专题06 三角形与解直角三角形（含压轴）（9大考点）（山西专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题06 三角形与解直角三角形（含压轴） 9大考点概览 考点01求角的度数 考点06三角形中的尺规作图 考点02求线段的长 考点07解直角三角形的应用（仰、俯角问题） 考点03全等三角形的应用 考点08解直角三角形的应用（非仰、俯角问题） 考点04解三角形的计算 考点09三角形压轴综合问题 考点05三角形中的线段问题（填空压轴） 求角的度数 考点01 1．（2026·山西长治·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DC＝AC， ∴AD＝CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，准确计算是解题的关键． 2．（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，由得，在中求出，再在中利用内角和求出，最后由对顶角相等得． 【详解】解：如图，延长交于点，设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， 与是对顶角， ． 3． （2026·山西太原·一模）如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据旋转角相等可知，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转可知，，，， ， ， ， ， ， ． 求线段的长 考点02 1．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形内平行线的性质，易得，由对应线段成比例即可求出的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．（2026·山西阳泉·一模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 3．（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且三点共线，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据得出，根据等角对等边得出，进而可得答案． 【详解】解：∵将直角边绕点逆时针旋转至，三点共线， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4.（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由直角三角形的性质可得，从而得出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，是直角三角形，，，连接，，若，过点作于点，则的长为______． 【答案】 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出边长，再通过角的等量代换与比例式证明三角形相似，最后在两个直角三角形中利用勾股定理建立方程求解未知线段，进而得到目标线段的长度． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵，，， ∴，解得，． 设，则． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得． ∴，展开化简得，解得． ∴． 全等三角形的应用 考点03 1．（2026·山西阳泉·一模）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 2．（2026·山西运城·一模）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2026·山西大同·一模）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴小明离地面的高度是， 故答案为：． 解三角形的计算 考点04 1．（2025·山西·一模）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴． 3．（2026·山西·一模）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，几何变换的类型，过E作于H，判定，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 其依据的图形变化是图形的相似． 故选：D． 三角形中的线段问题（填空压轴） 考点05 1．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 2．（2026·山西运城·一模）如图，在中，，，，平分交于点，交于点，作点关于的对称点，连接，，与交于点，则的长为___________. 【答案】或 【分析】连接，延长交于点，根据勾股定理求出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，根据等角对等边得出，设，，则，，根据相似三角形的判定和性质求出，，，根据线段垂直平分线的性质和矩形的判定和性质得出，，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】连接，延长交于点，如图： 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， 即，． ∵点、点关于对称， 故垂直平分， 即，． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 故． ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 3．（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，，点为的中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】取中点，连接，设（），求得 ，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴． 3．（2026·山西·一模）如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由是斜边的中线，得，设，则，过点作于点，求出，运用面积关系得，求得，过点作交于点，证明可得结论． 【详解】解：在中，，，， 所以，， ∵是斜边的中线， ∴， 设，则， 过点作于点， ∵平分，且， ∴， 又， ∴， 解得：， 即； 过点作交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴是的中位线, ∴， 又， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山西太原·一模）在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出相等的线段，利用面积法求出，，借助相似三角形得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵是边的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 由勾股定理得，， ， ∴． 6．（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出，，，过点E作，则，则，同理，且相似比为：，则可得出，过点D作于点H，得出，由相似三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的数量关系即可求出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，， 过点E作， 则， ∵E为边的中点， ∴，， ∴， 同理：，且相似比为：， ∴，即， 过点D作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵ ∴， 解得：． 7．（2026·山西晋中·一模）在中，平分，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】过点B作于点G，过点D分别作，垂足分别是点，在和中，利用勾股定理构造方程，求得，进而得到，再依据等面积法求得，最后证明可求得． 【详解】解：如图所示，过点B作于点G，过点D分别作，垂足分别是点， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一点，连接并延长，交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，，设，则，则，然后证明为的中位线，则，求出，，则，，那么，，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，过点作于点，交于点， ∵，是边上的中线， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 1．（2026·山西·一模）如图，在中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点．则的度数为（   ）三角形中的尺规作图 考点06 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及定义，三角形内角和等知识；由作图知，是的平分线，则得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：由作图知，是的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】由作图可知垂直平分线段，，因为，所以，根据等边对等角可知，在中，利用三角形内角和定理可知，则，进而可求的度数． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，已知． (1)尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点向直线作垂线即可； （2）先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作． （2）解：∵， 在中，根据勾股定理得， ∴， 在中，根据勾股定理得． 4．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，． (1)作边的垂直平分线交边于点，交边于点，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和定理． （1）利用尺规作图，根据题意作出图形即可； （2）连接，证明，利用勾股定理结合等积法求解即可． 【详解】（1）解：所作图形，如图， （2）解：连接， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知在中，． (1)利用尺规作图，在边上确定一点，使得点到点和点的距离相等(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见详解 【分析】（1）根据垂直平分线的判定，作的垂直平分线，与的交点即为满足的点； （2）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质得到的度数，进而推出，最后根据“三个内角均为的三角形是等边三角形”完成证明． 【详解】（1）解：如图，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，交于点，点即为所求． （2）证明：，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 是等边三角形． 1．（2026·山西大同·一模）大同华严寺宝塔是中国第二高的纯木结构塔，通身采用木榫卯结构，无钉无铆．塔下有全国唯一全铜打造的千佛地宫，地宫供奉元代高僧慧明法师舍利．宝塔坐西朝东，是体现辽金建筑技艺与契丹文化的代表性建筑．解直角三角形的应用（仰、俯角问题） 考点07 在一次“丈量家乡古建”综合实践活动中，某校数学兴趣小组来到大同华严寺，对寺内华严宝塔的高度开展实地测量．测量时，同学们在塔前水平地面的点处，测得塔顶的仰角为，随后沿水平方向后退到达点（即），在高度为的平台点处（即），再次测得塔顶的仰角为，计算华严宝塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】44米 【分析】设的高度为米，过点作于点，分别解和，进行求解即可. 【详解】解：设的高度为米． 过点作于点． 由题意可知四边形为矩形，， 米，． 在中， ， 在中，， 解得 答：华严宝塔的高度约44米． 2．（2026·山西朔州·一模）项目式学习 位于山西省运城市万荣县的飞云楼，结构精巧，气势凌云，被誉为“中华第一木楼”．某综合与实践小组的同学以“测量飞云楼的高度”为主题展开实践活动，形成如下活动报告． 项目主题 测量飞云楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案及示意图 如图，表示飞云楼的高度，在点处用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为，面向飞云楼前进到达点处，用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为．已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点C，E，B在同一条水平直线上． 计算结果 …… ……． …… 请根据综合与实践小组的同学测得的数据，计算飞云楼的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】连接并延长交于G点，则可得，．设，根据三角函数的定义可得，．根据列方程求出的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长交于G点， 则，， 设 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， 又∵， ∴， 解得， 即， ∴． 3．（2026·山西·一模）综合与实践 山西省在册的古建筑约占全国古建筑总量的十分之一，在全国各省中位居前列．省文物保护单位在勘测某壁画最高点到崖底的距离时，为了避免破坏壁画，决定借助无人机采集相关数据． 数据采集：如图是利用无人机测量某壁画最高点到崖底的距离的示意图，表示崖底水平面，点是壁画的最高点，壁画在竖直方向与崖底水平面交于点，无人机从点起飞竖直上升至点，测得点的仰角，然后无人机再竖直上升至点，测得点的仰角．点，，，，，，在同一竖直平面内． 问题解决：计算壁画最高点到崖底的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】壁画最高点到崖底的距离约为米. 【分析】过点作于点，过点作于点，推导出四边形和四边形都是矩形，即，，，再设，根据解直角三角形的性质分别求出，最后根据列方程求解即可. 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题可知，四边形和四边形都是矩形． ，，， 设 ，则 在中，， 在中，， ，即 解得 答：壁画最高点到崖底的距离约为． 4．（2026·山西阳泉·一模）小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测量数据 ①测得水平距离为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息和图1，解答下列问题． (1)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？ (2)如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（在同一平面内，沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到0.1米，取取1.732） 【答案】(1)8米 (2)34.5米 【分析】（1）根据勾股定理求出风筝线的长，即可得到答案； （2）过点分别作，垂足分别为G，H，则，分别在和中，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于点C，则， 在中，， 由勾股定理得：， 风筝沿方向再上升12米后，， 此时风筝线的长为， ∴． 答：小明同学应该再放出8米线． （2）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则， 根据题意得：三点共线，米， 在中，米， ∵坡度为， ∴， ∴， ∴， ∴米，米， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 即风筝距地面的高度为米． 5．（2026·山西太原·一模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）    【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米 【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米，              ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为32米．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 6．（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：平遥古城是中国保存最完整的古代县城之一，被誉为“中国古建筑宝库”．标志性建筑是古城南大街的市楼．某数学研学小组在平遥古城开展“数学与古建筑测量”实践活动，利用测量工具得到了相关数据． 数据采集：如图，研学小组在水平青石板路面点M处放置测角仪，测得市楼顶端A的仰角为，然后沿南大街朝市楼方向前进到达点N，测得点A的仰角为．已知测角仪的高度为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求市楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形，得到，．根据是等腰直角三角形，设，则．在中，由列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点H，则，四边形和四边形均为矩形， ，． ， 是等腰直角三角形， ． 设， 则． 在中，，， ∴， 解得， ． 答：市楼的高度约为． 7．（2026·山西运城·一模）秦柏，位于介休市西南15公里处的西欢村柏树岭，相传为秦初种植，距今有两千多年的历史。某校“综合与实践”小组的同学想要测量该秦柏的高度，设计了如下测量方案，并利用课余时间完成了实地测量. 如图，为秦柏的树高，先在点C处测得秦柏顶部B点的仰角为，然后在点E处测得F点的俯角为，已知点E距离的高度为米，其中点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，D，F在同一条水平直线上.除此之外，还测量了如下数据： ①点D与点F的水平距离米； ②测点C与点F的水平距离米； ③测点C与点D的水平距离米； ④从点E处测得秦柏顶部B点的仰角为. (1)要计算秦柏的高度，还需要的数据有：___________（填写序号，所有已知条件必须用到）； (2)结合（1）中所选数据计算秦柏的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】(1)②④ (2)15米 【分析】（1）根据题意添加条件即可； （2）过点E作，得出四边形为矩形，，，再由正切函数得出，求解得出，确定，设，则，，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，要计算秦柏的高度，还需要的数据有：②测点C与点F的水平距离米；④从点E处测得秦柏顶部B点的仰角为； （2）过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∵点E距离的高度为米， ∴， 根据题意得：， ∴，， 解得：， ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴米． 8．（2026·山西晋城·一模）项目式学习 为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定校园内的标志性古树“国槐”，开展树高的测量与树形特征探究活动，因古树周围设置围栏无法直达根部，活动报告如下： 项目主题 校园内“国槐”古树的高度测量与树形特征探究 数学抽象 表示水平地面，线段表示“国槐”古树（为树梢，为树根中心），项目学习小组的同学采用“双仰角法”测量树高，又将树冠投影近似成椭圆，通过计算高冠比判断树形特征 测量工具 激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等 项目方案 【树高测量】 1.在地面上选取测点，测得树梢的仰角； 2.在地面上选取测点，测得树梢的仰角； 3.测得，两点间的距离．（如图1） 【树冠投影数据】 1.测量树冠投影东西向最大宽度； 2.测量树冠投影南北向最大宽度．（如图2） 参考数据 高冠比结果精确到；参考数据：，，，，，；高冠比，其中平均冠幅．当时，树形舒展、冠大荫浓 … … 试判断该校园内“国槐”古树是否树形舒展、冠大荫浓，并说明理由． 【答案】校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓；理由见解析 【分析】以垂直地面的树高为公共直角边，利用两个仰角对应的、，通过正切函数分别表示出、与的关系；再结合的线段和，列方程求解得到树高，按题目公式算出平均冠幅，代入公式得到高冠比，将与题目给出的的判定标准对比，即可得出结论． 【详解】该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓． 理由如下： 在中，，， ∴， 在中，，， ∴． 设，则， ∴， 解得 ， ∴， 根据题意，得高冠比， ∵， ∴该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓． 9．（2026·山西吕梁·一模）合与实践 某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案： 测量教学楼的高度 组别 甲 乙 工具 测角仪 三角板，皮尺 测量示意图 测量方案与数据 如图1，组长用测角仪在点处测得教学楼最高点的仰角，测角仪 如图2，组长站在点处，眼睛在点处用三角板观测教学楼最高点的仰角，面向教学楼前进至点处，眼睛在点处用三角板观测到教学楼最高点的仰角，组长的眼睛到水平地面的距离，用皮尺测得 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，都在上 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，，都在上 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： (1)你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议． (2)根据没有问题的测量方案，计算教学楼的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲组的测量方案存在问题；甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离 (2) 【分析】（1）根据求解的过程，判断出甲组的测量方案缺少到的距离； （2）设，由解直角三角形可得，，故可得出方程，解出对应的值，即可求出的高度． 【详解】（1）解：甲组的测量方案存在问题， 甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离． （2）解：根据乙组测量方案计算.如答图，连接并延长，与交于点， 由题意，得四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：教学楼的高度约为． 10．（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量潞州六府塔新塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，秒表等 测量示意图 测量过程 如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为，塔底的俯角为，然后以的速度竖直上升飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上，． 参考数据 ，，，，，． 请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔的高度．（结果精确到1米） 【答案】91米 【分析】延长交于点M，延长交的延长线于点N， ，米．利用锐角三角函数的定义，设米，进而在和中，利用锐角三角函数的定义，分别求得米，米，米，进而可求解． 【详解】解：延长交于点M，延长交的延长线于点N， 由题可知，，，四边形为矩形， ，（米）． 在中，， ∴设米， 在中，，米， （米）， 米， ，， 在中，，米， （米）， （米）． 答：潞州六府塔高度约为91米． 11．（2026·山西大同·一模）校园“科技节”来临之际，无人机表演点亮了校园科技之美．某校“综合与实践”活动小组的同学要用无人机测量大楼的高度，无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时，测得楼的楼顶处和楼的楼顶处的俯角均为，已知，，其中点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上．请根据以上数据，求大楼的高度．（，结果保留一位小数） 【答案】大楼的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．过点作于点，过点作于点，交于点，分别解直角三角形和直角三角形，求出的长，再用求出的长即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，交于点， 由题意，得：， ∴四边形均为矩形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 答：大楼的高度为． 12．（2026·山西太原·一模）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】28米 【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． 米，米，， 在中，，， ， 设米． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ， ． 解得． （米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 13．（2026·山西临汾·一模）项目学习 项目背景：太行太岳烈士陵园位于长治市西南隅，年建成竣工，是为纪念抗日战争中在太行、太岳两根据地牺牲的烈士而建的公墓，陵园的中心耸立着太行太岳烈士纪念塔，是陵园内最突出的建筑物．综合实践小组的同学围绕“太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算 测量示意图 实施过程 如图，①用无人机在点处测得纪念塔的最高点的俯角及点之间的距离；②将无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得纪念塔最低点的俯角及两点之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，垂直于地面 计算 …… 请根据上述数据，计算太行太岳烈士纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】太行太岳烈士纪念塔的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． 延长与交于点，根据俯角构造直角三角形，根据已知角度和其三角函数以及线段的长度，得到和的长度，继而得到的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点，则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：太行太岳烈士纪念塔的高度约为米． 14．（2026·山西·一模）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 测量工具 卷尺、测角仪 方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数； 第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长； 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数． 说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，，． 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）． 【答案】拱极门的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键． 延长交于点C，求出，，解直角三角形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点C， 由题可知，四边形和四边形为矩形， ，， 在中，，， ，即． 在中，， ，即． ， ． 解，得． ， ． 答：拱极门的高度约为． 15．（2026·山西太原·一模）实践探究：某校数学研学小组开展城市设施测高实践活动，测量太原市一座供水水塔的高度，并采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点表示水塔的顶部，点表示水塔的底部，为水塔的垂直高度．无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点处，在处测得点的仰角为．数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算水塔的高度．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】 【分析】本题考查外角和定理，等腰三角形性质，内角和定理，含角三角形三边关系，解三角形等．根据题意延长交于，后利用外角和定理可得，即，继而利用含角三角形三边关系可得，再利用三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：延长交于， ， ∵无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为， ∴，，， ∵在处测得点的仰角为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵无人机沿水平方向飞行至点处， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 1．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2所示是其抽象成的示意图．四边形为雕塑侧面图，四边形为石基底座，连接，已知，测得，，，的长为，的长为，石基底座的高为．（结果精确到，参考数据：，，，）解直角三角形的应用（非仰、俯角问题） 考点08 (1)求的长； (2)求点到地面的距离． 【答案】(1)的长约为 (2)点到地面的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形为矩形，再根据，代入数值计算，得，同理，把数值代入得，即可作答． （2）先证明四边形为矩形，则，再把数值代入计算，得，又因为石基底座的高为，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ∵ ∴ ∴四边形为矩形， 在中，， ； ∵四边形为矩形， 在中，， 则， ， ， 的长约为． （2）解：过点作于点，分别交、于点、， 同理得四边形为矩形， ， 在中，，， ， ∴． ∵石基底座的高为． ∴， 答：点到地面的距离的长约为4.3米． 2．（2026·山西晋城·一模）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 3．（2026·山西运城·一模）项目学习 项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 智能机器人的高度测量与计算 驱动问题 如何测量智能机器人的高度 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架    数据测量 ，，，， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】点到地面的高度约为 【分析】如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为．则四边形为矩形，在中，求出，再求出，即可解答． 【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形， ，． 在中，， ， ． ，， ， ， ， ， ∴点到地面的高度约为． 4．（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 【答案】(1)使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面 (2)图见解析，小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方 【分析】（1）在中，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）在中，，解直角三角形求出的度数和的长，再用的长加上小东的身高，再与3米比较即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大 如图所示，在中，， ． ． 答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面． （2）解：如图所示，根据题意，得在中，， ， ， ∴此时满足； 在中，， （米）． ， ∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方． 5．（2026·山西吕梁·一模）威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明： 名称 品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角： 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 根据以上信息，解决下面的问题： 小丽房间内的床长200，高50，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1．参考数据：，，，，，） 【答案】空调安装的最低高度约为 【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数应用．熟练掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义与实际计算，添加辅助线建立直角三角形，是解题的关键． 连接，过点作于点，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可，即点与点重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，则四边形是矩形， ， ， 由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可， 当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘处时，空调安装的高度最低， 此时， 在中，， ， ， ， ， 答：空调安装的最低高度约为． 6．（2026·山西太原·一模）中国造船智能化又迈进一大步，2025年12月4日，上海船舶运输科学研究所在上海海事会展现场发布了全国首台造船迷你焊接机械臂．不到15公斤的小身体身怀绝技，智能算法加激光辨识将焊接工作精上加精，人工进不去的狭窄空间交给它也能轻松应对．下图是造船需要用到的一种钢制零件示意图，某天工程师发现点连接处断开，整个零件只有处开有一个小口，人工无法进入焊接，派出迷你焊接机械臂完成工作迷你焊接机械臂前臂完美的与零件部分贴合，机械小臂灵巧的从处进入，伸长小臂精准到达点进行焊接．已知m，m，于点，m，，请你算出断点到的距离．（结果精确到0.1m参考数据：，，，，，） 【答案】断点B到A的距离为2.8米． 【分析】作于点，则，利用相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识进行解答即可． 【详解】解：作于点，则， 于点， ， 又， ， ，即， ， 在中，由勾股定理可得， ，， ， 在中，，， ， ， 答：断点到的距离为2.8米． 7．（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图    方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 三角形压轴综合问题 考点09 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应的任务． 三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．． 任务： (1)问题1中的的长为_________． (2)补全问题2的解答过程． (3)在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是 【分析】（1）根据的“和谐点”的定义可得，代入数据，即可求解； （2）根据题意得出，，列出方程，即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵点是的“和谐点”， ∴ ∴ （2）补全问题2的解答过程： ∵，， ∴ （3）解：等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”． 如图所示，等腰直角中，点是底边的中点 ∴， ∴ ∴等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”． 2．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且 ，求的值． 解：， ． ， …… 任务： (1)问题1中这个相同的数量关系为______． (2)将问题2的解答过程补充完整． (3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)它们的和均为 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据，可得，再由三角形内角和定理可得，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，即可解答； （3）作的角平分线交于点N，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 同理；； 即这个相同的数量关系为它们的和均为； （2）解：， ． ， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点N即为所求； 理由如下： 由作法得：分别为的角平分线， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即点N为的布洛卡点． 3．（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)平行线分线段成比例的基本事实 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例进行作答即可； （2）证明，得到，进而得到，即可； （3）连接，易得是的一条中线，根据重心的性质，作的另一条中线，与的交点即为点. 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； （2）证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点． （3）解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 4．（2026·山西阳泉·一模）【材料阅读】 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联点 【概念理解】 如图1，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：， ． 点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， ．（依据1） ． ． ． ，（依据2） 点是点关于的“关联点” 任务： (1)材料中的依据1是指_____，依据2是指_____ (2)如图3，在中，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． (3)已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点E（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形对应边成比例 (2)4.8 (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得；根据相似三角形对应边成比例可得； （2）根据“关联点”的定义可得，根据相似三角形的判定和性质得出，根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等推得，再根据勾股定理求出的值，即可求解； （3）根据与的面积相等得出点在经过点，且与平行的直线上，根据“关联点”的定义可得，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上，据此，即可确定点的位置，结合作一个角等于已知角的方法，作图即可求解． 【详解】（1）解：， ． ∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上， ，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）． ， ， ， ，（依据：相似三角形对应边成比例） ， ∴点是点关于的“关联点”． （2）解：∵点是点关于的“关联点”， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ． （3）解：如图，点为所求．（或点为所求） 理由：∵与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴， 即点在经过点，且与平行的直线上； ∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”， 故，， ∴， 即点在以点为圆心，的长为半径的圆上； 据此，即可作图． 作法：第一步，以点为圆心，的长为半径，画圆； 第二步，作，使得，即； 第三步，延长，与圆交于点、． 如图：点为所求．（或点为所求） 5．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）答案不唯一，如答图1，点即为所求.         （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 6．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)作图见解析， 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 7．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 【阅读材料】 如图1，在中，点D在边上，过点D作射线与直线交于点E．若，则称射线为中关于边的等角分线，点D为等角分点．特别地，当时，则称此时的射线为平行等角分线． 【概念辨析】 (1)若是等腰三角形，且，，射线是中关于边的等角分线，则的度数为______． 【作图计算】 (2)如图2，在等腰三角形中，，． ①尺规作图：作中关于边的平行等角分线，交边于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②求的长． 【答案】(1)50 (2)①图见解析；② 【分析】（1）首先利用等边对等角求出，然后利用等角分线的定义求解即可； （2）①首先作的垂直平分线交于点D，然后作交于点E即可； ②连接，过点A作于点F，则，由三线合一得到，利用勾股定理求出，设，则，，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵射线是中关于边的等角分线， ∴； （2）解：①如解图1，射线即为所求； ②如解图2，连接，过点A作于点F，则， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记． 这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如角的三角函数值．当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的．不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了角的正切值．老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高．上课情况是这样的： 如图1，在中，． 老师的第一个问题：你能利用这个图作出角，且这个角在直角三角形中吗？ 我们的思考：如图，用尺规作出角的平分线，交于点，则，且在中． 我们的思路：只要求出的长度，则角的正切值可求． 我们又注意到垂直于，且是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出的长． 老师的第二个问题：这种方法得角容易想到，但计算量较大．认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到角，且这个角在直角三角形中？ 一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！ 我们情不自禁把掌声送给了同桌． 老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决． 请根据小铭同学的周记，回答下列问题： (1)在上述周记中提到的角平分线的性质是__________； (2)请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图中画图，并求出角的正切值； (3)请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图中的直角作出一个在直角三角形中的角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个角的正切值． 【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查了角平分线的性质，锐角三角函数的定义与特殊角的作图和锐角三角函数的计算，三角形外角的性质，特殊角（）的直角三角形的性质． （1）根据角平分线的性质利用等面积法，利用和的高相等，以及求出的长，所依据的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）根据三角形外角的性质，延长到，使，连接，则，根据角的直角三角形的性质，得到和的长度，继而得到的值． （3）以点为圆心，一定长度为半径作圆，交已知两直角边于点和点，连接，延长到，使，连接，则即为所求，同理得到的值． 【详解】（1）解：∵垂直于，且是角平分线， ∵根据角平分线的性质利用等面积法，求出的长， 即点到和的距离相等，利用计算得出的长， ∴周记中提到的角平分线的性质是角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）解：如图，延长到，使，连接，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ； （3）解：如图，以点为圆心，一定长度为半径作圆，交已知两直角边于点和点，连接，则，延长到，使，连接，则， ，即为所求． 设，则， ∴，， ∴， ∴． 9．（2026·山西临汾·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 仅用无刻度的直尺在网格中作图 依托网格作图，是初中数学实验几何的重要途径，一个个小正方形组成的网格为我们学习和研究数学提供了便捷的载体和广阔的探索空间． 作图情境：图1是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，作图过程用虚线表示．在图2中，先作，且，再在上作点，使得． 作图过程： 如图2，取格点，连接交于点，则线段，点即所求． 作图理由： 如图2，取格点，连接． 由网格图可知， （依据）， ． 又， ， 是等腰直角三角形， ， 由网格图可知， …… 任务： (1)①材料中的依据是指_____； ②请你将上述材料中勤思小组的作图理由补充完整． (2)如图3和图4是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示．（只画出图形即可，不必说明理由） ①如图3，在射线上作点，使得； ②如图4，作的平分线． 【答案】(1)①（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）；②见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）①根据全等三角形的判定解答即可； ②根据三角形的内角和定理和等边对等角求出，进而求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）①取格点G，连接交于点D即可； ②取格点C、D，连接、，相交于E，作射线即可． 【详解】（1）解：①材料中的依据是； ②取格点，连接． 由网格图可知， ， ． 又， ， 是等腰直角三角形， ， 由网格图可知， ， ， ，； （2）解：①如图，点即所求： ， 理由：同（1）可证， ， 由网格图可知， ， ； ②如图，射线即所求： 理由：由网格图可知，，，，， 四边形是平行四边形，， ， 平分． 10．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联点 【概念理解】 如图1，是线段上的一点（不与点，重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：， ． ∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上， ，（依据1） ， ， ， ，（依据2） ， ∴点是点关于的“关联点”． 任务： (1)材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． (3)已知点是点关于的“关联点”，请在图4中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 【答案】(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形对应边成比例 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得；根据相似三角形对应边成比例可得； （2）根据“关联点”的定义可得，根据相似三角形的判定和性质得出，根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等推得，再根据勾股定理求出的值，即可求解； （3）根据与的面积相等得出点在经过点，且与平行的直线上，根据“关联点”的定义可得，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上，据此，即可确定点的位置，结合作一个角等于已知角的方法，作图即可求解． 【详解】（1）解：， ． ∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上， ，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）． ， ， ， ，（依据：相似三角形对应边成比例） ， ∴点是点关于的“关联点”． （2）解：∵点是点关于的“关联点”， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ． （3）解：如图，点为所求．（或点为所求） 理由：∵与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴， 即点在经过点，且与平行的直线上； ∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”， 故，， ∴， 即点在以点为圆心，的长为半径的圆上； 据此，即可作图． 作法：第一步，以点为圆心，的长为半径，画圆； 第二步，作，使得，即； 第三步，延长，与圆交于点、． 如图：点为所求．（或点为所求） 11．（2026·山西长治·一模）阅读与探究材料 欧拉线 小华在复习三角形的性质时，整理了关于三角形重心、外心、垂心的笔记，内容如下： 重心：三角形三条中线的交点．重心将每条中线分成两段，靠近顶点的线段长度是靠近对边线段长度的2倍． 外心：三角形三条边的垂直平分线的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等． 垂心：三角形三条高线所在的直线的交点．垂心与顶点的连线垂直于对边． 小华完成笔记后，进行了以下操作： 他画出了多个不同形状的三角形，分别找到它们的外心、重心和垂心后，发现这三个点似乎总在同一条直线上！带着这个疑问，他翻阅数学资料，终于找到了答案：1765年，瑞士数学家欧拉早已证明了这一结论——三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线，如图1所示，这条直线被称为“欧拉线”．（等边三角形的外心O、重心G、垂心H三点重合） 小华发现：如图2，为锐角三角形（非等边三角形），在其欧拉线上，与的比值是一定的．为了求出这个比值，他经过思考并给出了如下过程： 连接，并延长交于点N，连接，并延长交于点M． 点H是的垂心， ． 点G是的重心， 是的中线， 点M是的中点，． …… 任务： (1)补全小华的过程． (2)在中，重心为G、外心为O、垂心为H，若，则________． (3)如图3，已知，，求作的欧拉线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)见解析 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质可得结论； （2）由代入数据求解即可； （3）分别作出直角三角形的重心，垂心和外心即可出欧拉线． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点N，连接，并延长交于点M． 点H是的垂心， ． 点G是的重心， 是的中线， 点M是的中点，． 连接，如图， ∵点是的外心，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 即， 若，则； （3）解：作斜边的垂直平分线，与交点即为外心O（直角三角形外心在斜边中点）； 直角顶点C即为垂心，（直角三角形两条直角边互为高线，交点为垂心）； 作任意两条中线（如边上中线、边上中线)，交点为重心G； 过O、G、C三点作直线，即为的欧拉线l． 如图，直线l即为的欧拉线． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形与解直角三角形（含压轴） 9大考点概览 考点01求角的度数 考点06三角形中的尺规作图 考点02求线段的长 考点07解直角三角形的应用（仰、俯角问题） 考点03全等三角形的应用 考点08解直角三角形的应用（非仰、俯角问题） 考点04解三角形的计算 考点09三角形压轴综合问题 考点05三角形中的线段问题（填空压轴） 求角的度数 考点01 1．（2026·山西长治·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° 2．（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3． （2026·山西太原·一模）如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 求线段的长 考点02 1．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026·山西阳泉·一模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且三点共线，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为______． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，是直角三角形，，，连接，，若，过点作于点，则的长为______． 全等三角形的应用 考点03 1．（2026·山西阳泉·一模）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·一模）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·山西大同·一模）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏。如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）距地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明这时离地面的高度是______ ． 解三角形的计算 考点04 1．（2025·山西·一模）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 2．（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·山西·一模）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 三角形中的线段问题（填空压轴） 考点05 1．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 2．（2026·山西运城·一模）如图，在中，，，，平分交于点，交于点，作点关于的对称点，连接，，与交于点，则的长为___________. 3．（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，，点为的中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，，则的长为________． 3．（2026·山西·一模）如图，在中，，，，是斜边的中线，的平分线分别与，交于点，，则的长为__________． 4．（2026·山西太原·一模）在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________． 6．（2026·山西晋城·一模）如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 7．（2026·山西晋中·一模）在中，平分，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段的长为__________． 8．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一点，连接并延长，交于点．若，则的长为__________． 1．（2026·山西·一模）如图，在中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点．则的度数为（   ）三角形中的尺规作图 考点06 A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，已知． (1)尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，求的长． 4．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，． (1)作边的垂直平分线交边于点，交边于点，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 5．（2026·山西吕梁·一模）如图，已知在中，． (1)利用尺规作图，在边上确定一点，使得点到点和点的距离相等(保留作图痕迹，不写作法，标明字母)． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：是等边三角形． 1．（2026·山西大同·一模）大同华严寺宝塔是中国第二高的纯木结构塔，通身采用木榫卯结构，无钉无铆．塔下有全国唯一全铜打造的千佛地宫，地宫供奉元代高僧慧明法师舍利．宝塔坐西朝东，是体现辽金建筑技艺与契丹文化的代表性建筑．解直角三角形的应用（仰、俯角问题） 考点07 在一次“丈量家乡古建”综合实践活动中，某校数学兴趣小组来到大同华严寺，对寺内华严宝塔的高度开展实地测量．测量时，同学们在塔前水平地面的点处，测得塔顶的仰角为，随后沿水平方向后退到达点（即），在高度为的平台点处（即），再次测得塔顶的仰角为，计算华严宝塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 2．（2026·山西朔州·一模）项目式学习 位于山西省运城市万荣县的飞云楼，结构精巧，气势凌云，被誉为“中华第一木楼”．某综合与实践小组的同学以“测量飞云楼的高度”为主题展开实践活动，形成如下活动报告． 项目主题 测量飞云楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案及示意图 如图，表示飞云楼的高度，在点处用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为，面向飞云楼前进到达点处，用测角仪测得飞云楼顶部点的仰角为．已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点C，E，B在同一条水平直线上． 计算结果 …… ……． …… 请根据综合与实践小组的同学测得的数据，计算飞云楼的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 3．（2026·山西·一模）综合与实践 山西省在册的古建筑约占全国古建筑总量的十分之一，在全国各省中位居前列．省文物保护单位在勘测某壁画最高点到崖底的距离时，为了避免破坏壁画，决定借助无人机采集相关数据． 数据采集：如图是利用无人机测量某壁画最高点到崖底的距离的示意图，表示崖底水平面，点是壁画的最高点，壁画在竖直方向与崖底水平面交于点，无人机从点起飞竖直上升至点，测得点的仰角，然后无人机再竖直上升至点，测得点的仰角．点，，，，，，在同一竖直平面内． 问题解决：计算壁画最高点到崖底的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 4．（2026·山西阳泉·一模）小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测量数据 ①测得水平距离为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息和图1，解答下列问题． (1)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？ (2)如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（在同一平面内，沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到0.1米，取取1.732） 5．（2026·山西太原·一模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）    6．（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：平遥古城是中国保存最完整的古代县城之一，被誉为“中国古建筑宝库”．标志性建筑是古城南大街的市楼．某数学研学小组在平遥古城开展“数学与古建筑测量”实践活动，利用测量工具得到了相关数据． 数据采集：如图，研学小组在水平青石板路面点M处放置测角仪，测得市楼顶端A的仰角为，然后沿南大街朝市楼方向前进到达点N，测得点A的仰角为．已知测角仪的高度为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，求市楼的高度（结果精确到，参考数据：，，） 7．（2026·山西运城·一模）秦柏，位于介休市西南15公里处的西欢村柏树岭，相传为秦初种植，距今有两千多年的历史。某校“综合与实践”小组的同学想要测量该秦柏的高度，设计了如下测量方案，并利用课余时间完成了实地测量. 如图，为秦柏的树高，先在点C处测得秦柏顶部B点的仰角为，然后在点E处测得F点的俯角为，已知点E距离的高度为米，其中点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，D，F在同一条水平直线上.除此之外，还测量了如下数据： ①点D与点F的水平距离米； ②测点C与点F的水平距离米； ③测点C与点D的水平距离米； ④从点E处测得秦柏顶部B点的仰角为. (1)要计算秦柏的高度，还需要的数据有：___________（填写序号，所有已知条件必须用到）； (2)结合（1）中所选数据计算秦柏的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，） 8．（2026·山西晋城·一模）项目式学习 为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定校园内的标志性古树“国槐”，开展树高的测量与树形特征探究活动，因古树周围设置围栏无法直达根部，活动报告如下： 项目主题 校园内“国槐”古树的高度测量与树形特征探究 数学抽象 表示水平地面，线段表示“国槐”古树（为树梢，为树根中心），项目学习小组的同学采用“双仰角法”测量树高，又将树冠投影近似成椭圆，通过计算高冠比判断树形特征 测量工具 激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等 项目方案 【树高测量】 1.在地面上选取测点，测得树梢的仰角； 2.在地面上选取测点，测得树梢的仰角； 3.测得，两点间的距离．（如图1） 【树冠投影数据】 1.测量树冠投影东西向最大宽度； 2.测量树冠投影南北向最大宽度．（如图2） 参考数据 高冠比结果精确到；参考数据：，，，，，；高冠比，其中平均冠幅．当时，树形舒展、冠大荫浓 … … 试判断该校园内“国槐”古树是否树形舒展、冠大荫浓，并说明理由． 9．（2026·山西吕梁·一模）合与实践 某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案： 测量教学楼的高度 组别 甲 乙 工具 测角仪 三角板，皮尺 测量示意图 测量方案与数据 如图1，组长用测角仪在点处测得教学楼最高点的仰角，测角仪 如图2，组长站在点处，眼睛在点处用三角板观测教学楼最高点的仰角，面向教学楼前进至点处，眼睛在点处用三角板观测到教学楼最高点的仰角，组长的眼睛到水平地面的距离，用皮尺测得 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，都在上 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，，都在上 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： (1)你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议． (2)根据没有问题的测量方案，计算教学楼的高度（结果精确到）． 10．（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式．2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量潞州六府塔新塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，秒表等 测量示意图 测量过程 如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为，塔底的俯角为，然后以的速度竖直上升飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上，． 参考数据 ，，，，，． 请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔的高度．（结果精确到1米） 11．（2026·山西大同·一模）校园“科技节”来临之际，无人机表演点亮了校园科技之美．某校“综合与实践”活动小组的同学要用无人机测量大楼的高度，无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时，测得楼的楼顶处和楼的楼顶处的俯角均为，已知，，其中点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上．请根据以上数据，求大楼的高度．（，结果保留一位小数） 12．（2026·山西太原·一模）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 13．（2026·山西临汾·一模）项目学习 项目背景：太行太岳烈士陵园位于长治市西南隅，年建成竣工，是为纪念抗日战争中在太行、太岳两根据地牺牲的烈士而建的公墓，陵园的中心耸立着太行太岳烈士纪念塔，是陵园内最突出的建筑物．综合实践小组的同学围绕“太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算 测量示意图 实施过程 如图，①用无人机在点处测得纪念塔的最高点的俯角及点之间的距离；②将无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得纪念塔最低点的俯角及两点之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，垂直于地面 计算 …… 请根据上述数据，计算太行太岳烈士纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 14．（2026·山西·一模）拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容： 活动主题 测量拱极门的高度 测量工具 卷尺、测角仪 方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数； 第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长； 第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数． 说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，，． 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）． 15．（2026·山西太原·一模）实践探究：某校数学研学小组开展城市设施测高实践活动，测量太原市一座供水水塔的高度，并采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点表示水塔的顶部，点表示水塔的底部，为水塔的垂直高度．无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点处，在处测得点的仰角为．数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算水塔的高度．（结果精确到．参考数据： ） 1．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2所示是其抽象成的示意图．四边形为雕塑侧面图，四边形为石基底座，连接，已知，测得，，，的长为，的长为，石基底座的高为．（结果精确到，参考数据：，，，）解直角三角形的应用（非仰、俯角问题） 考点08 (1)求的长； (2)求点到地面的距离． 2．（2026·山西晋城·一模）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 3．（2026·山西运城·一模）项目学习 项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 智能机器人的高度测量与计算 驱动问题 如何测量智能机器人的高度 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架    数据测量 ，，，， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 4．（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 5．（2026·山西吕梁·一模）威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明： 名称 品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角： 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 根据以上信息，解决下面的问题： 小丽房间内的床长200，高50，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1．参考数据：，，，，，） 6．（2026·山西太原·一模）中国造船智能化又迈进一大步，2025年12月4日，上海船舶运输科学研究所在上海海事会展现场发布了全国首台造船迷你焊接机械臂．不到15公斤的小身体身怀绝技，智能算法加激光辨识将焊接工作精上加精，人工进不去的狭窄空间交给它也能轻松应对．下图是造船需要用到的一种钢制零件示意图，某天工程师发现点连接处断开，整个零件只有处开有一个小口，人工无法进入焊接，派出迷你焊接机械臂完成工作迷你焊接机械臂前臂完美的与零件部分贴合，机械小臂灵巧的从处进入，伸长小臂精准到达点进行焊接．已知m，m，于点，m，，请你算出断点到的距离．（结果精确到0.1m参考数据：，，，，，） 7．（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图    方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 三角形压轴综合问题 考点09 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应的任务． 三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．． 任务： (1)问题1中的的长为_________． (2)补全问题2的解答过程． (3)在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”． 2．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且 ，求的值． 解：， ． ， …… 任务： (1)问题1中这个相同的数量关系为______． (2)将问题2的解答过程补充完整． (3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 3．（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 4．（2026·山西阳泉·一模）【材料阅读】 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联点 【概念理解】 如图1，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：， ． 点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， ．（依据1） ． ． ． ，（依据2） 点是点关于的“关联点” 任务： (1)材料中的依据1是指_____，依据2是指_____ (2)如图3，在中，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． (3)已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点E（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 5．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 6．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 7．（2026·山西晋城·一模）阅读与思考 【阅读材料】 如图1，在中，点D在边上，过点D作射线与直线交于点E．若，则称射线为中关于边的等角分线，点D为等角分点．特别地，当时，则称此时的射线为平行等角分线． 【概念辨析】 (1)若是等腰三角形，且，，射线是中关于边的等角分线，则的度数为______． 【作图计算】 (2)如图2，在等腰三角形中，，． ①尺规作图：作中关于边的平行等角分线，交边于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②求的长． 8．（2026·山西晋中·一模）阅读与思考 小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记． 这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如角的三角函数值．当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的．不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了角的正切值．老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高．上课情况是这样的： 如图1，在中，． 老师的第一个问题：你能利用这个图作出角，且这个角在直角三角形中吗？ 我们的思考：如图，用尺规作出角的平分线，交于点，则，且在中． 我们的思路：只要求出的长度，则角的正切值可求． 我们又注意到垂直于，且是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出的长． 老师的第二个问题：这种方法得角容易想到，但计算量较大．认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到角，且这个角在直角三角形中？ 一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！ 我们情不自禁把掌声送给了同桌． 老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决． 请根据小铭同学的周记，回答下列问题： (1)在上述周记中提到的角平分线的性质是__________； (2)请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图中画图，并求出角的正切值； (3)请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图中的直角作出一个在直角三角形中的角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个角的正切值． 9．（2026·山西临汾·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 仅用无刻度的直尺在网格中作图 依托网格作图，是初中数学实验几何的重要途径，一个个小正方形组成的网格为我们学习和研究数学提供了便捷的载体和广阔的探索空间． 作图情境：图1是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，作图过程用虚线表示．在图2中，先作，且，再在上作点，使得． 作图过程： 如图2，取格点，连接交于点，则线段，点即所求． 作图理由： 如图2，取格点，连接． 由网格图可知， （依据）， ． 又， ， 是等腰直角三角形， ， 由网格图可知， …… 任务： (1)①材料中的依据是指_____； ②请你将上述材料中勤思小组的作图理由补充完整． (2)如图3和图4是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示．（只画出图形即可，不必说明理由） ①如图3，在射线上作点，使得； ②如图4，作的平分线． 10．（2026·山西运城·一模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联点【概念理解】如图1，是线段上的一点（不与点，重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：， ． ∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上， ，（依据1） ， ， ， ，（依据2） ， ∴点是点关于的“关联点”． 任务： (1)材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长． (3)已知点是点关于的“关联点”，请在图4中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可） 11．（2026·山西长治·一模）阅读与探究材料 欧拉线 小华在复习三角形的性质时，整理了关于三角形重心、外心、垂心的笔记，内容如下： 重心：三角形三条中线的交点．重心将每条中线分成两段，靠近顶点的线段长度是靠近对边线段长度的2倍． 外心：三角形三条边的垂直平分线的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等． 垂心：三角形三条高线所在的直线的交点．垂心与顶点的连线垂直于对边． 小华完成笔记后，进行了以下操作： 他画出了多个不同形状的三角形，分别找到它们的外心、重心和垂心后，发现这三个点似乎总在同一条直线上！带着这个疑问，他翻阅数学资料，终于找到了答案：1765年，瑞士数学家欧拉早已证明了这一结论——三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线，如图1所示，这条直线被称为“欧拉线”．（等边三角形的外心O、重心G、垂心H三点重合） 小华发现：如图2，为锐角三角形（非等边三角形），在其欧拉线上，与的比值是一定的．为了求出这个比值，他经过思考并给出了如下过程： 连接，并延长交于点N，连接，并延长交于点M． 点H是的垂心， ． 点G是的重心， 是的中线， 点M是的中点，． …… 任务： (1)补全小华的过程． (2)在中，重心为G、外心为O、垂心为H，若，则________． (3)如图3，已知，，求作的欧拉线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $