专题09 统计与概率（8大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题09 统计与概率 8大考点概览 考点01选择适合的调查方式 考点05利用样本估算总体及其决策的决定 考点02求简单的统计量 考点06统计图中获取统计量做决策 考点03计算简单的概率 考点07统计图与概率综合应用 考点04根据数据做决策 考点08统计图与概率综合应用 选择适合的调查方式 考点01 1．（2026·山西运城·一模）下列调查方式适合抽样调查的是（    ） A．对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查 B．高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性 C．了解某班同学每周的体育锻炼时间 D．了解长沙段湘江水质情况 2．（2026·山西长治·一模）下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．检测一批新能源汽车电池的使用寿命 B．检查九年级一班学生的寒假作业完成情况 C．调查山西电视台某节目的收视率 D．了解全国中学生对“中国天眼”的认知程度 3．（2026·山西太原·一模）为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（   ） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 4．（2026·山西长治·一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．旅客上飞机前的安检 B．了解全班同学每周体育锻炼的时间 C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D．了解某批次灯泡的使用寿命情况 求简单的统计量 考点02 1．（2026·山西阳泉·一模）歌唱比赛有位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，不受影响的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 2．（2026·山西晋中·一模）五台山位于山西省忻州市，是中华十大名山之一．其由五座山峰环抱而成，因峰顶平坦如台、无林木覆盖而得名．以下是五台山五座主峰的具体海拔数据： 东台(望海峰) 西台(挂月峰) 南台(锦绣峰) 北台(叶斗峰) 中台(翠岩峰) 2796米 2773米 2485米 3061米 2894米 根据上述五座山峰的海拔数据，下列说法错误的是（   ） A．这五座山峰海拔的最大值与最小值相差576米 B．这五座山峰海拔的中位数为2796米 C．这五座山峰海拔的众数为2700米 D．这五座山峰海拔的平均数为2801.8米 3．（2026·山西晋城·一模）已知一组数据2、4、6、8、10，则这组数据的方差是______． 计算简单的概率 考点03 1．（2026·山西·一模）体育课上，小强、小刚、小文进行三人传球游戏．游戏规则为：传球时，持球人将手中的球随机传给其他两人中的任意一人．已知开始时，持球人是小强，则经过两次传球后，球回到小强手中的概率为（） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西大同·一模）“四骏齐发藏千年文脉密码”——2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·一模）水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西吕梁·一模）从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋城·一模）共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山西大同·一模）四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西晋城·一模）某校九年级有3个班，每班推荐2名学生参加演讲比赛．现从这6名学生中随机抽取2人担任主持人，则这2人来自同一班级的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山西·一模）2026年山西省持续深化青运会成果，某校在五一节前夕开展“青春献礼祖国，运动赋能成长”主题运动会，需要招募志愿者进行播音，现有两名男生和三名女生符合要求，先从这五名学生中随机选择一名，然后再从剩余的四名学生中随机选择一名，则选出的两名学生恰好是一男一女的概率是（  ） A． B． C． D． 10．（2026·山西吕梁·一模）智慧课堂是以大数据、、云计算、移动互联网为技术底座，以学生为中心，打通课前—课中—课后全流程，实现精准教学、个性学习、高效互动的新型课堂模式．某智慧课堂有4种互动工具：抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师指定一人作答（每种互动工具可反复选择），老师先随机选择一种互动工具，再随机选择一种互动工具，则老师两次选到同一互动工具的概率是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山西晋城·一模）小明在书店选购中国古代数学典籍时，想要购买《周髀算经》《九章算术》《数书九章》《算法统宗校释》四本数学典籍，但由于预算有限，只能随机选择其中两本数学典籍购买，则他买到的两本数学典籍中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山西太原·一模）我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·山西临汾·一模）山西山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．如图，现有正面印有山西旅游景点的三张卡片，除正面图案外其余完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山西吕梁·一模）分子的热运动是指一切物质的分子都在不停地做无规则的运动．在如图所示的试验容器中，容器由A，B，C三个仓组成，某分子受热做运动，每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，已知该分子的初始位置在A仓，则经过两次选择后回到A仓的概率是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·山西吕梁·一模）如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·山西长治·一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山西长治·一模）每年4月的第四周为全民阅读活动周．某学校计划开展“书香三晋”校园读书活动，设置了经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，小张和小李各自从中随机选择一项参加，则他俩选择同一项活动的概率是_______． 18．（2026·山西运城·一模）如图，这是“智慧”小组利用人工智能设计的一款传球小游戏，规则为在三棱锥中的一个顶点处放置一个小球，每下达一次指令，小球就会随机移动到相邻的顶点处．当小球位于顶点处时，“智慧”小组连续下达了两次指令，则小球回到顶点处的概率为______． 19．（2026·山西·一模）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 27．（2026·山西·一模）晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 根据数据做决策 考点04 1．（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 2．（2026·山西大同·一模）某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如下表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是______． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 3．（2026·山西运城·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定 D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定 利用样本估算总体及其决策的决定 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）为提高学生的安全意识，某校组织八、九年级的学生开展了一次消防知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀．并分别从八、九年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、分析． 【数据整理】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的_______，_______，_______． (2)若该校九年级学生共有人，估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数． (3)你认为哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由． 2．（2026·山西大同·一模）大同作为“三代京华、两朝重镇”的历史文化名城．春节期间成为全国顶流旅游目的地．某文旅部门为优化文旅产品供给，对A（如梦大同实景演绎）、B（代王府实景演绎）两种大型实景演出进行游客喜好度抽样统计，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢）下面给出了部分信息： 抽取的对A种演出的评分数据中“喜欢”的数据为84，86，86，87，88，89； 抽取的对B种演出的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两种演出的评分统计表： 演出种类 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比 A 88 96 B 88 C 抽取的对种演出的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：___________，___________，___________； (2)文旅部门计划从A，B两种演出中重点打造一种“城市标杆演出”，请根据统计数据作出选择，并说明理由； (3)预计五一假期将有12000名游客观看A演出，15000名游客观看B演出． ①估计两种演出中“非常喜欢”的游客总人数； ②请你为我市文旅发展提一条合理建议． 3．（2026·山西·一模）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（分）分为4组：A．“”，    B．“”，    C．“”，    D．“”． 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；若志远班竞赛成绩的中位数为分，明德班竞赛成绩的中位数为分，则_____（填“”“”或“”）． (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）． (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）． 4．（2026·山西吕梁·一模）为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（    ）（可多选） A．每天户外活动2小时            B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“”护眼法则    D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间          F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（    ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时    B．小时    C．小时    D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． (2)估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数． (3)除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 5．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 6．（2026·山西晋中·一模）为积极响应教育部关于“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的号召，传承弘扬中华优秀体育文化，推动全民健身与校园体育深度融合，某校为更好地落实相关精神，了解学生参加体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如下表），并对数据进行整理分析．部分信息如下： 调查问卷1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A．    B．    C．    D． 2．随着体育活动时间增加，学校拟增设特色体育项目，你希望增设的项目有（  ）（可多选） E．球类    F．田径类    G．体操类    H．传统武术类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 传统武术类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与这次问卷调查的学生人数有__________人； (2)若该校共有1000名学生，请估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生人数； (3)基于上述两项调查的数据，提炼一条信息，并向学校提出一条合理化建议． 7．（2026·山西·一模）为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70    70    80    90    80    80    90    60    100    80    80    80    90    90    70    90    70    70    100    60 八年级：60    70    80    70    70    90    60    90    90    90    70    90    100    70    70    60    90    90    90    100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： (1)______；______； (2)估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ (3)小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 8．（2026·山西吕梁·一模）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图． (2)求元捐款所在扇形圆心角的度数． (3)若该校共有名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数． 9．（2026·山西运城·一模）为了丰富学生的课余生活，某校在课后延时服务时间开设了兴趣社团：A．趣味数学；B．生物与健康；C．自然与科学；D．物理小实验；E.诗词鉴赏．该校数学兴趣小组随机选取了部分学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），请认真阅读材料信息，回答下列问题： 调查问卷 请选出你最喜欢的社团，并在后面打“√”（每人只能选择一项） A．趣味数学（    ）B．生物与健康（    ）C．自然与科学（    ） D．物理小实验（    ）E.诗词鉴赏（    ） (1)本次调查问卷共有______份；扇形统计图中，的值为______． (2)补全条形统计图． (3)若该校共有1200名学生，请估计选择“A．趣味数学”的学生人数． 10．（2026·山西吕梁·一模）第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（岁）、青年（岁）、中年（岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（    ） B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（    ） C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（    ） D．非常了解，我是新能源汽车车主（    ） 对新能源汽车了解情况统计表 了解程度 A B C D 少年 20 40 140 0 青年 10 a 50 200 中年 10 60 160 b 老年 60 60 70 10 调查结论 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中______，______，本次抽样调查的总人数是______人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到）？ (4)请写出一条关于你对新能源汽车的了解 11．（2026·山西·一模）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； (2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 12．（2026·山西晋城·一模）世界地球日（4月22日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[    ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： A．垃圾分类[    ]    B．节约用水用电[    ] C．减少塑料使用[    ]    D．绿色出行[    ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 A B C D 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：参与本次问卷调查的总人数为______，统计表中m的值为______． (2)请补全条形统计图． (3)根据上述调查结果，估计该校1800名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． (4)学校要开展一次“绿色出行”主题活动，假如你是学校环保社团的成员，请你提出一项具体可行的活动方案． 13．（2026·山西吕梁·一模）2026年世界地球日（4月22日）的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护．某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛．现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、分析，成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）分为A，B，C，D四个等级，其中A．；B．；C．；D．． 数据收集与整理 八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析 八、九年级各抽取的20名学生的竞赛成绩数据分析如下： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 A等级率 八年级 % 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________，__________． (2)根据上述信息分析，请你对八、九年级学生知识竞赛的成绩进行评价（任选两个统计量说明）． (3)该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计该校八、九年级竞赛成绩为等级的学生总人数． 14．（2026·山西太原·一模）工具的多样化及普及化，为学习和工作带来便利的同时，也在一定程度上造成了学生使用场景过度集中、信息依赖等问题．某校社团针对中午放学后学生使用工具的情况，在全校随机选取300名学生进行了问卷调查（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 中午放学后学生使用AI工具的情况调查问卷 尊敬的同学： 您好！为优化工具使用环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下均为单选） 1．您通常使用工具的方式是（    ） A．聊天对话类B．图文生成类C．代码编程类D．私人家教类E．公共学习类 2．您通常使用工具的时间是（    ）（每项含最小值，不含最大值） A．   B．   C．    D．其他时间 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共学习类”所在扇形的圆心角度数为___________． 本次调查的学生中使用“聊天对话类”工具的有____________人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1500名学生，估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数． (3)假如你是社团的成员，请根据统计图中的信息，给学生们提出一条合理使用工具的建议． 15．（2026·山西运城·一模）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； (2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； (3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 16．（2026·山西吕梁·一模）随着人工智能的发展，“AI智能护眼”专项行动走进校园，某中学为有效落实政策，对八年级30名学生的每日课后护眼情况开展抽样调查，收集数据并整理得到以下信息： 信息一：抽样调查的护眼时长数据（单位：分钟）． 15，20，20，15，30，25，20，30，15，25，20，30，25，15，20， 25，30，20，15，25，40，20，25，15，20，30，25，20，35，20． 信息二：护眼活动类型与时长分组分布． 1．活动类型：这30名学生参与的护眼活动分为三类： A．AI视力检测（含数据同步）；B．远像光屏学习；C．光波护眼按摩． 各类活动参与人数扇形统计图如下（不完整），已知参与B类活动的学生有12人，且每名学生均参与且仅参与一类活动． 2．时长分组：将护眼时长划分为四组： ①不低于15分钟（基础达标）；②不低于20分钟（标准达标）；③不低于25分钟（优质达标）； ④不低于35分钟（高阶达标）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为___________，C类的占比是___________． (2)若该校八年级共有300名学生，估计每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（分钟）的学生人数． (3)该校开展“护眼标兵”评选，规定：护眼时长能超过全校八年级一半学生的同学可入围．八年级学生小王的每日课后护眼时长为21分钟，请结合抽样调查数据，判断小王是否能入围“护眼标兵”，并说明理由． 1．（2026·山西·一模）随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图．统计图中获取统计量做决策 考点06 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． (2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这 50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． (3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 2．（2026·山西晋中·一模）智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 3．（2026·山西长治·一模）为响应校园科技节“赋能创意未来”的主题，某校举办了创意编程挑战赛，最后甲、乙两位同学进入最终决赛，决赛从创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项评分满分均为10分），每项均有5位评委评分，取5位评委评分的平均数作为该项的最终成绩． 数据整理：将甲、乙两位同学的创意设计得分成绩整理成如下统计图． 数据分析：甲、乙两位同学三项得分的最终成绩整理如下表： 成绩/分 创意设计 代码实现 答辩展示 甲 a 8 8 乙 7.6 9 7 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_______． (2)有人认为“乙同学创意设计得分中有2个满分，因此乙同学的创意设计更能获得评委的认可”，你认同这种说法吗？并说明理由（写出一条即可）． (3)如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算最终决赛成绩，最终决赛成绩高的选手获得一等奖，通过计算说明甲、乙两位同学谁会获得一等奖． 4．（2026·山西·一模）某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 5．（2026·山西太原·一模）随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间的程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； (2)被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； (3)研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 6．（2026·山西太原·一模）某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和的土壤中蒜苗高度的数据如下表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如下表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： (1)请直接写出的值，并补全条形统计图． (2)根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． (3)请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 7．（2026·山西临汾·一模）在当今这个信息爆炸的时代，学生关注时事不仅是对个人成长的一种促进，更是对未来社会适应能力的一种培养．某校为了解学生时事新闻的关注情况，组织学生开展“时事新闻大比拼”知识竞赛，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数．将七、八年级（每个年级10人参赛）参赛选手的得分进行整理、描述、分析，部分信息如表： 得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 85 84.5 33.2 八年级 85 86.5 87 26.2 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)综合上表中的统计量，你认为哪个年级的学生对时事新闻知识掌握的情况更好？请说明理由． 统计图与概率综合应用 考点08 1．（2026·山西晋中·一模）为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”．小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．两人选择的软件完全相同 B．两人选择的软件完全不同 C．小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通” D．至少有一人选中“智学助手” 2．（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 3．（2026·山西运城·一模）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为广大群众喜闻乐见的运动方式．为了让学生以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，满分100分，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（成绩得分用x表示，且x均为整数），将成绩分成四组：A（），B（），C（），D（），整理数据信息如下： 八年级抽取的学生成绩在C组的数据为：80，75，75，75，80，79，73，80，75，72 八年级抽取的学生成绩分布表： 等级 D C B A 成绩 人数 5 10 a 2 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 77.25 b 75 九年级 76 82.5 80 请根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)在收集九年级20名学生数据的过程中，将一个数据“80”误写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，不会影响被调查学生户外运动知识水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由； (3)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增强，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式．小宇和小强收集了印有这四种运动的卡片（除正面内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“骑行”和“爬山”的概率． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 8大考点概览 考点01选择适合的调查方式 考点05利用样本估算总体及其决策的决定 考点02求简单的统计量 考点06统计图中获取统计量做决策 考点03计算简单的概率 考点07统计图与概率综合应用 考点04根据数据做决策 考点08统计图与概率综合应用 选择适合的调查方式 考点01 1．（2026·山西运城·一模）下列调查方式适合抽样调查的是（    ） A．对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查 B．高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性 C．了解某班同学每周的体育锻炼时间 D．了解长沙段湘江水质情况 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可． 【详解】解：A、对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查，涉及安全性，事关重大，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意； B、高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性，涉及安全性，事关重大，适合采用全面调查方式，故该选项不符合题意； C、了解某班同学每周的体育锻炼时间，范围小，人数不多，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意； D．了解长沙段湘江水质情况，范围广，适宜采用抽样调查方式，故该选符合题意． 故选：D． 2．（2026·山西长治·一模）下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．检测一批新能源汽车电池的使用寿命 B．检查九年级一班学生的寒假作业完成情况 C．调查山西电视台某节目的收视率 D．了解全国中学生对“中国天眼”的认知程度 【答案】B 【分析】当调查范围小，调查对象数量少，且调查不具有破坏性时适合用普查，反之适合抽样调查. 【详解】解：选项A检测电池使用寿命具有破坏性，选项C调查节目收视率范围大，选项D了解全国中学生认知程度范围大，均适合抽样调查，选项B中九年级一班学生数量少，调查范围小，适合全面调查（普查）. 3．（2026·山西太原·一模）为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（   ） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 【答案】D 【详解】解：A、不具有普遍性，故本选项不符合题意； B、不具有普遍性，故本选项不符合题意； C、不具有普遍性，故本选项不符合题意； D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意； 4．（2026·山西长治·一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．旅客上飞机前的安检 B．了解全班同学每周体育锻炼的时间 C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D．了解某批次灯泡的使用寿命情况 【答案】D 【分析】根据调查特点判断：事关安全、范围小，需要全面掌握结果的调查适合普查；调查具有破坏性、无法全面开展的调查适合抽样调查． 【详解】解：∵旅客上飞机前的安检事关安全，必须逐一检查，适合普查，排除A； ∵了解全班同学每周体育锻炼时间，调查范围小，适合普查，排除B； ∵运载火箭零部件检查事关发射安全，必须逐一检查，适合普查，排除C； ∵测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法对整批次每一个灯泡都测试，因此最适合采用抽样调查． 求简单的统计量 考点02 1．（2026·山西阳泉·一模）歌唱比赛有位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，不受影响的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】B 【分析】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：B． 2．（2026·山西晋中·一模）五台山位于山西省忻州市，是中华十大名山之一．其由五座山峰环抱而成，因峰顶平坦如台、无林木覆盖而得名．以下是五台山五座主峰的具体海拔数据： 东台(望海峰) 西台(挂月峰) 南台(锦绣峰) 北台(叶斗峰) 中台(翠岩峰) 2796米 2773米 2485米 3061米 2894米 根据上述五座山峰的海拔数据，下列说法错误的是（   ） A．这五座山峰海拔的最大值与最小值相差576米 B．这五座山峰海拔的中位数为2796米 C．这五座山峰海拔的众数为2700米 D．这五座山峰海拔的平均数为2801.8米 【答案】C 【分析】根据极差、中位数、众数、平均数的计算方法，先将数据从小到大排序，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：将五座山峰的海拔数据从小到大排序得：2485，2773，2796，2894，3061. 最大值为3061，最小值为2485，极差为米，故选项A正确，不符合题意； 5个数据的中位数为排序后第3个数，即2796米，故选项B正确，不符合题意； 众数是数据中出现次数最多的数，本题5个数据均只出现1次，因此没有众数，选项C称众数为2700米，此说法错误，故选项C符合题意； 数据总和为：， 平均数为：米，故选项D正确，不符合题意． 3．（2026·山西晋城·一模）已知一组数据2、4、6、8、10，则这组数据的方差是______． 【答案】8 【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为：， ， ， ， 故答案为8． 【点睛】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键． 计算简单的概率 考点03 1．（2026·山西·一模）体育课上，小强、小刚、小文进行三人传球游戏．游戏规则为：传球时，持球人将手中的球随机传给其他两人中的任意一人．已知开始时，持球人是小强，则经过两次传球后，球回到小强手中的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出所有可能传球路线，得到等可能的情况总数，再找出球最后回到小强手中的情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：所有可能传球路线为∶ 小强→小刚→小文； 小强→小刚→小强； 小强→小文→小刚； 小强→小文→小强； 因此共有4种等可能情况，其中球最后回到小强手中的有2种情况，故概率为． 2．（2026·山西吕梁·一模）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 3．（2026·山西大同·一模）“四骏齐发藏千年文脉密码”——2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种，即、， ∴这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是． 4．（2026·山西晋中·一模）水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定属于液化现象的有几张卡片，再由概率公式求解即可． 【详解】解：总共有四张卡片，属于液化现象的有甲和丁两张卡片， ∴从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是． 故选：A． 5．（2026·山西吕梁·一模）从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、 “孝义皮影”、 “平遥推光漆器”分别记为，根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将图片“绛州鼓乐”、“天塔舞狮”、 “孝义皮影”、 “平遥推光漆器”分别记为， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的情况有2种， 则两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率为． 6．（2026·山西晋城·一模）共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，利用树状图展示出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如下： 由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种， 所以 故选：D 7．（2026·山西大同·一模）四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次     第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 8．（2026·山西晋城·一模）某校九年级有3个班，每班推荐2名学生参加演讲比赛．现从这6名学生中随机抽取2人担任主持人，则这2人来自同一班级的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表，先计算从6名学生中抽取2人的所有等可能结果数，再计算2人来自同一班级的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】设九年级有3个班为班，则学生为， 列表如下： 共有种等可能情况，这2人来自同一班级的情况有，，，，，共种， 则这2人来自同一班级的概率为． 9．（2026·山西·一模）2026年山西省持续深化青运会成果，某校在五一节前夕开展“青春献礼祖国，运动赋能成长”主题运动会，需要招募志愿者进行播音，现有两名男生和三名女生符合要求，先从这五名学生中随机选择一名，然后再从剩余的四名学生中随机选择一名，则选出的两名学生恰好是一男一女的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列表法求出所有等可能的结果，及恰好是一男一女的结果数，然后利用概率公式进行计算． 【详解】解：两名男生分别用，表示，三名女生分别用，，表示， 将所有结果列表格如下： 由表格可知：共有20种等可能的结果，其中一男一女的情况有12种， 所以选出的两名学生恰好是一男一女的概率是． 10．（2026·山西吕梁·一模）智慧课堂是以大数据、、云计算、移动互联网为技术底座，以学生为中心，打通课前—课中—课后全流程，实现精准教学、个性学习、高效互动的新型课堂模式．某智慧课堂有4种互动工具：抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师指定一人作答（每种互动工具可反复选择），老师先随机选择一种互动工具，再随机选择一种互动工具，则老师两次选到同一互动工具的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再求出满足“两次选到同一互动工具”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师指定一人作答4种互动工具分别为， 列表可得： A B C D A B C D 根据表格可得，共有16种情况，其中老师两次选到同一互动工具的有4种情况， 故老师两次选到同一互动工具的概率． 11．（2026·山西晋城·一模）小明在书店选购中国古代数学典籍时，想要购买《周髀算经》《九章算术》《数书九章》《算法统宗校释》四本数学典籍，但由于预算有限，只能随机选择其中两本数学典籍购买，则他买到的两本数学典籍中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题需要两步完成，所以可采用树状图法或列表法求解． 【详解】解：将四部书《周髀算经》《九章算术》《数书九章》《算法统宗校释》分别记为，，，，用列表法列举出从4部书中选择2部所能产生的全部结果： 第1步第2步 A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表中可以看出，共有种等可能的结果，而选中《周髀算经》的结果有种， 所以选中《周髀算经》的概率为． 故选：D． 12．（2026·山西太原·一模）我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为， 可画树状图为： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有2种， ∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是． 13．（2026·山西临汾·一模）山西山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．如图，现有正面印有山西旅游景点的三张卡片，除正面图案外其余完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用画树状图求概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的结果有9个，两次相同的结果有3个， ∴两次抽取的卡片正面图案相同的概率为． 14．（2026·山西吕梁·一模）分子的热运动是指一切物质的分子都在不停地做无规则的运动．在如图所示的试验容器中，容器由A，B，C三个仓组成，某分子受热做运动，每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，已知该分子的初始位置在A仓，则经过两次选择后回到A仓的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次选择后，回到A仓的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，其中经过两次选择后回到A仓的结果有2种， ∴经过两次选择后回到A仓的概率为． 15．（2026·山西吕梁·一模）如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 氢 氦 锂 铍 氢 （氢，氦） （氢，锂） （氢，铍） 氦 （氦，氢） （氦，锂） （氦，铍） 锂 （锂，氢） （锂，氦） （锂，铍） 铍 （铍，氢） （铍，氦） （铍，锂） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 16．（2026·山西长治·一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 17．（2026·山西长治·一模）每年4月的第四周为全民阅读活动周．某学校计划开展“书香三晋”校园读书活动，设置了经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，小张和小李各自从中随机选择一项参加，则他俩选择同一项活动的概率是_______． 【答案】/ 【分析】利用列表法求概率即可． 【详解】解：用A，B，C，D分别表示经典诵读、读书分享、主题演讲、征文比赛四项活动，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中他俩选择同一项活动的情况有4种， ∴． 18．（2026·山西运城·一模）如图，这是“智慧”小组利用人工智能设计的一款传球小游戏，规则为在三棱锥中的一个顶点处放置一个小球，每下达一次指令，小球就会随机移动到相邻的顶点处．当小球位于顶点处时，“智慧”小组连续下达了两次指令，则小球回到顶点处的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为9，其中小球回到顶点处的可能结果数为3， 则小球回到顶点处的概率为． 19．（2026·山西·一模）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类社团活动．王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在“元旦”联欢会上，班主任要从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，则王红和李明至少有一人参与这次演奏的概率是_________________． 【答案】/0.7 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把王红和李明分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，画树状图如图： 共有20种等可能出现的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种， ∴王红和李明至少有一人参与演奏的概率为． 故答案为：． 27．（2026·山西·一模）晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查利用树状图求概率等．四张形状相同的小图片分别用表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，继而再画出树状图，计算即可． 【详解】解：四张形状相同的小图片分别用表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，画树状图如下： ， 共有种等可能结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果为４， ∴两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：． 根据数据做决策 考点04 1．（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 2．（2026·山西大同·一模）某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如下表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是______． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 【答案】丙 【分析】本题主要考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到乙、丙组的状态稳定，综合分析即可确定． 【详解】解：因为甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种小，而乙、丙组的方差比甲、丁组的小， 所以丙组的产量比较稳定，所以丙组的产量既高又稳定， 故答案为：丙． 3．（2026·山西运城·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定 C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定 D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图的平缓程度即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知，3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定． 利用样本估算总体及其决策的决定 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）为提高学生的安全意识，某校组织八、九年级的学生开展了一次消防知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀．并分别从八、九年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、分析． 【数据整理】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的_______，_______，_______． (2)若该校九年级学生共有人，估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数． (3)你认为哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为人 (3)九年级的竞赛成绩更好，理由见解析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求得，根据不低于9分的成绩的人数与总人数的比求得优秀率； （2）根据样本估计总体，用，即可求解； （3）从众数和优秀率两方面分析，即可求解． 【详解】（1）解： 八年级成绩中，分的有人，次数最多，则众数； 九年级成绩的中位数为第和位的平均数，即 ∵不低于9分的成绩为优秀． ∴九年级成绩的优秀率为： （2）． 答：估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为480人． （3）九年级的竞赛成绩更好． 理由：虽然两个年级的平均数、中位数相同，但九年级竞赛成绩的众数、优秀率比八年级的高，故九年级的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 2．（2026·山西大同·一模）大同作为“三代京华、两朝重镇”的历史文化名城．春节期间成为全国顶流旅游目的地．某文旅部门为优化文旅产品供给，对A（如梦大同实景演绎）、B（代王府实景演绎）两种大型实景演出进行游客喜好度抽样统计，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢）下面给出了部分信息： 抽取的对A种演出的评分数据中“喜欢”的数据为84，86，86，87，88，89； 抽取的对B种演出的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两种演出的评分统计表： 演出种类 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比 A 88 96 B 88 C 抽取的对种演出的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：___________，___________，___________； (2)文旅部门计划从A，B两种演出中重点打造一种“城市标杆演出”，请根据统计数据作出选择，并说明理由； (3)预计五一假期将有12000名游客观看A演出，15000名游客观看B演出． ①估计两种演出中“非常喜欢”的游客总人数； ②请你为我市文旅发展提一条合理建议． 【答案】(1)15；；98 (2)选择A演出，见解析 (3)①11400人；②融合A、B演出优势，打造兼具口碑与大众认可的标杆演出． 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A、B种演出的评分统计表的数据解答即可； （3）①由A、B两种演出中“非常喜欢”的人数之和即可得出答案； ②提出一个合理建议即可． 【详解】（1）解：， 即， ∵A种演出的评分“非常喜欢”有（个)，“喜欢”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A种演出的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数， 在B种演出的评分数据中，98出现的次数最多， ∴众数； （2）解：选择A演出， 理由如下： 两款演出的评分数据的平均数相同都是88，但演出评分数据的中位数为88.5比演出的中位数高， 选A演出打造“城市标杆演出”（答案不唯一，合理即可） （3）解：①（人）， 答：对演出非常喜欢的人数为11400人． ②融合A、B演出优势，打造兼具口碑与大众认可的标杆演出．（答案不唯一，合理即可）． 3．（2026·山西·一模）为了强化中学生的思想政治教育，学校举办了一场以“科学家精神指引我”为主题的知识竞赛活动．志远班和明德班的参赛学生人数相等，两班以相同的标准将本班比赛成绩（分）分为4组：A．“”，    B．“”，    C．“”，    D．“”． 分别进行了整理并绘制统计图表，部分信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；若志远班竞赛成绩的中位数为分，明德班竞赛成绩的中位数为分，则_____（填“”“”或“”）． (2)若预估两个班A组的平均分都为97.5分，B组的平均分都为90分，C组的平均分都为80分，D组的平均分都为67.5分，请预估志远班与明德班各班的平均分（结果精确到0.1分）． (3)请结合你获取的信息，对志远班和明德班的竞赛成绩进行分析比较（写出一条即可）． 【答案】(1)15； (2)志远班的平均分为87.9分，明德班的平均分为85.5分 (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查统计图，求平均数和中位数，从统计图中有效地获取信息是解题的关键： （1）根据扇形图中的百分数之和为1，求出的值，求出两个班的中位数所在的组，比较大小即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用平均数进行说明即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，两班的参赛人数均为：， 由条形统计图可知：志远班竞赛成绩的第20和第21个数据均在组， ∵（人），（人），（人），（人）， ∴明德班竞赛成绩的第20和第21个数据均在组， 故； （2）志远班的平均分为（分）． 明德班的平均分为（分）． （3）志远班的预估平均分为87.9分，高于明德班的预估平均分85.5分，从平均分的角度看，志远班的成绩高于明德班．（答案不唯一，合理即可） 4．（2026·山西吕梁·一模）为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（    ）（可多选） A．每天户外活动2小时            B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“”护眼法则    D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间          F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（    ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时    B．小时    C．小时    D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． (2)估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数． (3)除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 【答案】(1)，， (2)估计该校对应人数为人 (3)见详解 【分析】（1）由条形图可知，选择F习惯的有30人，占总人数的，据此求出总人数；选择B习惯的人数为117，据此求出；选择C习惯的占比为，据此求出； （2）根据用样本估计总体的方法求解即可； （3）结合护眼常识，提出合理建议即可． 【详解】（1）解：总人数为 人， ∴ ， ． （2）解：“小时”的占比：， 该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数为：人． （3）解：建议：坚持每天做眼保健操（或“不在昏暗/强光下看书”“不躺着看书”等，合理即可）． 5．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【答案】(1)，136，20，见解析 (2)128 (3)女生组更优秀，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得m的值； （2）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于140个的人数所占比例，再求和即可得出答案． （3）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图如下： （2）解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． （3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 6．（2026·山西晋中·一模）为积极响应教育部关于“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的号召，传承弘扬中华优秀体育文化，推动全民健身与校园体育深度融合，某校为更好地落实相关精神，了解学生参加体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如下表），并对数据进行整理分析．部分信息如下： 调查问卷1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A．    B．    C．    D． 2．随着体育活动时间增加，学校拟增设特色体育项目，你希望增设的项目有（  ）（可多选） E．球类    F．田径类    G．体操类    H．传统武术类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 传统武术类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与这次问卷调查的学生人数有__________人； (2)若该校共有1000名学生，请估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生人数； (3)基于上述两项调查的数据，提炼一条信息，并向学校提出一条合理化建议． 【答案】(1)200 (2)估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生有375人． (3)由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议：学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间． 【分析】（1）将四组的人数全部加起来即可得解； （2）用该校学生数乘以样本中D组的百分比计算即可； （3）根据题意可知低于2小时的学生不到四成，则需要多运动，只要言之有理即可． 【详解】（1）解：参与这次问卷调查的学生人数有， （2）解：人． 答：估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生有375人． （3）解：由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时， 建议：学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间． 7．（2026·山西·一模）为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70    70    80    90    80    80    90    60    100    80    80    80    90    90    70    90    70    70    100    60 八年级：60    70    80    70    70    90    60    90    90    90    70    90    100    70    70    60    90    90    90    100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： (1)______；______； (2)估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ (3)小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 【答案】(1)85；80 (2)220名 (3)小明的说法是错误的，理由见解析 【分析】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义是解题的关键． （1）由原始数据根据中位数和众数的概念可得； （2）利用八年级学生被抽取20名学生中在这次竞赛中成绩达到良好成绩以上的学生的比例乘总人数可得； （3）根据平均数、众数、中位数和方差多方面的意义解答可得． 【详解】（1）解：八年级的名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据是和， 中位数； 七年级的名同学的成绩中分出现次数最多， 众数为分，即； （2）解：（名） 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名； （3）解：小明的说法是错误的，理由如下： 虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的中位数80，说明八年级80分以上的人数更多， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差， 七年级竞赛成绩比较稳定． 8．（2026·山西吕梁·一模）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图． (2)求元捐款所在扇形圆心角的度数． (3)若该校共有名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数． 【答案】(1)这次调查共抽取的学生人数为人，补全条形统计图见解析； (2)； (3)估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数为人． 【分析】（1）结合扇形统计图中元的百分比与条形统计图中元的人数求出总人数，再计算元的人数以补全统计图； （2）利用扇形圆心角公式，即该组人数占总人数的比例乘以计算； （3）通过样本中元捐款的比例乘以全校总人数来估计总体数量． 【详解】（1）解：根据条形统计图和扇形统计图，元捐款的人数为8人，占总人数的， ∴总人数为(人)． ∴元捐款的人数为(人)， 补全条形统计图如图所示： （2）解：∵元捐款的人数为人，总人数为人， ∴元捐款所在扇形圆心角的度数为； （3）解：估计该校名学生中捐款元的人数为人， 答：估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数为人． 9．（2026·山西运城·一模）为了丰富学生的课余生活，某校在课后延时服务时间开设了兴趣社团：A．趣味数学；B．生物与健康；C．自然与科学；D．物理小实验；E.诗词鉴赏．该校数学兴趣小组随机选取了部分学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），请认真阅读材料信息，回答下列问题： 调查问卷 请选出你最喜欢的社团，并在后面打“√”（每人只能选择一项） A．趣味数学（    ） B．生物与健康（    ） C．自然与科学（    ） D．物理小实验（    ） E.诗词鉴赏（    ） (1)本次调查问卷共有______份；扇形统计图中，的值为______． (2)补全条形统计图． (3)若该校共有1200名学生，请估计选择“A．趣味数学”的学生人数． 【答案】(1)200；10 (2)见解析 (3)360名 【分析】（1）利用喜欢趣味数学社团的人数除以对应的占比即可求出总调查问卷的份数，再利用部分数除以总数得到占比即可求出m； （2）先计算出喜欢自然与科学的人数，进而可补充统计图； （3）根据样本估计总体，利用总人数乘以调查过程中喜欢趣味数学的人数所占比，即可获得答案． 【详解】（1）解：（份），， 故本次调查问卷共有200份；扇形统计图中，的值为10． （2）解：（人）， 故补全条形图如下： （3）解：． 答：选择“A.趣味数学”的学生人数约为360名． 10．（2026·山西吕梁·一模）第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）： 调查主题 不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况 调查对象及年龄段划分 1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群 2．年龄段划分：少年（岁）、青年（岁）、中年（岁）、老年（60岁及以上） 调查方式 抽样调查 调查地点 小唯家所在小区 调查数据的收集、整理与描述 对新能源汽车了解情况的调查问卷 您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．不知道什么是新能源汽车（    ） B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（    ） C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（    ） D．非常了解，我是新能源汽车车主（    ） 对新能源汽车了解情况统计表 了解程度 A B C D 少年 20 40 140 0 青年 10 a 50 200 中年 10 60 160 b 老年 60 60 70 10 调查结论 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)统计表中______，______，本次抽样调查的总人数是______人； (2)若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主； (3)随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到）？ (4)请写出一条关于你对新能源汽车的了解 【答案】(1)，， (2)估计该小区青年人中有人是新能源汽车车主 (3)中年群体的新能源汽车车主增长率更高 (4)见解析 【分析】 （1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出，将各组的人数相加即可得出总人数； （2）用乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果； （3）分别计算得出两个群体的新能源汽车车主增长率，比较即可得出结果； （4）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 本次抽样调查的总人数是（人）； （2）解：（人）， 估计该小区青年人中有人是新能源汽车车主； （3）解：青年群体的新能源汽车车主增长率为， 中年群体的新能源汽车车主增长率为， ∵， ∴中年群体的新能源汽车车主增长率更高； （4）解：新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染． 11．（2026·山西·一模）为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； (2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】(1)40，25，4，3 (2)这组数据的平均数是 (3)估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【详解】（1）解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； （2）解：该组数据的平均数为， ∴这组数据的平均数是； （3）解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 12．（2026·山西晋城·一模）世界地球日（4月22日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[    ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： A．垃圾分类[    ]    B．节约用水用电[    ] C．减少塑料使用[    ]    D．绿色出行[    ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 A B C D 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)填空：参与本次问卷调查的总人数为______，统计表中m的值为______． (2)请补全条形统计图． (3)根据上述调查结果，估计该校1800名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． (4)学校要开展一次“绿色出行”主题活动，假如你是学校环保社团的成员，请你提出一项具体可行的活动方案． 【答案】(1)50；40 (2)图见解析 (3)360名 (4)开展“绿色出行打卡挑战”，学生每天记录出行方式，累计一周可获得“环保小卫士”称号或小奖品，鼓励大家少坐私家车，多步行或骑车． 【分析】（1）利用统计图的信息计算即可； （2）先求出C类的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体的计算方法计算即可； （4）提出一项具体可行的活动方案即可． 【详解】（1）解：由图得，参与本次问卷调查的总人数为（名）， ， ； （2）解：C类的人数为（名） 补全条形统计图如下: （3）解：（名）， （4）解：开展“绿色出行打卡挑战”，学生每天记录出行方式，累计一周可获得“环保小卫士”称号或小奖品，鼓励大家少坐私家车，多步行或骑车． 13．（2026·山西吕梁·一模）2026年世界地球日（4月22日）的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护．某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛．现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、分析，成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）分为A，B，C，D四个等级，其中A．；B．；C．；D．． 数据收集与整理 八年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析 八、九年级各抽取的20名学生的竞赛成绩数据分析如下： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 A等级率 八年级 % 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________，__________． (2)根据上述信息分析，请你对八、九年级学生知识竞赛的成绩进行评价（任选两个统计量说明）． (3)该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计该校八、九年级竞赛成绩为等级的学生总人数． 【答案】(1)；；； (2)答案不唯一，见解析 (3)名 【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的定义，结合已知数据即可求解； （2）从平均数，方差的方面分析，即可求解； （3）用样本估计总体，分别求得九年级和八年级竞赛成绩为等级的学生人数，即可求解． 【详解】（1）解： 出现的次数最多，故众数为，即， 九年级的成绩从小到大排列后的第10和第11个数分别为，，故， 九年级成绩中，A．等级的人数为人， ∴ （2）答案不唯一. 例如，八、九年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级竞赛成绩的方差为，小于九年级竞赛成绩的方差，所以八年级的竞赛成绩更稳定，所以，八年级的竞赛成绩更好 （3）（名）.         答：该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数约为134名. 14．（2026·山西太原·一模）工具的多样化及普及化，为学习和工作带来便利的同时，也在一定程度上造成了学生使用场景过度集中、信息依赖等问题．某校社团针对中午放学后学生使用工具的情况，在全校随机选取300名学生进行了问卷调查（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 中午放学后学生使用AI工具的情况调查问卷 尊敬的同学： 您好！为优化工具使用环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下均为单选） 1．您通常使用工具的方式是（    ） A．聊天对话类B．图文生成类C．代码编程类D．私人家教类E．公共学习类 2．您通常使用工具的时间是（    ）（每项含最小值，不含最大值） A．   B．   C．    D．其他时间 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共学习类”所在扇形的圆心角度数为___________． 本次调查的学生中使用“聊天对话类”工具的有____________人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1500名学生，估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数． (3)假如你是社团的成员，请根据统计图中的信息，给学生们提出一条合理使用工具的建议． 【答案】(1)36，135，图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】（1）用360度乘以“公共学习类”所占的百分比求出圆心角的度数，用调查的总人数乘以使用“聊天对话类”工具的人数所占的百分比求出对应的人数，求出聊天和图文的总人数，进而补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据统计图进行作答即可． 【详解】（1）解：； （人）； （人），补全条形图如图： （2）解：（人）； 答：估计中午放学后使用“图文生成类”工具的学生人数为450人； （3）解：建议同学们减少无意义的娱乐类使用时长，多利用工具辅助学习，合理规划午间使用的时间，避免影响休息．（合理即可） 15．（2026·山西运城·一模）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； (2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； (3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 【答案】(1)见解析 (2)72 (3)本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可； （2）用乘以E组所占百分比即可； （3）用800乘以B组所占百分比即可． 【详解】（1）解：总人数为， D组人数为， 补图如下： （2）解：， 故答案为：72； （3）解：（人）． 答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人． 16．（2026·山西吕梁·一模）随着人工智能的发展，“AI智能护眼”专项行动走进校园，某中学为有效落实政策，对八年级30名学生的每日课后护眼情况开展抽样调查，收集数据并整理得到以下信息： 信息一：抽样调查的护眼时长数据（单位：分钟）． 15，20，20，15，30，25，20，30，15，25，20，30，25，15，20， 25，30，20，15，25，40，20，25，15，20，30，25，20，35，20． 信息二：护眼活动类型与时长分组分布． 1．活动类型：这30名学生参与的护眼活动分为三类： A．AI视力检测（含数据同步）；B．远像光屏学习；C．光波护眼按摩． 各类活动参与人数扇形统计图如下（不完整），已知参与B类活动的学生有12人，且每名学生均参与且仅参与一类活动． 2．时长分组：将护眼时长划分为四组： ①不低于15分钟（基础达标）；②不低于20分钟（标准达标）；③不低于25分钟（优质达标）； ④不低于35分钟（高阶达标）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为___________，C类的占比是___________． (2)若该校八年级共有300名学生，估计每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（分钟）的学生人数． (3)该校开展“护眼标兵”评选，规定：护眼时长能超过全校八年级一半学生的同学可入围．八年级学生小王的每日课后护眼时长为21分钟，请结合抽样调查数据，判断小王是否能入围“护眼标兵”，并说明理由． 【答案】(1)，30 (2)140 (3)小王能入围，理由见解析 【分析】（1）根据这30名学生中参与B类活动的学生有12人求解即可； （2）根据信息一得到30名学生中每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（ 分钟）有人，再求解即可； （3）求出抽样调查30名学生护眼时长的中位数，再判断即可． 【详解】（1）解：∵这30名学生中参与B类活动的学生有12人， ∴扇形统计图中，B类活动所在扇形的圆心角度数为，C类的占比是， 故答案为：，30； （2）解：由信息一可知，“优质达标及以上”的学生人数为14， ∴（名）． 答：每日课后护眼时长达到“优质达标及以上”（ 分钟）的学生人数约为140． （3）小王能入围． 理由：抽样调查30名学生护眼时长排序后，第15，16个数据均为20分钟，这意味着抽样中至少有一半学生的护眼时长分钟．小王的21分钟分钟，说明他的护眼时长超过了抽样数据中的中间水平，对应到全校八年级学生，其时长也能超过一半同学，因此符合入围要求． 1．（2026·山西·一模）随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图．统计图中获取统计量做决策 考点06 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． (2)若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． (3)若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)；10； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据频率之和等于1，频数等于样本容量乘以频率，圆心角的计算办法，求解即可． （2）根据加权平均数的定义求解即可． （3）根据学习的需要去解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，, 故； D组的人数为； B组所在扇形圆心角的度数为． （2）解：根据题意，得 ． （3）解：学生使用大模型辅助学习超过了规定时间，应予以管理； 建议学生合理安排使用大模型辅助学习，避免过度依赖，把时间控制在合理范围内． 2．（2026·山西晋中·一模）智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 15 B型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中________，________，________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可） 【答案】(1)20；15；1.4 (2)购买B型智能机器人合适，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可； （2）从众数、中位数、平均数三个方面分析； （3）根据条形统计图和表格统计的特点解答即可． 【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ； （2）解：购买型智能机器人合适．理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适； （3）解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等． 3．（2026·山西长治·一模）为响应校园科技节“赋能创意未来”的主题，某校举办了创意编程挑战赛，最后甲、乙两位同学进入最终决赛，决赛从创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项评分满分均为10分），每项均有5位评委评分，取5位评委评分的平均数作为该项的最终成绩． 数据整理：将甲、乙两位同学的创意设计得分成绩整理成如下统计图． 数据分析：甲、乙两位同学三项得分的最终成绩整理如下表： 成绩/分 创意设计 代码实现 答辩展示 甲 a 8 8 乙 7.6 9 7 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_______． (2)有人认为“乙同学创意设计得分中有2个满分，因此乙同学的创意设计更能获得评委的认可”，你认同这种说法吗？并说明理由（写出一条即可）． (3)如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算最终决赛成绩，最终决赛成绩高的选手获得一等奖，通过计算说明甲、乙两位同学谁会获得一等奖． 【答案】(1)7.6 (2)不认同，理由见解析 (3)甲同学会获得一等奖 【分析】（1）根据条形图，求出平均数即可； （2）根据中位数进行说明即可； （3）求出加权平均数进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）解：不认同．理由如下： 由图可知，甲同学创意设计得分的中位数为8分，乙同学得分的中位数为7分，故甲同学的中位数高于乙同学的中位数，所以甲同学的创意设计更能获得评委的认可（答案不唯一）； （3）解：甲同学的最终成绩为（分）． 乙同学的最终成绩为（分）． ， ∴甲同学会获得一等奖． 4．（2026·山西·一模）某市为推动赋能教育，在全市范围内从八、九年级各随机抽取了名教师，对其使用教学水平进行打分．组织人员将八、九年级各名教师使用教学的成绩（成绩用表示，满分为分，所有成绩均不低于分且均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析，过程如下： 数据收集与整理：八年级名教师使用教学的成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩在这一组的数据为，，，，，，． 九年级名教师使用教学的成绩，扇形统计图如下： 分组 成绩/分 A B C D 数据分析：八、九年级各20名教师使用AI教学的成绩数据分析如下表： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 八年级 九年级 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_________（填“全面调查”和“抽样调查”） (2)填空：_______，_______，________，________． (3)根据上述信息，请你对两个年级的教师使用AI教学的成绩进行评价（任选两个统计量进行说明）． 【答案】(1)抽样调查 (2)，，， (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得采取的调查方式是抽样调查； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求得的值，根据扇形统计图求得的值； （3）比较两个年级的平均数和中位数，即可求解． 【详解】（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查 （2）解：由八年级20名教师的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级名教师测试成绩按从小到大排列 则中位数是第10个数和第个数，中位数出现在这一组中，故， 根据扇形统计图：，故； （3）解：答案不唯一，例如，八年级教师使用AI教学的成绩的平均数与九年级教师使用AI教学的成绩的平均数相同，但八年级教师使用AI教学的成绩的中位数为91分，高于九年级教师使用AI教学的成绩的中位数89分，所以八年级教师使用AI教学的成绩更好． 5．（2026·山西太原·一模）随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间的程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； (2)被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； (3)研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 【答案】(1)120，图见解析 (2)D (3)工具对于该校学生未产生积极影响． 【分析】（1）用E组频数除以其所占的百分比可得到本次抽样调查的总人数，从而得到D组，B组的频数，即可求解； （2）根据中位数的定义解得即可； （3）求出这五组评分的平均数，即可求解． 【详解】（1）解：本次抽样调查共抽取人， ∴D组的频数为 ∴B组的频数为， 补全统计图如下： （2）解：A，B，C组的频数之和为，A，B，C，D组的频数之和为， ∴被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在D组； （3）解：分． ， 工具对于该校学生未产生积极影响． 6．（2026·山西太原·一模）某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析，下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和的土壤中蒜苗高度的数据如下表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如下表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： (1)请直接写出的值，并补全条形统计图． (2)根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． (3)请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 【答案】(1)，补全条形统计图见解析 (2)这块试验田中高度不低于的蒜苗有株 (3)见解析 【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义求解，即可补全条形统计图； （2）先求出当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为，再用乘以占比即可； （3）根据条形统计图以及平均数、中位数和方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：由题意得，； 将值为6的8个数据排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14 ∴中位数， 补全条形统计图如下： （2）解：根据实验数据可得，当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于的蒜苗有株； （3）解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当值偏离6(无论升高或降低)，平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时,蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度(值)为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定;土壤的酸碱度(值)为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大,生长状态最不稳定． 7．（2026·山西临汾·一模）在当今这个信息爆炸的时代，学生关注时事不仅是对个人成长的一种促进，更是对未来社会适应能力的一种培养．某校为了解学生时事新闻的关注情况，组织学生开展“时事新闻大比拼”知识竞赛，满分为100分，成绩为90分及以上为优秀．参赛人员的得分均为整数．将七、八年级（每个年级10人参赛）参赛选手的得分进行整理、描述、分析，部分信息如表： 得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七年级 85 84.5 33.2 八年级 85 86.5 87 26.2 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)综合上表中的统计量，你认为哪个年级的学生对时事新闻知识掌握的情况更好？请说明理由． 【答案】(1)90；30%；20% (2)八年级的学生对时事新闻知识掌握的情况更好，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据计数可得的值； （2）根据平均数和方差的意义分析可得． 【详解】（1）解：由得分统计图可知七年级10人参赛成绩为： ， 得分出现次数最多，故众数 七年级90分及以上的有共3个，故优秀率， 八年级90分及以上的有共2个，故优秀率； （2）八年级的学生对时事新闻知识掌握的情况更好， 因为七、八年级平均数相同，八年级的方差为小于七年级的方差． 统计图与概率综合应用 考点08 1．（2026·山西晋中·一模）为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”．小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．两人选择的软件完全相同 B．两人选择的软件完全不同 C．小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通” D．至少有一人选中“智学助手” 【答案】B 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，掌握概率公式是解题的关键．先求出所有等可能的结果总数，再分别计算四个选项事件包含的结果数，求出概率后比较大小即可． 【详解】解：将“智学助手”、“思维导图大师”、“速记精灵”、“解题通”分别记为A、B、C、D，画树状图如下： ∴一共有16种等可能的结果． A选项：两人选择的软件完全相同的结果有4种，； B选项：两人选择的软件完全不同时，共种，； C选项：小明选中指定软件、小聪选中另一指定软件，结果只有1种，； D选项：“至少有一人选中‘智学助手’”包括：只有小明选中“智学助手”，只有小聪选中“智学助手”以及小明和小聪均选中“智学助手”这三种事件； 其中，只有小明选中“智学助手”，小聪任意选择剩下三种软件中的一种，此情况有3种不同的选法；同理，只有小聪选中“智学助手”，小明任意选择剩下三种软件中的一种，此情况有3种不同的选法；而两人均选中“智学助手”只有1种选法， 故符合题意的选法共7种， ∴； 比较概率得 ，即最大． 故选：B． 2．（2026·山西长治·一模）我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； (3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)400，见解析 (2)600名 (3) 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； （3）解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 3．（2026·山西运城·一模）随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为广大群众喜闻乐见的运动方式．为了让学生以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，满分100分，并随机在八、九年级各抽取了20名学生的成绩（成绩得分用x表示，且x均为整数），将成绩分成四组：A（），B（），C（），D（），整理数据信息如下： 八年级抽取的学生成绩在C组的数据为：80，75，75，75，80，79，73，80，75，72 八年级抽取的学生成绩分布表： 等级 D C B A 成绩 人数 5 10 a 2 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 77.25 b 75 九年级 76 82.5 80 请根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)在收集九年级20名学生数据的过程中，将一个数据“80”误写成了“85”，小宇认为从中位数角度看，不会影响被调查学生户外运动知识水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由； (3)随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增强，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式．小宇和小强收集了印有这四种运动的卡片（除正面内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“骑行”和“爬山”的概率． 【答案】(1) ， (2) 小宇的结论不正确，见解析 (3) 【分析】（1）用抽取总人数分别减去其它三组数的人数求出a，再根据中位数的定义解答； （2）根据中位数的定义解答； （3）先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：， 将C组数据重新排列为：72，73，75，75，75，75，79，80，80，80， 因为这组数据共有20个，第10个数是75，第11个数是75， 所以中位数； （2）解：由表格可知九年级20名学生的中位数是82.5，将数据误写成了85，中位数可能会变大，即反映该校学生户外运动知识一般水平发生变化，所以小宇的结论不正确； （3）解：露营，钓鱼，骑行，爬山依次记为L，D，Q，P，画出树状图： 一共有12种可能出现的结果，抽到两张卡片恰好是骑行（Q）和爬山（P）的结果有2种， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $