8.1.1 向量数量积的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的概念，通过物理“功”的实例导入，从力与位移的乘积抽象出数量积定义，衔接向量线性运算，借助情境问题、定义辨析及自我诊断搭建学习支架。 其亮点在于以物理情境发展数学抽象，通过数量积计算、投影向量、综合应用等题型强化数学运算与逻辑推理，采用“定义-辨析-典例-跟踪”闭环设计，助力学生深化理解，教师可通过分层作业落实差异化教学需求。

8.1.1　向量数量积的概念 1 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 （数学抽象）. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系（数学运算）. 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量 的垂直关系（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对 物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小 车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹 角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜ cos θ. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请 指出确定的方法；如果不能，说明理由. 【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有 什么关系？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作 ＝ a， ＝b，则称[0，π]内的 为向量a与向量b 的夹角，记作 ⁠ 范围 ⁠ 特例 ＜a，b＞＝0 a与b ⁠ ＜a，b＞＝π a与b ⁠ ＜a，b＞＝ ⁠ a与b垂直，记作 ，规定 ⁠ ⁠与任意向量垂直 ∠AOB　 ＜a，b＞　 0≤＜a，b＞≤π 同向　 反向　 　 a⊥b　 零 向量　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？ 提示：成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 如图，在△ABC中， ， 的夹角与 ， 的夹角的关系为 ⁠ ⁠. 解析：根据向量夹角定义可知向量 ， 夹角为A，而向量 ， 夹 角为π－A，故二者互补. 互 补 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　向量的数量积 1. 定义：当a与b都是非零向量时，称 ⁠为 向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝ ⁠ ⁠. 2. 两个非零向量a，b的数量积的性质 不等式 ｜a·b｜ ｜a｜｜b｜ 恒等式 a·a＝ ＝ ，即｜a｜ ＝ ⁠ 向量垂直的充要条件 a⊥b⇔ ⁠ ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 ≤　 a2　 ｜a｜2　 　 a·b＝0　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 投影向量及向量数量积的几何意义 （1）设非零向量 ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'， B'，则称向量 为向量a在直线l上的 或 ⁠； （2）如果a，b都是非零向量，则称 为向量a在 向量b上的投影的数量； （3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的 ⁠ 与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 投影向量　 投影　 ｜a｜ cos ＜a，b＞　 投影的数 量　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？ 提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数 乘仍是向量，既有大小又有方向. 2. 根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？ 提示：先求 cos ＜a，b＞＝ ，再根据余弦值求＜a，b＞. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线， 它们的方向相同还是相反？ 提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但 它们既有可能方向相同，也有可能方向相反. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的数量积是一个实数. （　√　） （2）向量a在b上的投影仍为向量. （　√　） （3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量相 等. （　×　） √ √ × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b＝（　　） A. 2 B. 3 解析： 　因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b＝｜a｜｜ b｜ cos ＝2×3× ＝3. √ C. 6 D. 0 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为 ，则a在b上的投影的数量为 （　　） A. B. C. D. 解析： 　向量a在b上的投影的数量为｜a｜ cos θ＝3× cos ＝ .故 选D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜＝ ⁠. 解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞，∴｜n｜＝ ＝8. 8 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量的数量积 【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹 角是60°时，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0°＝3×6×1＝18. 若a与b反向，则它们的夹角为180°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 180°＝3×6×（－1）＝－18. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0. ③当a与b的夹角是60°时， a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝3×6× ＝9. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 　　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式 a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则， 要通过平移使两向量符合以上条件. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是（　　） A. a·b＝±｜a｜·｜b｜⇔a∥b B. a，b反向⇔a·b＝－｜a｜｜b｜ C. a⊥b⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜ D. ｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜a｜·｜ b｜·｜ cos θ｜＝｜a｜·｜b｜⇔｜ cos θ｜＝1⇔ cos θ＝±1⇔θ＝0或 π⇔a∥b，故A正确.a，b反向⇔θ＝π⇔ cos θ＝－1⇔a·b＝－｜a｜｜ b｜，故B正确.a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a＋b｜2＝｜a－b｜2⇔｜a＋b｜ ＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定 相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明 a，b在c上的投影相等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜投影向量与投影的数量 【例2】　（1）已知向量a在向量b上的投影向量为 b，｜b｜＝4，则 a·b＝（　C　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 9 解析： 设 a，b的夹角为 θ，因为向量a在向量 b上的投影向量为｜ a｜ cos θ· ＝ b，所以｜a｜ cos θ＝ ｜b｜.又因为｜b｜＝4，则 a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝ ｜b｜2＝ ×42＝24. C 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，a·b＝－12，则向量b在向量a上的投影 向量为（　A　） A. － a B. － b C. － b D. － a 解析： 设a与b的夹角为θ，则向量b在向量a上的投影向量为｜ b｜· cos θ· ＝｜b｜· · ＝ ·a＝ ×a＝－ a. A 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 投影向量及其求法 （1）向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的 投影的数量是一个实数； （2）向量a在向量b上的投影向量为｜a｜ cos θ .向量b在向量a上 的投影向量为｜b｜ cos θ· ； （3）向量a在向量b上的投影的数量是｜a｜ cos ＜a，b＞，向量b在向 量a上的投影的数量是｜b｜ cos ＜a，b＞，二者不能混为一谈. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； 解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－ b. （2）b在a上的投影向量. 解： ∵｜a｜＝3，∴ ＝ a， ∴b在a上的投影向量为｜b｜ cos 120° ＝1· · a＝－ a. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜向量数量积的综合应用 【例3】　已知a，b是两个非零向量： （1）若｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b｜＝6，求a与b的夹角； 解： 因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞， 所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞｜＝｜a｜｜b｜｜ cos ＜ a，b＞｜＝6. 又｜a｜＝3，｜b｜＝4， 所以｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以 cos ＜a，b＞＝± . 因为＜a，b＞∈[0，π]，所以a与b的夹角为 或 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角. 解： 如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝ b，以 ， 为邻边作▱OACB， 因为｜a｜＝｜b｜，即｜ ｜＝｜ ｜， 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时 ＝a＋b， ＝a－b， 因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜， 所以∠AOB＝ ，所以∠AOC＝ ，即a与a＋b的夹角为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件、变设问）若将本例（2）条件“｜a｜＝｜b｜＝｜a－ b｜”改为“｜a＋b｜＝｜a－b｜＝2｜a｜”，求向量a＋b与a－b的 夹角. 解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中， 因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为矩形. 在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜， 所以∠ABD＝ . 所以a＋b和a－b的夹角为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 （1）基本步骤： （2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中常利用 消元思想计算 cos ＜a，b＞的值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量｜a｜＝10，｜b｜＝12且a·b＝－60 ，则向量a与b的夹角为 （　　） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 解析： 　因为｜a｜＝10，｜b｜＝12且a·b＝－60，所以 cos ＜a，b＞ ＝ ＝ ＝－ ，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以＜a，b＞＝ 120°，即向量a与b的夹角为120°. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知a·b＝－12 ，｜a｜＝4，a，b的夹角为135°，则｜b｜＝ （　　） A. 12 B. 3 C. 6 D. 3 解析： 　a·b＝｜a｜｜b｜ cos 135°＝－12 ，又｜a｜＝4，所以｜ b｜＝6. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝ ，则 a·b的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. －1 解析： 　因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan θ＝ ， θ∈[0，π]，则θ＝ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知平面向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a2＋b2＝（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. －5 解析： 　因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2＝5. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知｜a｜＝2 ｜b｜，且＜a，b＞＝ ，则b在a上的投影向量为 （　　） A. － a B. －3a C. a D. 3a 解析： 　因为｜a｜＝2 ｜b｜，＜a，b＞＝ ，所以b在a上的投 影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞ ＝ cos ＜a，b＞a＝ cos ·a ＝－ a. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若四边形ABCD满足 ＋ ＝0，且 · ＝0，试判断四边形 ABCD的形状. 解：因为 ＋ ＝0， 所以 ＝ ，即AB∥DC，且AB＝DC， 所以四边形ABCD为平行四边形. 又因为 · ＝0，所以 ⊥ ，即AB⊥BC. 所以四边形ABCD为矩形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（　　） A. e1·e2＝1 B. e1·e2＝－1 C. e1·e2＝±1 D. ｜e1·e2｜＜1 解析： 　因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同 时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝｜ e1｜｜e2｜ cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 在△ABC中， · ＜0，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析： 　因为 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＜0，所以 cos A＜0.所以 角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为 ，则a与b的夹 角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　由题意知｜b｜ cos θ＝ cos θ＝ ，∵θ∈[0，π]，∴θ＝30°. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非 物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知 “兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ＋ ）·（ － ）＝（　　） A. －2 B. － C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　如图： 可知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2，＜ ， ＞＝ 135°，故（ ＋ ）·（ － ）＝ · ＝ 2× × cos 135°＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕给出下列判断，其中正确的是（　　） A. 若a2＋b2＝0，则a＝b＝0 B. 已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜ C. a，b共线⇔a·b＝｜a｜｜b｜ D. ｜a｜｜b｜＜a·b 解析： 　由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正 确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝ －b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正确；a，b共线⇔a·b＝±｜ a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确. 故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 在边长为4的菱形ABCD中∠BAD＝120°，则 在 方向上的投影 的数量为（　　） A. 2 B. －2 C. －2 D. 2 解析： 　由题意知向量 和 的夹角为120°，所以 在 方向上 的投影的数量为｜ ｜ cos 120°＝4× ＝－2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 设向量a，b满足＜a，b＞＝ ，且｜a｜＝2｜b｜，若c为b在向量a 上的投影向量，并满足c＝λa，则λ＝ ⁠. 解析：因为c为b在向量a上的投影向量，c＝λa，所以c＝ · ＝λa，又＜a，b＞＝ ，且｜a｜＝2｜b｜，所以λ＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 定义两个向量a，b的运算“ ”：a b＝｜a｜｜b｜ sin θ；运算 “·”：a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，其中θ是a，b的夹角.若｜x｜＝2，｜ y｜＝5，x·y＝6，则x y＝ ⁠. 解析：设θ为x，y的夹角，由x·y＝｜x｜｜y｜ cos θ＝6得 cos θ＝ ＝ ，所以 sin θ＝ ＝ ，所以x y＝｜x｜｜y｜ sin θ＝2×5× ＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则 · 的值 为 ， · 的最大值为 ⁠. 解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得 · ＝ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos θ. 由图可知，｜ ｜ cos θ＝｜ ｜，因此 · ＝ ｜ ｜2＝1. · ＝｜ ｜｜ ｜ cos α＝｜ ｜ cos α，而｜ ｜ cos α就是向量 在 上的投影的数量，当 在 上的投影的数量最大，即投影的数量为｜ ｜时， · 取得最大值，所以 · 的最大值为1. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知a·b＝－9，a在b方向上投影的数量为－3，b在a方向上投影的 数量为－ ，求a与b的夹角θ. 解：∵ ∴ 即 ∴ ∴ cos θ＝ ＝ ＝－ . 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整 体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值 约为1∶0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为 ≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛地出现在艺术、建筑、人体和 自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝ －1，AB＞BC，那么 · 的值为（　　） A. －1 B. ＋1 C. 4 D. 2 ＋2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中， cos ∠CAB ＝ ，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠CAB＝｜ ｜2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a·b＝4 ，则a与b的 夹角为 .若向量c，d满足c为单位向量，c·d＝4，＜c，d＞＝ ，则｜d｜＝ ⁠. 解析：设向量a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝ .因为c为单位向量，所以｜c｜＝1，由向量数量积 公式得c·d＝｜c｜·｜d｜· cos ＜c，d＞，得4＝1×｜d｜× cos ，所 以｜d｜＝8. ​ 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61. （1）求a·b的值； 解： ∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61， ∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜＝3， ∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6. （2）若a在b方向上的投影向量为c，求c·（a＋b）的值. 解： ∵c＝ × ＝－ . ∴c·（a＋b）＝－ b·（a＋b）＝－ （a·b＋b2）＝－ ×（－6＋9） ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 〔多选〕对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是（　　） A. 若a·b＝b·c，则a＝b B. 若a⊥b，则a·b＝（a·b）2 C. 若a∥b，则a在b上的投影的数量为｜a｜ D. 若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），则a∥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝0，故A错误；对 于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝（a·b）2，故B正确；对于选 项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项 D，若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－ b，由平行向 量基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC ＝4，E为腰BC上的动点.求 · 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作 CC'⊥AB，垂足为C'. 则 在 上的投影为 ， ∴ 在 上的投影的数量为｜ ｜， 由向量数量积的几何意义知 · ＝｜ ｜·｜ ｜＝4｜ ｜. ∵点E在腰BC上运动，∴点E'在线段C'B上运动， ∴｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜， ∴2≤｜ ｜≤4，∴8≤4｜ ｜≤16， ∴ · 的取值范围是[8，16]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $