第17章 三角形（复习讲义，4知识&7题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第17章 三角形（复习讲义） 1.理解三角形的定义、分类（按角/按边）、三边关系、内角和与外角性质； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义、画法及性质（中线平分面积、高与面积相关）； 3.理解全等三角形的概念与性质（对应边、对应角相等）； 4.熟练掌握全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS； 5.能综合运用三角形性质与全等证明，解决角度计算、线段相等、平行/垂直证明、面积问题； 6.会用尺规作图：作三角形（已知三边/两边夹角/两角夹边）、作一个角等于已知角。 知识点01 三角形的有关概念 1.定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形；三要素：边、角、顶点；记作△ABC。 2.分类 按角：锐角△、直角△、钝角△（直角△两锐角互余） 按边：不等边△、等腰△（含等边△）；等边△是特殊等腰△。 3.三边关系（核心） 定理：任意两边之和＞第三边；任意两边之差＜第三边 快速判断：两短边之和＞最长边即可构成三角形 应用：求第三边范围、判断能否构成△、化简绝对值、求周长/最值 4.三条重要线段（必考作图+计算） 线段 定义 性质 易错 高 顶点向对边作垂线，垂线段 3条高，交于垂心； 钝角△两条高在外部 中线 顶点与对边中点连线 3条中线，交于重心；平分面积 重心分中线2:1（可选） 角平分线 内角平分线交对边于一点 3条角平分线，交于内心；平分内角 是线段，不是射线 知识点02三角形的内角和 1.内角和定理：△内角和=180°（证明：平行线转移角） 2.外角性质（高频） 外角=不相邻两内角和 外角＞任一不相邻内角 外角和=360° 3.直角△：两锐角互余。 知识点03全等三角形及其性质 1.全等定义：能完全重合的两个三角形；记作△ABC≌△DEF（对应顶点写对应位置） 2.全等性质（边等角等，全线等） 对应边相等，对应角相等 对应中线、高、角平分线相等 周长相等、面积相等 知识点04三角形全等的判定 1.SSS（边边边）：三边对应相等→全等 2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等→全等（必须夹角） 3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等→全等 4.AAS（角角边）：两角及其中一角对边对应相等→全等 题型一 三角形三边关系 【例1-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 【例1-2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 题型二 三角形的高、中线、角平分线 【例2-1】（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例2-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 【例2-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【例2-4】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 【例2-5】（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 【变式2-2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 【变式2-3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 题型三 三角形内角和与外角 【例3-1】（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 【例3-2】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【例3-3】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴． （2）解：； 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【详解】（1）解：∵的内角和为，， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： ∵的内角和为， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)当，，保持不变，理由见解析 【详解】（1）解：如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图2所示， 记与的交点为点F， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 【变式3-3】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 题型四 全等三角形的性质 【例4】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【答案】20 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 【变式4-2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 【变式4-3】（22-23七年级下·上海·单元测试）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 全等三角形的判定 【例5-1】（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【例5-2】（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【例5-3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例5-4】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 【详解】解： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即． 在与中， 所以． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； （2）证明：由（1）得：，平分， ∴． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 题型六 全等三角形综合题 【例6】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【变式6-2】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【变式6-3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 尺规作图（新教材重点，作图+保留痕迹） 【例7-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 【例7-2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 【详解】解：如图，或即为所作， 【例7-3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（22-23七年级下·上海浦东新·月考）画图（不要求写画法）： (1)画，使； (2)画出边上的高． 【详解】（1）解：画线段，分别以为圆心，长为半径在的同侧画弧，两弧相交于点A，则是所画的三角形； （2）解：如图，过点A作于H，则就是所画的边上的高． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】锐角 【详解】解：∵的三个内角的比为，且三角形内角和为， ∴中最大角的度数为： ， ∵中最大角为锐角， ∴为锐角三角形． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于___________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么________． 【答案】75 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 【详解】∵ ∴，． ∵（对顶角相等）， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ． ∵且 ∴． 9．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 【详解】解：（已知）， （①两直线平行，内错角相等）． ，（②平角定义）， （③等角的补角相等）， （已知）， ④（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤全等三角形对应角相等）， （⑥内错角相等，两直线平行）． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（   ） 又 又 =（   ） （   ） 【答案】（1）；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）；；全等三角形对应角相等；；；；；；三角形外角的性质；；；全等三角形对应角相等 【详解】（1）证明：假设，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得，又因为，这样直线都过点N，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）解： （全等三角形对应角相等） 又 ， 又（三角形外角的性质） （全等三角形对应角相等） 12．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②时，，， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 【答案】或 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小． 求证：． 【详解】证明：如图所示，在右侧作等边，在右侧作等边，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点B，P，G，D四点共线时，最小，即的长度， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，如图1所示： 是中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ； （3）解：， ， 又， ， ； （4）证明：如图2所示： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 三角形（复习讲义） 1.理解三角形的定义、分类（按角/按边）、三边关系、内角和与外角性质； 2.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义、画法及性质（中线平分面积、高与面积相关）； 3.理解全等三角形的概念与性质（对应边、对应角相等）； 4.熟练掌握全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS； 5.能综合运用三角形性质与全等证明，解决角度计算、线段相等、平行/垂直证明、面积问题； 6.会用尺规作图：作三角形（已知三边/两边夹角/两角夹边）、作一个角等于已知角。 知识点01 三角形的有关概念 1.定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形；三要素：边、角、顶点；记作△ABC。 2.分类 按角：锐角△、直角△、钝角△（直角△两锐角互余） 按边：不等边△、等腰△（含等边△）；等边△是特殊等腰△。 3.三边关系（核心） 定理：任意两边之和＞第三边；任意两边之差＜第三边 快速判断：两短边之和＞最长边即可构成三角形 应用：求第三边范围、判断能否构成△、化简绝对值、求周长/最值 4.三条重要线段（必考作图+计算） 线段 定义 性质 易错 高 顶点向对边作垂线，垂线段 3条高，交于垂心； 钝角△两条高在外部 中线 顶点与对边中点连线 3条中线，交于重心；平分面积 重心分中线2:1（可选） 角平分线 内角平分线交对边于一点 3条角平分线，交于内心；平分内角 是线段，不是射线 知识点02三角形的内角和 1.内角和定理：△内角和=180°（证明：平行线转移角） 2.外角性质（高频） 外角=不相邻两内角和 外角＞任一不相邻内角 外角和=360° 3.直角△：两锐角互余。 知识点03全等三角形及其性质 1.全等定义：能完全重合的两个三角形；记作△ABC≌△DEF（对应顶点写对应位置） 2.全等性质（边等角等，全线等） 对应边相等，对应角相等 对应中线、高、角平分线相等 周长相等、面积相等 知识点04三角形全等的判定 1.SSS（边边边）：三边对应相等→全等 2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等→全等（必须夹角） 3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等→全等 4.AAS（角角边）：两角及其中一角对边对应相等→全等 题型一 三角形三边关系 【例1-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【例1-2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 题型二 三角形的高、中线、角平分线 【例2-1】（24-25七年级下·上海青浦·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【例2-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【例2-3】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【例2-4】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【例2-5】（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【变式2-1】（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【变式2-2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【变式2-4】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 题型三 三角形内角和与外角 【例3-1】（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【例3-2】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【例3-3】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【变式3-1】（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【变式3-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【变式3-3】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 题型四 全等三角形的性质 【例4】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 __ ． 【变式4-2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【变式4-3】（22-23七年级下·上海·单元测试）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型五 全等三角形的判定 【例5-1】（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，已知，，，证明．    【例5-2】（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【例5-3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【例5-4】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【变式5-1】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，， 说明． 请填写说理过程或理由． 解： 因为（已知）， 所以（ ） 因为（已知）， 所以 （ ）， 即． 在与中， 所以（ ）． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 题型六 全等三角形综合题 【例6】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【变式6-2】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【变式6-3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 题型七 尺规作图（新教材重点，作图+保留痕迹） 【例7-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【例7-2】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 【例7-3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【变式7-1】（22-23七年级下·上海浦东新·月考）画图（不要求写画法）： (1)画，使； (2)画出边上的高． 【变式7-2】（24-25七年级下·上海·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于___________． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么________． 7．（23-24七年级下·上海·月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 9．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（   ） 又 又 =（   ） （   ） 12．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 3．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 6．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 7．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小． 求证：． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 9．（24-25七年级下·上海·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $