专题17 相似三角形与相似的综合应用（5大考点，49题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题17相似三角形与相似的综合应用（5大考点，49题） 5大考点概览 考点01相似三角形的判定与性质 考点02相似与四边形的综合 考点03相似与圆的综合 考点04相似与函数的综合系 考点05相似的实际应用 相似三角形的判定与性质 考点1 一、填空题 1．（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 4．(2026·江苏徐州·一模)如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 二、解答题 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 7．（2026·江苏扬州·一模）已知中，，，，中，，． (1)如图1，，连接交于点F． ①求线段的长； ②求证：平分； (2)如图2，，连接交于点F，点P在线段上（不与A、C重合），连接并延长交于点Q，在上取一点G，连接，且． ①若，求线段的长； ②当点P在上运动时，线段的最大值为______． 相似与四边形综 考点2 一、单选题 8．(2026·江苏南通·一模)如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 二、填空题 10．(2026·江苏南京·一模)如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 11．(2026·江苏扬州·一模)如图，在边长为2的正方形中，E 为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在射线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是_______． 三、解答题 12．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 13．（2026·江苏无锡·一模）小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 14．(2026·江苏扬州·一模)如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 15．(2026·江苏扬州·一模)【探究与证明】 (1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， （ ）填判定依据，用字母表示 (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 16．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． (1)如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． (2)如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． (3)在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 17．(2026·江苏南通·一模)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．    （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 相似与圆的综合 考点3 一、单选题 18．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 19．(2026·江苏南京·一模)水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 20．(2026·江苏无锡·一模)如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 21．(2026·江苏南通·一模)在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 二、填空题 22．(2026·江苏南京·一模)如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 24．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 25．(2026·江苏常州·一模)如图，在四边形中，，，，则______． 26．（2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 三、解答题 27．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 28．（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．（2026·江苏宿迁·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长； (3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 31．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长． 相似与函数的综合系 考点4 一、单选题 32．(2026·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 33．(2026·江苏无锡·一模)如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 34．（2026·江苏南通·一模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 35．(2026·江苏连云港·一模)在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 36．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 37．（2026·江苏扬州·一模）如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 38．(2026·江苏宿迁·一模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数的图象上，且，则k的值为 （    ） A． B． C． D． 39．(2026·江苏扬州·一模)如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 三、解答题 40．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 41．(2026·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 42．(2026·江苏扬州·一模)抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)点C的坐标为_____； (2)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式： (3)如图1，若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点P作于E，若与相似，则点P的横坐标为______． 相似的实际应用 考点5 一、填空题 43．（2026·江苏无锡·一模）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 44．(2026·江苏扬州·一模)如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为_____． 45．(2026·江苏无锡·一模)《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 46．(2026·江苏南京·一模)如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为________．（单位：m） 47．(2026·江苏南京·一模)一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为_____m． 二、解答题 48．(2026·江苏苏州·一模)小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 49．(2026·江苏无锡·一模)如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17相似三角形与相似的综合应用（5大考点，49题） 5大考点概览 考点01相似三角形的判定与性质 考点02相似与四边形的综合 考点03相似与圆的综合 考点04相似与函数的综合系 考点05相似的实际应用 相似三角形的判定与性质 考点1 一、填空题 1．（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，推导出 ，从而得到；再证明 ，利用相似比表示出；最后利用建立关于的方程求解，进而得出的长． 【详解】解： ， ， 设， 则 解得 ，（不符合题意，舍去） 经检验， 是原方程的解 ． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 【答案】1或3或 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点落在上和点落在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点落在上时，如图， ∵矩形，折叠， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或； ②当点落在上时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴； 综上：或或． 4．(2026·江苏徐州·一模)如图，在中，点D在线段上，交于点，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线得出相似三角形，根据面积得出相似三角形的面积比，最后根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（负值已舍）， 故答案为：． 二、解答题 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 6．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 7．（2026·江苏扬州·一模）已知中，，，，中，，． (1)如图1，，连接交于点F． ①求线段的长； ②求证：平分； (2)如图2，，连接交于点F，点P在线段上（不与A、C重合），连接并延长交于点Q，在上取一点G，连接，且． ①若，求线段的长； ②当点P在上运动时，线段的最大值为______． 【答案】(1)①4；②证明见详解 (2)①，② 【分析】（1）①结合已知条件利用直角三角形两锐角互余和角度和差关系得出从而证明出，利用相似三角形对应边成比例即可求得结果； ②过点E作交延长线于点H，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质结合勾股定理求得对应边的长度，最后证明从而得证结论； （2）①通过作辅助线，结合已知条件利用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求得最终结果； ②结合已知条件，先通过角度的和差关系得出相关角度的关系，利用相似三角形的判定与性质及设相关线段的未知数，结合勾股定理列出方程求解x的值，从而表示出的表达式，此时为开口向下的二次函数，有最大值，将该表达式化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②证明：如图，过点E作交延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 如图，过点P作交于点M， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， 设， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，延长至点N，作， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∵点P在上运动， ∴设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，． 相似与四边形综 考点2 一、单选题 8．(2026·江苏南通·一模)如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形，四边形都是矩形，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点重合时，线段的值最小， 根据作图，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：B． 9．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线判定定理得，即可求出的长度． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵在中，点D为斜边中点，， ∴， 即 ∵E，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵ ∴ 故选：D 二、填空题 10．(2026·江苏南京·一模)如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 11．(2026·江苏扬州·一模)如图，在边长为2的正方形中，E 为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在射线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题等知识，确定点的运动路径是解题的关键． 说明点在射线上运动，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 如图，在上取点，使，连接，连接， ， ， ， ，， 等腰直角三角形， ， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， ， 当三点共线时，的最小值即为的长， ， ，即在的延长线上， ， 在中，由勾股定理得， 周长的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 12．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）①，②；（2）证明见详解；（3）的长为或4 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的相关知识． （1）根据矩形的性质和折叠的性质推出角相等从而确定直线平行关系，再通过测量和推理猜想线段关系： （2）利用矩形的折叠性质可证明三角形全等，进而得出线段相等关系； （3）根据前面的结论设未知数，分两种讨论直角三角形，利用三角函数和线段关系列方程求解． 【详解】解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴①， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②． 故答案为：①，②； （2）证明：方法一：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质，得，，，，， ∴，， ∴， 由（1）知，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，过点作交于点G， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知：，，， ∴， 设，则，， ∴， 当为直角三角形时，分以下两种情况讨论： ①如图，若， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得，， 经检验，满足题意； ∴； ②如图，若， ∵， ∴， ∴G，，F三点共线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或4． 13．（2026·江苏无锡·一模）小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 【答案】一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，见解析；一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形，见解析 【分析】结合全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，． 求证：四边形为平行四边形． 证明：连接， ， ． 又，， ． ， 四边形为平行四边形． ②一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形． 反例：尺规作等腰，，在上取点（），连接． 以为圆心，长为半径作弧；以为圆心，长为半径作弧，两弧交于．连接、． 由作图可知，，， 又， ， ． 在四边形中，，，且， 四边形符合题意，但不是平行四边形． 14．(2026·江苏扬州·一模)如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理． （1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果； （2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段； （3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，过点作平分，交于点， 中，，， 中，，， ∴，， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴（ASA） ∴． （3）解： 如图，过点作于点， 由（2）知，中，，， ∴，， 中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 中，， ∴． 15．(2026·江苏扬州·一模)【探究与证明】 (1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， （ ）填判定依据，用字母表示 (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 【答案】(1)，90， (2)不成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可． （2）根据矩形的性质，证明即可． （3）利用三角形相似的性质计算即可． 【详解】（1）解：设与交于点     四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，90，． （2）解：不成立，理由如下：设与交于点， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （3）补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答： 如图3-1，． 同（2）得，且相似比为， 中， 中，， ， ∴ ， ； 如图3-2，同理可得． 综上所述或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 16．(2026·江苏南京·一模)如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． (1)如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． (2)如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． (3)在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)，； (2)，；证明见解析； (3)①y与x的函数表达式为，②或 【分析】（1）由 ，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出 ，数形结合即可求解； ②过D作于H，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2），； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）①连接交于O，由（1）知，，， ∴， ∴且，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵C ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 由， ∴其最小值为； ②过D作于H，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接，由直角三角形性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． 17．(2026·江苏南通·一模)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．    （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）S=2b（b＞0）；（3）当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形． 【详解】解：（1）四边形DEFB是平行四边形． 证明：∵D、E分别是OB、OA的中点， ∴DE∥AB，同理，EF∥OB， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）如图，连接BE，    S△AOB=×8×b=4b， ∵E、F分别为OA、AB的中点， ∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b， 同理S△EOD=b， ∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b， 即S=2b（b＞0）； （3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E， ①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形， 此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC， ∴ ，即OB2=OA•BC=8t， 在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2， ∴t2+b2=8t， ∴t2-8t+b2=0， 解得t=4±， ②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°， ∴四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形； 解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形， 此时，Rt△OCB∽Rt△ABO， ∴，即OB2=OA•BC， 又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0）， ∴t2+b2=8t， ∴（t-4）2=16-b2， ①当16-b2≥0时，解得t=4±，此时四边形DEFB是矩形， ②当16-b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当16-b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±，当16-b2＜0时，四边形DEFB不是矩形； 解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，    在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2， 在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2， 在Rt△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形， ∴b2+（8-t）2+b2+t2=82， 化简得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二． 相似与圆的综合 考点3 一、单选题 18．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】①根据题意得到，然后得到，即可证明，即可判断①；②如图，连接，证明出点A，D，C，E四点共圆，得到，即可判断②；③得到点E在直线上运动，然后结合点在边上运动，点不与点重合即可判断③；如图，作点A关于的对称点，连接，，当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值，然后利用勾股定理求解即可判断④． 【详解】解：①设交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②如图，连接 ∵ ∴点A，D，C，E四点共圆 ∴ ∴ ∴的面积等于的面积，故②正确； ③∵ ∴点E在直线上运动 ∵点在边上运动，点不与点重合 ∴不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于的对称点，连接， ∴的周长 ∴当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值 由对称得， ∴ ∵ ∴ ∴周长的最小值为，故④错误． 综上所述，其中正确的为①②． 19．(2026·江苏南京·一模)水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或， ， 点是的中点，即， 或． 故选：D． 20．(2026·江苏无锡·一模)如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．(2026·江苏南通·一模)在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 22．(2026·江苏南京·一模)如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线， 综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质得出，即，，，设，然后代入求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， 经检验：为原分式方程的根， ∴， 故选：D． 23．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】第1问，连接，利用30度角的直角三角形的性质和解直角三角形计算即可求解； 第2问，连接，利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵为的直径，为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴． 24．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，，再证明，求出，再结合，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， 连接， ∵， ∴； 连接， ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25．(2026·江苏常州·一模)如图，在四边形中，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，通过，可得点四点共圆，所以，由，设，则，所以，得，再证明，所以，故有，从而求得，，所以，，代入，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆，如图， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．先根据垂径定理求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，然后根据位似图形的性质得到与相似，最后根据相似三角形的性质求出的长度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 27．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论； （2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，弦直径， ∴， ∴； （2）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 28．（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 【答案】(1)与相切 (2)， 【分析】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据平行线的性质说明，则此题可证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先，根据四边形是的内接四边形，得出，再由，， 证得，即可得出； （2）首先，添加辅助线，然后，由，得是等腰三角形，再证得，得出，，再证得，得出，即可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解:连接． 由（1）知， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的直径， ∴． ∴，． 由（1）知，又知， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，证得，再运用相似三角形的性质得出对应边成比例是本题解题的关键． 30．（2026·江苏宿迁·一模）如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长； (3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得，，再证明，进而可证； （2）由，，，可求出，在中，求出，，在中，求出，，由、、三点在一条直线上时，可得，在中，求出，然后根据即可求解； （3）连接，由，可得，，结合可证，从而点A，C，B，F共圆，得出，三线合一可得，由可得，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，， ，，即， ，， ； （2）解：，，，即， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中，，， 、、三点在一条直线上时，， ， 在中，， 由（1）可知，， ，即， 解得； （3）解：如图3，连接， ∵， ． ，即， ，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴点A，C，B，F共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查圆的性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，根据切线得到，证明，再根据平行的性质得到，由于，得到，证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，设半径为，则，根据平行得到，得到，求出，连接，根据圆周角定理以及平行线的判定证明，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， 平分； （2）解：， ， 设半径为， 则， ， ， ， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 相似与函数的综合系 考点4 一、单选题 32．(2026·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 33．(2026·江苏无锡·一模)如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，反比例函数中k的几何意义， 根据三角形中位线的性质得，可知和的高之比为，可得，再连接，可知，则，然后结合图像所在象限得出答案． 【详解】解：∵点C，点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，. ∴， ∴和的高之比为． ∵， ∴． 连接， ∵点D分别是的中点，， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 34．（2026·江苏南通·一模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 35．(2026·江苏连云港·一模)在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 二、填空题 36．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 37．（2026·江苏扬州·一模）如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，平行线的性质，二次函数的最值；先证明梯形和梯形是等腰梯形得到，，再利用平行线的性质得出，得出，设，，可得出与的函数关系，最后利用二次函数的最值，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过D作，交延长线于E，过B作，交延长线于F， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即当时，长取得最大． 故答案为：． 38．(2026·江苏宿迁·一模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数的图象上，且，则k的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于．作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选A． 39．(2026·江苏扬州·一模)如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 三、解答题 40．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ （2）解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 41．(2026·江苏徐州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式，证明，设点，分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． （3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令，， 解得或， 故点， ∵，， ∴， 设点， 当在轴上方时，过点T作于点G，则：， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当在轴下方时，同理可得， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，熟练掌握待定系数法，相似的应用，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 42．(2026·江苏扬州·一模)抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)点C的坐标为_____； (2)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式： (3)如图1，若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点P作于E，若与相似，则点P的横坐标为______． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为，直线解析式为 (3)存在，的最大值为 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线解析式可得，即可得抛物线与y轴交于点C坐标， （2）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明△△，有，故，即得的最大值为． （4）过作轴交于，设，由，得直线解析式为，，故，，，证明△△，知，故，，，根据△与△相似，得或，据此从而列方程，即可解得点的横坐标为或； 【详解】（1）解：当时，，即点 （2）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴， ，， △△， ， ， ， ， 的最大值为． （4）过作轴交于，如图： 由（1）知抛物线解析式为， 设， 在中，令得， ， 由，得直线解析式为，， ， ，， 轴， ， ， △△， ，即， ，， ， △与△相似，，， 或， 或， 或， 解得或（舍去）或， 点的横坐标为或； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 相似的实际应用 考点5 一、填空题 43．（2026·江苏无锡·一模）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 44．(2026·江苏扬州·一模)如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 【详解】解：由题可知：, , , , ，，， ， ， ， 故答案为：． 45．(2026·江苏无锡·一模)《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 【答案】// 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 46．(2026·江苏南京·一模)如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为________．（单位：m） 【答案】9 【分析】如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长． 【详解】解：如图， BC=2m，CE=16m，AB=1.5m， 由题意得∠ACB=∠DCE， ∵∠ABC=∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴，即， ∴DE=9． 即旗杆的高度为9m． 故答案为：9 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 47．(2026·江苏南京·一模)一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为_____m． 【答案】6． 【分析】如图，要求电线杆DE的高度可以利用△ABC∽△AED，它们的对应边成比例可直接求出． 【详解】过A作AF⊥DE交BC于O，    ∵BC∥ED， ∴AO⊥BC， ∴△ABC∽△AED， ∴＝， ∵BC＝0.12m，AO＝0.4m，AF＝20m，DE＝＝＝6（米）， ∴电线杆的高度近似为6米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 二、解答题 48．(2026·江苏苏州·一模)小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】24米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 根据相似三角形的判定和性质得到，根据求出，联立求解即可 【详解】解： ， 由题意知 ， ， 即，① ， 在中，， ， 即，② 联立①②解得米， 该建筑物的高度为24米． 49．(2026·江苏无锡·一模)如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 / 学科网（北京）股份有限公司 $