF,求BE+QF的最小值. 题型03二次函数中周长的最值问题<《 析典侧.建摸型 1.(2026湖南邵阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-5,0),B(点A在 点B的左侧)，与y轴交于点C(0,5). B (1)求该抛物线的解析式： (2)在对称轴上找一点Q,使△BCQ的周长最小，求点Q的坐标； 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由. 研考点通技法 !1.化折为直求最小：若三角形周长中两边和为动点至两定点的距离之和，可作对称点转化为线段和最短问！ !题，利用“两点之间线段最短”确定动点位置。 12. 函数建模求最大：若图形周长可表示为含参数的二次函数（如矩形周长=2（长+宽）)，先根据几何关系 !用自变量（如横坐标）表示边长，再求二次函数顶点坐标。 3.分类讨论防漏解：动点位置变化（如在线段上或在抛物线上）会导致表达式不同，需分段建立函数关系， 分别求最值后比较得出最终结果。 破类题提能力 1.(2026内蒙古赤峰·一模)如图，已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于A(4,0),B(-2,0)两点，交y轴 于点C, YA (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标. (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，求△MBC周长的最小值. (3)如图，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP.求△PCD面积 的最大值 2.(2026河南周口一模)如图1，己知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,直线)=+b与抛物线交于4D两点（点4在点D的左下方），英中点B的坐标为6,0). 6/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)求该抛物线的表达式. (2)直线1为抛物线的对称轴， ①在直线l上找到一点P,使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标； ②如图2，E是抛物线上的动点（在线段AD上方），求四边形ABDE面积的最大值. >题型04二次函数中线段和之胡不归最值问题<《 析典侧，建模型 1.（226黑龙江鸡西一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线=ar+2+e与少交于点C,与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），其中点A(-√3,0)，C0=3. (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标. (②)线段OB上有一动点P,连接CP,当CP+PB的值最小时，请直接写出此时点P的坐标和CP+PB的 2 最小值 研考点通技法 !1.识别模型：形如PA+×PB(0<k<1),动点P在直线上运动。求最小值时，在PB所在直线的一侧作射 |线l,使sin∠=k。 2.作垂转化：过点A作射线I的垂线，垂足即为所求点P。此时×PB转化为垂线段长，最小值即点A到 直线的垂线段长度。 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一-一1 3. 坐标计算：在二次函数背景下，先求出点A,B及动点P所在直线解析式，利用三角函数值求射线斜率，， 再联立直线与抛物线方程求P坐标。注意>1时提取系数化为标准形式。 破类题能力 1. (2026四川德阳模拟预测)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于AB两点，对称轴是直线x=-】 ,图象与y轴交于点C(0,-2),连接AC,BC. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接AD,CD,当S△B4C=SAD4C时，求点D的坐标： (3)如图2，点P是线段AB上一动点，E的坐标(0,1)，连接EP,求AP+√2EP的最小值 2.(2025·黑龙江·模拟预测)综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于B(8,0),A-2,0)两点， 与y轴交于点C,作直线AC,BC,P是直线BC下方抛物线上一动点. B B 备用图 (1)求抛物线解析式； (2)过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点？，交直线AC于点T.当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐 标 (3)在(2)的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M,使以B,P,M,N为 顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (④当点P到BC的距离最大时，点M在直线BC上，则PW+5MB的最小值为 >题型05二次函数中面积的最值问题<《 析典侧：建模梨 1. (2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C. B (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接PC、PB,求△PBC面积的最大值， 研考点通技法 !1.铅垂法求面积：过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，将三角形面积表示为×水平宽×铅垂高。铅垂！ 高通常为关于横坐标的二次函数，求其顶点最值。 12.割补法转化：对于四边形或不规则图形，用坐标轴或己知点分割为几个三角形或梯形，分别表示面积后」 1相加，得到关于动点坐标的二次函数。 3.利用平行线等积变形：求面积最大的动点位置，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积 最大。联立直线与抛物线，令判别式为零求切点坐标。注意面积最小值常为0（点重合时）。 破送题提能力 1.202s因川南充一栈)如图，经过42,0,5，-引c引 的抛物线与y轴交于D,点E在第四 象限抛物线上，点F在线段CD上 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2（备用） (1)求抛物线的解析式： (2)当EF与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标： (3)四边形AEBF的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E,F的坐标？若不存在，请说明理由. 2.（2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于 点C (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. ☑PART 03 实战刷题•冲高分 （建议用时：45分钟) 刷模拟 1.(2026江苏无锡一模)抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C0,4,连 接AC,BC.点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F,连接AF, 10/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C EB B主 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，当线段AF最短时，求点P的坐标； (3)当m≤x≤m+2时，设函数的最大值为片，最小值为，若片-y2=2,直接写出m的值. 2.(2025天津.一模)已知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴相交于A,B两点（点A在点B右侧)，与 y轴相交于点C,点B(-3,0). (1)若已知A1,0. ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F,当线段PF取得最大 值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段BC的中点E,向右沿x轴水平方向平移线段BC,得到线段B'E,求CB+CE'的最小值，并求 此时点B的坐标。 3.(2026山东济南一模)己知，抛物线y=-x2+2mx-m2+4m>0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点 C. B 图1 图2 备用图 (1)当点C坐标为0,3)时，求抛物线的表达式及点B的坐标： (2)如图1，在(1)的条件下，点M是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点M作MF∥y轴交BC于点 11/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F,ME⊥BC交BC于点E,求△MEF周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点D,直线I经过点A,与抛物线交于点P,直线I与直线AD所夹的锐角为，若 ama-片，谈直接写出PD的长。 4.(2026安微蚌埠.一模)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0), B3,0)两点，且与y轴交于点C(0,3). B B 图1 图2 备用图 (1)求该二次函数表达式： (2)如图2设抛物线顶点为E,连接BE,将线段BE绕着B点旋转90°，得到线段BD,连接AD,求经过A, D两点的直线表达式： (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求△PBC面积的最大值，及此时P 点坐标. 5。(2026重庆一校)如图，在平面直角坐标系巾，抛物线y=方+加+e交x维于A4,0,8两点，交 y轴于点C,且OA=OC. 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方该抛物线上的一动点，连接PB交AC于点D,点E是直线BC上一动点，连接PE.当 取得最大值，求点P的坐标及PE+5BE的最小值： PD BD (③)在(2)中PD取得最大值的条件下，将该抛物线y沿射线BP方向平移4N2个单位长度得到抛物线y, BD 12/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G是OA的中点，M是抛物线y对称轴上纵坐标为1的点，N是抛物线y上一动点.若 ∠MGN=∠BCO+∠CAP,请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情 况的过程. 13/13