8.1.1 向量的数量积概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1向量的数量积（第一课时） 1 1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量， 向量的大小叫做向量的 . (2)零向量： 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 的向量． (4)平行向量：方向 的非零向量．平行向量又叫 .规定：0与任一向量 . (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：长度 且方向 的向量． 大小 方向 长度(或模) 长度为0 1个单位 相同或相反 共线向量 平行 相等 相同 相等 相同 2 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) a－b＝a＋(－b) λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积 运算结果 向量 向量 向量 4 两个向量的夹角 已知两个非零向量 、 ，在平面内任取一点O，作 ， 则 称 内的 为向量 和向量 的夹角,记作 O B A ∠AOB 5 两个向量的夹角 几点说明 （1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点； （2）〈a ，b〉=〈b ，a〉； （3）范围0≤〈a ，b〉≤π； （4）〈a ，b〉=0时, a、b同向； 〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b. O A a B b B b a O A A a O B b （5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直. 规定：在讨论平行问题时，零向量与任意向量平行 6 ( 1 ) b a 40O ╮ ( 2) a b 60O (4) a b ( 3) ┐ a b 60O (6) b a ( 5 ) b a 练习：说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？ b a 两个向量的夹角 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 给定任意两个向量 和 ，能确定出一个类似的标量吗？如果能，指出确定的方法；如果不能，说明理由 位移S O A θ F F θ S 想一想？ 探究1 9 θ 向量数量积的定义 当 与 都为非零向量时，称 为向量 与 的数量积（也称为内积）记作 ，即 注：1.两个向量的数量积是一个实数；而数乘向量是一个向量。 探究2 10 向量数量积的定义 注：1.两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定； 而数乘向量是一个向量。 O A B a b O A B a b B O A a b 2. a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． 这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写 θ为锐角时， >0 θ为钝角时， ＜0 θ为直角时， =0 3.零向量与任意向量的数量积是零。 11 向量数量积的--性质 设 为两个非零向量， 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状 内积为零是判定两向量垂直的条件 12 判断下列命题是否正确 1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0. 2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0. 3.若a≠0,且a · b=0,则b=0. 4.若a·b=0，则a=0或b=0. 5.对任意的向量a，有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c. ( ) (×) ( ) (×) (×) (×) 例1.（1）已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b. 解： ab =|a|·|b|cos<a,b>=5×4×cos120° = －10. （2）已知|a|＝３，|b|＝2，a·b=3 ，求<a,b>. 解： ab =|a|·|b|cos<a,b>=3×2×cos <a,b>= 3. cos<a,b>= <a,b>= 例题分析 14 随堂练习 2. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，求 课堂小结 1.向量的夹角： 已知两个非零向量 、 ，在平面内任取一点O，作 ， 则 称 内的 为向量 和向量 的夹角,记作 ∠AOB 2.向量数量积的定义 3.向量数量积的性质 回顾： 1.两个向量的夹角 2.向量的数量积（内积） a·b= 3.两个向量的数量积的性质： (2). ab  ab = 0 (3). aa = |a|2或 (4). cos = 范围0≤〈a ，b〉≤π； 18 8.1向量的数量积（第二课时） 19 向量的投影 1.设非零向量 ，过A,B分别做直线l 的垂线，垂足分别为A` ,B`,则称向量 为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影。 a A B A' B' l B a A A' B' l b 给定平面上的一个非零向量 b,设 b 所在直线为 l ，则 a 在直线 l 上的投影称为 a 在向量 b 上的投影。 20 思考： 21 向量投影的数量 如果 为两个非零向量，则称 为向量 在向量 上的投影的数量 投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。向量投影的数量的符号取决于两向量的夹角。 O B A A O B O B A 向量数量积的几何意义 数量积ab 等于a 的长度与 a 在b 方向上射影的数量与b 的模的乘积。. 特别：e 为的单位向量时，|e|=1, 即任意向量与单位向量的数量积， 等于这个向量在单位向量 e 上的投影 23 练习 已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的投影及b在a方向上的投影的数量。 解：因为 所以a在b方向上的投影的数量是 b在a方向上的投影的数量是 例1.如图所示，求出以下向量的数量积 【变式练习】已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为 ，则向量a在向量e上的投影向量是________________；向量e在向量a上的投影向量是________________． 随堂练习 1．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为2b，则a·b＝____________.2．已知|b|＝3，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量的数量为_______． 课堂小结 向量的投影 a A B A' B' l B a A A' B' l b 向量投影的数量 如果 为两个非零向量，则称 为向量 在向量 上的投影的数量 向量数量积的几何意义 数量积ab 等于a 的长度与 a 在b 方向上射影的数量与b 的模的乘积。. 任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量 e 上的投影 课后作业 1. 教材A1、2、32. 教材B1、5 3.学案 谢谢大家 29 向量 与 的夹角为 ，即 ； 向量 与 的夹角为 ，即 ； 向量 与 的夹角为 ，即 ； 向量 与 的夹角为 ，即 。 【对点快练】 1．在等边三角形ABC中，向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角为(　　) A．60°　　　 B．120°　　 C．90°　　　 D．30° 答案：A因为三角形ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，即向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°. 2．若向量a与b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角是(　　) A．60°　　 B．120°　　 C．30°　　 D．150° 答案B平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，向量a与－b的夹角是180°－60°＝120°. $