专题19 锐角三角函数及其应用（3大考点，55题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题19 锐角三角函数及其应用（3大考点，55题） 3大考点概览 考点01正弦、余弦、正切的求值 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形及其应用 正弦、余弦、正切的求值 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏盐城·一模)在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 3．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 4．(2026·江苏连云港·一模)如图，在菱形中，对角线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键． 由菱形得到，，，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．(2026·江苏南京·一模)如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 【答案】 【分析】连接，，证明，，利用正弦函数解答即可． 【详解】解：连接， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故的半径为． 6．(2026·江苏扬州·一模)如图，在四边形中 ，，，以为圆心、为半径的弧恰好与相切，切点为，，则的值是______． 【答案】 【分析】连接，设，由是的半径，，证明是的切线，而与相切于点， 由切线长定理得，，由 ，得，所以，则，求得，所以，再由即可求解． 【详解】解：连接， 设， ∵是的半径，， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 7．(2026·江苏连云港·一模)如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上． (1)求改善后滑板的长为多少米？ (2)若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：， ，，以上结果均保留到小数点后两位）． 【答案】(1)改善后滑板的长为米 (2)这样改造能行，理由见解析 【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力． （1）在中，通过解直角三角形求出的长，进而在中求出的长得解； （2）分别在、中求出、的长，即可求出的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长，若此距离大于等于米则这样改造安全，反之则不安全； 解题的关键是掌握并灵活运用锐角三角函数，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ， 在中，， ∴（米）， ∴改善后滑板的长为米； （2）这样改造能行， 理由： 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴这样改造是可行的． 8．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)当是直角三角形时，的值或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点Q和点D的坐标，再表示出即可得到答案； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 该二次函数的函数表达式为； （2）解：∵， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ， 当，则，即， 解得，不符合题意，舍去； 当，则，即， 解得（不符合题意，舍去）或； 此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 当，则，即， 解得；此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值或． 9．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 10．（2026·江苏连云港·一模）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； （2）根据证明，结合，推出，求出，，即可得到，半径为，由是的垂线，证明，求出，连接，根据圆周角定理得，证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．(2026·江苏扬州·一模)如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 12．(2026·江苏盐城·一模)如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 13．(2026·江苏南京·一模)如图1，，，，点在线段的延长线上，点在线段延长线上，且． (1)当平分时，证明：； (2)如图2，若，点为中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度，延折线运动至点停止，作点关于直线的对称点，秒后、、三点共线，求的值； (3)如图3，作，且，若，且点在直线上，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据等边对等角，角平分线证明，进而结论得证； （2）由题意知，分在上，在上，两种情况求解：①当在上时，证明是等腰三角形，如图2，连接，证明，，证明是等腰直角三角形，则，，如图2，连接并延长交于，由、、三点共线可知为的角平分线，过作于，则，，如图2，过作于，证明，则∴，即，解得，，，证明，则，即，求解值即可；②当在上时，如图，连接，过作于，过作于，过作于交于，连接并延长交于，证明，则，即，解得，，根据，，表示，，，根据，，即，求解值即可； （3）如图3，作于，作于，证明是的平分线，则，证明，则，四点共圆，，根据，可得，，求解，的值，根据，求的值，根据求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意知，分在上，在上，两种情况求解： ①当在上时， 由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 如图2，连接， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 如图2，连接并延长交于，由、、三点共线可知为的角平分线，过作于， 则，， 如图2，过作于， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴当在上，时，、、三点共线； ②当在上时，如图，连接，过作于，过作于，过作于交于，连接并延长交于， 由题意知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由题意知， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即， 解得， ∴当在上，时，、、三点共线； 综上所述，当或时，、、三点共线； （3）解：如图3，作于，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等边对等角，正切，正弦，余弦，四点共圆，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 特殊角的三角函数 考点2 一、单选题 14．（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点M，根据等边三角形的性质，三角函数的定义求解即可． 【详解】解：过点A作于点M， 是等边三角形，、、是三个全等的三角形，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 15．(2026·江苏南通·一模)如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点，点是上的任意一点（不与点重合）如果，则点和点的坐标可能为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角性质可得∠BAO=∠BCO，从而得出，即，然后进一步可得两点的坐标. 【详解】 如图，连接， ∵， ∴是的直径， 易得：， ∴， ∴， ∴A、B两点坐标有可能为：）和. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆周角性质与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 二、填空题 16．(2026·江苏南京·一模)如果，那么锐角___________度 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：30． 17．(2026·江苏南通·一模)计算的结果是_____． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 三、解答题 18．（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2026·江苏扬州·一模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，最后计算加减即可； （2）根据异分母分式加减，先通分再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】7 【详解】解： ． 21．（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 22．（2026·江苏盐城·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题分别计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值与二次根式的化简，再计算加减即可得到最终结果． 【详解】解： 23．（2026·江苏无锡·一模）计算和解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为． 24．(2026·江苏无锡·一模)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根，负整数指数幂，代入特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 25．(2026·江苏南京·一模)阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 26．(2026·江苏苏州·一模)计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的运算、涉及零指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．先计算零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数，再加减运算即可 【详解】解：原式 27．（2026·江苏苏州·一模）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂，算术平方根，特殊角的正切值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 28．(2026·江苏南京·一模)（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次不等式组和实数运算，解题的关键是掌握实数相关的运算法则和解一元一次不等式组的一般方法． （1）先去绝对值，算负整数指数幂，把特殊角三角函数代入，再计算即可； （2）解出每个不等式，再求公共解集． 【详解】解：（1） ； （2）由得：， 由得：， ∴不等式组的解集为． 29．(2026·江苏盐城·一模)计算：． 【答案】2 【分析】此题主要考查了实数的运算，根据算术平方根的运算法则，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值分别化简，进而可得答案． 【详解】解： ． 30．(2026·江苏南京·一模)在，，斜边，直角边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)求的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1中，，再将二次方程的系数代入求得m值； （2）将用的边表示，再将二次方程的系数代入求得结果． 【详解】（1）解：如图，设，， 由题意，得 ，． 在中，， 即， ． ． 解得，（舍去）． ∴． （2）解：在，，斜边， ，， ∵，， ∴ ． ． 31．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）①的长为______； ②的长用含的代数式表示为______； （2）当为矩形时，求的值； （3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）①25；②3t；（2）；（3）当0＜t≤时，S=-3t2+48t；当＜t＜3，S=t2−14t+96． 【分析】（1）①根据勾股定理即可直接计算AB的长； ②根据三角函数即可计算出PN； （2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值． （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15． ∴AB==25． ∴sin∠CAB＝， 由题可知AP=5t， ∴PN=AP•sin∠CAB=5t•=3t． 故答案为：①25；②3t． （2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ=90°， ∵PN⊥AB， ∴PQ∥AB， ∴， 由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t， ∴， 解得t=， 即当▱PQMN为矩形时t=． （3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点， 由（1）题可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=15-5t，PN=QM=3t． ∴AN=AP•cosA=4t，BG=BQ•cosB=9-3t，QG=BQ•sinB=12-4t， ∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG， ∴0＜3t≤12-4t， ∴0＜t≤． ∴NG=25-4t-（9-3t）=16-t． ∴当0＜t≤时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S=PN•NG=3t•（16-t）=-3t2+48t． Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时， 即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3， ▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S=NG(PN+QG)= (16−t)(3t+12−4t)= t2−14t+96． 综上所述：当0＜t≤时，S=-3t2+48t． 当＜t＜3，S=t2−14t+96． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解． 解直角三角形及其应用 考点3 一、填空题 32．(2026·江苏宿迁·一模)如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含的式子表示） 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【详解】解：∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为：米． 33．(2026·江苏南京·一模)如图，中，，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，则______． 【答案】/3.6 【分析】先求出，，作AF⊥BC于点F，利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，再求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵中，，， ∴， ∴； 由勾股定理，则 ； 将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，作AF⊥BC于点F，如图： ∴AD=AB=3，∠AFC=90°，BF=DF=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 34．（2026·江苏无锡·一模）如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 【答案】77 【分析】墙面垂直地面，构成直角三角形，木棍长度是直角三角形的斜边，长度为，要求的木棍顶端离地面的高度是的对边，据此求解即可； 【详解】解：∵一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为， ∴木棍顶端离地面的高度． 35．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，平分，为线段上一点，且，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，结合题意得出，根据平行线的性质可得，进而得出是的中点，进而证明，根据对顶角相等得出，结合，解得出，进而可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴即 解得： 故答案为：． 二、解答题 36．（2026·江苏南通·一模）如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E． (1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____； (2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，点Q坐标为(，0)或( ，0) 【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标． （2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解决． （3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决． 【详解】解：(1)∵对称轴x=， ∴点E坐标(，0)， 令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0， ∴x=﹣1或4， ∴点A坐标(﹣1，0)． 故答案分别为(，0)，(﹣1，0)． (2)如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC， ∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a， ∴DB=， ∵tan∠OBC=， ∴，解得a=， ∴抛物线解析式为y=． (3)如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB， ∵MN∥OM′， ∴∠M′CN=∠CNM， ∴MN=CM， ∵点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5， ∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F， ∵sin∠BCO=， ∴， ∴CM=m， ①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m， 解得：m=或0(舍弃)， ∴Q1(，0)． ②当N在直线BC下方时，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m， 解得m=或0(舍弃)， ∴Q2(，0)， 综上所述：点Q坐标为(，0)或( ，0)． 【点睛】本题考查二次函数综合题、圆、翻折变换、三角函数、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题． 37．（2026·江苏南通·一模）已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． （1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠BCP的值． 【答案】（1）猜想： （2） 【分析】（1）证∽，得即；（2）连接EP，由（1）∽，，故，证为等边三角形得，在Rt△AEB中，AB＝7，AE＝，=，，证，，=. 【详解】（1）猜想： 证明：∵ △ABC是等边三角形，点D为BC边的中点， ∴ ∵ ∠BAE＝∠BDF , ∠ABE＝∠DBM ∴∽ ∴即 （2）解：如图， 连接EP   由（1）∽ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在Rt△AEB中，AB＝7，AE＝ ∴= ∴ ∵，，∠ABE＝∠DBM ∴ ∴ ∴= 【点睛】相似三角形判定和性质，锐角三角函数值应用. 38．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【详解】（1）解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 39．（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】通过延长信号杆与地面相交构造两个直角三角形，先在含山坡倾角的直角三角形中求出相关边长，再利用仰角的等腰直角三角形性质求出对应高，两高相减得到信号杆的高度． 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形， 在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴， ∴． 40．（2026·江苏宿迁·一模）综合与实践：下面是求知小组研学报告，请认真阅读，并完成任务． 研学目的 测量我区第一高楼“京东智慧城”9号办公楼的高度． 实景说明 “京东智慧城”9号办公楼目前是宿迁第一高楼，坐落于宿豫区东部新城，紧邻宿迁电子商务产业园，共33层，设计上采用“双筒+环廊”结构，塔楼外观造型呈现为“J”字形，呼应“京东”品牌，象征着企业与城市共生的未来愿景． 测量示意图 方案说明 9号楼底部与点、依次在同一条水平直线上，，且m．在处测得9号楼顶部的仰角为，在处测得9号楼顶部的仰角为，m． 任务说明 根据研学方案计算9号楼的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】 【分析】延长交于点，设，分别表示出，根据建立方程，求得的长，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 依题意，，， 设， 在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ m 41．（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【分析】（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 42．（2026·江苏盐城·一模）为建设美好社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米．求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，，的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图所示： 在中，米，， ∴米， 答：点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， 答：遮阳篷靠墙端离地高的长约为米． 43．（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 44．（2026·江苏徐州·一模）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 45．（2026·江苏徐州·一模）小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）    【答案】河的宽度米 【分析】过点C作交于点D，利用三角函数表示出和，再由的长为30米，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：如图，过点C作交于点D， ∵点C在A点的北偏东，点C在点B的北偏西， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴河的宽度米． 46．（2026·江苏无锡·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为，斜坡长为． 【素材2】图2中的矩形为一辆大巴车的侧面示意图，车长为，车高为． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为，且． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离为． (1)问题1：如图1，求； (2)问题2：如图3，当点与指示牌底端在同一条直线上，试求小李距大巴车尾的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出第三边进而求出； （2）作交延长线于点O，作于点T，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，为，斜坡长为， ， ； （2）解：如图，作交延长线于点O，作于点T，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 47．（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到D港，说明见解析 【分析】（1）作，可得再结合题意说明，然后求出，进而求出，最后根据得出答案； （2）作，由题意得，进而得出，再根据求出，然后求出，，接下来求出和，比较得出结论即可． 【详解】（1）解：作于点E，如图所示，则 由题意， 得海里， ∴， ∴． 在中，（海里），（海里）， ∴（海里）， 所以两港之间的距离是海里； （2）解：甲货轮先到，说明如下： 作于点F，如图所示，则， 由题意，得， 由（1）得（海里）， ∴， ∴． ∵，即， 解得， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）,（海里）． ∵，甲，乙两艘货轮的速度相同（停靠B，C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 48．（2026·江苏无锡·一模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）； (2)处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，设，在中设出未知数，根据得到各边的值，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； （2）由（1）中的结果，在中，根据三角函数关系计算出结果即可． 【详解】（1）解：过点作，设 ， 在中， 在中， ， 解得， ； （2）解： ∵在中， ， ∴． 49．（2026·江苏无锡·一模）如图，以的边上的一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，． (1)求证：是的切线； (2)已知圆的半径，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆的切线的判定、勾股定理、正弦函数等几何知识点及其应用问题，解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定是关键． （1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）根据题意得到，设，则，根据勾股定理列出等式，解得，根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， 设，则， ， 是的切线， 中，， 即， 解得， ， ． 50．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 【答案】渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】过点作于点，设，根据题意得出，解，由建立方程，即可求解；求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点． 15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处， （海里）， 设．由题意可知，，，， ，， ． 在中，， 解得， 在中，，， ， ， （小时）（分钟）， 从，经过133分钟是，在之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 51．（2026·江苏南通·一模）天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树的高度，他先在水平地面的点E处用高的测角仪测得，然后沿EB方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得．求大树的高度．（结果精确到．参考数据： ， ） 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据，得出，同时可得，然后根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意，可得四边形是矩形， ∴． 在中，， 即， ∴． 在中，， 即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以大树的高度是． 52．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）如图，过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 以为直径的交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：如图，过点作，垂足为点， 在中，， ， ， ， ，， ， ，，， ∴，，， 四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】对于涉及切线的问题常常连接圆心和切点以及求不规则阴影部分的面积需要通过作辅助线转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键． 53．（2026·江苏南京·一模）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理． （1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证； （2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 点，点在上， ∴ ，， ∴ ， ∴ 与相切． （2）解：如图2，过点作于， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴，即， ∴ ， ∴ ，， ∴ ． 54．（2026·江苏南京·一模）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． (1)求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） (2)根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)峡谷AC的宽度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； （2）解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 55．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 锐角三角函数及其应用（3大考点，55题） 3大考点概览 考点01正弦、余弦、正切的求值 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形及其应用 正弦、余弦、正切的求值 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏盐城·一模)在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 3．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．(2026·江苏连云港·一模)如图，在菱形中，对角线，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(2026·江苏南京·一模)如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 6．(2026·江苏扬州·一模)如图，在四边形中 ，，，以为圆心、为半径的弧恰好与相切，切点为，，则的值是______． 三、解答题 7．(2026·江苏连云港·一模)如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上． (1)求改善后滑板的长为多少米？ (2)若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：， ，，以上结果均保留到小数点后两位）． 8．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 9．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 10．（2026·江苏连云港·一模）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 11．(2026·江苏扬州·一模)如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 12．(2026·江苏盐城·一模)如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 13．(2026·江苏南京·一模)如图1，，，，点在线段的延长线上，点在线段延长线上，且． (1)当平分时，证明：； (2)如图2，若，点为中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度，延折线运动至点停止，作点关于直线的对称点，秒后、、三点共线，求的值； (3)如图3，作，且，若，且点在直线上，求的长． 特殊角的三角函数 考点2 一、单选题 14．（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 15．(2026·江苏南通·一模)如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点，点是上的任意一点（不与点重合）如果，则点和点的坐标可能为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 16．(2026·江苏南京·一模)如果，那么锐角___________度 17．(2026·江苏南通·一模)计算的结果是_____． 三、解答题 18．（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 19．（2026·江苏扬州·一模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)化简：． 20．（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 21．（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 22．（2026·江苏盐城·一模）计算：． 23．（2026·江苏无锡·一模）计算和解不等式组： (1)； (2)． 24．(2026·江苏无锡·一模)计算： (1) (2) 25．(2026·江苏南京·一模)阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 26．(2026·江苏苏州·一模)计算：． 27．（2026·江苏苏州·一模）计算：． 28．(2026·江苏南京·一模)（1）计算：； （2）解不等式组：． 29．(2026·江苏盐城·一模)计算：． 30．(2026·江苏南京·一模)在，，斜边，直角边、的长是关于的方程的两个实数根． (1)求的值； (2)计算． 31．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）①的长为______； ②的长用含的代数式表示为______； （2）当为矩形时，求的值； （3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 解直角三角形及其应用 考点3 一、填空题 32．(2026·江苏宿迁·一模)如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ___________________．（用含的式子表示） 33．(2026·江苏南京·一模)如图，中，，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，则______． 34．（2026·江苏无锡·一模）如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 35．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，平分，为线段上一点，且，连接．若，则的长为______． 二、解答题 36．（2026·江苏南通·一模）如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E． (1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____； (2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2026·江苏南通·一模）已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． （1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠BCP的值． 38．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 39．（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 40．（2026·江苏宿迁·一模）综合与实践：下面是求知小组研学报告，请认真阅读，并完成任务． 研学目的 测量我区第一高楼“京东智慧城”9号办公楼的高度． 实景说明 “京东智慧城”9号办公楼目前是宿迁第一高楼，坐落于宿豫区东部新城，紧邻宿迁电子商务产业园，共33层，设计上采用“双筒+环廊”结构，塔楼外观造型呈现为“J”字形，呼应“京东”品牌，象征着企业与城市共生的未来愿景． 测量示意图 方案说明 9号楼底部与点、依次在同一条水平直线上，，且m．在处测得9号楼顶部的仰角为，在处测得9号楼顶部的仰角为，m． 任务说明 根据研学方案计算9号楼的高度（结果取整数）．参考数据：． 41．（2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 42．（2026·江苏盐城·一模）为建设美好社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米．求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 43．（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 44．（2026·江苏徐州·一模）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 45．（2026·江苏徐州·一模）小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）    46．（2026·江苏无锡·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为，斜坡长为． 【素材2】图2中的矩形为一辆大巴车的侧面示意图，车长为，车高为． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为，且． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离为． (1)问题1：如图1，求； (2)问题2：如图3，当点与指示牌底端在同一条直线上，试求小李距大巴车尾的距离． 47．（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 48．（2026·江苏无锡·一模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）； (2)处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）． 参考数据：，，． 49．（2026·江苏无锡·一模）如图，以的边上的一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，． (1)求证：是的切线； (2)已知圆的半径，，求的值． 50．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 51．（2026·江苏南通·一模）天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树的高度，他先在水平地面的点E处用高的测角仪测得，然后沿EB方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得．求大树的高度．（结果精确到．参考数据： ， ） 52．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 53．（2026·江苏南京·一模）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 54．（2026·江苏南京·一模）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． (1)求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） (2)根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 55．（2026·江苏徐州·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $