专题08 圆的基本性质与综合（含压轴）（6大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题08 圆的基本性质与综合（含压轴） 6大考点概览 考点01求圆中的角度问题 考点04与圆有关的线段长 考点02求阴影部分的面积 考点05切线的证明 考点03求弧长 考点06圆的几何综合（压轴） 求圆中的角度问题 考点01 1．（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西·一模）如图，，是的两条弦，与交于点，且点是的中点，连接，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·山西长治·一模）如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西运城·一模）如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西吕梁·一模）如图，线段与相切于点B，连接并延长分别交于点C，D，点E是弧上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山西临汾·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山西晋城·一模）如图，与内接于，是的直径．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 11．（2026·山西太原·一模）如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点，是上位于异侧的两点，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C是上的一点，连接与相切于点C，过点B作．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 15．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 17．（2026·山西大同·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 18．（2026·山西运城·一模）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则______°． 19．（2026·山西吕梁·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点．若，求的度数． 20．（2026·山西吕梁·一模）如图，为的直径，为的弦，交于点D，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，求证：． 求阴影部分的面积 考点02 1．（2026·山西·一模）如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，正五边形的边长为3，分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西大同·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·山西运城·一模）如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，是的中点，连接交于点，是上一点，且，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋城·一模）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西阳泉·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 8．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·山西·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，与相切于点，交于点．已知，，则图中阴影部分（，线段，，线段围成的图形）的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山西太原·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（　　） A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2 11．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 12．（2026·山西太原·一模）在中，，，于点D，以点A为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，F，连接，，过点D作于点G，以点D为圆心，为半径画弧交于点H，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 15．（2026·山西长治·一模）如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（      ） A． B． C． D． 16．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，于点．分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______． 17．（2026·山西吕梁·一模）如图，在正方形中，和交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，的延长线于点E，F，再以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点M，N，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为________． 18．（2026·山西晋中·一模）如图，与相切于点分别交于点 ． (1)求证：； (2)已知，求阴影部分的面积． 求弧长 考点03 1．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，，以为直径作（圆心为点），交于点，点是上一点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西·一模）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_____．（结果保留π） 4．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 5．（2026·山西临汾·一模）如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____． 与圆有关的线段长 考点04 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，的直径为4，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 2．（2026·山西·一模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，以为直径的交于另一点，过点作的切线交的延长线于点，交于点．若的半径为，求的长． 4．（2026·山西晋城·一模）如图，在半径为2.5的⊙O中，是⊙O的弦，过点O作于点C，过点A的切线与的延长线交于点D，延长交⊙O于点E．若，求的长． 切线的证明 考点05 1．（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 1．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考圆的几何综合（压轴） 考点06 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”意思是，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 已知：是的弦，是的切线，为切点． 求证：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：分三种情况， ①如图（1），当圆心在弦上时， 与相切于点， ． 在上任取一点，连接，，则（依据1）， ． ②如图（2），当圆心在的内部时，过点作直径交于点，在上任取一点，连接，，，则（依据2）． 为的直径， ． 与相切于点A， ， ，即． ③如图（3），当圆心在的外部时， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指________，依据2是指________ (2)请完成图（3）的剩余证明过程． (3)如图（4），是的切线，为的直径，连接交于点．若，，的半径为5，则的长为________． 2．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．   例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： (1)请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． (2)请补全问题的证明过程． (3)智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    3．（2026·山西长治·一模）阅读与思考 下面是小顾同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的旁心 【概念理解】 与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心．如图1，平分，平分，平分，分别与，，相切，所以点O是的旁心，是的旁切圆． 【性质探索】 1．每个三角形都有_______个旁心，且所有旁心均位于三角形_______（填“内部”“边上”或“外部”）． 2．三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系． 如图2，点O是的旁心，设，，所对的边长分别为a，b，c，过点O分别向，，作垂线，与边及，的延长线分别交于点E，D，F． ①求证：． ②若，求证：． 证明：①∵平分，，， （依据）． 同理，，． ． ②∵…… 任务： (1)填空：材料中【性质探索】的两个横线处分别填_______和_______，证明过程中的“依据”是指_______． (2)请补全材料中②的证明过程． (3)如图3，在等边三角形中，，是的旁切圆，与，的延长线分别相切于点D，E．请直接写出图中阴影部分的面积． 4．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题： 已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？ 小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务： 【题目分析】 先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使． 【作法展示】 ①连接并延长，交于，两点，（如图2） ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． ③连接，交于点． ④作直线．直线就是所求作的的切线． 【原理说明】 证明：如图，连接， 由作法可得，，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴． ∴（ ）（填写依据） 又∵点在上，．直线是的切线． 【总结反思】 对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决： ①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论． 我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法． 任务： (1)上述材料【原理说明】中的依据是________； (2)如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数； (3) 请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 5．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 尺规作出直角的三等分线 在中，利用尺规作出的三等分线，步骤如下： ①用尺规作出的中垂线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径作圆； ③以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ④以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ⑤连接、，则、是的三等分线． 下面是小明记录的证明过程的笔记，但笔记并不完整，请你认真阅读作图步骤后，将小明的笔记补充完整 证明：由作图步骤①可知，圆为的___________，是圆的直径 、、、是圆的半径 由作图步骤③和④可知 （请你补全证明过程） 6．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 关于“射影定理”的研究报告如图①，被平行于CD的光线照射，，于点D，AB在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：   证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，则，∴． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．   作法： （1）在的延长线上截取； （2）作线段的垂直平分线l，交于点O； （3）以点O为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H； （4）以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点G，连接，即为所求等腰直角三角形．    (1)根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； (2)请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； (3)结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点E（不与B，C重合），以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，作，交的延长线于点G，以为邻边作矩形，则矩形即为所求．若E是边的三等分点，请直接写出矩形的长和宽的比值． 7．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 8．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的基本性质与综合（含压轴） 6大考点概览 考点01求圆中的角度问题 考点04与圆有关的线段长 考点02求阴影部分的面积 考点05切线的证明 考点03求弧长 考点06圆的几何综合（压轴） 求圆中的角度问题 考点01 1．（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是直径得到，进而求出，再根据圆的内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，根据切线的性质得到，进而求出的度数，再求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵以为直径的交于点，与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 3．（2026·山西·一模）如图，，是的两条弦，与交于点，且点是的中点，连接，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，则，根据三角形的内角和定理可得，结合邻补角的性质和，计算出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（2026·山西·一模）如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质． 先根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此即可得出答案． 【详解】解：连接， ， ， 四边形为的内接四边形， ， 又， ． 故选：． 5．（2026·山西长治·一模）如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求得，再利用圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又四边形内接于， ∴， ∴． 6．（2026·山西运城·一模）如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 7．（2026·山西吕梁·一模）如图，线段与相切于点B，连接并延长分别交于点C，D，点E是弧上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，先由切线的性质得到，则，再由等边对等角得到，则由同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵线段与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（2026·山西临汾·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质得到，，求出，最后利用四边形内角和求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，是的切线， ，， ， ． 故选：A． 9．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·山西晋城·一模）如图，与内接于，是的直径．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·山西太原·一模）如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点，是上位于异侧的两点，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，首先由直径求出，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴． 13．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由圆周角定理的推论得，由切线的性质得，可求，再求出，然后根据等边对等角可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴． ∵过点C作的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 14．（2026·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C是上的一点，连接与相切于点C，过点B作．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由直径可得，再求出，由切线求出，得到，最后根据求的度数． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 16．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据，以及切线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ 17．（2026·山西大同·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 【答案】120 【分析】连接，根据圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 18．（2026·山西运城·一模）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则______°． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 19．（2026·山西吕梁·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 与相切于点， ． ． ， ． ∴． 20．（2026·山西吕梁·一模）如图，为的直径，为的弦，交于点D，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据相切得出，根据推出，再根据圆的性质得出，对顶角相等得，最后等量代换即可求解． 【详解】证明：过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 求阴影部分的面积 考点02 1．（2026·山西·一模）如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由圆周角定理得到，，在中解直角三角形得到，再求得，根据扇形面积公式求出．由是切线得到，解直角三角形求出，从而根据求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是直径， ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，得出，，通过面积的计算得出，结合扇形公式进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，正五边形的边长为3，分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正五边形可得，，由作法可知，，，则是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求出和的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 正五边形的边长为3， ，， 由作法可知，，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 图中阴影部分的周长． 4．（2026·山西大同·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 5．（2026·山西运城·一模）如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，是的中点，连接交于点，是上一点，且，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据切线的定义得出，根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形的性质得出，根据等边对等角得出，根据等角对等边得出，根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质可得，结合扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：连接，，如图， ∵与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·山西晋城·一模）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，关键是不规则图形面积的求法；根据进行计算即可． 【详解】解：是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故选：A ． 7．（2026·山西阳泉·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 8．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 9．（2026·山西·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，与相切于点，交于点．已知，，则图中阴影部分（，线段，，线段围成的图形）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，根据扇形的面积加上扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 阴影部分面积 10．（2026·山西太原·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（　　） A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2 【答案】C 【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴S△ABC=×4×4=8， S扇形BCD， S空白=2×(8-2π)=16-4π， S阴影=S△ABC-S空白=8-16+4π=4π-8， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，明确空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍是解题的关键． 11．（2026·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求得，，根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 12．（2026·山西太原·一模）在中，，，于点D，以点A为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，F，连接，，过点D作于点G，以点D为圆心，为半径画弧交于点H，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由等腰三角形三线合一得 ，在中，解直角三角形求出，在中，求出​，，根据作图可知，再求出，在四边形中，求出，根据题意可得，求出​， ，再根据​求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由等腰三角形三线合一得： ， 在中，， 又， 在中，​，， 根据作图可知，且点H在上， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，， ∴， 根据题意可得， ∴​ ， ， ∴​． 13．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 14．（2026·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 15．（2026·山西长治·一模）如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的判定与性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和Q重合，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 16．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，于点．分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，即可求出扇形、、的半径，再由扇形面积公式分别求解这三个扇形的面积，最后进行相加即可． 【详解】解： 为等腰直角三角形， ， 由题意可知，扇形的半径为，圆心角为， 扇形的半径为，圆心角为 以点为圆心，长为半径画弧交于点 扇形的半径为，圆心角为 图中阴影部分的面积为． 17．（2026·山西吕梁·一模）如图，在正方形中，和交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，的延长线于点E，F，再以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点M，N，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形的对称性可得阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积，由正方形的性质可得，，，根据勾股定理可得，即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴阴影部分的面积为， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 18．（2026·山西晋中·一模）如图，与相切于点分别交于点 ． (1)求证：； (2)已知，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，由于，所以，证明，根据全等三角形对应边相等，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得，，然后解直角三角形得，从可求出扇形的面积以及的面积，根据即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切于点C， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴在中，， ， ， ， ． 求弧长 考点03 1．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，，以为直径作（圆心为点），交于点，点是上一点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，连接，根据圆周角定理，结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，进而求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：； 故选B． 2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质得出， ，根据等腰三角形的性质求，，证明为直角三角形，解直角三角形得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·山西·一模）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_____．（结果保留π） 【答案】2π． 【详解】∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3， ∴扇形的弧长==2π． 故答案是：2π 4．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，可求出，进而解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴的长为． 5．（2026·山西临汾·一模）如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____． 【答案】 【分析】利用正五边形的性质求出，，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分扇形的的长为． 与圆有关的线段长 考点04 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，的直径为4，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由切线的性质可得，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，最后解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵与相切于点， ∴， ∵的直径为4， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山西·一模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 3．（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，以为直径的交于另一点，过点作的切线交的延长线于点，交于点．若的半径为，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质和直径定理得出直角，利用勾股定理求出，根据三线合一以及等边对等角得出，证明，最后利用对应线段成比例求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴由勾股定理得， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 4．（2026·山西晋城·一模）如图，在半径为2.5的⊙O中，是⊙O的弦，过点O作于点C，过点A的切线与的延长线交于点D，延长交⊙O于点E．若，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据圆的切线以及相似三角形的性质得出，并在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是⊙O的切线，为半径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 根据题意，得． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理， 得． ∴． ∴． 切线的证明 考点05 1．（2026·山西长治·一模）如图，已知是的直径，点、在上，点在外，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角这一性质，得到直角三角形，再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）先通过同弧所对的圆周角相等得到，再结合已知条件，推出的度数，最后证明，从而判定是的切线． 【详解】（1）解：∵是的直径， ， 又， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． 1．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考圆的几何综合（压轴） 考点06 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”意思是，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 已知：是的弦，是的切线，为切点． 求证：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 证明：分三种情况， ①如图（1），当圆心在弦上时， 与相切于点， ． 在上任取一点，连接，，则（依据1）， ． ②如图（2），当圆心在的内部时，过点作直径交于点，在上任取一点，连接，，，则（依据2）． 为的直径， ． 与相切于点A， ， ，即． ③如图（3），当圆心在的外部时， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指________，依据2是指________ (2)请完成图（3）的剩余证明过程． (3)如图（4），是的切线，为的直径，连接交于点．若，，的半径为5，则的长为________． 【答案】(1)直径所对的圆周角等于；同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角解题即可； （3）连接，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指直径所对的圆周角等于，依据2是指同弧所对的圆周角相等； （2）解：如图，当圆心在的外部时， 在优弧上任取一点E，连接，，，则， 是的直径，则 是的切线，则 所以，，即 所以弦切角的度数等于它所夹的弧所对圆周角的度数； （3）解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由弦切角定理得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质定理． 2．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．   例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： (1)请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． (2)请补全问题的证明过程． (3)智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】(1)10 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据，求得，等量代换求解即可． （2）根据定义证明即可． （3）根据圆的性质，定义作图即可； 【详解】（1）解：在垂等四边形中．对角线与交于点． ，且， ，，， ， 解得 故对角线的长为10． （2）证明：如图，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， ， 故四边形是垂等四边形． （3）解：作的垂直平分线，交于点G，并在此垂直平分线上，截取， 则，根据，得到， ， 延长分别交圆于点C，D， 连接， 则， 故， 故， 故四边形是垂等四边形． 则四边形即为所求． 3．（2026·山西长治·一模）阅读与思考 下面是小顾同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的旁心 【概念理解】 与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心．如图1，平分，平分，平分，分别与，，相切，所以点O是的旁心，是的旁切圆． 【性质探索】 1．每个三角形都有_______个旁心，且所有旁心均位于三角形_______（填“内部”“边上”或“外部”）． 2．三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系． 如图2，点O是的旁心，设，，所对的边长分别为a，b，c，过点O分别向，，作垂线，与边及，的延长线分别交于点E，D，F． ①求证：． ②若，求证：． 证明：①∵平分，，， （依据）． 同理，，． ． ②∵…… 任务： (1)填空：材料中【性质探索】的两个横线处分别填_______和_______，证明过程中的“依据”是指_______． (2)请补全材料中②的证明过程． (3)如图3，在等边三角形中，，是的旁切圆，与，的延长线分别相切于点D，E．请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)三，外部，角平分线的性质定理 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旁心的定义和角平分线的性质定理即可求解． （2）根据，得出，结合，即可得，整理即可证明． （3）在等边三角形中，，是的旁切圆，则，，得出，，求出，根据（2）可知，可得，即，连接，证明，得出，求出，即可求出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，每个三角形都有三个旁心，且所有旁心均位于三角形外部，证明过程中的“依据”是指角平分线的性质定理（角平分线上的点到角的两边距离相等）． （2）证明：∵， ， ， ， ． （3）解：∵在等边三角形中，，是的旁切圆， ∴，， ∴，，， 根据（2）可知， ∴， 即， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题： 已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？ 小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务： 【题目分析】 先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使． 【作法展示】 ①连接并延长，交于，两点，（如图2） ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． ③连接，交于点． ④作直线．直线就是所求作的的切线． 【原理说明】 证明：如图，连接， 由作法可得，，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴． ∴（ ）（填写依据） 又∵点在上，．直线是的切线． 【总结反思】 对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决： ①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论． 我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法． 任务： (1)上述材料【原理说明】中的依据是________； (2)如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数； (3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)等腰三角形的“三线合一” (2) (3)作图见解析 【分析】（1）根据作图得出，，再根据等腰三角形的“三线合一”即可得证； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，得出，再由圆周角定理即可得出结论； （3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，即可得出结论． 【详解】（1）解：上述材料【原理说明】中的依据是：等腰三角形的“三线合一”， 故答案为：等腰三角形的“三线合一”； （2）由（1）知：，，， ∴，， ∴， ∴； （3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，连接， 由作图可知，为的直径， ∴， ∵点在上， ∴直线是的切线， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了作线段的垂直平分线，等腰三角形三线合一性质，切线的判定，直角三角形两锐角互余，圆周角定理，直径所对圆周角是直角等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合思想解决问题． 5．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 尺规作出直角的三等分线 在中，利用尺规作出的三等分线，步骤如下： ①用尺规作出的中垂线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径作圆； ③以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ④以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ⑤连接、，则、是的三等分线． 下面是小明记录的证明过程的笔记，但笔记并不完整，请你认真阅读作图步骤后，将小明的笔记补充完整 证明：由作图步骤①可知，圆为的___________，是圆的直径 、、、是圆的半径 由作图步骤③和④可知 （请你补全证明过程） 【答案】外接圆；见解析 【分析】连接、、，通过作图步骤证明与是等边三角形，得到，，进而可得的度数，然后根据圆周角定理分别求得，，的度数，即可得证． 【详解】证明：由作图步骤可知，圆为的外接圆，是圆的直径， 连接、、，则、、、是圆的半径， ， 由作图步骤和可知， ， 与是等边三角形， ，， ， ，，， ， 、是的三等分线． 6．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 关于“射影定理”的研究报告如图①，被平行于CD的光线照射，，于点D，AB在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：   证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，则，∴． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．   作法： （1）在的延长线上截取； （2）作线段的垂直平分线l，交于点O； （3）以点O为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H； （4）以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点G，连接，即为所求等腰直角三角形．    (1)根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； (2)请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； (3)结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点E（不与B，C重合），以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，作，交的延长线于点G，以为邻边作矩形，则矩形即为所求．若E是边的三等分点，请直接写出矩形的长和宽的比值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)或9 【分析】（1）按要求完成作图即可； （2）如图②，以点O为圆心，以的长为半径作半圆O，由作图知点H在半圆O上，连接，证明，得出，进而得出结论； （3）先证明，得出，进而证明；设正方形边长为，分两种情况：当点E为靠近点B的边的三等分点时， 或当点E为靠近点C的边的三等分点时，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：如图②，以点O为圆心，以的长为半径作半圆O，由作图知点H在半圆O上，连接， 由作图可知，直线l垂直平分， 是半圆O的直径， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 在正方形和矩形中，， ， ， ， ， ， ， ； 设正方形边长为， ∵E是边的三等分点， 分两种情况：当点E为靠近点B的边的三等分点时， 则， ， ， ， ； 当点E为靠近点C的边的三等分点时， 则， ， ， ， ； 综上，矩形的长和宽的比值为或9． 7．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)65 【分析】（1）根据题意填空结论； （2）根据平行四边形的性质和中线定理即可得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，推出AC，BD是直径，连接AC，BD交于O，连接根据矩形的性质和中线定理得到结论． 【详解】（1）解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵在中，是中线， ∴由中线定理得，， ∵在中，是中线， 由中线定理得，， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ∵内接于， ， ， 是矩形， 连接，交于O，连接 是矩形， ，，， 根据中线定理，得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握中线定理是解题的关键． 8．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： (1)推理论证：请补全材料中的证明过程； (2)类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质以及勾股定理的应用以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式和矩形和正方形的性质的运用． （1）由题意连接，先求出和，再利用勾股定理求出，进而根据正方形和矩形的面积即可证明； （2）根据题意在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求；然后连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出，从而可得为边的正方形的面积，然后根据等腰三角形的三线合一可得的长，利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可证明； （3）由题意连接，，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，进而即可得出的值． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 点是半圆的圆心， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ； （2）解：如图，在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求； 证明：如图，连接， 设，，则， ∴， ∵点是半圆的圆心， ∴， ∴， ∴是边上的高， ∴， ∵在中，， ∴以为边的正方形的面积为， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴的面积为， ∴以为边的正方形与的面积相等， ∴线段即为所求； （3）解：如图，连接，， 由（1）已知：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即， ， 解得或 (不符合题意，舍去)， 又， 或(不符合题意，舍去)， ， ． 故答案为：． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $