专题20 尺规作图（3大考点，30题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题20 尺规作图（3大考点，30题） 3大考点概览 考点01与三角形有关的作图 考点02与四边形有关的作图 考点03与圆有关的作图 与三角形有关的作图 考点1 一、解答题 1．（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 2．(2026·江苏苏州·一模)如图，在中． (1)用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 3．（2026·江苏南京·一模）如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 4．(2026·江苏盐城·一模)如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（2026·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 6．(2026·江苏南京·一模)如图，已知三角形，在边上求作一点，在边上求作一点，使． 7．（2026·江苏苏州·一模）【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 8．（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 9．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 10．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 11．（2026·江苏扬州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：与相切； 12．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，． (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） (2)是边上一点（点不与点重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________． 13．(2026·江苏无锡·一模)如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 14．(2026·江苏徐州·一模)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 15．（2026·江苏无锡·一模）小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 16．（2026·江苏连云港·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 17．（2026·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 与四边形有关的作图 考点2 一、填空题 18．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 二、解答题 19．（2026·江苏徐州·一模）根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 20．(2026·江苏江阴·一模)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： ①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F; ②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH        21．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 22．（2026·江苏镇江一模）如图，AB是⊙O的直径，AB=2. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF． （2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积． 23．（2026·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 24．（2026·江苏泰州·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 与圆有关的作图 考点3 一、解答题 25．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，． (1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，切于点，求劣弧的长． 26．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 27．(2026·江苏徐州·一模)有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 28．(2026·江苏泰州·一模)如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 29．（2026·江苏连云港·一模）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 30．（2026·江苏无锡·一模）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 尺规作图（3大考点，30题） 3大考点概览 考点01与三角形有关的作图 考点02与四边形有关的作图 考点03与圆有关的作图 与三角形有关的作图 考点1 一、解答题 1．（2026·江苏扬州·一模）用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用轴对称将角的等量关系转化为直线交点问题，再利用相似三角形求解线段长度： (1)作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求；由对称性得，由矩形中得，从而； (2)作法与（1)相同，作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求；由，证，得，设，解得． 【详解】（1）解：作点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求． 理由：由对称性， ∵， ； （2）解：作点关于直线的对称点,连接交于点，则点即为所求． 是关于的对称点，， ， 在矩形中， 共线，在的延长线上，即共线， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ． 2．(2026·江苏苏州·一模)如图，在中． (1)用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）利用尺规作图，作出，推导出，得到，则，即可解答； （2）先求出，得到，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 即， 解得． 3．（2026·江苏南京·一模）如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 根据同位角相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧交于点D，交于点F，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即． 【详解】解：如图，直线即为所求． 4．(2026·江苏盐城·一模)如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 5．（2026·江苏镇江·一模）在尺规作图中，通过引入平行线，求作符合某个条件的线段或点，这样的方法我们称之为“平行线定位法”．（说明：以下作图均为尺规作图，请保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，必要时可以写出文字说明） 【初步尝试】 （1）如图1，在中，点在边上，，在边上求作点，使． 【自主研究】 （2）点在内，在图2和图3中分别求作过点截成等腰三角形的一条直线； （3）点在内，若过点截成等腰三角形的直线只有一条，则满足的条件是______． 【深度拓展】 （4）如图4，已知以及长为的线段，点在上，点到的垂线段分别为、，若，请在上作出满足条件的一个点． 【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）钝角或直角或．（4）见解析 【分析】（1）作，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧交于点，连接，根据，得到，得到，结合，得，故点E和点即为所求． （2）作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； （3）根据三角形内角和定理，一个三角形中，最多有一个直角或钝角和等边三角形的性质解答即可． （4）过点C作于点C，且满足；过点M作于点M，交所在直线与点N；作的平分线，交于点P；过点P作于点E，作于点G，则点P即为所求． 【详解】解：（1）作，交于点E，以点D为圆心，为半径画弧交于点，连接，故点E和点即为所求． 由作图可知， ， ， ， ， 又， 则， ． （2）当为钝角时，如图，作得平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求； 当为锐角时，如图，作的平分线，再过点P作平分线的垂线，根据三角形全等的判定和性质，可知直线即为所求． （3）当为钝角或直角或时，符合题意； 过点截成等腰三角形， 当为钝角或直角时， 根据等腰三角形的两个底角相等，若三角形中有两个钝角或两个直角，三角形是不存在的，则只能是等腰三角形的顶角，故点截成等腰三角形的直线只有一条； 当时，此时的等腰三角形是等边三角形，故也只有一条； 故答案为：钝角或直角或． （4）过点C作于点C，且截取； 过点M作于点M，交所在直线与点N； 作的平分线，交于点P； 过点P作于点E，作于点G， 根据角的平分线性质，得， 延长交于点F， 根据作图，得 四边形是矩形； 则， 则点P即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角的平分线的基本作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线的基本作图，角的平分线的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和判定，基本作图是解题的关键． 6．(2026·江苏南京·一模)如图，已知三角形，在边上求作一点，在边上求作一点，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，同位角相相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即． 【详解】解：如图，直线即为所求． 7．（2026·江苏苏州·一模）【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 【答案】【操作发现】（1）见解析；（2）；【类比探究】见解析． 【分析】根据平行线的作图方法，三角形相似即可得到答案． 【详解】解：（1）过点M作，交于点N，则，如图所示： 解：（2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵点M是中边的中点， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【类比探究】圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得． 【点睛】本题考查了作图方法、三角形相似，灵活运用所学知识点是解题关键． 8．（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）先在直线上任取一点并作的垂线，在垂线上取异于的点，以为圆心、为半径作圆；依据切线的判定定理(且是半径)，该圆与直线相切； （）先延长，再作和的外角平分线，两线交于点，过作的垂线，垂足为，以为圆心、为半径作圆；依据角平分线的性质(角平分线上的点到角两边距离相等)，该圆与的三边(含延长线)都相切，即为的旁切圆． 【详解】（1）解：①选点：在直线上任取两点，作线段的垂线平分线，交直线于点， ②定半径：在这条垂线上任取异于的点， ③画圆：以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求（作法不唯一，只要满足圆心到直线的距离等于半径即可）； 原理：且是圆的半径，满足切线的判定条件，因此圆与相切； （2）解：①延长边：延长（过端向外延伸）、延长（过端向外延伸）； ②作角平分线：分别作的外角平分线、的外角平分线，两条平分线交于点； ③以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求； 原理：角平分线上的点到角两边距离相等， 因此点到延长线、延长线、的距离都等于， 因此该圆与三条线都相切；（作图时保留角平分线、垂线、圆弧的作图痕迹即可）； 9．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 10．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点； （2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作；    （2）解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为，   ， ， 平分， ， ，，， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 点与点之间的距离为． 11．（2026·江苏扬州·一模）如图，在直角三角形中，． (1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：与相切； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）过作垂直于，根据角平分线的性质定理得到，即可证明． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：过作垂直于， 平分，，， ， 是的半径， 是的切线． 12．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，． (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） (2)是边上一点（点不与点重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线、作垂直平分线、切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）当与相切时，利用勾股定理求出，设，根据得出，根据相似三角形的性质可求出的值，当点与点重合时，根据圆周角定理可得点在，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画圆，则即为所求． ∵点是垂直平分线与的交点， ∴，点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图所示： 当与相切时，与有一个交点， ∵，，， ∴， 设，则， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 当点与点重合时， ∵，为直径， ∴点在上，与有两个交点，符合题意， ∴长的取值范围是． 13．(2026·江苏无锡·一模)如图，四边形中，，，于点． (1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． (1)利用基本作图作角平分线即可； (2)由平分，则，再根据平行线的性质得，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，的角平分线即为； 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别与，相交，再以两交点分别为圆心，大于这两个交点的距离的一半作弧线，相交于一点，连接点与此交点并延长，分别交于点，交于点即可； （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 14．(2026·江苏徐州·一模)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 15．（2026·江苏无锡·一模）小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 【答案】一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，见解析；一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形，见解析 【分析】结合全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，． 求证：四边形为平行四边形． 证明：连接， ， ． 又，， ． ， 四边形为平行四边形． ②一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形． 反例：尺规作等腰，，在上取点（），连接． 以为圆心，长为半径作弧；以为圆心，长为半径作弧，两弧交于．连接、． 由作图可知，，， 又， ， ． 在四边形中，，，且， 四边形符合题意，但不是平行四边形． 16．（2026·江苏连云港·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分析出在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形，延长，以点为圆心、为半径画弧，交射线于点，使，再以点为圆心、为半径画弧，交边于点，在中，，，即可得到； （2）过点作，如图所示，在和，结合直角三角形性质及勾股定理求出相关角度及边长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，若，如图所示： ，且， 即在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形， 点即为所求； （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 设， 在中，，则， 由勾股定理可得， ，， ，解得， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-作等边三角形、含的直角三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握尺规作图-作等边三角形、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 17．（2026·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图——结合平行线的性质作一个角等于已知角，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 与四边形有关的作图 考点2 一、填空题 18．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为． 二、解答题 19．（2026·江苏徐州·一模）根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 作图理由：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：如图，即为所求： 作图理由： 由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 20．(2026·江苏江阴·一模)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： ①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F; ②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH        【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析. 【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求； (2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求； ②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求. 【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；    (2)①如图所示，点F即为所求；      ②如图所示，AH即为所求.    【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键. 21．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）解：如图所示： 22．（2026·江苏镇江一模）如图，AB是⊙O的直径，AB=2. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF． （2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积． 【答案】（1）作图见解析； （2）PB、PE和所围成的图形面积为 【详解】分析;(1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧,然后再连接即可.(2)由正六边形边长BE所对的圆心角为60°，可求出扇形BOE的面积， 解：（1）作图略        （2）连结OE       ∵PE切⊙O于E       ∴∠OEP=90°       ∵正六边形ACDBEF内接于⊙O       ∴∠EOB=60°       ∴       ∵∠EOB=60°，∠OEP=90°       ∴tan60°=       ∵ EO=1       ∴EP=       ∴       ∴ 23．（2026·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 24．（2026·江苏泰州·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 与圆有关的作图 考点3 一、解答题 25．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，． (1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，切于点，求劣弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）作的平分线，与的交点就是圆心，此时以为半径的与两边都相切；如图，作的垂线，证明和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：即可； （）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角的半径的长，利用四边形的内角和求，再进一步求解，代入公式可求弧长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，与两边都相切，， ， ， ， ， 劣弧的长． 26．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，，D是的中点． (1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 27．(2026·江苏徐州·一模)有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，，， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心； 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外接圆，点和圆的位置关系，基本作图，正确掌握基本作图的方法是解题的关键． 28．(2026·江苏泰州·一模)如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 29．（2026·江苏连云港·一模）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，然后作图即可； （2）①根据等腰三角形的性质得出，确定，再由垂直得出，利用三角形内角和得出，即可证明；②过点A作，得出，设，则，，确定，由（1）得，利用正切函数及勾股定理确定，再由圆内接四边形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点D，即为所求； ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，如图所示， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（2026·江苏无锡·一模）已知及外一点． (1)用直尺和圆规过点作的切线，切点为．（只需作一条切线）； (2)在（1）中，线段交于点，延长交于点，若，，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为直径作圆，根据直径所对的圆周角等于90度，即可得到（或）为的切线； （2）根据题意作出图形，利用勾股定理得到，进而得到，作于点，结合解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作的切线（或）如下图所示： （2）解：为的直径， ⸫， ，， ， ， ， 同理可得， ⸫， ， 作于点， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了复杂作图，作垂直平分线，直径所对的圆周角等于90度，切线判定定理，勾股定理，等腰三角形性质，解直角三角形，相似三角形性质和判定，解题的关键在于正确作出图形． / 学科网（北京）股份有限公司 $