专题16 圆（5大考点，62题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题16 圆（5大考点，62题） 5大考点概览 考点01圆心角与圆周角 考点02弧长与扇形面积 考点03正多边形和圆 考点04点、直线、圆的位置关系 考点05垂径定理 圆心角与圆周角 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 二、填空题 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 5．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 7．（2026·江苏徐州·一模）如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 三、解答题 9．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 10．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 11．(2026·江苏省南通市·一模)如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 12．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，弦与相交于点，过点作交的延长线于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 弧长与扇形面积 考点2 一、单选题 14．（2026·江苏无锡·一模）小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 16．（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 17．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 18．（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 19．（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 20．（2026·江苏苏州·一模）圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 21．（2026·江苏苏州·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 22．（2026·江苏徐州·一模）一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 23．（2026·江苏泰州·一模）圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 24．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为___________． 三、解答题 25．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 26．（2026·江苏连云港·一模）如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 27．（2026·江苏徐州·一模）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 28．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，． (1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，切于点，求劣弧的长． 29．（2026·江苏徐州·一模）如图，的直径，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求由，，弧围成的阴影部分的面积． 30．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 正多边形和圆 考点3 一、单选题 31．(2026·江苏省常州市·一模)如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．(2026·江苏省宿迁市·一模)如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 二、填空题 33．（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 34．（2026·江苏南通·一模）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为，则正方体的体积为_______ ． 35．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 36．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为___________（结果保留）． 37．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 38．(2026·江苏省扬州市·一模)图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 39．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为______（结果保留和根号） 点、直线、圆的位置关系 考点4 一、单选题 40．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 41．(2026·江苏无锡·一模)如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 42．(2026·江苏盐城·一模)如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 43．(2026·江苏常州·一模)如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 44．(2026·江苏南京·一模)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 45．(2026·江苏南通海门区·一模)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（    ） A．CD+DF=4 B．CD−DF=2−3 C．BC+AB=2+4 D．BC−AB=2 二、填空题 46．（2026·江苏扬州·一模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 47．（2026·江苏徐州·一模）如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 48．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 49．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 50．(2026·江苏徐州·一模)如图，四边形内接于．若，则______． 51．(2026·江苏扬州·一模)如图，在矩形中，是直径，是的中点，是直线上任意一点，，，、相切于点、，当最大时，的长为_____________． 52．(2026·江苏泰州·一模)如图，点在上，若，则的度数为_____． 53．(2026·江苏苏州·一模)如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 三、解答题 54．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 55．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 56．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 57．（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 58．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 垂径定理 考点5 一、解答题 59．(2026·江苏南京·一模)如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 60．(2026·江苏南京玄武区·一模)如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 61．(2026·江苏南通·一模)问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 62．(2026·江苏宿迁·一模)如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E．    (1)求证：直线为的切线； (2)延长交于点F．若，，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 圆（5大考点，62题） 5大考点概览 考点01圆心角与圆周角 考点02弧长与扇形面积 考点03正多边形和圆 考点04点、直线、圆的位置关系 考点05垂径定理 圆心角与圆周角 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 3．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 二、填空题 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 5．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】第1问，连接，利用30度角的直角三角形的性质和解直角三角形计算即可求解； 第2问，连接，利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵为的直径，为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴． 7．（2026·江苏徐州·一模）如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°． 【答案】100 【分析】在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，据此求解即可． 【详解】解：由圆周角定理可得，． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 三、解答题 9．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24 【分析】本题考查了图形面积的分割与组合，三角形面积公式的应用，等边三角形、圆的相关性质及勾股定理． 探究发现：通过三角形的面积关系得出线段关系； 实践应用：结合等边三角形和旋转的性质求出线段长度； 拓展延伸：利用圆的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而求出三角形面积之和． 【详解】解：探究发现：∵在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 实践应用：如图，过点C作于点M，过点F作于点N， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵将线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴； 拓展延伸：如图，延长、交于点T，过点P作于点S，连接， 设， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴． 10．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 【答案】(1)； (2)或； (3)点在以的中点R为圆心，以为半径的圆心角为的弧上 【分析】（）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可； （）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可； （）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹． 【详解】（1）解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形， 所以莱洛三角形是轴对称图形，正确； 三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确； 等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确； 莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确； 故答案为：； （2）解：如图，当在上方时，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 当在下方时， 同理：∵， ∴设，则，， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：的正切值为或； （3）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理． 11．(2026·江苏省南通市·一模)如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ． ，， 在和中： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 12．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，弦与相交于点，过点作交的延长线于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及扇形面积的计算，解题的关键是利用等腰三角形和平行线的性质推导，以及利用相似三角形的性质求半径． （1）连接，由知是等腰三角形，由得，从而，，由直角所对的圆周角为直角，得从而，由圆心角定理得，再由得，即； （2）连接，由同弧所对圆周角相等得，结合公共角证，由得，在等腰直角中由勾股定理得，再由，用扇形面积减去三角形面积求阴影部分面积． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， ，， 又 ， ， ， ， ，设， ， ， 解得，， 连接，过点C作于点G， ， 在中，，，， 根据勾股定理，得， ， ， ． 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论； （2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，弦直径， ∴， ∴； （2）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 弧长与扇形面积 考点2 一、单选题 14．（2026·江苏无锡·一模）小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥侧面沿母线展开后为扇形，扇形面积等于圆锥侧面积，结合扇形面积公式即可计算得到结果． 【详解】解：∵圆锥形纸套底面直径为， ∴底面圆的周长为， ∵侧面展开后扇形的弧长等于底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，扇形面积公式为， ∴代入得， 即所得图形的面积为． 15．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长， ∴， 解得， ∴此扇形的圆心角为． 16．（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， 圆锥底面半径为． 17．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 18．（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 19．（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 【答案】 / 【分析】根据题意得到重物上升的高度为点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为． 20．（2026·江苏苏州·一模）圆锥的侧面展开图是一个半圆，底面半径为，则圆锥的母线长是________． 【答案】8 【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，结合侧面展开图是半圆的条件，可列方程求解母线长。 【详解】解：设圆锥的母线长为， 已知圆锥底面半径为，可得圆锥底面周长为 ， 因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的半径等于圆锥的母线长，且半圆的弧长等于圆锥底面的周长，因此半圆的弧长为， 列方程得：， 解得． 21．（2026·江苏苏州·一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面圆的周长即为的长度，根据正多边形的性质求出的长度和，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， ∴圆锥的底面圆的周长即为的长度． ∵正六边形的边长为6， ∴，． ∴． ∴圆锥的底面圆的周长为． 22．（2026·江苏徐州·一模）一个圆锥底面半径为2，侧面积为，则这个圆锥的母线长是______． 【答案】10 【分析】根据圆锥侧面积公式，设出母线长，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， ∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长为， 根据圆锥侧面积公式，代入，，得， 解得． 23．（2026·江苏泰州·一模）圆锥体的底面半径为2，侧面积为．则其圆锥体的母线长是___ ． 【答案】4 【详解】解：由圆锥侧面积公式， ，， ， 解得：． 24．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【详解】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 25．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 26．（2026·江苏连云港·一模）如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，再根据等边对等角得，即可得，然后说明，则此题可解； （2）先证明，可求出，再连接，再根据“直径所对的圆周角是直角”证明，进而得出，接下来根据特殊角的三角函数值求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵，的半径是4， ∴， 解得． 连接， ∵是的直径，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 27．（2026·江苏徐州·一模）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论； （2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于C， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直径， ， ， ， 在中，， 阴影部分的面积． 28．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，． (1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若，切于点，求劣弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）作的平分线，与的交点就是圆心，此时以为半径的与两边都相切；如图，作的垂线，证明和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：即可； （）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角的半径的长，利用四边形的内角和求，再进一步求解，代入公式可求弧长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，与两边都相切，， ， ， ， ， 劣弧的长． 29．（2026·江苏徐州·一模）如图，的直径，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求由，，弧围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，利用平行线的性质证明； （2）根据阴影部分的面积计算． 【详解】（1）连接， 的平分线交于D， ， ， ， 为半径， 是的切线． （2）是直径， ， 是的平分线， ， ， ， 阴影部分的面积为． 30．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 正多边形和圆 考点3 一、单选题 31．(2026·江苏省常州市·一模)如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 32．(2026·江苏省宿迁市·一模)如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 二、填空题 33．（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 34．（2026·江苏南通·一模）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，其中正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为，则正方体的体积为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱，正方体．先根据圆柱底面周长求出底面半径，再利用圆内接正方形的性质结合勾股定理求出正方体的棱长，最后计算正方体的体积． 【详解】解：∵圆柱底面周长为， ∴圆柱底面半径， ∴圆柱底面直径为 ∵正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上， ∴圆的直径等于正方形的对角线． 设正方体的棱长为， 根据勾股定理，正方形的对角线长为， ∴，解得． ∴正方体的体积为． 故答案为： 35．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ． 故答案为：． 36．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．延长交于点，连接交于点，连接，根据几何关系判断即可． 【详解】解：延长交于点，连接交于点，连接， ∵六边形是正六边形，， 是等边三角形， ∴是的直径， ∴经过点， ∴将正六边形绕点A顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧， ∴点的运动轨迹长， 故答案为：． 37．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交于    ，交于，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接、，令交于 ，交于，作交于， ， ∵点是边长为1的正六边形的中心， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 38．(2026·江苏省扬州市·一模)图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 39．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为______（结果保留和根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了圆内接正多变形的性质，熟悉掌握正边形能平均分成个全等的等腰三角形是解题的关键． 利用圆内接正多边形的性质得到六边形的边长，再分别运算圆的面积和六边形的面积作差即可． 【详解】解：连接，，过作于点，如图所示： ∵六边形ABCDEF的边心距为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵圆的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 点、直线、圆的位置关系 考点4 一、单选题 40．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为． 41．(2026·江苏无锡·一模)如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 42．(2026·江苏盐城·一模)如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 43．(2026·江苏常州·一模)如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，切线的性质，垂径定理，坐标与图形，根据与矩形的边都相切，得出，，证明轴，根据点A的坐标是，证明点D的纵坐标为3，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵与矩形的边都相切， ∴，， ∴， ∵矩形中，, ∴， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴点D的纵坐标为3， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， 连接，根据勾股定理得：， ∴点E的坐标为． 故选：A． 44．(2026·江苏南京·一模)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题． 【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A， ∴AC⊥OA， ∴∠OAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵∠O＝130°， ∴∠OAB＝＝25°， ∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 45．(2026·江苏南通海门区·一模)如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（    ） A．CD+DF=4 B．CD−DF=2−3 C．BC+AB=2+4 D．BC−AB=2 【答案】A 【详解】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N， 利用AAS易证△OMG≌△GCD， 所以OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2． 又因AB=CD， 所以BC−AB=2． 设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r， ⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c）， 所以c=a+b-2． 在Rt△ABC中， 由勾股定理可得， 整理得2ab-4a-4b+4=0， 又因BC−AB=2即b=2+a， 代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0， 解得， 所以，即可得BC+AB=2+4． 再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=， 由勾股定理可得， 解得， CD−DF=，CD+DF=． 综上只有选项A错误， 故选：A． 二、填空题 46．（2026·江苏扬州·一模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据圆的半径确定出圆中最长弦和最短弦的长度范围，由经过点Q的所有弦中只有4条弦长为整数，找出4条整数长度的弦对应的数值，进而确定过点Q的最短弦的长度范围，根据过圆内一点的最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦，利用垂径定理，结合最短弦的长度范围计算的取值范围，由于点P在x轴正半轴且是圆上一点，结合的长度，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵的半径， ∴的直径为8， ∴圆内弦长的取值范围是， 当弦长l为8时，只有1条，即为直径， ∵经过点Q的整数弦只有4条， ∴当最短弦，则长度为6，7，8的弦都存在， ∴弦长数量为，满足题意， 如图，经过点Q的最短弦有1条，经过点Q的最长弦有1条，经过点Q的弦关于直径对称有2条， 此时经过点Q的最短弦长为6， ∵最短弦l垂直于，设， 由垂径定理得，， ∴，即在中， ∴， ∴点Q是以点O为圆心，半径为的圆上运动， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，最短， ∴， 当点Q在的延长线上时，最长， ∴， ∴的取值范围是． 47．（2026·江苏徐州·一模）如图所示，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】连接、，根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和等于，可求得，最后根据圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：连接、， 、分别与相切于A、B两点， ， ， 和分别是所对的圆周角和圆心角， ． 【点睛】圆的切线问题，添加过切点的半径是常用的辅助线． 48．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 49．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 50．(2026·江苏徐州·一模)如图，四边形内接于．若，则______． 【答案】/65度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得，，再利用三角形内角之间的关系，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 51．(2026·江苏扬州·一模)如图，在矩形中，是直径，是的中点，是直线上任意一点，，，、相切于点、，当最大时，的长为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最短等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在中最大，此时最大，得出垂直时，最大．连接，根据切线长定理可知，因为，故当最小（即垂直时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出长，在中求出即可解答． 【详解】解：连接， ∵相切于点M、N， ∴，， ∴， 又∵在矩形中，，是直径， ∴， ∴故当最小（即垂直时），最大， 延长交直线于点G， ∵E是的中点，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵垂直时，最大， ∴， 在中，， 故答案为：． 52．(2026·江苏泰州·一模)如图，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 53．(2026·江苏苏州·一模)如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 54．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据垂径定理可得，再由，可得，从而得到，即可得出结论； （2）由，可得，进而可得，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可求出即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是直径， ∴， ∴， ∴ 即的半径为． 55．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）作于点，解直角三角形可得，最后再由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵为的切线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，作于点， ， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合等边对等角可得，即可求证； （2）连接与相交于点，设，则， ，根据平行证明 ， 得到，从而可表示出，再次根据平行证明 ，列式解方程即可得解 ． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接与相交于点， 设，则， ， 为的直径， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即 ， 解得， ． 57．（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 【答案】(1)与相切 (2)， 【分析】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据平行线的性质说明，则此题可证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 58．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵为的直径， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去）， 垂径定理 考点5 一、解答题 59．(2026·江苏南京·一模)如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 60．(2026·江苏南京玄武区·一模)如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确． 【详解】证明：如图，设交于点P，连接． 假设与能互相平分，则． 是内非直径的两弦， ． 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， ∴假设不成立，与不能互相平分． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤． 61．(2026·江苏南通·一模)问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 【答案】（1）=；（2）108；（3）． 【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）AB长不变，只要AB边上的高最大，面积最大．由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，面积最大．求得优弧的中点到AB的距离就可求得最大面积； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F=，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向外作的等边三角形的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值． 【详解】（1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N． ∵a∥b ∴∠MAB=∠AMN=90° ∴四边形AMNB是矩形， ∴AM=BN ∴ 又、 ∴； （2）取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示． 过C作AB的平行线a， ∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大， 又AB为常数， ∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积． 连接OB 在RT△OBD中： ∵AB=12、圆O的直径为20 ∴BD=6、BO=10、 由勾股定理得 ∴ ∴的面积为， ∴面积的最大值为108； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示 ∴∠F=∠ADB=60° ∵AD∥CE ∴四边形DECF是平行四边形 ∴DF=CE，FC=DE 又DC=CD ∴△DFC≌△CED ∴ 又由（1）的结论知 ∴ 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示． ∵∠F=60° ∴点F在的外接圆上， 由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=． 在RT△ABC中： 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形ADCE的最大面积是． 【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键． 62．(2026·江苏宿迁·一模)如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E．    (1)求证：直线为的切线； (2)延长交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连，，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案； （2）根据锐角三角函数求出，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，    ∵为的直径， ∴，即 ∵， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线为的切线； （2）：如图，    由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $