专题10 几何变换与综合探究（含压轴动点）（5大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题10 几何变换与综合探究（含压轴动点） 5大考点概览 考点01旋转变换综合探究 考点04全等与相似综合探究 考点02折叠变换综合探究 考点05变换综合探究 考点03平移变换综合探究 旋转变换综合探究 考点01 1．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，证得四边形为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为，即可求证． （2）连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，再根据三角形的中位线，即可求解． （3）根据题意，可分为点F在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下， ，，点是的中点， ，， 根据旋转可知， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形． （2）解：关系为，理由如下， 如图，连接， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点F为的中点， 是的中位线， ， ． （3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在左侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线，直角三角形斜边上点的中线，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关键． 2．（2026·山西朔州·一模）综合与探究 问题情境：在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点分别为，连接． (1)特例感知：如图1，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当点落在边上时，求的长． (3)深入探究：当点在同一条直线上时，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（1）由矩形与旋转可推出，，即可得解； （2）连接、，过点作交于点，由矩形与旋转证明出，得到，，再证明，从而推出，，则，再结合勾股定理求解即可； （3）①过点作延长线于点，与的交点为；②过点作延长线于点，过点作于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图，连接 矩形， ， 由旋转的性质可知，，，， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接、，过点作交于点， 在矩形中，，， ，，， 由旋转的性质可知，，，， 在中，， ， ， ，即， 又， ， ，， ， 又 ， ， ， ，， ， 在中，； （3）解：①如图，过点作延长线于点，与的交点为， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，过点作延长线于点，过点作于点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ． 综上可知，当点在同一条直线上时，的面积为或． 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3)的长为或3 【分析】（1）根据菱形的性质结合已知条件可得是等边三角形，进而得出，由旋转的性质得进而得出，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得出四边形是矩形． （2）连接，根据点在的垂直平分线上，得出，由旋转的性质得，进而得出，，证明，进而勾股定理即可求解． （3）分两种情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形． 理由：四边形是菱形， ， ，是等边三角形， ． 点与点重合， ， ， ． 由旋转的性质得， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）如图1，连接， 四边形是菱形，， ． 点在的垂直平分线上， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ， ． ． ， 是的中点， ， ． （3）线段的长为或3 解：①当时，如图2， ， ． 为的中点， ，且为的中点． ， ， ． ②当时，如图3， 取的中点为，连接． 为的中点， 为的中位线， ． ， ． ， 是等边三角形， ． 设，则． 为的中点， ，即， 解得， ． 综上所述，的长为或3． 4．（2026·山西太原·一模）综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． (1)初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转可得，则是等边三角形，然后由三线合一得到，而，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，交于点M，利用平行线分线段成比例定理证明是的中位线，则，然后证明，则，可得，记与相交于点N，由全等三角形得到，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系； （3）过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点，然后分两种情况讨论，当点为靠近点的三等分点时，则，证明即可求解的值，当点为靠近点的三等分点时，同理可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 由旋转可得 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴，即， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 过点E作交的延长线于点F，交于点M ∴ ∵P是的中点， ∴， ∴ ∴是的中位线 ∴ 根据旋转的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 记与相交于点N， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即． （3）解：当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 5．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，见解析；（2）①，；②或 【分析】（1）根据旋转的性质，全等三角形的判定可证明，得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，并延长交于点，根据等边对等角可求出．证明得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； ②分点D在线段上和线段的延长线上讨论即可． 【详解】解：（1），． 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ． ， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． （2）解：①，． 理由：连接，并延长交于点 ， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ． ， ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ②存在； 当点D在线段上时， 由①知： ，，， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴ ， ∴E、B、F共线, 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 由①知： ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 当点D在线段的延长线上时， 此时同理可得， ∵， ∴， ∴， 由△ABDQ△EFD ( SSS )可知， 同理可证 ，，， ∴， ∴ 点B、E、F三点共线， 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 同理可证 ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 综上，两点之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确画出图形，合理分类讨论是解题的关键． 6．（2026·山西长治·一模）综合与探究 如图1：中，，，点D在边上，． (1)求证：． (2)如图2所示，将绕点B顺时针旋转得到（点A的对应点为，点D的对应点为）． ①当点落在的延长线上时，过点B作交的延长线于点F，猜想，之间的数量关系，并说明理由． ②当所在的直线与所在的直线垂直时，直接写出点A与点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）利用已知数据计算得出，进而即可得解； （2）①先证出，再利用线段和差即可得证；②过作交于点，求出，，当交于点时，构造全等三角形得出，再利用勾股定理即可得解，当直线交于点时，同理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过作交于点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当交于点时，交于点，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 如图，当直线交于点时，的延长线交于点，过点A作交的延长线于点N， 同理可证，， ∴， ∴． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 8．（2026·山西晋中·一模）综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，见解析 (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形； （2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形， （3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （3）解：连接交于点， 由题意知，， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴, 由菱形知，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 9．（2026·山西太原·一模）拼接、折叠、旋转等一系列生动的图形运动，会给我们带来无穷无尽的变化，这些变化中又蕴藏着许多有趣的数学结论．下面就是数学活动小组某次活动的记录 (1)将两个全等的矩形、组合成一个新的图形，如图1，如果连接、、，那么的度数是确定的，请你直接写出的度数； (2)如果这两个矩形不全等，换成任意两个矩形，按照相同的方式组合成新的图形，（1）中的结论还成立吗？针对这个问题，大家认为换成任意两个矩形的条件后，结论不一定成立，小明说如果添加条件：矩形与矩形相似（，），那么（1）中结论就仍然成立，如图2．小明的说法正确吗？如果正确，请你说明理由． (3)在（2）的条件下，如果，，，，保持矩形不动，将矩形绕点旋转，点的对应点为，当时，请你直接写出的长度． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明，得出，根据，即可得出结果； （2）证明，得出，根据，即可证明结论； （3）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：小明的说法正确；理由如下： ∵矩形与矩形相似， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：当点在上方时，延长，过点作于点H，如图所示： 则， 在矩形中，，，， ∴， 在矩形中，，，， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当点在下方时，延长，交于点Q，过点作于点H， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 综上分析可知：的长度为或． 10．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边的中点，点是线段上的动点．将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上，连接． 数学思考： (1)求证：四边形为矩形． 深入探究： (2)如图2，过点作，交于点，设线段与线段交于点， ①猜想线段之间的数量关系，并说明理由． ②连接．若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；②或或 【分析】（1）中，，，是中点，根据等腰直角三角形的性质得出，，由旋转性质得：，，，，在中，，，则，得出，结合，得出，根据，，得出，结合，即可证明平行四边形是矩形． （2）①如图，过点D作交于点K，交于点Q，根据，，得出，根据，，得出，即，则四边形是平行四边形，得出，根据（1）可得平行四边形是矩形，则，证明，，即可得出，则． ②如图，连接，设，则，根据勾股定理的，根据矩形的性质得出，则，得出，，，勾股定理表示出，根据，得出，，则，勾股定理表示出，即可表示出，分三种情况：当时，当时，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：中，，，是中点， ∴，， 由旋转性质得：，，，， 在中，，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：①，理由如下： 如图，过点D作交于点K，交于点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据（1）可得平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ②如图，连接， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：（负值已舍去），符合条件； 当时，，解得：，符合条件； 当时，，解得：（舍去）或（与重合，与重合，与重合）． 综上，的长为或或． 11．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）平移的距离为6或10 【分析】（1）证明得出，然后结合三角形外角的性质求解即可； （2）过点作于点，在上取一点，使得，根据旋转的性质、等边对等角等知识可求出，根据三线合一的性质、线段垂直平分线的性质可得出，，则，，进而求出，根据等腰三角形的判定与性质得出，，进而求出，设，则，，则，即可求解； （3）分和两种情况讨论，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：由等边知，，． ， ， ． ， ． （2）如图，过点作于点，在上取一点，使得． 旋转， ，， ． 为的中点， ，， ，， ， ，． ， ， ． 设，则，， ，解得， ． （3）平移的距离为6或10． 由题意可知，是等边三角形． 由平移的性质可得， 如图，当时， ． ， ， ． 是的中点， ， ； 如图，当时，令与的交点为． ， ， ，， ． 综上所述，平移的距离为6或10． 12．（2026·山西晋城·一模）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 13．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：图1是两个全等的等腰直角三角板和，将两者完全重合，且．以的中点O为中心，将顺时针旋转（如图2），设旋转角为(． (1)如图2，在绕点O顺时针旋转的过程中，连接，判断四边形的形状，并证明． 探索发现： (2)如图3，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)在绕点O顺时针旋转的过程中，当A，E，F三点共线时，若，请你直接写出的值． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由全等得，由O是的中点，先证四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形； （2）连接．由旋转的性质得，，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况，当点F在点A，E之间时，作于点H，证明，根据对应边成比例列式求解；同理，当点F在点A，E之间时，作于的延长线于点H，证明，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形． 证明：由全等的性质得． O是的中点， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）解：． 理由如下： 如图1，连接． 在中，，O是的中点， ． 在中，根据勾股定理可得， 由旋转的性质得，，， ， ， ∴， 即． （3）解：的值为或． 当点E在点A，F之间时，如图2所示，作于点H， 在中，，，O是的中点， ， 由旋转得， ． ， ， 又 ， ， ，即， 解得，， ， ； 当点F在点A，E之间时，如图3所示，作于的延长线于点H， 同理可得， 综上，的值为或． 14．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3)探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，由菱形的性质即可证得结论； （2）连接，过点D作交延长线于点G，同理可证四边形是平行四边形，然后根据可证，利用全等三角形对应角相等，结合等角对等边可得，从而证得四边形是菱形，接着在中可解直角三角形求得和，进而求得，最后在中利用勾股定理建立方程，即可求得，即可求得答案； （3）①当四边形为矩形时，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点，先根据平行四边形的性质和矩形的性质，利用勾股定理求得的和，从而求得，易知垂直平分，然后利用勾股定理在和中建立方程，求得，从而得到，进而根据角度的和差和等边对等角求得，即可解答；②当四边形为矩形时，易得，从而得到此时点和重合，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形和是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴平分； （2）解：如图2，连接，过点D作交延长线于点G， 同理可得，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：①当四边形为矩形时， 如图3所示，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即， 设，则， ∵在和中，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转了； ②如备用图所示，当四边形为矩形时， 则， ∵四边形和是平行四边形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴此时点和重合，即此时旋转了； 综上，当旋转或时，以点为顶点的四边形是矩形． 15．（2026·山西大同·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． (2)类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】(1)； (2)（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析 (3)​或 【分析】（1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，，第二种是垂足在线段的延长线上时，，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． 【详解】（1）解：①如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ②∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； （2）解：（1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立； （3）解：已知​，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论​，得：​； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为​或． 【点睛】旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 折叠变换综合探究 考点02 1．（2026·山西长治·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①见解析；②或或 【分析】（1）根据折叠的性质，推出，进而得到为等边三角形，得到，即可得出结论； （2）①延长交的延长线于点，连接，证明，得到，折叠得到，等角对等边结合线段的和差关系即可得出结论；②分，，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）解：①延长交的延长线于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②当是等腰直角三角形时，分三种情况： 当时，则，，作，如图，则， ∵，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由①知：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 当时，则，作于点，如图，由上可知：， 则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 当时，则，，如图， 则， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 综上：的长为或或． 2．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 在数学活动课上，张老师和同学们一起以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在直线上，连接．将沿折叠得到，点A的对应点为． 初步探究： (1)如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，请判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当时，调整点E的位置，使点恰好落在边上，求的长． 拓展延伸： (3)如图4，F是边的中点，点E在射线上，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以点、D、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)2.5 (3)4或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得．由折叠的性质得，，可证四边形为正方形； （2）过点F作于点G，根据折叠的性质，得，，．再证，根据对应边成比例即可求解； （3）分，，三种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质，得，． ∴． ∴四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如解图1，过点F作于点G，则． ∴四边形为矩形． 又∵，， ∴． 根据折叠的性质，得，，． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． ∴， ∴， ∴，即． （3）解：分以下三种情况讨论： ①当时，如解图2， 点E与点B重合， ， ∴， ∴． ②当时，有两种情况， 当点E在线段上时，如解图3，过点作于K，交于点H，过点F作于M， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 根据折叠的性质，得，，． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． ∴， ∴， 解得， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如解图4， 同理可得． ③当时，如解图5． ，， 是等边三角形． ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为4或或或． 3．（2026·山西临汾·一模）综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． (1)猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，证明见解析 (3)的长为1或5 【分析】（1）由正方形的性质得出，由折叠得到，即可求出，得到； （2）由菱形的性质得到，因此，由折叠可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理证明，即可得到； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在延长线上．证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：四边形是正方形， ． 由折叠可得， ， ． （2）解：（1）中结论仍成立． 证明：四边形是菱形， ， ． 由折叠可得， 又， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图1，当点在线段上时． ， ， ． ， ， ∴， ． ②如图2，当点在延长线上时． ， ， ． ， ，解得， ． 综上所述，的长为1或5． 4．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，求证：是等腰三角形； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）存在，的长为或 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故， 解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【详解】（1）解：如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 5．（2026·山西阳泉·一模）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解： （3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点； 四边形是矩形， ，，，， 四边形、均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， 四边形、均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， 即， 解得， 的长为； （4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 平移变换综合探究 考点03 1．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中， 分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平移的性质可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点，则有四边形为矩形，，证明，得出，设，则，，，结合，，计算得出，，，求出，由平移的性质可得，从而可得，求出，即可得出结果； （3）由平移的性质可得，，证明为等腰直角三角形，设，则，，分两种情况：当时， 此时；当时，此时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ， 则有四边形为矩形，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿边向右平移得到， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∵在平移的过程中，当点H将分成的两部分时， ∴如图②：当时， ， 此时， ∴， 解得：， ∴； 如图③：当时，此时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 全等与相似综合探究 考点04 1．（2026·山西运城·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 (1)判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 (2)当时，求线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，推得，根据相似三角形的判定和性质得出，结合矩形的性质即可证明； （2）根据相似三角形的性质求出，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求解； （3）根据正切的定义和相似三角形的性质得出，分两种情况讨论：当时，，根据平行线的性质推得，结合正切的定义即可求解；当时，，过点作交于点，过点作交于点，根据平行线的性质推得，结合正切的定义求得，根据勾股定理求得，结合正切的定义求出，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）；证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴． （2）由题意可得． 由（1）得， ∴， 即 解得； ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 故． （3）在中，， 又∵， ∴，∴． 分两种情况讨论． 情况一：当时，，如图①， ∵， ∴， 故， ∴， 在中，， 即 解得； 情况二：当时，， 过点作交于点，过点作交于点，如图②， 则四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 故， ∴； 在中，， 即 解得； 在中，， ． ∵， ∴， 即， 解得； 在中，， 即， ∴． 综上所述，的长为或． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，，见解析 (3)或 【分析】（1）根据“”证明即可求解； （2）根据“”证明，再结合角的关系证明垂直即可； （3）分①当、在点同侧时，②当、在点异侧，两种情况进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，记与交于点， 四边形是正方形， ， ， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当、在点同侧时， ， 设，则， ， ，即，解得， 即， 由（1）知， ， ； ②当、在点异侧时： 由①可知，， ， ， 综上，的长为或． 3．（2026·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，可得，，同理，再由，可得到，从而得到，即可解答； （2）延长交于点H，连接，证明四边形为矩形，可得，，再结合点E是的中点，可得垂直平分，可得到为等边三角形，从而得到，，再证明为等边三角形，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （3）连接交于点P，由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时；当点F在的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：连接交于点P， 由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：， ∴， 如图，当点F在边上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，当点F在的延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 4．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： (1)如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： (2)“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： (3)在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分两种情况讨论：①当点在边上时；可求，证明，求出，．在中，解直角三角形求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解； ②当点在的延长线上时，过点作于点，同理①可求，进而可得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【详解】（1）解：， 理由：四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ，即， ， ； （2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． （3）解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（2），知， 又， ， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点，如解图3， 同理①，易得， ， ， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 1．（2026·山西大同·一模）综合与实践变换综合探究 考点05 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据平移的性质得出，根据矩形的性质并结合可求出，然后在中，根据正切的定义求出即可； （2）根据折叠的性质得出，，，则可证、D、B三点共线，则，然后根据矩形的判定即可得证； （3）分两种情况讨论：当点F在的上方时，过F作于M，交于N，过D作于H，在中，解直角三角形求出，，根据三线合一的性质求出，根据矩形的判定与性质求出，，根据旋转的性质得出，在中，根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求解即可；当点F在的上方时，类似求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵平移后四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即平移距离为； （2）解：四边形是矩形 理由：∵折叠， ∴，，， ∴， ∴、D、B三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是矩形； （3）解：当点F在的上方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点F在的下方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 几何变换与综合探究（含压轴动点） 5大考点概览 考点01旋转变换综合探究 考点04全等与相似综合探究 考点02折叠变换综合探究 考点05变换综合探究 考点03平移变换综合探究 旋转变换综合探究 考点01 1．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3) 连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 2．（2026·山西朔州·一模）综合与探究 问题情境：在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点分别为，连接． (1)特例感知：如图1，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当点落在边上时，求的长． (3)深入探究：当点在同一条直线上时，连接，请直接写出的面积． 3．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 4．（2026·山西太原·一模）综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． (1)初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 5．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 6．（2026·山西长治·一模）综合与探究 如图1：中，，，点D在边上，． (1)求证：． (2)如图2所示，将绕点B顺时针旋转得到（点A的对应点为，点D的对应点为）． ①当点落在的延长线上时，过点B作交的延长线于点F，猜想，之间的数量关系，并说明理由． ②当所在的直线与所在的直线垂直时，直接写出点A与点之间的距离． 7．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． (1)【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (2)【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 8．（2026·山西晋中·一模）综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 9．（2026·山西太原·一模）拼接、折叠、旋转等一系列生动的图形运动，会给我们带来无穷无尽的变化，这些变化中又蕴藏着许多有趣的数学结论．下面就是数学活动小组某次活动的记录 (1)将两个全等的矩形、组合成一个新的图形，如图1，如果连接、、，那么的度数是确定的，请你直接写出的度数； (2)如果这两个矩形不全等，换成任意两个矩形，按照相同的方式组合成新的图形，（1）中的结论还成立吗？针对这个问题，大家认为换成任意两个矩形的条件后，结论不一定成立，小明说如果添加条件：矩形与矩形相似（，），那么（1）中结论就仍然成立，如图2．小明的说法正确吗？如果正确，请你说明理由． (3)在（2）的条件下，如果，，，，保持矩形不动，将矩形绕点旋转，点的对应点为，当时，请你直接写出的长度． 10．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边的中点，点是线段上的动点．将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上，连接． 数学思考： (1)求证：四边形为矩形． 深入探究： (2)如图2，过点作，交于点，设线段与线段交于点， ①猜想线段之间的数量关系，并说明理由． ②连接．若，当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 11．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 12．（2026·山西晋城·一模）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 13．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：图1是两个全等的等腰直角三角板和，将两者完全重合，且．以的中点O为中心，将顺时针旋转（如图2），设旋转角为(． (1)如图2，在绕点O顺时针旋转的过程中，连接，判断四边形的形状，并证明． 探索发现： (2)如图3，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (4) 在绕点O顺时针旋转的过程中，当A，E，F三点共线时，若，请你直接写出的值． 14．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3) 探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 15．（2026·山西大同·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． (2)类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； (3)拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 折叠变换综合探究 考点02 1．（2026·山西长治·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点E为的中点，点F是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为． (1)猜想验证：如图2，当点F与点C重合时，点恰好与点A重合，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：点F在边上移动（不与点B，C重合），当直线与边交于点H时． ①请用图3证明． ②连接，当是等腰直角三角形时，请直接写出边的长． 2．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 在数学活动课上，张老师和同学们一起以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点E，F分别在直线上，连接．将沿折叠得到，点A的对应点为． 初步探究： (1)如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，请判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当时，调整点E的位置，使点恰好落在边上，求的长． 拓展延伸： (3)如图4，F是边的中点，点E在射线上，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以点、D、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出线段的长． 3．（2026·山西临汾·一模）综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． (1)猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 4．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，求证：是等腰三角形； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 5．（2026·山西阳泉·一模）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 (1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 平移变换综合探究 考点03 1．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中， 分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 全等与相似综合探究 考点04 1．（2026·山西运城·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 (1)判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 (2)当时，求线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 3．（2026·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． (1)初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； (2)深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； (3)保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 4．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： (1)如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： (2)“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： (3)在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 1．（2026·山西大同·一模）综合与实践变换综合探究 考点05 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $