精品解析：山西省长治市襄垣县部分学校2025年中考第一次模拟数学试卷

2025年初中学业水平模拟（一）数学 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 式子的计算结果是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数除法，根据除法法则（除以一个不为0的数等于乘以它的倒数）可得结论． 【详解】解： ． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方和平方差公式，运用相关知识计算各项再进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意． 故选：C． 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解． 【详解】解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是： 故选：． 5. 如图，的斜边在 轴上，，直角顶点 在第二象限，将绕原点顺时针旋转 后得到，则点 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转、勾股定理，先画出相应的图形，然后根据旋转的性质和勾股定理、即可求得点的坐标． 【详解】解：作轴于点D，如图所示， 由旋转的性质可得，，， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：A． 6. 如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可； 【详解】解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25， 该图形总面积为8×8=64， ∴针尖落在阴影部分的概率=， 故选： D． 【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示． 7. 常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（ ） A. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D. 随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，正确识别图象逐项判断即可． 【详解】解：A、随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，不符合题意； B、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意； C、随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意； D、随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为，说法正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（ ） A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲和乙都正确 D. 甲、乙、丙三人都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，把各部分的面积用含x的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：由已知条件可知：种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积为， ∴可列方程， ∴甲列的方程正确； ∵两条竖直的小路的长为，宽为， ∴两条竖直的小路的面积为， ∵水平的小路的长度为，宽为， ∴水平的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， ∴重叠部分的面积为， ∴小路的面积可表示为， ∴可列方程为， ∴乙列的方程正确，丙列的方程错误； 综上所述，甲和乙都正确． 故选：C． 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 10. 如图，等边三角形 的边长为4，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积等于3个扇形的面积减去2个的面积计算即可． 【详解】解：如图，设 的中点为E， 的中点为F， 的中点为G， 由三角形的中位线可知， ∵是等边三角形， ∴阴影部分的面积等于3个扇形的面积减去2个的面积， 即阴影部分的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式将括号展开再合并即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 45.10 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 3.3 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义可判断乙运动员发挥稳定． 【详解】解：由表中数据得到四名运动员成绩的方差大小为：， 所以乙运动员发挥稳定， 所以应该选择乙运动员参加比赛． 故答案为：乙． 13. 如图， 是 的直径，是 上的两点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接，若，则 的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接 ，利用切线的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】解：连接， ∵ 是 的切线， 是 的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块 ，在其上方放置不同质量的铁块 ．已知木块 全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度 （单位：）与铁块 的质量 （单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块 的质量为时，木块 露出水面的高度 为______． 实验次数 一 二 三 铁块 的质量 25 50 75 高度 44 38 32 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块 的质量的关系式是解此题的关键． 设，利用待定系数法求出，当时，求出 的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将代入解析式得：， 解得：， ∴高度与铁块 的质量的关系式为：， 当时，， ∴当铁块 质量为时，木块 露出水面上的高度 为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中，点 在 上，若且，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG构造出一线三等角，此时可以得出，，设AB为x，则，解得，舍去负数的情况，则． 【详解】解：如图所示，分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG， ∴, ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设AB长为x，， ， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建一线三等角模型． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方和绝对值运算，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可； （2）首先将分式的分子与分母分解因式，把除法转换为乘法，约分后再进行通分计算即可． 【详解】解：（1） （2） ． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN． 【答案】∵四边形ABCD为平行四边形，BM和DN分别为AB和CD的延长线， ∴AM∥CN，AB=CD， ∴∠M=∠N， ∵MN为线段AC的垂直平分线， ∴∠AOM=∠CON=90°，AO=CO， 在△AOM与△CON中， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM=CN， ∵AB=CD， ∴AM-AB=CN-CD， ∴BM=DN． 【解析】 【分析】综合平行四边形的性质，以及垂直平分线的性质推出△AOM≌△CON，得出AM=CN，从而得出结论即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及垂直平分线的性质，掌握基本性质，灵活运用全等三角形的证明进行推理是解题关键． 18. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______， _____；观察统计图得：_____（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】（1） ，， （2） （3） 解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：共个数据，乙组数据第 个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为： ，， ； 【小问2详解】 解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 19. 研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点 处竖直上升34米后飞行至点 处，在点 处测得旗亭顶端 的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得旗亭顶端 和点 的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点 和点 在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭 的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】15米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，利用在中表示出米，得出米，在中表示出 ，再由求得结果． 【详解】解：在 中，， ， ， 米， 如图，延长 交 的延长线于点 ，则四边形为矩形， 米， 设米，则米， 在中，，则米， 米， 在中，， ， ， 即， 解得． 答：旗亭 的高度约为15米． 20. 阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点 ，连接 ， 交于点 ，则四边形 称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形 为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形 ”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形 为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）证明： 四边形 是平行四边形， ，， 分别是的中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， 同理， 四边形 为平行四边形． （2）； （3）如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形综合，平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形均为平行四边形，进而得到，，即可得证； （2）根据菱形的性质结合图形即可得出结果； （3）连接 ，作直线，交于点O，然后作，，然后连接 、 、 、 即可得出点M和N分别为 、的重心，据此作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：当平行四边形 满足时，准中点四边形 是菱形， 由（1）得四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴准中点四边形 是菱形， 故答案为：； （3）解：连接 ，作直线，与交于点O，然后作，，然后连接 、 、 、 ， 证明：矩形 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形 ， ∴， ∴， ∴， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为 的中点， 同理得：点E为 的中点，点G为 的中点，点H为 的中点． 21. 随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． （1）分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． （2）为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】（1）每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 （2）购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为 元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物 件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件吉祥物的进价为 元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． 【小问2详解】 解：设商店购入吉祥物 件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 22. 综合与实践 材料1：山西省某县依托良好的自然区位优势和产业发展基础，深入推进蔬菜产业供给侧结构性改革．如图，这是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形 构成．已知矩形的长米，宽 米，抛物线最高点 到地面 的距离为7米． 材料2：冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，农户决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且高度相同的支撑柱 和 ． 材料3：为了保证蔬菜大棚的通风性，农户决定在矩形铝合金骨架内安装排气装置和其他设备，其中两点在抛物线上． 任务1：确定形状：以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 任务2：计算间距：若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱之间的水平距离． 任务3：准备材料：求铝合金骨架长度之和的最大值． 【答案】任务1：；任务2：6米；任务3：米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）先根据题意得到，顶点坐标为，然后利用待定系数法求抛物线的函数解析式即可； （2）求出当时的x值，则可得点P、N的坐标，进而可求解； （3）设点的坐标为， ，，的长度之和为米，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：轴垂直平分 ， ， ， ， 根据题意和图象，得顶点 的坐标为， 可设抛物线的解析式为， 把点代入解析式可得， 解得， 抛物线的解析式为． 任务2：当时，，解得， ∴，， ， 两根支撑柱之间的水平距离为6米． 任务3：设点的坐标为， ，，的长度之和为米， 则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 铝合金骨架的长度之和的最大值为米． 23. 综合与实践 在 中，，， 是 的中点， 为直线 上一动点，连接 ，过点 作，交直线 于点 ，连接 ． （1）如图1，当 是线段 的中点时，判断四边形的形状，并证明； （2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，设 与直线 的交点为 ，当时，直接写出的面积． 【答案】（1）矩形， 证明：∵ 是 的中点， 是线段 的中点, ∴ 是 的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ , ∴四边形是矩形． （2） ， 证明：延长 到点G；使，连接． ∵点 是边 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴直线 垂直平分线段， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，矩形的判定定理解答即可． （2）延长 到点G；使，连接．证明得到平行线，继而得到，利用勾股定理，等量代换思想解答即可； （3）取 的中点M，连接，分点E在 上和 的延长线上两种情况，利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取 的中点M，连接， ∴是 的中位线， ∴， ∵， ∴，， 当点E在 上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点E在 延长线上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟（一）数学 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 式子的计算结果是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，的斜边在轴上，，直角顶点 在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 常温下，用浓度为的NaOH溶液分别滴入浓度均为的盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的溶液体积的变化如图所示，其中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（ ） A. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 B. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大 C. 随着滴入溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大 D. 随着滴入溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为 8. 如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（ ） A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲和乙都正确 D. 甲、乙、丙三人都正确 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形 的边长为4，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 45.10 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 3.3 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员______． 13. 如图， 是 的直径，是 上的两点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接，若，则 的度数是______． 14. 物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块 ，在其上方放置不同质量的铁块 ．已知木块 全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度 （单位：）与铁块 的质量 （单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块 的质量为时，木块 露出水面的高度 为______． 实验次数 一 二 三 铁块 的质量 25 50 75 高度 44 38 32 15. 如图，在矩形 中，点 在 上，若且，则 的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN． 18. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______， _____；观察统计图得：_____（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； （3）综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 19. 研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点 处竖直上升34米后飞行至点 处，在点 处测得旗亭顶端 的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得旗亭顶端 和点 的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点 和点 在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭 的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 20. 阅读与思考 下面是某小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行四边形准中点四边形”的研究报告 研究对象：平行四边形的“准中点四边形”． 定义：如图1，分别是各边的中点，连接交于点 ，连接 ， 交于点 ，则四边形 称为的“准中点四边形”． 性质：四点共线． 结论：1．四边形 为平行四边形；2．当满足什么条件时，其“准中点四边形 ”为菱形？ 任务一：（1）写出结论1的证明过程． 任务二：（2）直接写出结论2中满足的条件：______． 任务三：（3）如图2，已知矩形 为某平行四边形的准中点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． （1）分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． （2）为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 22. 综合与实践 材料1：山西省某县依托良好的自然区位优势和产业发展基础，深入推进蔬菜产业供给侧结构性改革．如图，这是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形 构成．已知矩形的长米，宽 米，抛物线最高点 到地面 的距离为7米． 材料2：冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，农户决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且高度相同的支撑柱 和 ． 材料3：为了保证蔬菜大棚的通风性，农户决定在矩形铝合金骨架内安装排气装置和其他设备，其中两点在抛物线上． 任务1：确定形状：以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 任务2：计算间距：若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱之间的水平距离． 任务3：准备材料：求铝合金骨架长度之和的最大值． 23. 综合与实践 在 中，，， 是 的中点， 为直线 上一动点，连接 ，过点 作，交直线 于点 ，连接 ． （1）如图1，当 是线段 的中点时，判断四边形的形状，并证明； （2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，设 与直线 的交点为 ，当时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $