专题15 特殊四边形的性质和判定（5大考点，59题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题15 特殊四边形的性质和判定（5大考点，59题） 5大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质和判定 考点03矩形的性质和判定 考点04菱形的性质和判定 考点05正方形的性质和判定 多边形及其内角和 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先求出正边形的一个外角度数，再根据多边形外角和为，用除以一个外角度数即可得到边数． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是， ∴每一个外角为， ∴． 2．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，以正五边形的顶点为圆心，以边长为半径作圆，已知点是上一个动点，当点在正五边形的内部运动时，则的大小为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，圆周角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出正五边形的内角，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， 故选：B． 3．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 二、填空题 4．(2026·江苏省无锡市·一模)正六边形内角和度数为___． 【答案】 【详解】解：根据多边形内角和公式为：，其中为多边形的边数，且， ∵正六边形的边数， ∴代入公式得：． 5．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 6．(2026·江苏省南京市两校联盟南京市·一模)图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 7．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数． 【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形． ∵正六边形的内角和为， ∴每一个内角为 ∴． 故答案为： 8．(2026·江苏省淮安市·一模)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 平行四边形的性质和判定 考点2 一、单选题 9．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由平行四边形的性质得到，，，然后结合角平分线的定义得到，进而得到，同理可得，，求出，然后证明出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，， ∴ 由作图得，平分，平分 ， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴． 10．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据中点得到三角形的中位线，然后利用中位线定理解题即可． 【详解】解：∵中，点D，E分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴． 11．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据求出的面积；设点坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形， ∴点为的交点， ∴， ． ， ． 过点作轴于，过点作轴于， ， ， ． 设，则，， ，即点的纵坐标为． 点在反比例函数上， 点的横坐标为． ． ， ，即， ， 解得． ． ， ， ， ． ， ． 12．(2026·江苏连云港赣榆实验中学·一模)如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接， ∵点M，N，F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 13．(2026·江苏扬州梅岭集团·一模)如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 二、填空题 14．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接，则是的中位线，得到，连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点，证明四边形是菱形，过点作的延长线于点，在中，求出，，从而得出，则，进而求得的最小值，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 过点作的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 即点与点之间的最小距离为． 15．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 16．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设平行四边形的面积是x，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设平行四边形的面积是x， 则的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为, ∴在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是． 故答案为：． 17．(2026·江苏省南通市·一模)如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 三、解答题 18．(2026·江苏省无锡市·一模)学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． (1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作边的垂直平分线交于点E，即可； （2）过点A作于点F，在中，，，由作法得：点E为的中点，可得，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作法得：点E为的中点， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点F， 在中，，， ∴，， 由作法得：点E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 20．(2026·江苏省无锡市新吴区·一模)如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【详解】（1）解：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． （2）解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 21．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． (1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图3，当点与点重合时，求的值； (3)当直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果； （3）分两种情况：当时，延长交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴设，则， 如图，连接，作交于点， ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合， ∴点、关于对称， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （3）解：∵直角三角形时， ∴当时，如图，延长交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质结合（1）中结论即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ， ，， ， ； （2）证明：由（1）知， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形． 矩形的性质和判定 数 考点3 一、单选题 23．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，，结合题意得出，证明，结合相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．(2026·江苏省无锡市·一模)矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．内角和为 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 25．(2026·江苏省扬州市·一模)翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 26．(2026·江苏省南通市·一模)下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 27．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)下列命题中是假命题的是（   ） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查命题真假的判断，熟记平行四边形和特殊平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：∵ 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，存在反例，因此A是假命题，符合题意； ∵ “对角线互相平分且相等的四边形是矩形”是矩形的判定定理，因此B是真命题，不符合题意； ∵ “对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”是菱形的判定定理，因此C是真命题，不符合题意； ∵ 菱形四边相等对角线互相垂直，对角线相等的菱形符合正方形的判定要求，因此D是真命题，不符合题意． 28．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B．    【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 29．(2026·江苏省南通市·一模)矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH=∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH=FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP=GF=1，GH=PH=PG， ∴PD=AD﹣AP=1， ∵CG=2、CD=1， ∴DG=1， 则GH=PG=×=， 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点． 二、填空题 30．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得，，，据此计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，延长交于点，如图， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．(2026·江苏省南通市·一模)如图，矩形中，，点，，，分别在边，，，上．已知，． （1）的值为______； （2）若，则四边形的面积等于______． 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）通过构造三角形相似，利用相似三角形的性质列比例式求解； （2）设，分别用含的式子表示，代入梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，设与相交于点O， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：①；②． 32．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键． 33．(2026·江苏省南通市·一模)如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 34．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 35．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 36．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 37．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 38．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 39．(2026·江苏省南京市·一模)在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数； （2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度； （3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小． 【详解】（1）解：延长交于点X， 由题意得：、， 、是的外角 故答案为：； （2）解：延长交于点Y， ， 、、 由（1）知， 的长约为； （3）解：延长，交于点Z，与于点， 由（1）知 、 作于点，则 根据题意可得 在中，由勾股定理得： 由题意得：， 的长约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键． 40．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)嵩岳寺塔，中国四大名塔之一，属于全国重点文物保护单位．某学习小组想通过所学的知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，甲同学在点处操作一架无人机在点处观测到嵩岳寺塔的楼顶的俯角为，同一时刻，乙同学在点处观测到无人机在点处的仰角为，丙同学通过测量，得到点处到嵩岳寺塔底部点的距离，且点，，，，都在同一平面上，此时无人机所在点距地面的高度为，计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，证明四边形是矩形得，，由得，最后根据解直角三角形的知识求出的长度，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴嵩岳寺塔的高度约为． 菱形的性质和判定 考点4 一、单选题 41．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 43．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 四边形为平行四边形，， 平行四边形为菱形， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故选：B． 二、填空题 44．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：连接BE，如图： 由题意可知，MN垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴，则∠AEB=90°， 在等腰直角三角形ABE中，AB=4， ∴BE=AE=， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， 在Rt△BCE中，由勾股定理，则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°． 45．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 46．(2026·江苏省南京市六合区·一模)如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．    【答案】105 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图，    则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 47．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 48．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． （1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论； （2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是边上的中线， ， ． ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积． 49．(2026·江苏省徐州市·一模)如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． (1)、与的数量关系为_______； (2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； (3)在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 【答案】(1)； (2)见详解； (3) 【分析】（1）由折叠的性质得，结合三角形内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）作的平分线交于点F，作的垂直平分线交于点D、E，顺次连接起来，即可 （3）由，可得菱形的边长，取的中点G，结合三角形三边长关系，即可得到答案 【详解】（1）解：∵将沿折叠，点C的对应点记为点F， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：如图所示： 由作图可知，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：取的中点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴， ∵的中点G， ∴，， ∴，即 50．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，四边形是菱形，点、在线段上，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，正方形的性质是解决问题的关键． （1）连接，交于点，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当四边形是正方形时，则，设，则，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 连接，交于点，如图1所示： ∵四边形是菱形， ， 点在直线上，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： 当四边形是正方形时，则， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 51．(2026·江苏省南京市·一模)已知，，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为．    (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线，之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，连接交于点M，． ①求证：为直角三角形； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由菱形的判定：四边相等的四边形是菱形即可； （2）①先由关于的轴对称图形为，得到，再由中位线的性质得到即可；②设则分别在中和在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：关于的轴对称图形为， ， ， ∴四边形是菱形． （2）①证明：关于的轴对称图形为， ， ， 是的中点， ， ， 是直角三角形． ②解：，C是的中点，， ， 设 ， 在中，， 在中， ， 即， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线定理，等腰三角形“三线合一”性质，掌握相关的性质及判定方法是本题的关键． 正方形的性质和判定 考点5 一、单选题 52．(2026·江苏省常州市·一模)如图，正方形中，为边上一点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质，可得，，证明，可得，设，，在中，根据勾股定理可得，可得，，作于点，证明，可得，，可得，在中，可得，即可得的值． 【详解】解：正方形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵为边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， 作于点，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 53．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 54．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 【答案】 6 【分析】首先根据正方形的性质得到，，再利用同角的余角相等证明，从而证得，利用相似比求出的长，进而求出的长，最后利用相似比求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为6． 55．(2026·江苏省常州市·一模)如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度为______（结果保留） 【答案】 【分析】由正方形的性质得到，，然后求出各段弧的半径，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴曲线的长度为． 56．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)在正方形ABCD中，点E为BC边上一点且CE=2BE，点F为对角线BD上一点且BF=2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连结CH、CF，若HG=2cm，则△CHF的面积是______cm2． 【答案】 【分析】如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，得到FI∥CD，设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，由勾股定理得到FE=FC=FA=a，推出HE=AE=a，根据正方形的性得到BG平分∠ABC，由三角形角平分线定理得到,求得HG=AE=a=2，于是得到结论． 【详解】解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA， ∴FI∥CD， ∵CE=2BE，BF=2DF， ∴设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a， ∴则FE=FC=FA=a， ∴H为AE的中点， ∴HE=AE=a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BG平分∠ABC， ∴ ∴HG=AE=a=2， ∴a=， ∴S△CHF=S△HEF+S△CEF-S△CEH=（a）2+•2a•2a-•2a•a=a2=， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，难度较大,正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 57．(2026·江苏省南通市·一模)如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． (1)如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； (2)如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； (3)如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作交于点，根据正方形的性质，易证，再根据角平分线的性质，易证，从而，利用“”，可证，则，等量代换即可求证； （2）过点作交于点，和相交于点K，设，则，，根据正方形的性质，易得和是等腰直角三角形，可得，，从而，进而，利用“”，得，则，求出x的值，最后利用面积公式即可求解； （3）过点作交于点，根据正方形的性质和解直角三角形，易得，，是等腰直角三角形，进而，，整理可得，代入，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点， 正方形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， 恰好平分，， ，则， 又， （）， ， ， ； （2）解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，和相交于点K， 设，则，， 正方形的边长为， ，，，， ，， ，，即和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 则，解得，（舍去）， ， ， 则三角形的面积为； （3）如图3，过点作交于点， 正方形的边长为， ，，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，即是等腰直角三角形， ， ，则， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． 58．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ． 59．(2026-·江苏泰州泰兴·一模)综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． (1)概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； (2)操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②见解析；③ 【分析】本题结合“内接矩形”综合考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，关键是通过全等关系与相似关系推导线段长度与比例。 （1）根据内接矩形的定义，结合正方形边长相等的性质，证明四边形的顶点在正方形的边上，且为矩形，从而判定其为内接矩形。 （2）①利用正方形和矩形的性质找等角，用证，得到； ②过作，证四边形是矩形，再用证，结合推得，即是中点； ③设正方形边长为，由两角相等证，得比例式化简得，推出是等腰直角三角形，结合是中点，知、，又，故． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，，则． 在与中，，，， ， ，． ， ，即． 同理可得四边形的四个角均为直角，且四边相等，故为正方形； 又其顶点均在正方形的四条边上， 四边形是正方形的内接矩形； 故答案为：是． （2）①解：四边形是正方形， ，． 四边形是矩形， ，． ∴，， ， ，， ． 在与中，，，， ， ； ②解：如图，过点作于点，连接、， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 矩形矩形， ． 在与中，，， ， ． 由①知， ∴， ， ，即点恰好是的中点； ③解：设正方形的边长为，则， 由①， 设，， 则，． ∵，， ∴， ∴，即，展开化简得， 解得或(舍去)， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵点是的中点， ， ∴． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 特殊四边形的性质和判定（5大考点，59题） 5大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质和判定 考点03矩形的性质和判定 考点04菱形的性质和判定 考点05正方形的性质和判定 多边形及其内角和 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 2．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，以正五边形的顶点为圆心，以边长为半径作圆，已知点是上一个动点，当点在正五边形的内部运动时，则的大小为（　　） A． B． C． D．不能确定 3．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(2026·江苏省无锡市·一模)正六边形内角和度数为___． 5．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 6．(2026·江苏省南京市两校联盟南京市·一模)图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 7．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 8．(2026·江苏省淮安市·一模)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 平行四边形的性质和判定 考点2 一、单选题 9．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（    ） A． B． C． D． 10．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，中，点D，E分别是边，的中点，已知，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 11．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 12．(2026·江苏连云港赣榆实验中学·一模)如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 13．(2026·江苏扬州梅岭集团·一模)如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 15．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 16．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是______． 17．(2026·江苏省南通市·一模)如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 三、解答题 18．(2026·江苏省无锡市·一模)学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． (1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 19．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 20．(2026·江苏省无锡市新吴区·一模)如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 21．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． (1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图3，当点与点重合时，求的值； (3)当直角三角形时，求的值． 22．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 矩形的性质和判定 数 考点3 一、单选题 23．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 24．(2026·江苏省无锡市·一模)矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．内角和为 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 25．(2026·江苏省扬州市·一模)翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 26．(2026·江苏省南通市·一模)下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 27．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)下列命题中是假命题的是（   ） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 28．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 29．(2026·江苏省南通市·一模)矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题 30．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 31．(2026·江苏省南通市·一模)如图，矩形中，，点，，，分别在边，，，上．已知，． （1）的值为______； （2）若，则四边形的面积等于______． 32．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 33．(2026·江苏省南通市·一模)如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 34．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为______． 三、解答题 35．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 36．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 37．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 38．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 39．(2026·江苏省南京市·一模)在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： (1)图中的度数为______°； (2)求的长（精确到）； (3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 40．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)嵩岳寺塔，中国四大名塔之一，属于全国重点文物保护单位．某学习小组想通过所学的知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，甲同学在点处操作一架无人机在点处观测到嵩岳寺塔的楼顶的俯角为，同一时刻，乙同学在点处观测到无人机在点处的仰角为，丙同学通过测量，得到点处到嵩岳寺塔底部点的距离，且点，，，，都在同一平面上，此时无人机所在点距地面的高度为，计算嵩岳寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 菱形的性质和判定 考点4 一、单选题 41．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 42．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 43．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题 44．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 45．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 46．(2026·江苏省南京市六合区·一模)如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．    47．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 三、解答题 48．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 49．(2026·江苏省徐州市·一模)如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． (1)、与的数量关系为_______； (2)在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； (3)在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 50．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，四边形是菱形，点、在线段上，且． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明） 51．(2026·江苏省南京市·一模)已知，，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为．    (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线，之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，连接交于点M，． ①求证：为直角三角形； ②求的长． 正方形的性质和判定 考点5 一、单选题 52．(2026·江苏省常州市·一模)如图，正方形中，为边上一点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 53．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 54．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 55．(2026·江苏省常州市·一模)如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度为______（结果保留） 56．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)在正方形ABCD中，点E为BC边上一点且CE=2BE，点F为对角线BD上一点且BF=2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连结CH、CF，若HG=2cm，则△CHF的面积是______cm2． 三、解答题 57．(2026·江苏省南通市·一模)如图所示，边长为的正方形两对角线相交于点O，，绕着点自逆时针方向旋转，交直线于点、． (1)如图1所示，当绕着点旋转到恰好平分时，试证明； (2)如图2所示，当绕着点旋转，边、恰好位于两侧，且，计算三角形的面积； (3)如图3所示，射线旋转到正方形外侧，与直线相交于点F，令，令，请写出与的关系． 58．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留） ∵， 59．(2026-·江苏泰州泰兴·一模)综合与实践 定义：如果一个小矩形的四个顶点分别落在另一个大矩形的四条边上（不含顶点），则称这个小矩形为大矩形的内接矩形． (1)概念理解： 如图1，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，判断：四边形____________（填“是”或“不是”）正方形的内接矩形； (2)操作探究： 用长方形纸片进行如下操作： 第一步：如图2，沿折叠长方形纸片，点落在边上的点处，再展开纸片，沿裁剪，得到正方形和矩形； 第二步：将矩形按图3放置，发现、、、的对应点、、、恰好分别落在、、、上． ①试说明：； ②探究发现： 如图3，通过度量发现：点恰好是的中点，请说明理由； ③深入思考： 直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $