第十一章三角形的证明及其应用综合专练 2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

第十一章三角形的证明及其应用综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1,如图，BP平分∠ABE,CP平分∠ACE交BP于点P,∠A=50°，∠P的度数是() E A.30° B.25° C.40° D.50° 2.“作一个角∠A'O'B′等于已知角∠A0B”的尺规作图方法. B D D 如图，(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA,OB于点C,D: (2)作一条射线0'A',以点O为圆心，0C为半径作弧，交0'A'于点C; (3)以点C为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D; (4)过点D作射线OB',则∠A'O'B'=∠AOB. 由作法得△C0D≌△C'0'D'的依据是() A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 3.用反证法证明：“若ab=0,则a,b中至少有一个为0.”应假设() A.a,b都不为0 B.a,b只有一个为0 C.a,b至少有一个为0 D.a,b都为0 4.下列命题中： ①相等的角是对顶角： ②直角三角形两个锐角互余； ③如果a=b,则a=lbl: ④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等. 逆命题是真命题的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 5.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，∠ACB的平分线交AB于点D,则下列结论不 正确的是() A.∠CDB=72° B.AC=2AD C.点D一定在AC的垂直平分线上 D.△CDB是轴对称图形 6.如图，ABC中，LB=90°，点D,E分别在AB,AC上，AD=AE.分别以D,E为 圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F,作射线交BC于点G.若BG=l, AC=4,则aACG的面积为() E D G A.10 B.8 C.4 D.2 7.如图，ABC中，AB=AC,AD是ABC的中线，DE1AC于点E,若AB=5,BC=8, 则AE的长为() 9 A.5 c. D 8.如图，在长方形ABCD中，连接AC,将ABC沿着AC翻折至长方形ABCD所在的平面 内，得△AEC,EC与AD交于点F,O为AC的中点，连接EO.若∠OEC=30°， BC-12cm,则线段EF的长度为() 试卷第1页，共3页 A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 9.如图，在等腰ABC中，AB=AC=5,BC=6,O是ABC外一点，O到三边的垂线 段分别为0D,OE,0F,且0D:0E:0F=1:4:4,则A0的长度为() E D C.160 0 A.7 B.5 D. 17 17 10.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=2,BC+DE=2,则 五边形ABCDE的面积为() E A.8 B.6 C.5 D.4 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，已知AB∥CD,FE⊥DB,∠1=50°，则∠2等于 2 D I2.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的 对称点A落在边BC上，若∠A=50°，则∠1+L2+∠3+L4=· 试卷第1页，共3页 A D E 1 3 24 B A I3.如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线MN上取A,B两点，再在池 塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,过点D再画出BF的垂线DE,使点E与 A,C在一条直线上，若此时测得DE=16m,AM=0.5m,BN=1.5m,则池塘两岸M,N 两点间的距离为 m. A M D E 14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，角平分线CE,BD交于点F,若FD=FE,则 ∠CDF=度. C A B 15.定义：若三角形内存在一条过顶点的直线，将其分成两个等腰三角形，这样的三角形叫 做对称等角三角形.在ABC中，∠BAC≠90°，AB=AC,若ABC是对称等角三角形， 则∠BAC= 16.如图，在△A0C和△B0D中，0A=0B,0C=0D,0A<0C,∠A0B=∠C0D=36° .连接AC,BD交于点M,连接OM.则在下列结论中：①∠AMB=36°，②AC=BD,③ 若OB平分∠AOM,则△OEC≌△OMD,④AO∥BD.正确的结论有 (填序号) 试卷第1页，共3页 D E M 三、解答题（本大题共8小题.每题9分，共计72分） I7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,点F、E分别在DA和BC的延长线上，连接EF交 DC于点H,交AB于点G,已知∠B=∠D. (1)判断DC与AB是否平行，并说明理由； (2)连接AC,若∠FAB=2∠BAC,∠ACB=78°，求LACD的度数. 18.如图，在ABC和△DCB中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一点，试说明： O (I)△ABC≌△DCB (2PA=PD I9.如图，ABC和△DCB的顶点A和D在BC的同侧，AB=DC,AC=DB,AC交DB 于点O,试说明：△AB0≌△DC0. 下面是小明的解答过程： 解：在ABC和△DCB中，因为AB=DC,AC=DB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB, 所以△ABC-△OBC≌△DCB-△0BC,所以△AB0≌△DC0. 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来。 试卷第1页，共3页 20.如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F,试说明：∠BAD=∠F. 21.如图，在锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交 于点G. (I)求证：△AEG为等腰三角形； (2)若∠B=30°，请判断△AEG的形状，并说明理由 22.按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在∠A0B的边0A、OB上. P 0 9 B (1)过点Q作OB的垂线： (2)过点Q作OA的平行线QH; (3)在OA上找一点N,使线段QN最短.理由为： 23.如图，AB=AE,BC=ED,AB⊥BF,AE⊥EF,F是CD上一点，∠C=∠D=90°. 试卷第1页，共3页 B F D (I)求证：BF=EF. (2)若BC=2,CD=6,求BF的长 24.勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.图1为美国第二十 任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、 E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示证明勾股定理. B C B 2-------- A aE b D 图1 图2 图3 (1)如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠A=LD=90°，直角边分别为a,b,斜边为c,请根据 图1证明勾股定理a2+b2=c2; (2)如图2，AD⊥CD,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3,求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方 便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路 CH,使CH⊥AB,现测得CA=1.3千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米，求新修路CH的长. 试卷第1页，共3页 第十一章三角形的证明及其应用综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．如图，平分，平分交于点P，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，，则可证明，进而可得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．“作一个角等于已知角”的尺规作图方法． 如图，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点C，D； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线，则． 由作法得的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，进而问题可求解 由作图得， 则根据“”可判断． 故选：D． 3．用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 4．下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 5．如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的判定及轴对称图形的概念，解题关键是利用等腰三角形的性质推导各角的度数和线段关系． 先由得；再由平分得，推导各角、线段关系，结合垂直平分线判定、轴对称图形定义分析选项即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 故A选项正确； ， ， 点在的垂直平分线上， 故C选项正确； ， 是等腰三角形， 是轴对称图形， 故D选项正确； 在中 ， 又， ， 故B选项不正确． 故选B． 6．如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的性质．根据题意可得，平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点G作于点H， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积，关键是知识点的灵活应用；根据等腰三角形三线合一可得，进而利用勾股定理可得的长，利用等面积可求，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵中，是的中线， ∴， ∴， ∵于点，， ∴， ∴，即：， ∴在中，， 故选：A ． 8．如图，在长方形中，连接，将沿着翻折至长方形所在的平面内，得，与交于点F，O为的中点，连接．若，，则线段EF的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵将沿着翻折至长方形所在的平面内，得， ∴ ∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 9．如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，      由，设， ，， ∵，，，， ∴，即， ∴为的角平分线， 又∵， ∴， ∴为的中线， ∵， ∴、、三点共线， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键． 10．如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 12．如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 13．如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为__________m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 14．如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案． 【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接， 平分， ，， 平分， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故答案为：． 15．定义：若三角形内存在一条过顶点的直线，将其分成两个等腰三角形，这样的三角形叫做对称等角三角形．在 中， ，若 是对称等角三角形，则 =_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，分两种情况讨论：当为钝角三角形时，当为锐角三角形时，再进一步画图求解即可． 【详解】解：如图，当为钝角三角形时， 由题意可得：，，， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为锐角三角形时， 由题意可得：，，， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为或． 16．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号）    【答案】①②③ 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③．    【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．如图，四边形中，，点F、E分别在和的延长线上，连接交于点，交于点，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行解答即可； （2）求得，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ． 18．如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 19．如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 20．如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形及其性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）根据边相等得出角相等，根据垂直得到角度，则可求得的度数； （2）由（1）得角相等，再根据平行进而推出角相等． 【详解】（1）解：∵，， ，． 又∵， ． （2）解：由（1），得． ， ∴， ∴． 21．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 22．按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在的边上． (1)过点作的垂线； (2)过点作的平行线； (3)在上找一点，使线段最短．理由为：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义作图即可； （2）根据三角板与直尺作平行线的步骤作图即可； （3）根据垂线段最短作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； 理由为垂线段最短． 23．如图，，，，，是上一点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可直接利用证明，由全等三角形的性质可证明； （2）由（1）可知，，然后利用证明，由全等三角形的性质可得到，最后通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ，， ． ，， ， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ， ， ． 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 24．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $