专题07 四边形中常考题型（含压轴）（7大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 四边形中常考题型（含压轴） 7大考点概览 考点01平行四边形的性质与判定综合 考点05四边形中的压轴问题（填空题） 考点02菱形中问题求解 考点06四边形与尺规作图 考点03矩形下的线段求解与证明 考点07四边形中的新定义压轴问题 考点04正方形中的问题与性质辨析 平行四边形的性质与判定综合 考点01 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 2．（2026·山西运城·一模）如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 菱形中问题求解 考点02 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，即；然后利用三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴． 2．（2026·山西大同·一模）在菱形中，对角线交于点是的中点，连接．若，则菱形的边长为（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质结合斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论. 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即菱形的边长为6. 3．（2026·山西大同·一模）如图，在边长为6的菱形中，，E是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，， E是的中点，得到， 如图，过点作交的延长线于点，求出， 解直角三角形求出， ，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 是的中点， ， 如图，过点作交的延长线于点， ， 在中，， ， ， 在中，． 4．（2026·山西·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用菱形的性质、线段中点定义，结合勾股定理可得出， ，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 5．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点F的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得,进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形，边在x轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点F的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴, ∴直线的解析式为， 由折叠得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：, ∴, ∴． 6．（2026·山西太原·一模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·山西晋城·一模）如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】在菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小， 当时，为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 8．（2026·山西长治·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出相等的线段和平行线，证明为等边三角形，为的中位线，然后利用三线合一以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∵，且， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴． 矩形下的线段求解与证明 考点03 1．（2026·山西太原·一模）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（   ）． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：连接，由矩形性质可知， ， ∵、是与的中点， ∴是的中位线， ∴（cm）， 同理 ， ， ∴四边形的周长为20cm. 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再证明得到四边形是矩形，最后根据四边形的面积是求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，是边上的一点，连接，过点作 ，交的延长线于点，交的延长线于点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】如图，过点作，交的延长线于点．则四边形为矩形，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ， 四边形为矩形， ． 在 中，． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． 4．（2026·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，点是的中点，连接，线段的垂直平分线分别与，，交于点，，．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，点是的中点，， ∴， 在中， ∵垂直平分 ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 5．（2026·山西·一模）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．证明见解析． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 正方形中的问题与性质辨析 考点04 1．（2026·山西朔州·一模）如图，正方形的边长为4，连接，点为延长线上一点，，连接，过点作于点，分别交，于点，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理。首先通过互余关系证明，进而证明 求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用得到，根据相似比求出 的长 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中 ， ， 在 中，， ， ∴， ∴， ∴. 2．（2026·山西·一模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形、正方形和菱形的判定．先证明和，推出四边形是平行四边形，再根据矩形，菱形和正方形性质和判定定理逐一证明判断即可． 【详解】解：当时， ∵、、都是等边三角形； ∴， ， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵当时 ∴， ∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意； ∵，且， ∴， ∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意； 当， ∴， 即D，A，F三点在同一直线上， ∴四边形不存在， 故A不正确，选项A符合题意； 故选：A． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 【答案】 【分析】根据外角的性质再结合三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ，， ． 四边形中的压轴问题（填空题） 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由题意证明，，，四点共圆， 是的外接圆直径，根据垂径定理构建的外接圆，圆心为，连接，，设的半径为，由勾股定理构建方程求出外接圆半径，从而得到的长，最后在直角中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，，四点共圆，且为该圆的直径， 也是的外接圆直径， 过点作于点，设的外接圆，圆心为，连接，， ， 为等腰三角形， 为的中点，且，，三点共线， ， ， 在直角中，， 设的半径为，则， ， 在直角中，， ， 解得， 为该圆的直径， ， 在直角中，． 2．（2026·山西大同·一模）如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由正方形性质及全等三角形的判定得到，由全等的性质得到，，再结合垂直平分线定义得到，，进而由平行线的判定得到，在中，由勾股定理得到，由相似三角形的判定与性质求出，，进而求出，再结合，由相似比列式求解即可得到． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ，， 在中，，则， ， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ，， ， ，即， 解得，， ， ，，， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线定义、平行线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、相似三角形求线段长的方法是解决问题的关键． 3．（2026·山西阳泉·一模）如图，在平行四边形中，、、分别为，的中点，连接并延长至，满足，连接，．点是的中点，连接交于点，若，．则的长为______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，，所以，由，得，所以，可证明四边形是菱形，则，所以，由，，证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，则，，因为，所以，由，且，得，则，而，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山西晋城·一模）在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，设，则，，在中，由勾股定理可列方程，求得，建立平面直角坐标系，得 ，，,，分别求出直线的解析式，求出点的坐标，运用两点间距离公式可求出的长．. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，, 在中，， ∴， 解得， ∴，， 建立平面直角坐标系，如图， ∴ ，，,， 设直线的解析式为， 把,代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立方程组得， 解得， ∴， ∴． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】延长，交于点F，延长，交于点H，由，结合平分，根据角的关系可得到是等腰三角形，同理可得是等腰直角三角形，再由勾股定理及角对应的直角边和斜边的关系，求出各边，由，，得到，从而得到线段比例关系，代入数值即可解出． 【详解】解：如图1所示，延长，交于点F，延长，交于点H， ， ， 平分， ， ， ∴， 是等腰三角形， ，，， ∴是的角平分线，， ∴同理可得是等腰三角形，， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ，，，，． ，， ， ， ∴, ． 6．（2026·山西太原·一模）如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转至，连接，作交于点，交于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则可表示出的长，在中，根据勾股定理可得，即可求出，的长，进而在和中，分别利用勾股定理可求得，的长，进而可得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知，， ，，， 点、、三点共线，是等腰直角三角形， ， ， 为的中点，是等腰直角三角形， 垂直平分， ， ，， 正方形的边长为， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ，， 在中，， 在中，， ， ． 7．（2026·山西临汾·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 8．（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，E是边上一点，以为边向外作等边，连接，G是线段的中点，分别连接，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点H，由等边三角形的性质可得，，结合菱形的性质得出，从而可得，再证明，得出，，证明是等腰三角形，得出，最后解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵G是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴G是的中点，． ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴． 9．（2026·山西运城·一模）如图，在菱形中，，分别是边的中点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于点．根据中位线定理得出，根据菱形的性质证明是等边三角形，进而求出所需线段长度，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ∵分别是边的中点，， ∴，， ∵由菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ， ，， ． 10．（2026·山西·一模）如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ． 【答案】 【分析】取的中点N，连接，由平行四边形的性质和线段之间的数量关系，求出，，，，等线段的长，利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得和是等边三角形，求出，，利用中位线定理得到，，进而说明，最后根据相似三角形的对应边成比例，计算即可求解． 【详解】解：如图：取的中点N，连接， 平行四边形中，， ，，， ， ， F是的中点， ， 点N是的中点， ， ， E为的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点M是的中点，点N是的中点， ，， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 11．（2026·山西长治·一模）如图，已知平行四边形，点E在上，且，与交于点F．若，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据平行四边形性质，易得，再根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·山西长治·一模）如图，边长为2的正方形中，点E为的中点，连结，将沿折叠得到，连接，则的长为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，根据翻折的性质得出相等的边和角，证明，最后利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 由翻折的性质可得, ，， ∴为等腰三角形，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·山西·一模）如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，，然后在中，，代入数值得，再过点G作于点H，得出是等腰直角三角形，然后证明，则，代数计算得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得． ． 如图，过点G作于点H， 则， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ， ． ． 又． ． ． 设， 则． ． 解得． ． 在中，． 故答案为： 1．（2026·山西运城·一模）如图，在平行四边形中，．四边形与尺规作图 考点06 (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义可推得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图：垂直平分． （2）解：，证明如下： 连接，如图： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故是等边三角形， ∴， ∴． 2．（2026·山西长治·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． (1)尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）作垂直平分线即可； （）连接，由矩形性质可得，，由勾股定理得，设，则，，再通过勾股定理得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∴． 3．（2026·山西·一模）如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点． (1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用尺规作图方法画垂线即可得出答案． （2）通过平行四边形性质可得，再通过角平分线以及等量代换可知，进而可知，再通过三线合一即可证明． 【详解】（1）解：如答图所示，即为所求 （2）解：，理由如下 四边形是平行四边形， ． 平分， ． ． ， ． 4．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，得到，进而得到，等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四边形中的新定义压轴问题 考点07 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行六边形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及尺规作图，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行六边形的性质得到，求出，根据四边形的内角和即可得到答案，再由平行线的性质得到依据； （2）根据平行四边形的性质得到，证明，证明，即可得到结论； （3）以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接线段即可． 【详解】（1）解：连接， 六边形是平行六边形， ， ， ， 依据1是两直线平行，内错角相等， 故答案为：；两直线平行，内错角相等； （2）证明：分别连接， 六边形是平行六边形， ，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 解： 2．（2026·山西大同·一模）【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点，，且，则点P就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点，，则点P是一个“准等距点”． 下面是我的证明过程： 证明：如图2，连接． …… 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． (2)如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (3)已知一个四边形，对角线于点E，且，四边形的面积为24．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形性质证明，结合全等三角形性质即可证明点P是一个“准等距点”； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，所作点即为四边形的一个“准等距点”； （3）根据四边形对角线互相垂直推出，再结合“准等距点”定义推出垂直平分，进而即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如图2，连接． 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 点P是一个“准等距点”； （2）解：如图，所作点即为四边形的一个“准等距点”； （3）解：对角线于点E，且，四边形的面积为24， ， 四边形存在“准等距点”， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，作线段的垂直平分线，垂直平分线性质和判定，“准等距点”定义，解题的关键在于理解“准等距点”定义． 3．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由四边形为“等垂四边形”，得到，且，再求出，最后根据四边形内角和求即可； （2）由四边形为“等垂四边形”， 得到，且，根据代入角度关系证明即可． （3）先作，再作，交点即为． 【详解】（1）解：∵四边形为“等垂四边形”， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：四边形为“等垂四边形”， ，且， ∴． 在中，， ∴． （3）如图，“等垂四边形”即所求． 4．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中， ，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 【答案】(1)②④； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义； （2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明； （3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度． 【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义， ①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； ③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形； ④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形； 故答案为：②④． （2）证明：延长至点，使得，连接． ∵四边形是邻对等四边形， ∴，． 在和中，， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：∵四边形是邻对等四边形， ∴由（2）的结论可知，且． ， ． 在中，， ． 过点作于点， 在中，，， ． 在中，，，， ． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形中常考题型（含压轴） 7大考点概览 考点01平行四边形的性质与判定综合 考点05四边形中的压轴问题（填空题） 考点02菱形中问题求解 考点06四边形与尺规作图 考点03矩形下的线段求解与证明 考点07四边形中的新定义压轴问题 考点04正方形中的问题与性质辨析 平行四边形的性质与判定综合 考点01 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·一模）如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 菱形中问题求解 考点02 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2026·山西大同·一模）在菱形中，对角线交于点是的中点，连接．若，则菱形的边长为（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 3．（2026·山西大同·一模）如图，在边长为6的菱形中，，E是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．9 D． 4．（2026·山西·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．5 5．（2026·山西晋城·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，D为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点O落在点E处，于点F．若点F的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西太原·一模）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D．4 7．（2026·山西晋城·一模）如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 8．（2026·山西长治·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 矩形下的线段求解与证明 考点03 1．（2026·山西太原·一模）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（   ）． A．10 B．20 C．30 D．40 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，垂足为D，F是的中点，连接并延长至点E，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，是边上的一点，连接，过点作 ，交的延长线于点，交的延长线于点，若，则的长为_______． 4．（2026·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，点是的中点，连接，线段的垂直平分线分别与，，交于点，，．若，，则的长为__________． 5．（2026·山西·一模）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 正方形中的问题与性质辨析 考点04 1．（2026·山西朔州·一模）如图，正方形的边长为4，连接，点为延长线上一点，，连接，过点作于点，分别交，于点，，则的长为_____． 2．（2026·山西·一模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 四边形中的压轴问题（填空题） 考点05 1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，，，则线段的长为______． 2．（2026·山西大同·一模）如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 3．（2026·山西阳泉·一模）如图，在平行四边形中，、、分别为，的中点，连接并延长至，满足，连接，．点是的中点，连接交于点，若，．则的长为______． 4．（2026·山西晋城·一模）在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 6．（2026·山西太原·一模）如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转至，连接，作交于点，交于点，若，，则的长为____________． 7．（2026·山西临汾·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 8．（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，E是边上一点，以为边向外作等边，连接，G是线段的中点，分别连接，，若，，则的长为______． 9．（2026·山西运城·一模）如图，在菱形中，，分别是边的中点，连接，若，则的长为______． 10．（2026·山西·一模）如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ． 11．（2026·山西长治·一模）如图，已知平行四边形，点E在上，且，与交于点F．若，则的长为________． 12．（2026·山西长治·一模）如图，边长为2的正方形中，点E为的中点，连结，将沿折叠得到，连接，则的长为________． 13．（2026·山西·一模）如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 1．（2026·山西运城·一模）如图，在平行四边形中，．四边形与尺规作图 考点06 (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 2．（2026·山西长治·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． (1)尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（）的条件下，连接，若，，求的长． 3．（2026·山西·一模）如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点． (1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 4．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 四边形中的新定义压轴问题 考点07 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 2．（2026·山西大同·一模）【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点，，且，则点P就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点，，则点P是一个“准等距点”． 下面是我的证明过程： 证明：如图2，连接． …… 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． (2)如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． (3)已知一个四边形，对角线于点E，且，四边形的面积为24．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 3．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 4．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，请完成后面的任务． 邻对等四边形 【概念理解】 有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中， ，那么四边形称为邻对等四边形． 【问题解决】 问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)． ①菱形②矩形③平行四边形④正方形 问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：． 证明：如图2，延长至点，使得，连接， 任务： (1)材料中问题1的“▲”处应填写____________． (2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整． (3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $