专题14 三角形填空和解答压轴题训练（38题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题14 三角形填空和解答压轴题训练 一、填空题 1．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 2．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 3．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 4．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 5．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 6．（2026·江苏南京溧水区·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，正方形的边与相切于点E，是的弦，且与相交于点G，若，则______． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 9．(2026·江苏徐州第三十五中学·一模)已知线段，C为平面内一动点，连接，，则的面积的最大值为______． 10．(2026·江苏徐州第三十五中学·一模)如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 11．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 12．（2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________． 13．（2026·江苏无锡惠山区·一模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 14．（2026·江苏无锡·一模）如图，正边长为1，为上一动点（不与A、C重合），过作，垂足为E，M为线段上一点，且，过作交于．设，．当时，__；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为______． 15．（2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 16．（2026·江苏南京鼓楼区·一模）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上，与交于点．若，则_______． 17．（2026·江苏泰州·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 18．（2026·江苏淮安·一模）如图，在平行四边形中，两条对角线交于点，将沿翻折到，交于点，连接分别交于点．若，，则______，______． 19．（2026·江苏扬州·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 20．(2026·江苏宿迁·一模)如图，在中，，，，点分别在上，，连接，将沿翻折，得到，交于点，当时，折痕的长度为___________． 二、解答题 21．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 22．（2026·江苏无锡滨湖区·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 23．（2026·江苏无锡滨湖区·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线的对称点F，连接、． ①当点P与点A重合时，求四边形和矩形重叠部分的面积； ②当四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 24．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图1，已知，，，可绕点旋转，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若，，，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长； (3)如图3，若，延长交于点，，求的度数． 25．(2026·江苏宿迁·一模)按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 26．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 27．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在矩形中，是的中点，连接、、，请找出图中与全等的三角形并证明． 28．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 29．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米． (1)求斜坡的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． (2)求指示牌牌杆的高度； 活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． (3)求指示牌的高度． 则四边形为矩形，四边形为矩形， 30．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，已知中，，． (1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长． 31．（2026·江苏无锡锡山区·一模）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图2，当P为的中点，，时． ①长度为_______； ②求的长； (2)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，设为y，为，求y与的函数关系． 32．（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 33．（2026·江苏徐州·一模）【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： (1)如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： (2)如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： (3)如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 34．(2026·江苏连云港赣榆实验中学·一模)【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 (1)如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 (3)如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 35．(2026·江苏盐城响水县双语实验学校·一模)主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 36．（2026·江苏无锡惠山区·一模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹） (2)设直线与交于，若，则的长为________．（如需草图，请用备用图） 37．(2026·江苏南通·一模)平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 38．(2026·江苏南通·一模)图1～图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点． (1)观察：如图1， ； (2)探究：如图2，仅仅用无刻度的直尺在上找一点，连接，，使得； 小海说：作点关于的对称点，连接与交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由； (3)应用：如图3，在上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14三角形填空和解答压轴题训练 一、填空题 1,(2026·江苏扬州·一模)在如图所示的小正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，线段AB 和CD相交于点O,则sin∠AOC的值为 【倍16 【分析】如图标记格点E,连接AD,BD,则tan∠DAB=tan∠CDE=】, ,由此可得∠DAB=∠CDE,所以 ∠DAB+∠ADC=∠CDE+∠ADC,根据外角定理可得∠AOC=∠ADE=45°即可解答. 【详解】解：如图标记格点E,连接AD,BD, D 设小正方形的边长均为1， 由勾股定理可知BD=VP+1P=√5，AD=V22+2=22, ∠ADB=180°-45°-45°=90°， BD 1 ∴.Rt△ADB中，tan∠DAB= AD 2' ~RtACDE中，tan∠CDE=CE_1 DE2' ∴.∠DAB=∠CDE, ∴.∠DAB+∠ADC=∠CDE+∠ADC, ·.∠AOC=∠DAB+∠ADC,∠ADE=∠CDE+∠ADC=45°， ∴.∠AOC=∠ADE=45°， .sin∠Aoc= 2 1/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026江苏省无锡市江阴市一模如图，把△AOB绕点O按逆时针方向旋转30°后得到△COD,若OB∥CD, ∠A0D=14°，则∠C= 【答案】106° 【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=30°，∠BOA=∠DOC,则由角之间的关系可得 ∠BOA=∠BOD+∠AOD=44°，再根据平行线的性质推出∠D=∠BOD=30°，最后利用三角形内角和定理 即可求解。 【详解】解：~将△AOB绕点O按逆时针方向旋转30°后得到△COD, ∠BOD=30°，∠BOA=∠DOC, ∠A0D=14°， ·∠BOA=∠BOD+∠AOD=44°， .∠B0A=∠D0C=44°， OB∥CD, ∴.∠D=∠BOD=30°， ∴.∠C=180°-∠D-∠DOC=106°， 3.(2026江苏省无锡市江阴市一模)如图，点P是边长为1的正方形ABCD的边AB上一动点，连接DP, 交对角线AC于点E,作△ADP的外接圆⊙O,交AC于点F.连接PF,则∠DPF的度数为 ；若 AE=2CF,则AP=· D O E 【答案】 45° 5-1 【分析】由正方形的性质可得∠CAD=∠CAB=45°，再结合圆周角定理即可得出∠DPF的度数；连接DF, 由圆周角定理可得∠DFP=90°，则△DFP为等腰直角三角形，进而可得DF=PF,作M⊥CD于点M, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 延长MF交AB于点N,证明四边形BCMN为矩形，得出CM=BN,证明△DFM≌△FPN(AAS),得出 DM=FN,MR=PN,证明△FCM为等腰直角三角形，得出CM=FM=PN=BN,设 CM=FM=PN=BN=a,则CF=√2a,DM=NF=l-a,AP=1-2a,AF=√2-V2a,再证明 △DAFP△EAP,求出AE= 万2a再结合B=20,求出口35，即可得出结果」 1-2a 4 【详解】解：~四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=∠CAB=∠DCA=45°，AB=CD=BC=AD=1,AB∥CD,AC=NAB+BC2=√2， 连接PF, A E A P N B DFDF, ∠DPF=∠DAF=45°： 连接DF, ~DP为⊙O的直径， ∠DFP=90°， △DFP为等腰直角三角形， ..DF =PF, 作M⊥CD于点M,延长MF交AB于点N, AB∥CD, MN⊥AB, ∠DMF=∠FNP=∠DFP=∠MNC=90°， :四边形BCMN为矩形， ∴CM=BN, '∠DFM+∠FDM=∠DFM+∠PFN=90°， ∴，∠FDM=∠PFN, △DM≌△FPN(AAS), 3/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴DM=FN,Mg=PN, ~∠DCA=45°，FM⊥CD, “△FCM为等腰直角三角形， ∴CM=FM=PN=BN, 设CM=FM=PN=BN=a,则CF=VCM+MF2=√2a,DM=NF=1-a,AP=1-2a, ·AF=AC-CF=V2-2a, AD=AD, DFA=∠EPA, ∠DAF=∠EAP=45°， ∴.△DAF∽△EAP, DA AE AF AP 1 AE 2-V2a1-2a' ..AF= 1-2a 2-2a' AE =2CF, 1-2a=2×N2a, 2-5a 解得：a=3+5 (不符合题意，舍去)或a-35 4 4 4P=1-2a=1-2×3-55-1 4 2 【点晴】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角 形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助 线是解此题的关键。 4.(2026江苏省无锡市一模如图，在矩形ABCD中，AB=√5，AD=4,E为边BC上的一个动点.连接AE、 DE,将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE,再将△AFE沿着DE折叠，得到△HGE(F与G为对应点)，当 边EG与△ECD的边所在直线重合时，BE=cm. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】1或3或4-13 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点G落在BC上和点G落在DE上，两种情况进行讨论求解即 可 【详解】解：当点G落在BC上时，如图， D G B H 矩形ABCD,折叠， ∠AEB=∠AEF,∠FED=∠GED,∠B=∠C=90°，CD=AB=V3,BC=AD=4 2∠AEF+2∠DEF=180°， ÷∠AEF+∠DEF=90°，即∠AED=90°， ∴∠BAE=∠CED=90°-∠AEB, 又×∠B=∠C=90°， ∴.△ABE∽△ECD, AB BE CE CD' .AB.CD=BE.CE=BE(BC-BE),即V3×V3=BE(4-BE), 解得BE=1或BE=3; ②当点G落在DE上时，如图，此时F,G两点重合， 5/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FG) BE 矩形ABCD, AD∥BC,∠B=90°， DAE=∠BEA, 折叠， BE=EF,∠AEB=∠AED,∠AFE=90°，AB=AF=V5, ∠DAE=∠DEA,∠AFD=90°， .AD=DE=4, 在Rt△AFD中DF=VAD2-AF?=V3, BE=EF DE-DF=4-13 综上：BE=1或BE=3或BE=4-V13. 5,(2026江苏省无锡市一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，AB-CD=5,AD=12,现 将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为 ① ④ ① ④ ② ③ ② ③ B 【答案】 2 【分析】过点C作CE L AB于点E,判定出四边形AECD为矩形，结合两个图形，利用勾股定理求出相关 线段的长度，即可求解， 【详解】解：如图所示，过点C作CE L AB于点E, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ① F ④ ② B GE AB∥CD,∠A=90°， 四边形AECD为矩形， ..BE=AB-AE=AB-CD=5,CE=AD=12, 由勾股定理得BC=VCE2+BE2=13, 由图形可得，G8C-号4=Dr}4D=6, 2 由勾股定理得4G=FG-4F= *65 ②的面积为4G4R=×点 22 2 6,(2026·江苏南京溧水区·一模)如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作 ED∥AB,EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C;取BE中点E,作E,D∥FB,EF∥EF, 得到四边形ED,FE，,它的周长记作C,.，照此规律作下去，则Cm=· D FF B 【答案】 1 22025 【分折】报据三角形的中位线求解C=4),找规律可得C,=4× 1 27， 据此规律可求解. 【详解】解：~△ABC是边长为1的等边三角形， ..AB=BC=AC=1, E是BC边中点，ED∥AB, “DE是△ABC的中位线， 7/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~EF∥AC, 四边形EDAF是菱形， G=4 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的)， 即C=4×x=4x, 1 1 ，54父1××4×之4×， 22 222 2分， 27=22×、11 C07=4x, ×22027=22025· 7.(2026·江苏宿迁·一模)如图，EF是⊙O的直径，正方形ABCD的边AB与⊙O相切于点E,CD是⊙O 的弦，且与EF相交于点G,若FG=4,则DG= D E 【答案】 8 【分析】如图，连接OD,设圆的半径为”，先分别用含r的代数式表示出OD、DG的长，然后利用勾股定 理列方程求解，进而即可得到答案。 【详解】解：如图，连接OD,设圆的半径为r, A D B ~EF是⊙O的直径，正方形ABCD的边AB与⊙O相切于点E, ·∠A=∠B=∠AEF=∠BEF=∠C=∠ADG=90°，AB IICD,AD=DC, ∴.∠DGE=180°-90°=90°， :四边形ABGD为矩形，四边形BBGC为矩形，DG=CG=】DC, 2 FG=4, ..EG=AD=DC=2r-4,OG=r-4 ∴DG=r-2, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtODG中，r2=(r-4)+(r-2), r=10或r=2, 当r=2时，r-4=2-4=-2<0, 取r=10, .DG=r-2=10-2=8 8.(2026·江苏扬州·一模)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点，若 ∠BAC=90°，BC=10,口ABCD的周长为32，则△COE的周长为 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出AB=6,利用勾股定理求出AC=8,证明OE 是△ABC的中位线，得出OE=3,最后可求出三角形的周长， 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形，周长为32， ∴OA=OC,AB+BC= -×32=16, ∴.AB=16-BC=16-10=6, ∠BAC=90°， ∴由勾股定理得AC=VBC2-AB2=V10-6'=8, 0C=14C=4, 2 ~点E是BC的中点，点O是AC的中点， 0E是a4BC的中位线，CE=号BC=5, O-AB-3 ·△COE的周长为OC+OE+CE=4+3+5=12. 9.(2026江苏徐州第三十五中学.一模)已知线段AB=12,C为平面内一动点，连接CA,CB, ∠ACB=60°，则△ABC的面积的最大值为 【答案】36V3 【分析】作△ABC的外接圆，圆心为点O,则∠AOB=2∠ACB=120°，故∠OAB=∠OBA=30°，作CF⊥AB 9/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点F,OE⊥AB于点E,则AE=BE=6,由AE=V3OE=6,求得OB=2N5,所以OC=OA=45,由 CF≤OC+OE,得CP≤63，所以SBc≤36V3,则△ABC的面积的最大值为36N3,于是得到问题的答 案。 【详解】解：作△ABC的外接圆，圆心为点O,连接OA、OB、OC,则OA=OB=OC, .·AB=12,∠ACB=60°， ∴.∠AOB=2∠ACB=120°， ∴.∠OAB=∠OBA=二×(180°-120°）=30°， 21 作CF⊥AB于点F,OE⊥AB于点E,则∠AEO=90°，AE=BE= AB=6, ∴.OA=20E, :AE=OA2-OE2=N(20E)2-OE2=V50E=6, .0E=25, .0C=0A=20E=4V5, .OC+OE=4V3+23=6V3, .CF≤OC+OE, .CF≤65， 8c-号B.G,且48cr12x65, ∴SBc≤36V3, ∴△ABC的面积的最大值为36√5， 10.(2026江苏徐州第三十五中学一模)如图，在⊙O中，直径AB经过CD中点E,已知CD长度为8，BE 长度为2，⊙0半径是· 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 【答案】5 【分析】连接OD,设OD=OB=r,由垂径定理得ED=CD=4,根据勾股定理列方程解答即可。 2 【详解】解：连接OD,设OD=OB=r, CD=8,点E是CD的中点，BE=2, .ED=CD=4, 由勾股定理得OD2=OE2+ED, 则r2=(r-2)°+42 解得r=5 11,(2026·江苏扬州·一模)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M为边CD上一动点，作点C 关于BM的对称点C,射线AC'与BM交于点P,N为CD的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P 运动路径长为 B 【答案】2π 【分析】首先根据菱形性质得出△ABD和△BCD是等边三角形，从而DA=DB=DC=6,说明A,B,C 在以D为圆心的圆上，然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出∠APB=30°，确定P点轨 迹.最后确定M在起点C和终点N时P的位置，计算圆心角和弧长， 【详解】解：连接BD,BC,CC,如图所示， 11/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D ~四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ÷AB=BC=CD=DA=6,∠BCD=∠BAD=60°，∠ADC=120°， :△ABD和△BCD均为等边三角形， .BD=AB=6, 点A,B,C在以D为圆心，6为半径的圆上， 由对称性可知，BC'=BC=6,∠CBM=CBM, AB=6, .AB=BC', △ABC'是等腰三角形， 设∠CBM=ox,则∠CBC'=2ax, .∠ABC'=∠ABC-∠CBC'=120°-2a, ∠B4C-_180°-(120°-2a）-=30+a, 在△ABP中，∠ABP=∠ABC-∠CBM=120°-， ∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-(30°+x)-(120°-x)=30°， ∠ADB=60, 点P在以D为圆心，6为半径的圆上， 当点M在点C时，x=O°点P与点C重合，当点M在点N时，N为CD中点，△BCD为等边三角形， BN⊥CD,∠CBN=30°，此时a=30°，∠CBC'=60°， ∠CBD=60°， 点C在BD上， ..BC"=6=BD, 点C'与点D重合，此时射线AC'即为射线AD, 点P在⊙D上， DP=6, 点P在AD的延长线上， A,D,P共线，∠ADC=120°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CDP=180°-120°=60°， 点P的运动路径长为60xx6-2x. 180° 12.(2026·江苏无锡·一模)定义：若a,b,c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2,则称△ABC为“方倍三 角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是 (填①或②或①②).如 图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在 点D处，连接CD,AD,若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2,则△PDC的面积为 【答案】 ① 2V5-2 【分析】对于等边三角形：由等边三角形的性质可得a=b=c,则a2+b2=2c2,符合定义；对于直角三角 形：可以进行举例，如边长为3、4、5的直角三角形，无论如何组合都得不到a?+b2=2c?,因此不符合要 求.延长BP交AD于点E,结合折叠的性质和“方倍三角形”的定义可判断△ABD是等边三角形，则 BE⊥AD,容易证明△AEP是等腰直角三角形，利用三角函数可计算出AE=PE=√反，BP=V6-√2， CP=25-2,容易证明4P1DP,则Sm=2PD.心，代入数值计算即可， 【详解】解：在等边三角形中，a=b=c, ÷a2+b2=2c2,符合题意， 等边三角形一定是“方倍三角形”， 对于直角三角形，举例边长为3、4、5的直角三角形， 3+4<2×52,52+42>2×32,32+5<2×42,不符合题意， 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 由折叠的性质可知，AB=BD,AP=PD=2,∠ABP=∠DBP, ~△ABD为“方倍三角形”， ∴AB+BD=2AD或AB2+AD=2BD或AD+BD=2AB, 当AB+BD2=2AD时，则AB+AB=2AD, ∴AB=AD=BD, 当AB+AD=2BD时，则AB+AD=2AB, ∴AB=AD=BD, 13/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理，当AD2+BD=2AB时，则AB=AD=BD, 综上，△ABD是等边三角形， 如图，延长BP交AD于点E, ~△ABD是等边三角形，∠ABP=∠DBP, BE⊥AD,∠ABD=∠BAD=60,∠ABE=}∠ABD=30°， 2 ∠ABC=120°，∠ACB=45°， ∠B4P=180°-∠A8C-∠ACB=15°，∠Q8P=∠A8C-∠ABE=90°， ∠PE=∠B0-∠BP=45°， “△AEP是等腰直角三角形， 在直角△APE中，E=AP.sin∠PE=2.sin45=V2, AE PE=2, 在直角△ABE中，BE=AE.tan∠B4D=V2×tan60=V6, BP=BE-PE=6-2, 在直角△BCP中，0P= BP 6-2 sin∠40B sin45° =23-2 ∠PAE=45°，PA=PD=2, ∴△APD是等腰直角三角形， AP⊥DP, e号Pnc-25-25-2 13.(2026·江苏无锡惠山区·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在线段BC上（不与B,C 重合)，∠BPD=】∠ACB,PD交BA于点D,过点B作BB⊥PD,垂足为E,交CA的延长线于点F,则BC 与CF的数量关系为：若PD=4,tanC=n(n为常数)，则DE=(用含n的代数式表示). 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E D B 【答案】 BC=CF 2√n2+1-2 【分析】设∠BPD=a,则∠ACB=2,得出∠PBE=90°-a=∠F,进而得出BC=CF;作PK∥CF,交 AB于点，交B那于点K,根据BPJBCA求出amC=BA=1,得出BK=2BB,再证明 AC PJ △BJK∽△PJD,得出BE=2n,证明△BED∽△PEB,得出BE=PE·DE,设DE=x,则(2n)=（4+x)x, 解方程求出结论即可 【详解】解：∠BPD=}∠4CB, 2 设∠BPD=x,则∠ACB=2a, 在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴.∠ABC=90°-2a, BE⊥PD, ∴.∠PBE=90°-a, ∴.∠ABF=∠PBE-∠ABC=(90°-)-(90°-2)=x, ∴.∠F=90°-∠ABF=90°-Q, ∠F=∠PBE, .BC=CF; 作PK∥CF,交AB于点J,交BF于点K, P A .∴△BPJn△BCA,∠PKB=∠F,∠BJP=∠BAC=90°，∠C=∠BPJ, B 图3 BJ PJ BA AC' BJ BA PJ AC' ..tanC BA BJ =n, 15/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠F=∠PBE, ∠PKB=∠PBE, ∴.PB=PK, BE⊥PD, ∴.BE=KE,即BK=2BE, ·:∠BUP=∠BED=90°， ∴.∠BKJ+∠KBJ=∠BKJ+∠KPE=90°， ∴∠KBJ=∠PE,即∠KBJ=∠DPJ, :∠BK=∠PJD=90°， ∴.△BJK∽△PJD, BK BJ PD PJ =n, 2BE PD =n, PD=4, ∴.BE=2n, :∠BPD=∠ABF=O,∠BED=∠PEB, .△BEDP△PEB, BE DE PE BE ∴.BE=PEDE, 设DE=x,则(2n)=(4+x)x, 解得：x=2Nn+1-2,x=-2Nn+1-2(不合题意舍去)， 故DE=2Nn2+1-2. 14.(2026·江苏无锡·一模)如图，正△ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合)，过D作 DE⊥BC,垂足为E,M为线段AB上一点，且BM=AD,过M作MN∥DE交BD于N,设BE=x, MN=y,当AM=BE时，x=；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为 M B E 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 2-3 V3(2x-1) 2x 【分析】设BM=AD=m,得到m+x=1,结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，得到x=2m,代 入解答即可；延长MN交BC于点G,利用三角形相似的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可， 【详解】解：设BM=AD=m, 正△ABC边长为1， AB=BC=CA=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， BE=x,且AM=BE, ..AM=BE=x, .m+x=1, :.CD=m+x-m=x,EC=m+x-x=m, DE⊥BC, ∴∠DEC=90°， ∠EDC=30°， ∴.DC=2EC, ∴.x=2m, :m+x=1, 2x+x=1, x=3 D 延长MN交BC于点G,如图所示： B G E 正△ABC边长为I, 17/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AB=BC=CA=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， BE=x, ..EC=BC-BE=1-x, DE⊥BC, .∠DEC=90°， ∠EDC=30°， .DC=2EC=2-2x,DE =DC2-EC2=3(1-x), ..AD=AC-DC=2x-1, BM=AD, .BM=2x-1, MN∥DE,DE⊥BC, MGB=90°， ∴∠BMG=30°， 6c=5w-22r-c=a-G-9ax- 2 MN∥DE, △BGN∽△BED, BG NG BE DE' 2x-1 …2= NG V3(1-x) 解得NG= V31-x)(2x-1) 2x ..y=MN =MG-NG 092r-)-50-x2x- 2 V5(2x-1)2 2x 15,(2026·江苏无锡·一模)如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E是边AD上的动点，点F在边CD 上，CF=DE,连接AF、CE,则AF+CE的最小值为· 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D 【答案】√29 【分析】在CB上取点H,使得CH=CD,连接HF,过点H作HG⊥AD于点G,作点A关于CD的对称点 A,连接A'F,首先证明△HCF≌ACDE,由全等三角形的性质可得HF=CE,再由轴对称的性质可得 AF=AF,易知AF+CE=AF+HF,当点A'、F、H三点共线时，A'F+HF取最小值，即AF+CE取最 小值，然后证明四边形HGDC为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得AH的值，即可获得答案， 【详解】解：如下图，在CB上取点H,使得CH=CD,连接HF,过点H作HG⊥AD于点G,作点A关 于CD的对称点A,连接A'F, A G E B ~四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3, ∴.∠ADC=∠DCB=90°，CD=AB=2, 在△HCF和△CDE中， CF=DE ∠HCF=∠CDE=90°， CH =CD △HCF≌aCDE(SAS), ∴HF=CE, ~点A与点A关于CD对称， ..AF=AF',A'D=AD=3, ∴AF+CE=AF+HF, 当点A、F、H三点共线时，A'F+HF取最小值，即AF+CE取最小值， 此时~∠HCD=∠CDG=∠HGD=90°， 四边形HGDC为矩形， .GD=CH=CD=2,GH=CD=2, 19/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A'G=A'D+DG=5, A'H=VHG2+4'G2=2+5=29, ∴此时AF+CE=AF+HF=A'H=N29,即AF+CE的最小值为√29 16.(2026·江苏南京鼓楼区·一模)如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与 BC交于点G,若∠ABC=65°，则∠EAC= 【答案】50 【分析】首先由旋转性质得△ABC三△ADB,从而AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE;由 AB=AD可知△ABD为等腰三角形，结合已知∠ABC=65°求出∠BAD;再利用∠BAC与∠DAE的等量关 系，推出∠EAC=∠BAD,进而得到∠EAC的度数， 【详解】解：~△ABC绕点A旋转至△ADE的位置， ·△ABC=△ADE, AB=AD,∠ABC=∠ADE=65°，∠BAC=∠DAE, AB=AD, ·△ABD是等腰三角形， ∠ABD=∠ADE=65°， ∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADE=180°-65°-65°=50°， 又~∠BAC=∠DAE, :.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠EAC=∠BAD=50°， 17.(2026·江苏泰州·一模)如图，A,B是⊙O上的点，△AOB和△BOF是位似图形，位似中心为点O, 点A,B对应点是点E,F,EF与⊙O相切，若⊙O的半径为5，AB=6,则EF的长为· 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5 【分析】本题考查位似图形的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质，先根据垂径定理求出AC的长 度，再利用勾股定理求出OC的长度，然后根据位似图形的性质得到△AOB与△BOF相似，最后根据相似三 角形的性质求出EF的长度， 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C,过点O作OD⊥EF于点D, B C ⊙0的半径为5， ∴OA=OB=OD=5, AB=6, 4c83 在Rt△AOC中，0C=VOA-AC2=V52-32=4, ~△AOB和△BOF是位似图形，位似中心为点O, △AOBn△EOF, ~EF与⊙O相切， OD⊥EF, AB OC EF OD' 即： 64 EF 5 解得：EF=15 15 故答案为： 2 18.(2026·江苏淮安·一模)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O,将△DBC沿DB翻折 图到△DBC,DC'交B于点B,蛋接CC分别交DB,B于点R,G.若长，PG=2,则 EG C'G= 21/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 1 2 【分析】由折叠的性质可得，∠CDB=∠CDB,CD=CD,CF=CF,由平行四边形的性质可得， AB∥DC,AB=DC,进而可证明EC=EC.使用等量代换可得，AB=EC',因此A5-1.由平行可判 EG 定△BFG∽△DFC,则 二)，因此FC=FC4,再根据线段的和差关 【详解】解：由折叠的性质可得，∠CDB=∠CDB,BD垂直平分CC', .CD=C'D,CF=C'F, ∠DCC=∠DCC', 四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC,AB=DC, ∠ECC=∠DC,∠CDB=∠ABD,AB=DC', ∠DC'C=∠EGC',∠AD=∠CDB, :.EC=EG,ED=EB, AE=AB-EB,EC DC-ED, ..AE=EC", :AB=EG,即g-l, EG AE 1 BG 2' ..BG=2AE, ÷B=DC=AE+EG+BG=4AE, AB∥DC, △BFG∽△DFC, FG BG 2AE 1 FC DC 4AE2' .FC=2FG=4, FC=F℃=4， ∴CG=F℃-FG=4-2=2, 故答案为：1；2. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质，熟练草握平行四边形的性质是关键， 19.(2026·江苏扬州·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E,若AB=10, CD=8,则BE=· B 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键 出半径OC=OB)AB=5,很据垂径定理可得CE=,CD=4,在Rt△OBC中利用勾股定理求出 2 的长，再利用线段的和差即可求解 【详解】解：~AB是⊙O的直径，AB=10, 2B=5, 4.OC=OB= CD是OO的弦，AB⊥CD于点E,CD=8, aC8=00=4, 在Rt△OEC中，OE=VOC2-CE2=V5-42=3, BE=OB-OE=5-3=2. 故答案为：2. 20.(2026江苏宿迁一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,点D、E分别在AB、AC上， AD=V5AE,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,FD交AC于点G,当DG=DB时，折痕DE 的长度为 B D 【答案】42 23/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角 形的判定和性质，过点D作DH⊥AC于点H,设AE=x,则AD=√5x,根据△ADH∽△ABC,可得AH=2DH, 从而得到△DEH为等腰直角三角形，进而得到DE=√2x,∠DEH=45°，∠AED=135°由折叠的性质得： BF=AB=DH，∠HED=∠DEF=13S,DF=AD=V5x,证明aEPG≌aHDG(AAS),可得DG=5 x 2 从而得到BD=AB-AD=2√5-√5x,再由DB=DG,可求出x的值，即可求解. 【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H, B D A.2--- GH 设AE=x,则AD=√5x, ∠AHD=∠ACB=90°，∠A=∠A, .△ADH∽△ABC, DH AH BC AC BC=2,AC=4, DH AH 24 AH2即AH=2DH, DH 1 :.AD=5DH ..DH =x,AH =2x, ..EH=x=DH=AE, “△DEH为等腰直角三角形， ·DE=2x,∠DEH=45°， ∠AED=1350 由折叠的性质得：EF=AE=DH,∠AED=∠DEF=I35°，DF=AD=√5x, ∠FEG=∠DEF-∠DEH=90°， ∴.∠FEG=∠DHG, :∠EGF=∠DGH,EF=DH, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△EFG≌aHDG(AAS), :.DG=FG, DG= 5 2t, AB=VAC2+BC2=25, .BD=AB-AD=25-5x, DB=DG, 25-5x=5 4 解得：x= DE=V2=4 3 故答案为： 4v2 3 二、解答题 21,(2026·江苏徐州·一模)已知，正方形ABCD与正方形AEFG. (I)如图，连接DE和BG交于点M,则∠EMG=_°； B ②如图，连接CP和BG,求CF的值， BG G (3)如图，正方形AEFG绕点A旋转，在旋转的过程中，当点F落在射线DA的延长线上时，若AD=2, 25/81 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG=2√互，在射线DB上是否存在一点P使得∠APF最大，若存在，直接写出DP的长若不存在，请说明 理由 E G 【答案】(1)90 (②V2 (3)存在，DP=25 【分析】(1)利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过SAS证明△DAE2△BAG,得到对应角相等，再 结合对顶角与三角形内角和，推导出∠EMG=90°； (2)连接AC、AF,根据正方形对角线与边长的关系，得到AC、AF与AB、AG的比例关系，同时推出 ∠CAF=∠BAG,从而证明△CAF∽△BAG(相似比为V2),进而得出CF与BG的比值为V2; (3)连接EG,AF交于点H,作过A,P,F的⊙O,证明∠APF=∠AOH,在Rt△AOH中，当AO越小∠AOH 越大，又OA=OP,即OP越小时，∠AOH越大，接着证明当OP⊥DB时，OP最小，此时圆O与射线DB 相切于点P,∠APF达到最大，延长PO交⊙O于点Q,连接AQ,证明△DAP∽△DPF,利用三角形相似求 得答案， 【详解】(I)解：设AE、BG交于点N, E ~正方形ABCD与正方形AEFG, ∴.AB=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， ∴.∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE, ∴.∠DAE=∠BAG, ·△DAE≌△BAG(SAS), 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AED=∠AGB, ∠AGB+∠ANG=180°-90°=90°，∠BNE=∠ANG, ∠AED+∠BNE=90°， ÷∠EMG=180°-（∠AED+∠BNE)=180°-90°=90°； (2)解：连接AC、AF, E 正方形ABCD与正方形AEFG, ∴AC=V2AB,AF=V2AG,∠BAC=∠FAG=45°， ∠C4P=∠B4G,且4C-4g=V5, AB AG ∴△CAF∽△BAG,相似比为V2, CF =N2: BG (3)解：存在，DP=2V5,理由如下： 连接EG,AP交于点H, ~正方形AEFG的边长AG=2√2， AE=EF=22,∠AEF=90°，EG⊥AF,AH=HF, “AF=VAE+EF=(22+(22=4, EG⊥AF,AH=HF, “EG所在的直线垂直平分AF, 作AF的垂直平分线直线EG,作直线AP的垂直平分线交EG于点O,连接OA,OF,OP, ∴OA=OF=OP, A,F,P都在⊙O上，如图所示： 27/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G OH=OH,OA=OF,AH=FH, AOAH≌△OFH, ∴∠AOH=∠FOH, Y∠AOH+∠FOH=∠AOF, ∠A0H= ∠AOF, 2 ~∠APF= ∠AOF, 2 .∠APF=∠AOH, ∴当∠AOH达到最大值时，∠APF最大， 在Rt△4OH中，∠AH0=90°，AH=AF=2, ·∠AOH随AO的减小而越大， 又OA=OP, :即当OP取最小值时，∠AOH最大， 过点O作OU⊥DB于U,如图所示： OUU≤OP, ∴当P与U重合时，即OP⊥DB时，OP最小， 此时圆O与射线DB相切于点P,OP最小，此时∠APF达到最大， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示，∠OPD=90°，延长PO交⊙O于点Q,连接AQ: B - D G P№是⊙O的直径， ÷∠PA0=90°， 又∠OPD=90°， ∠DPA+∠APQ=∠APQ+∠POA=90°， ∠DPA=∠PQA, PQA=∠PFA, ∴.∠DPA=∠PFA, '∠PDA=∠PDF, △DAP∽ADPF, DA DP DP DE DA=2,AF=4, DF=DF+AF=2+4=6, 2 DP .DP=2V3; 故存在点P,DP=2V5. 22.(2026·江苏无锡滨湖区·一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物AB 的高度.如图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana)为l:V5,CD=32m, 在D处测得A处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. 29/81 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30>C 75 a D (I)求∠DAC的度数； (②)求建筑物AB的高度，（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1)45 (2)(24+85)m 【分析】(1)过点C作CF⊥AB于点F,由三角形内角和定理得∠BAC=60°，在Rt△ABD中， ∠ADB=75°，可得∠BAD=15°，从而可求出∠DAC; (2)过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,求出CE=16m,再求出CG=16m,DG=16V5m, 可得AC=(16+165)m,进而得出AF=)4C=(8+83)(m),即可求出AB. 【详解】(1)解：过点C作CF⊥AB于点F,如图， G 30°C 75a 则∠AFC=90°， ∠ACF=30°， ÷.∠CAF=180°-90°-30°=60°， 在Rt△ABD中，∠ADB=75°，∠ABD=90°， ∠BAD=180°-90°-75°=15° ∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-15°=45°： (2)解：过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,如图， i=1:V3, CE 13 .tana=DE33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=30°， 设CE=x,则DE=V5x, 在Rt△DCE中，CD=32m,DE2+CE2=CD2, (V3x+x=32, 解得x=16(负值舍去)， .CE=16m, CF⊥AB,FB⊥BE,CE⊥BE, 四边形CFBE是矩形， ..FB=CE=16m, CF⊥AB,FB⊥BE, CF∥BE, DCF=∠CDE=30°， ∠DCA=∠DCF+∠FDA=30°+30°=60°； 又∠ADB=75°， ·∠ADC=180°-∠ADB-CDE=180°-75°-30°=75°， ~DG⊥AC,即∠DGC=90°，且∠ACD=60°， ∠CDG=180°-90°-60°=30°， ∠ADG=45°； 在Rt△CDG中，CD=32m,∠CDG=30°， cG-CD-16(m) ÷DG=VCD2-DG=V322-16=16v5(m), 又∠DAC=∠ADG=45°， .AG=DG=165(m), AC=AG+CG=(16N3+16)(m), 4=4c=(8+85jm), AB=AF+FB=8+8V3+16=(24+8V3m 23,(2026·江苏无锡滨湖区·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E在边BC上，且 31/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=4,动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ 交边AD或边DC于点Q,连接PQ,当点Q与点C重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒 (t>0). 0 (备用图) (I)当点Q与点D重合时，求t的值； (②)作点E关于直线P№的对称点F,连接PF、QF, ①当点P与点A重合时，求四边形EPFO和矩形ABCD重叠部分的面积； ②当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围， 【答案】(1)8秒 Q034号：②0<1s9-35成- 3或1=14 【分析】(1)当点Q和点D重合时，点P在AB边上，设BP=a,则AP=AB-BP=6-a,由勾股定理得 PE2=a2+16,E02=72,P0=a2+88,PQ2=(6-a)2+100,则a2+88=(6-a)+100,由此解出a=4, 进而可求出t的值； (2)①设F交AD于H,根据矩形的性质得到CD=AB=6,BC=AD=10,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 证明△QEC≌△EPB(ASA),得到CO=BE=4,QE=EP,进而证明∠EQP=∠EPQ=45°，根据轴对称的性 质得到∠BOP∠F0P=45,证明eCOE∽.D0,求出DH-手，根据四边形P0和矩形ABCD重叠部 分的面积=S矩形ABcD-S。ABB-ScQ-SQDH计算即可； ②分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时 如图，③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解， 【详解】(1)解：当点Q和点D重合时，点P在AB边上，如图所示： A D(O 在矩形ABCD中，AB=6,AD=10, CD=AB=6,BC=AD=10,∠A=∠B=∠C=90°. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BP=a,则AP=AB-BP=6-a, 在Rt△BPE中，由勾股定理得：PE2=BP+BE2=a2+16, 在Rt△CEQ中，CQ=CD=6,CE=BC-BE=10-4=6, 由勾股定理得：E0=CQ+CE=72, :∠PEQ=90°， 在Rt△PEQ中，由勾股定理得：PQ=PE2+EQ=a°+88， 在Rt△APQ中，AQ=AD=I0, 由勾股定理得：PQ2=AP2+AQ2=(6-a)2+100, .a°+88=(6-a)+100, 解得：a=4, t=(4+4)÷1=8秒： (2)解：①当点P与点A重合时，如图所示，设OF交AD于H, A(P) H D ×∠PEQ=90°， ÷∠PEB+∠QEC=90°， ~四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6,BC=AD=10,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°， ∠PEB+∠EPB=90°， ∠QEC=∠EPB, CE=BC-BE=10-4=6 ∴.PB=CE=6 .△QEC≌△EPB(ASA) ..cO=BE=4,OE=EP, D0=2, 33/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PEQ=90°， ÷∠EQP=∠EP9=45°， ~点E关于直线P№的对称点F, ∠EQP=∠FQP=45°， .∠EQF=90°， ∠CQE+∠DQH=90°， ∠D=90° .∠DHQ+∠DQH=90° ·∠CQE=∠DHQ △COEADHO CO CE DH DO 46 DH 2' .DH= 3 四边形EPFO和矩形ABCD重叠部分的面积=SE形cD-SAg-SrQ-SDH 6x10--x6x4--x6x4-2 4 ×2× 2 3 =60-12-12- 3 3 3 ②如图所示，当点P在BE上，且四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时， D OE=OF=6,AO=BE=4, BP E 在Rt△AQF中，AF=VQF2-AQ2=62-42=2√5， 则BF=6-25, PE=t, ..BP=4-t,PF PE=t, 在Rt△PBF中，PF2=PB+FB2, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f=(6-25+(4-t)°， 解得t=9-35, 当t<9-3√5时，点F在矩形内部， 0<t≤9-35符合题意. 当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图， A(F D PB=t-BE=t-4,PE=AP=AB-PB=6-(t-4)=10-t, 在Rt△PBE中，PE=PB+BE2, .(10-t)=(t-4)+42, 解得t=1 当点P在AD上，当F,D重合时，此时点Q与点C重合， D(F) E C(O) 则四边形PFQE是正方形，四边形ABEP是矩形， ∴AP=BE=4, 此时t=4+6+4=14. 综上所述，0<t≤9-35或t= 3或1=14. 24.(2026江苏宿迁宿豫区.一模)如图1，已知△ABC一△ADE,∠ACB=∠AED=90°， AC =m,△ADE AE 可绕点A旋转，连接CE、BD, 图1 图2 图3 35/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△ACE∽aABD; (2)如图2，若m= AC=5,sm∠ABC-,当点B在直线AC下方且C、B、D三点在一条直线上时， 5 求线段BD的长； (3)如图3，若m=1,延长CE交BD于点F,CE=BF,求∠ABC的度数， 【答案】(1)见解析 (2)BD=8 (3)∠ABC=30° 【分折】I由△1C△4DE得份C,BAC=∠D4B,再建明∠CMB=RD,进可正 △ACE∽AABD; (2)由4C =m,m= E 3’AC=5,可求出AE=3,在Rt△ABC中，求出∠ABC=30,BC=5N5,在Rta4DB 中，求出AD=6,DE=3V5,由C、E、D三点在一条直线上时，可得∠AEC=90°，在RtAACE中，求 出CE=4,然后根据△ACE∽△ABD即可求解： (3)连接AF,由△ABC一△ADE,m=1可得AB=AD,AC=AE,结合△ACE∽△ABD可证∠ACE=∠ABD, 从而点A,C,B,F共圆，得出∠APB=90°，三线合一可得BF-FD=)BD,由ACE4BD可得4C-BF=} 2 AB BD 2' 进而可求出∠ABC的度数： 【详解】(1)证明：△ABC∽△ADE, AB AC AD AE ,∠BAC=∠DAE, AE AC ,∠BAC+∠B4AE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD, AD AB AE AC ∠CAE=∠BAD, AD AB .ACE△ABD; 5 (2)解： AC AE =m,m=34C=5,即5- 4B3' ∴.AE=3, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Sin∠ABC=1 ∴.∠ABC=30°， ∴.AB=2AC=10,BC=VAB2-AC2=V102-52=5v5, ,△ABC∽△ADE, ∴.∠ADE=∠ABC=30°， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .在RtADE中，AD=2AE=6,DE=NAD2-AE2=V62-32=3V5, C、E、D三点在一条直线上时，∠AED=90°， ∠AEC=90°， ∴在RtACE中，CE=VAC2-AE=V52-3=4, 由(1)可知，△ACE∽AABD, CE4C,即45， BD AB BD 10 解得BD=8; (3)解：如图3，连接AF, 图3 △ABC~△ADE, BC ABAC DE AD AE :m=1,即4C=1, AE .AB=AD,AC=AF, ·∠ACE=∠AEC,∠ABD=∠ADB. '△ACE∽AABD, ∠ACE=∠ABD,∠AEC=∠ADB, ∠ACE=∠ABD, 点A,C,B,F共圆， ∠ACB+∠AFB=180°. ∠ACB=90°， ∴∠AFB=90°， :.BF=FD=BD, 2 △ACE∽AABD, AC CE AB BD 37/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=BF, AC BF 1 ABBD2' sin∠ABC=AC_1 AB2' ∠ABC=30°. 25.(2026江苏宿迁一模)按要求解答问题： (I)【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC,则△ABC~△ADE,把△ADE 绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE,如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以 证明， D 图1 图2 (2)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15,AC=V5,D、E、M分别是AB、AC、 BC中点，连接DE, D B ①如图，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系 和数量关系： B ②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接CD和CE,取CD中点N,连接MN,若 MN=V5,求CE的长. B M 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【创新应用】如图：AB=AC=AE=√5，BC=2,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着 点A旋转，连接BE,F是BE上一点， =,连接CP,请直接写出CF的取值范围， D F B 【答案】(I)△BAD∽△CAE (2)①BD=5EC;BD⊥CE;②EC=2 636 5 CF56V5 5 5 【分析】(1)利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质； (2)①利用相似三角形的性质证明AB与AC之间的关系，本题即可求解； ②连接BD,利用相似三角形的性质求出BD,再利用三角形的中位线的性质，求解即可； (3)过点A作AK⊥BC,过点C作CJ⊥AB,连接FJ,证明FJ∥AE,求出JF与JC本题即可求解. 【详解】(1)解：如图，△BAD∽△CAE, E.△ABC∽△ADE, B AB_AC ADAE’ AB AD AC AE 又：∠BAC=∠DAE, ∠BAD=∠CAE, ∴.△BADP△CAE; (2)解：①如图，在Rt△ABC中， D ∠BAC=90°， M 39/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠c=AB 4c, ∴.AB=V3AC, 又：BD=AB,EC=4AC, 2 ..BD=3EC. 如图，延长BD与CE相交于点F,与AC相交于点H, :∠BAC=∠DAE=∠90°， B M ∠BAD=∠CAE, 又：-D=5, AC AE .∴△BADP△CAE, ∴.∠ABD=∠ACE, '∠AHB=∠CHF, △ABH∽△FCH, 又：∠BAH=90°， ∴.∠HFC=90°， .BF⊥EC, 即，BD⊥EC, 故答案为：BD=N5EC;BD⊥EC; ②如图，连接BD, :∠BAC=∠DAE=∠90°， D B M ∠BAD=∠CAE, 又：4g-4D-5, AC AE ∴.△BADACAE, BD=4B=3. EC AC 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又M是BC的中点，N是CD的中点， .BD =2MN =23; EC=23 ≥2 5 (3)解：如图，过点A作AK⊥BC,过点C作CJ⊥AB,连接F, D :AB=AC=V5,AK⊥BC, :.BK=CK=-BC=1, ..AK=VAC2-CK2=2, 又：BCAK=4ABCJ, Cw=45 4J=ACC35 ==V5-35_25 55 ∴.BJ:AB=2:5 ∴.BF:BE=2:5, BJ BF 2 BA BE 5' .FJ川AE ∴.△BJF∽△BAE .FJ BI2 AE AB 5 -号服25 ∴.CJ-JF≤CF≤FJ+CJ, 即25：cFs65 5 26.(2026江苏省无锡市江阴市一模)如图，在直角△ABC中，∠B=90°， 41/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ◇ B 备用图 (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D,在AC上作一点E,使得AE=DE;(不写作法，保留 痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=4,BC=3,则DE= (若需画图，请用备用图) 【答案】(1)见解析 号 【分析】(1)利用角平分线和线段垂直平分线的作法进行作图： /,4C于点F,根据角平分线的性质得出BD=DP,根据等面积得 明Rt△ABD≌Rt△AFD，得出AF=AB=4,假设AE=DE=x,根据线段垂直平分线的性质以及勾股定理列 出方程求解即可. 【详解】(1)解：如图，AD和点E即为所求； B D八 (2)解：如图，过点D作DF L AC于点F, AD平分∠BAC,且∠B=90°， ..BD=DF, 由勾股定理得AC=VAB+BC=5, .AB.BD+AC.DF=AB-BC, 21 2 2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即x4BD+-X5DF=X4×3) 2 4 解得BD=DF 3 在Rt△ABD和Rt△ADF中， AD=AD BD=DF ∴RtAABD≌Rt△AFD(Ⅲ)， ..AF=AB=4, 由线段的垂直平分线的性质可得AE=DE, 假设AE=DE=x,则EF=AF-AE=4-x, 由勾股定理得DE2=EF+DF2, 解得x=20 9 即DE=20 27.(2026江苏省无锡市一模)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、BD、CE,请找出图中 与△ABE全等的三角形并证明. 【答案】△DCE≌△ABE,见解析 【详解】解：△DCE≌aABE,证明如下， :四边形ABCD为矩形， ∴，AB=DC,∠A=∠ADC=90°. E是AD中点， ..AE=DE .ADCE2△ABE(SAS) 28.(2026江苏省无锡市宜兴市·一模)数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中 43/81 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边BC长均为4dm.同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动. D(E 图① 图② 图③ 图④ 备用图1 备用图2 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折、使边AD,BC重合，展开后折痕与AB交于点F. 第二步：如图②，在AD上取一点E,沿BF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G.延长EG交BC于点H, 将纸片沿过点H的直线折叠.使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M. (I)求证：BH=GH. 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片，在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时， 此时点F、G、M三点在一条直线上， (②)求AB的长. 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了AB=2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E), 且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接G孔M,当△EGM为直角三角形时， 则MH的长为 【答案】()见解析 (2)4v2 (3)2√2dm或v6dm 【分析】(I)连接FH,根据折叠的性质得到FG=FA=FB,再证明Rt△FBH≌Rt△FGH(HL)即可； (2)证明△HGM≌△HCM,则HG=HB=HC=2,再对Rt△DCH运用勾股定理求解即可： (3)当∠GEM=90°时，可得四边形ABHE是矩形，则EH=AB=2dm,然后可得△EHM为等腰直角三角 形，则MH=VEH?+EMP=2√2dm;当∠EGM=90°时，连接FH,过点M作MK⊥BC于点K,先得到 F,G,M三点共线，求出FM=FG+GM=1+2=3,则AM=√FMP-AF2=2V2=BK，再证明 △HM伛∽△FHB,设HK=x,则BH=2√2-x,根据相似三角形的性质求解x=V2,最后由勾股定理求 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得到HM=VHK+M2=√6 【详解】(1)证明：连接FH,如图②： B M 图② 由第一次折叠可得，AF=BF, ~四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=90° 由第二次折叠可得，AF=FG,∠A=∠FGE=90° ∠FGH=180°-∠FGE=90°=∠B,FG=FB .FH=FH, :Rt△FBH≌Rt△FGH(HL), ·BH=GH; (2)解：连接FH,如图③： A B G H D(E) 图③ 由②得，∠FGE=90°， .∠HGM=∠FGE=90° 矩形ABCD, ∠C=90°，AD=BC=4,AB=CD ∠HGM=∠C=90° 由折叠可得，∠CHM=∠GHM .HM HM 45/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷.△HGM≌△HCM(AAS) .HC=HG, 由(1)得， Rt△FBH≌Rt△FGH ∴HG=BH ..BH CH=- 1BC=2 ∴HG=2, 由折叠可得，DA=DG=4 ..DH=DG+GH=6, ∴CD=VDH2-CH2=4V5, AB=4v2; (3)解：当∠GEM=90°时， ∠AEH=180°-∠GEM=90° 矩形ABCD, ∠A=∠B=90° ∴∠A=∠B=∠AEH=90° :四边形ABHE是矩形， ∴EH=AB=2dm,∠BHE=90° .∠EHC=90°， 由折叠可得，M平分∠EHC ∠EHM=45°， ∴△EM为等腰直角三角形， ∴MH=VEH+EM2=2√2dm; 当∠EGM=90°时，连接FH,过点M作MK⊥BC于点K, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则∠MGH=∠MKH=90°， 折叠， .∠KHM=∠GHHM,∠A=∠FGE=90° ∴.∠EGF+∠EGM=180°， F,G,M三点共线， .HM=HM, .△HGM≌△HKM(AAS), ..MK MG, 同上可证明四边形ABMM为矩形， ..MK =AB=2,AM=BK MG=2, 由折叠可得，AF=FG, 由(I)得，Rt△FBH≌Rt△FGH ..FB=FG, AAr=B=RG-吉8 ..FM=FG+GM=1+2=3 AM=FM2-AF =22=BK, .Rt△FBH≌Rt△FGH ∴.∠FHB=∠FHG, ∠KHM=∠GHlM, 又~∠BHF+∠GHF+∠GHM+∠KM=180° ∠FHM=2(∠GHF+∠GHHM）=90° ∠B=∠MKH=90°， .∠HMK=∠FHB=90°-∠MHK ∴.△HIMK∽△FHB 47/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF BH HK MK' 设HK=x,则BH=25-x 122-x 解得x=V反 M=VHK2+MK?=√6， 综上：当△EGM为直角三角形时，则MH的长为22dm或V6dm, 29.(2026江苏省无锡市宜兴市·一模)某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展 综合与实践活动 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图.测得该斜坡坡度i=1:2.4,BM段为水平路面，B点位 置设有指示牌BP,它与地面垂直 B TM B IM F D 图① A 图② ooo可口a M B(K C 00000a =000 D 图③ 图④ 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米。 (I)求斜坡AB的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼晴到斜坡的 距离FD为1.2米.李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点， (2)求指示牌牌杆BQ的高度； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米.李老师利用大 巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合，李老师发现当他位于D点 与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点， (3)求指示牌BP的高度. 【答案】(I)斜坡AB的高度为15米； (②)指示牌牌杆BQ的高度为1.3米， (3)指示牌BP的高度为5.2米. 浙】D如图，延长PB交斜玻底面水平线于点G,易得乙4GB=90,由坡度比可得G,设BG 米，则AG=2.4x米，利用勾股定理建立方程求解即可； (2)过点B作BH⊥FQ于点H,延长PB交斜坡底面水平线于点G,证明四边形 BHFD是矩形，得到BH=DF=1.2米，易证∠QBH=∠A,得到cos∠QBH=cos∠A,即可求解； (3)作PO⊥DB交DB延长线于点O,作FO⊥PO于点Q,交CE于点R,延长PB交斜坡底面水平线于点 H,则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，得到RQ=CO,FR=DC=15米，FD=CR=OQ=1.2 米，求出ER=2米，同理(1)得BH=15米，则AH=36米，根据tan∠PBO=tan∠ABH,得到 B0P0,再证明PERFPQ,推出p0O0DC+CK+B0,即可求解出P0=48，米再表据 ER FR 12 sin∠PBO=sin∠ABH,即可求解 【详解】(1)解：如图，延长PB交斜坡底面水平线于点G, M G 由题意得∠AGB=90°， 该斜坡坡度i=1:2.4, BG 1 AG2.4' 设BG=x米，则AG=2.4x米， 在Rt△ABG中，AB=39米， 49/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB2=BG2+AG2,即392=x2+(2.4x), 解得x=15(负值舍去)， 即BG=15米， 答：斜坡AB的高度为15米； (2)解：过点B作BH⊥FQ于点H,延长PB交斜坡底面水平线于点G, P B M F D G 则∠BHF=90°， 由题意得FO IBD, ∠HBD=180°-∠BHF=90°， ∠FDB=∠HBD=∠BHF=90°， 四边形BHFD是矩形， BH=DF=1.2米， ·∠QBH+∠ABG=∠ABG+∠A=90°， ∠QBH=∠A, 由(1)知BG=15米，则AG=36米， cos∠QBH= BH BO =c0s∠4=4G=3612 AB3913' B0=1.3米 答：指示牌牌杆BQ的高度为1.3米； (3)解：作PO⊥DB交DB延长线于点O,作FQ⊥PO于点Q,交CE于点R,延长PB交斜坡底面水平线 于点H, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B(K 则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形， F A D ∴RQ=CO,FR=DC=15米，FD=CR=O0=1.2米， ∴.ER=3.2-1.2=2（米)， 同理(1)得BH=15米，则AH=36米， :∠ABH=∠PBO,∠O=∠H=90°， tan∠PBo=P O =tan∠ABH=AH=36_12 BH-155 B0-5P0, 12 :EC⊥AB,PQ⊥AB, :ER∥PQ, △TERAFPO, ER FR PO FO' ER FR PO DO' ER FR PO-00 DC+CK+BO' 2 15 P0-1.215+10+BO,即50+2B0=15P0-18, 50+2x5P0=15P0-18, 12 P0=48米， :∠ABH=∠PBO,∠O=∠H=90°， ∴sin∠PBO= PO BP =sin∠ABH=AH_36_12 AB3913' P012 BP 13 BP=5.2米， 答：指示牌BP的高度为5.2米， 51/81 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，已知△ABC中，AB>AC,AC=6. 备用图 (I)尺规作图在AB和BC边上分别确定点D、E,使得∠DEB=∠B,∠AEC=∠C;(不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，若△ADE的周长为16，求AB的长， 【答案】（①）见解析 (2)10 【分析】(1)先以点A为圆心，AC的长为半径画弧交BC于点E,连接AE,由等边对等角可得∠AEC=∠C; 再作线段BE的垂直平分线交AB于点D,连接DE,由垂直平分线的性质可得BD=DE,由等边对等角可 得∠DEB=∠B: (2)由作图知BD=DE,AE=AC,利用△ADE的周长为16，可得 AD+DE+AE=AD+BD+AC=AB+AC=16即可求解. 【详解】(1)解：如图所示为所求： D (2)解：由作图知BD=DE,AE=AC, ~△ADE的周长为16， :.AD+DE+AE=AD+BD+AC=AB+AC=16, AC=6, .AB=16-AC=10. 31.(2026·江苏无锡锡山区·一模)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，将矩形ABCD 沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G,PG交BC于点H. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D G G G 图1 图3 图3 (I)如图2，当P为CD的中点，AB=2,AD=3时. ①PE长度为 ②求GH的长： (2)如图3，连接BG,当P,H分别为CD,BC的中点时，设BG为y,AB为x,求y与x的函数关系 【答*1002房 ②6 【分析】(1)①利用折叠和勾股定理求解即可，②证明△DEP∽△CPH,由相似三角形的性质得出 PP阴，求出PH,再根据线段的和差关系即可得出GH. ED EP (2)延长AB,PG交于一点M,连接AP,先证明△MBH≌△PCH,得到相等的边，再根据 △BMG∽AMAP,由相似三角形的性质进一步即可得出BG和AB的函数关系， 【详解】(1)解：矩形ABCD, AB=CD=2,∠D=90°， P为CD的中点， :.DP=CP=1CD=1, 2 由折叠的性质得出AE=EP, 设AE=EP=x,则ED=3-x, 在Rt△EDP中，EP2=ED+DP. 即x2=(3-x)+12, 解得x= 3 ②：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=∠C=90°， ∴.∠1+∠3=90°， :E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， 53/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EPH=∠A=90°， ∴.∠1+∠2=90°， .∠3=∠2， .△DEP∽△CPH; ED EP PC PH' EP-AE= 3 .ED=AD-AE=4 P阳子 .PG=AB=2, .GH-PG-PH- D G (2)解：如图，延长AB,PG交于一点M,连接AP, E As3---- :E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， B H G ∴.AP⊥EF,BG⊥直线EF, ∴.BG∥AP, AE=EP, ∠EAP=∠EPA, 又：∠BAE=∠GPE, .∠BAP=∠GPA, .∴△MAP是等腰三角形， ..MA=MP, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P为CD中点，AB=x,四边形ABCD为矩形， PG=CD=AB=x,DP=CP=* ,H为BC中点， .BH=CH, ,:∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH, ·.△MBH≌△PCH(ASA), E A-- D 六BM=CP=克M=HP, G MP=MA-MB+AB=3 , HP=PM= x, 在R△PCH中，CH=VPH-PC= -x, 4 .BC=2CH= 2t, AD-BC= 2, 在Rt-4PD中，AP=VAD+PD=6 :BG∥AP, .△BMG∽△AMP, BG BM 1 AP AM3' .BG= 6t, 即y=6 . 32.(2026·江苏苏州·一模)如图1，在△ABC中，AF为BC边上的中线，BE L AF交AC于点E,此时 我们称点E为B、C的“垂对称点”，特别的，当点E也为AC中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角 形”，例如，图2、图3中，AF,BE是△ABC的中线，AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均为中 垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c, 55/81 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA 图1 图2 图3 图4 图5 (I)【特例探究】如图1，∠ABC=90°，AB=BC,E为B、C的“垂对称点”，c=4,则CE= 如图2，△ABC为中垂三角形”，当∠ABE=45°，c=2V2时，则EF=,a=，b=: (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想α2、b、c2三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG, AD=2N5,AB=3,求AF的长度. (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点C(2,2),∠C=45°，点A在x轴上，点B在y轴上，CB 与x轴交于点Q,当CP=OB时，求证：O为线段PB的黄金分割点， 【答案】0)45，V2:25;2N5 3 (2)a2+b2=5c2,证明见解析 (3)4 (④证明见解析 【分析】(1)过点C作CH‖AB,交BE的延长线于点H,根据平行线的性质得出∠HCB=90°，根据等角 的余角相等得出∠HB,A=∠BHC,根据全等三角形的判定和性质得出CH=BF=)AB,根据相似三角形的 判定和性质得出AE=2CB,结合勾股定理求出AC的值，即可求解；连接EF,根据直角三角形的性质得 出∠BAF=∠ABE=45°，根据等角对等边得出AP=BP,根据勾股定理求出AP=BP=2,根据中线的定义 以及中位线的判定和性质得出F4B,EF=】AB=√反，根据平行线的性质和等角对等边得出PE=PF, 根据勾股定理求出PE=PF=1,结合勾股定理即可求解； (2)连接8，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出EF=号4B=0,根据勾股定莲准得 EF?+AB=AE2+BF2,据此即可证明； (3)连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点Q,根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出 BG∥AC,根据平行线的性质得出BE⊥AC,根据平行四边形的性质和平行线的性质得出AD=BC=2√5， ∠EAH=∠FCH,求得AE=BF=CF=V5,根据平行四边形的判定和性质得出AQ=QF,EF=AB=3, 根据全等三角形的判定和性质得出EH=FH，根据中线的定义得出EQ,AH分别是△AFE的中线，结合 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)的结论，即可求解； (4)过点C作CH⊥y轴于点H,连接OC,根据等边对等角和三角形内角和定理求得∠HOC=∠HCO=45°， 根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出∠PCO=∠PBC,根据相似三角形的判定和性质得出 OP PC O8那，即可证明. PCBP，等童代换得出OP=OB 【详解】(1)如图所示，过点C作CH‖AB,交BE的延长线于点H, AB∥CH,∠ABC=90°， ∠HCB=180°-∠ABC=90°， ∠HBC+∠HBA=90°，∠HBC+∠BHC=90°， .∠HBA=∠BHC, ∠HCB=∠ABC=90°，AB=BC,∠HBA=∠BHC, △ABF≌△BCH, acm-8r-号8 AB∥CH, △CHE∽△ABE, CH CE 1 ABE2 即AE=2CE, 在Rt△ABC中，AB=BC=c=4, AC=JAB+BC2=+4=42 AC=AE+CE=2CE+CE=3CE=42 故CE=4 3 如图所示，连接EF, 57/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B 根据题意可得：AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE,AB=c=2N5; :AF⊥BE,∠ABE=45°， ∠BAF=∠ABE=45°， :.AP=BP, 在RteAPB中，AB=VAP?+PB=V2AP=2V2, 故AP=BP=2, ~AF、BE是△ABC的中线， :AE=CE,BF=CF, BF是△ABC的中位线， 即∥AB,F-号=5， ∴.∠PFE=∠PEF=∠BAF=∠ABE=45°， 故PE=PF, 在Rt△EFP中，EF=NEP+FP?=5EP=2, ∴.PE=PF=1, 在Rt△PEA中，AE=VEP2+AP2=V+22=V5, 在RteFPB中，BF=VFP2+BP2=V1+22=N5, AC=2AE=25,BC =2BF=25, 即EF=√2，a=25,b=25. (2)猜想：a2+b2=5c2, 如图所示，连接EF, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据题意可得：AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE, 即44c,脉c0, 2 AF、BE是△ABC的中线， ..AE=CE,BF=CF, EF是△ABC的中位线， 则F=AB=, 1 2 2 在Rt△EFP中，EF?=EP2+FP2, 在Rt△ABP中，AB2=AP+BP, 在Rt△PEA中，AE2=EP2+AP2, 在Rt△FPB中，BF2=FP+BP, 故EF2+AB=(EP+AP）+(PF2+PB)=(EP+PF)）+(AP2+PB)=AE+BF2, -8- 整理，得a2+b2=5c2 (3)如图所示，连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点Q, ~点E、G分别是AD、CD的中点， “EG是△ACD的中位线， ∴.EG∥AC, :BE⊥EG, .BE⊥AC, 四边形ABCD是平行四边形， 59/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AD∥BC,AD=BC=2N5, .∠EAH=∠FCH, 点E,F分别是AD,BC的中点， .AE=AD,BF=IBC, 2 2 .AE=BF=CF=LAD=5, :AE∥BF, 四边形ABFE是平行四边形， ..AO=OF,EF=AB=3, ∠EAH=∠FCH,∠AHE=∠FHC,AE=CF, △AEH≌△CFH, .EH FH, EQ,AH分别是△AFE的中线， 由(2)的结论得：AF2+EF2=5AE2, AF2=5AE2-EF2=5(V5)-32=16, ∴.AF=4, (4)如图所示，过点C作CH⊥y轴于点H,连接OC, Hh. A B 即∠CHO=90°， 根据题意可得CH=OH=2, ∠HOC=∠HC0=45°. 在△OBC中，∠HOC=∠OBC+∠BCO=45°， 又∠ACB=∠ACO+∠BCO=45°， ∠PCO=∠PBC, ∠OPC=∠CPB,∠PCO=∠PBC, .△OPC∽△CPB, OP PC PC BP 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：PC=OB, 故OPOB OB BP 点O为线段PB的黄金分割点 33.(2026·江苏徐州·一模)【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： B E B E D 图1 图2 图3 (1)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段 EF,连接CF,求∠DCF的度数， 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形ABCD是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题 (②)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边BC上一点，连接AB,过点E作EF⊥AE,点F在 BC的上方并满足 B3,连接CF,求am∠DCF的值. EF 4 【学以致用】 小组同学想进一步对图中∠AEF进行变换，于是提出下面的问题： (3)如图3，在边长为6V3的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E为边BC上一点，连接AE,将AE绕点E顺时 针旋转120°得到EF,连接AF,BF,CF,AF交CD于点G,若G为边CD的三等分点(CG>GD),求 △EBF的面积. 【答案】(1)45° a 6③108V5 25 【分析】(1)过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G,先证△ABE≌△EGF(AAS),则AB=EG=BC, BE=GF,即CG=BE,则CG=GF,可得∠FCG=45°，可求∠DCF的度数； 2)过点F作阳LBC交BC的延长线于点，先证△ABB∽△B那，则AE=4B-BE-3, EF EH FH4，可得 61/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F阳：由EHIDC,则∠DCF=∠CH,可得an∠DCr=:tan/CFH-CH_3 CH 3 FH4: (3)延长FC,AB交于点N,在AB上取一点M,使AM=CE,作BQ⊥EM于Q,过点F作FP⊥BC交BC 的延长线于点P,先证△.AEM≌aEFC(SAS),则∠AME=∠ECF,EM=FC.可得 ∠BME=∠NCB=30.证明∠N=90,可得CG=4V5,DG=2V5;再t证*FCGFNA,可得C-CG FN AN 可求FC= -BM:再得出BE125,由P-号.可求△EBF伯面积 5 5 【详解】(1)解：如图1，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G, D .∠G=90°， B E :四边形ABCD为正方形， ∴.∠B=∠G=90°，AB=BC, .∠BAE+∠AEB=90°； :AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF, ∴.AE=EF,∠AEF=90°， .∠AEB+∠GEF=180°-∠AEF=90°， ∴∠BAB=∠GBF, 在△ABE和△EGF中 ∠BAE=∠GEF ∠B=∠G AE=EF ∴.△ABE≌△EGF(AAS), .AB=EG=BC,BE=GF ∴.EG-EC=BC-EC,即CG=BE, ..CG=GF, ∴.∠FCG=45°， :∠DCG=90°， .∴.∠DCF=∠DCG-∠FCG=45° (2)解：如图2，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .∠H=90°， B E :四边形ABCD为矩形， .∠B=∠H=∠BCD=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=90°， EF⊥AE, ∴.∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠HEF=180°-∠AEF=90°， ∴.∠BAE=∠HEF, ∴.△ABE∽△EHF, AE AB BE3 EF EH FH4' AB=6,BC=8, ∴.EH=8=BC, .BC-EC=EH-EC,BE CH, CH 3 FH 4 ∠BCD=∠H=90°， .EH∥DC, ∴.∠DCF=∠CFH, tan☑DCF=tan∠CFH=CH_3 FH 4 (3) 解如图3，延长FC,AB交于点N,在AB上取一点M,使AM=CE.作BQ⊥EM于Q.过点F作FP⊥BC 交BC的延长线于点P, N C E M :四边形ABCD为菱形， D 63/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AB=BC,CD∥AN, ∴AB-AM=BC-CE,即BM=BE, ·∠ABC=120°， ∴，∠BEM=∠BME= 080-∠48cC)=30, ∴.∠CBN=∠BEM+∠BME=6O°， ∴.∠CBN=∠BAE+∠BEA=60°， ·∠AEF=120°， ∴.∠PEF+∠BEA=180°-∠AEF=60°， ∴.∠BAE=PEF, 在△AEM和△EFC中 AM=CE ∠BAE=∠PEF, EA=EF .∴△AEM≌△EFC(SAS), ∴.∠AME=∠ECF,BM=FC, ∴.180°-∠AME=180°-∠ECF,即∠BME=∠NCB=30°， .∠CBW=60°， ∴.∠N=180°-∠CBN-∠NCB=90°； :菱形的边长为6V5, .AB=BC=CD=63. ∴.BN= ac=35, ∴.CW=VBC2-BN2=9, ∴.AN=AB+BN=9N3, G为CD的三等分点，CG>GD, .CG=45,DG=2N5, :CD∥AN, ∴.∠FCG=∠N,∠FGC=∠FAN, ∴.△FCG∽△FNA, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FC CG FC 43 FN AN FC+995 GFC0EM 'BQ⊥EM,BE=BM,∠BEM=30°， ·E0=M=18 2 ..BE= EO 12V5 coS∠BEM 5 ·∠PCF=∠NCB=30°，FP⊥BP, :.FP=LEC-18 2 S=EBxFP=x12518_1085 -X 2 25525 34.(2026江苏连云港赣榆实验中学一模)【问题原型】 7 B 0 D B DB 图① 图② 图③ 如图①，∠AOB=90°，点C为AO上一点，且CO=2,D是BO边上的动点，∠DCE=90°，且 CD.CE=16,连接OE,求OE的最大值. 【问题探究】 (I)如图②，小明过点C作CF∥OB,过点E作EF‖CD,可得∠CEF=90°，连接ED、FD,将CD.CE=-l6 转化为ScD CD,CE=8,再利用SD=SAs0,通过面积计算，从而确定CF为定值，又因为 ∠CEF=90°，最终确定点E的轨迹进而解决问题， 以下是小明确认CF为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，∠CEF+∠ECD=180°，.∠CEF=90°， 证明过程缺失 .CF=8; 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 65/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写 出OE最大值= (保留作图痕迹》 【问题拓展】 (3)如图③，∠AOB=60°，C为AO上一点，CO=6,D是B0边上的动点，∠DCE=90°，且 CD.CE=18V3,直接写出OE的最大值= 【答案】(1)见解析； (2)见解析，2√5+4； (3)3√7+3. 【分析】(1)根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答： (2)以CF为直径作圆，点E的轨迹是⊙G,当O,G,E三点共线时，OE有最大值，根据勾股定理即可 解答： (3)过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD,过点C作CM⊥OB于点M,根据30度角 的性质及勾股定理得到OM=3,CM=3V5,同(1)证明CF=6,根据∠CEF=90°得到点E在⊙G上运动， 可知当OE过点G时OE的值最大，过点G作GN⊥OB于点N,过点F作FK⊥OB于点K,可知四边形 CGNM、CFKM是矩形，得到GN=CM=3√5，根据勾股定理求出OG=3√万，即可求出OE的最大值. 【详解】(1)解：补全缺失的证明过程如下： 如图1，过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD, D 图1 四边形CODF是平行四边形， ∠AOB=90°， 平行四边形CODF是矩形， .CO=DF,∠CFD=90°， .'∠DCE=90°， _1.CD-CE, :.S.CDE= .CD.CE=16, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .S.CDE= ×16=8, 1 EF∥CD, .S.CDE S.CDF, ..S.CDF =8, =xC℉×0C,0C=2,∠A0B=90°， .S.cDF=2 ∴.CF=8; (2)解：：∠CEF=90°， ∴点E在⊙G上运动： 如图2，作CF的垂直平分线交CF于点G,以G为圆心，CF为直径作圆，点E的运动轨迹就是⊙G, G B 图2 当OE过点G时OE的值最大， :CF=8, ..EG=CG=4, 由勾股定理得：0G=V22+42=2V5, ∴.OE=OG+EG=2N5+4, 即OE的最大值是2√5+4： (3)解：如图3，过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD,过点C作CM⊥OB于点M F ∴.∠CM0=90°， M D B 图3 .∠AOB=60°， 67/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0CM=30°， oM=oC=x6=3CM=v6-3=35, 2 2 ∠DCE=90°， saa号cncE, CD.CE=185, aw18v8=9v. EF∥CD, ..S.CDE=S.CDF, S.c=9V3, CFCM. cr35-5 ∴.CF=6, :∠CEF=90°， “点E在⊙G上运动， 可知当OE过点G时OE的值最大， 如图4，过点G作GN⊥OB于点N,过点F作FK⊥OB于点K, 人 M NDK B 图4 四边形CGNM、CFM是矩形， ∴GN=CM=3V5, ,CF=6 ..MN=CG=3, .ON=OM+N=3+3=6, ∴由勾股定理得：OG=VGW2+ON2=、 33+62=3V7, ..OE=0G+EG=37+3, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即OE的最大值为3√7+3 35.(2026江苏盐城响水县双语实验学校一模)主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开 展主题学习活动. 如图1，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF、EF,且满足∠EAF=45°. D D D B 图1 图2 图3 ()【常规探究】在图1中，线段BE、DF、EF之间的数量关系为· (2)【变式思考】如图(2)，正方形ABCD的边长为6，点E为边BC上的点，连接AE,取AE的中点G,F 为CD边上的点，且∠EGF=45°，若BE=2,求CF的长. (3)【拓展应用】如图(3)，点E,F为正方形ABCD的BC边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满 足卫4P=45°，求的最大值，请直接写出结果 【答案】(I)BE+DF=EF 2)cr=} 3)2+1 2 【分析】(1)【常规探究】延长CB至G,使BG=DF,连接AG,可证得△ABG≌△4DF,从而 ∠BAG=∠DAF,AG=AF，进而证得△GAE≌△FAE，,从而EG=EF,进一步得出结果： (2)【变式思考】延长AE,交DC的延长线于W,作FV⊥AW于V,可得出△ABE∽△WCE,从而得出CW 的值及EW=2AE,可证得△WF∽△ABE,从而得出WW=3FV,根据勾股定理等知识求得WG=5,可 证得GV=FV,根据G+WV=WG得出FV的值，进而得出WV的值，进一步得出结果： (3)【拓展应用】可判断当点E在CB的延长线上，点F在BE上时，存在最大值，作FG⊥AF,交AE于 G,作GW⊥BE于W,则AF=FG,∠EGF=∠AFG+∠EAF=135°，可证得△ABF∽△FWG,从而BF=GW, 队而待出作歌G的外接盟O,作0产1于严，交o0于G,当G点在G处所，最 EF 大，进一步得出结果 【详解】(1)解：【常规探究】如图1，BE+DF=EF,理由如下： 69/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G B E 图1 延长CB至G,使BG=DF,连接AG, ~四边形ABCD是正方形， ∠ABG=∠ABE=∠BAD=∠D=90°，AB=AD, △ABG≌△ADF(SAS), ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF, ∠EAF=45°， ∠DAF+∠BAE=45°， ∠BAG+∠BAE=45°， ∠EAG=45°， ∠EAG=∠EAF, AE=AE, △GAE≌△FAE(SAS), ..EG=EF, ..BE+BG=EF, ..BE+DF=EF (2)解：【变式思考】如图2， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G E V 图2 延长AE,交DC的延长线于W,作FV⊥AW于V, ~四边形ABCD是正方形， AB∥CD,BC=AB=6,∠B=90°， ·△ABE∽△WCE,CE=BC-BE=4,∠W=∠BAE, AE AB BE EWCW CE EW CW4' .CW =12,EW =2AE, ∠FVW=∠B=90°， △WTF∽△ABE, WV _AB=3, FV BE ~AE=VAB2+BE2=V6+22=2√10，G是AE的中点， EG=V10,EW=4V10, ∴WG=5V10, ×∠EGF=45°， .∠FG=90°-∠EGF=45°， ∠EGF=∠FG, ..GV=FV, 71/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .VG+WV=WG, .FV+3FV=510, FV=510 4 WV=1510 4 ÷FW=VFV2+WV2 510 15V10 25 4+4 2 ..CF=FW-CW= 25 -12= (3)解：【拓展应用】如图3， D G B 图3 当点E在CB的延长线上，点F在BE上时， BE EF 存在最大值， B距-BF+EF-1+ BE EFEF EF 作FG⊥AF,交AE于G,作GW⊥BE于W,则AF=FG,∠BGF=∠AFG+∠EAF=135°， ∠AFG=90°， ·∠ABF+∠GPW=90°， ∠ABF=90°， ∠AFB+∠BAF=90°， ·∠BAF=∠GFW, ∠ABF=∠GWF=90°， △ABF≌△FWG(AAS), ..BF =GW, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF GW EF EF 作△EFG的外接圆O,作OW'⊥EF于'，交⊙O于G', 当G点在G处时， GW 最大， EF 由∠EGF=135°得∠EOF=90°， BP-520B,Om'=20B,0G=0E, 2 GW-OE-OB. 3 ..G'W 0B-20E 2 2-1, EF 20E 是大=1+5-1V2+1 BE 2 2 36.(2026·江苏无锡惠山区·一模)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠B4C=60°， B 图1 备用图 (I)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D,使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC=90°：（不 写作法，保留作图痕迹) (2)设直线CD与AB交于E,若AC=4,则BE的长为 (如需草图，请用备用图) 【答案】(1)作图见解析 (2)2V5-2 【分析】(1)先作∠BAC的角平分线，再过C作角平分线的垂线即可 (2)如图2，记AD,BC的交点为Q,连接EQ,过E作EG⊥BC于G,证明△ADE≌△ADC(ASA),可得 AE=AC=4,证明△AEC为等边三角形，BG=EG,AD是CE的垂直平分线，可得∠EQG=30°，设 EG=BG=x,再进一步求解即可 【详解】(1)解：如图，D即为所求 73/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 (2)解：如图2，记AD,BC的交点为Q,连接EQ,过E作EG⊥BC于G, 图2 由作图可得：∠EAD=∠CAD,∠ADE=∠ADC=90°，而AD=AD, ·△ADE≌△ADC(ASA), ..AE=AC=4, ∠ABC=45°，∠BAC=60°. ∠BEG=∠B=45°，△AEC为等边三角形，∠ACB=180°-45°-60°=75°， BG=EG,∠ACE=60°，CE=AC=4, ∠BCE=75°-60°=15°， AE=AC=4,∠ADC=90°， ∴AD是CE的垂直平分线， ..QE =OC, ÷∠QEC=∠QCE=15°， .∠E0G=30°， 设EG=BG=x, BE=x+x=2x,QE=cO=2x,QG=3x, x2+(N3x+2x=4, 解得：x=V6-互（负根舍去）， BE=V2(N6-2)=25-2. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(2026江苏南通一模)平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题. G 图1 图2 图3 【尝试解决】 如图1，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，且EF⊥AP. (I)过点D作DG∥EF交边BC于点G,则DG,EF的数量关系是-· (②)在(1)的基础上，求证：EF=AP. (3)【类比应用】 如图2，正方形ABCD中，点E,F,P分别在边AD,BC,CD上，直线EF交AP于点Q,且 ∠AQE=45°.若点P是CD的中点，AB=6,求EF的长. (4)【拓展提升】 如图3，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，点P在射线CD上，直线EF交AP于点Q,若 m∠4AQE=,DP=5,AD=15,Er=6N5,求2的值 DC 【答案】(I)DG=EF (2)见解析 (3)210 居 【分析】(1)根据正方形得到AD∥BC,证明四边形DEFG是平行四边形，即可得到答案； (2)根据正方形的定义得到∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC,证明△ADP2△CDG(AAS),得到AP=DG, 即可得到结论； (3)过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC的延长线于点N,过点M作MG⊥AP于点G,先证明 BF=MN,根据点P是CD的中点，AB=6,正方形ABCD,得到 an∠D4pMC-，4D=4B=CD=6,DP=CD=3，AP=VAD'+DP=3V5,设MG=a,则 GP=MG=a,GA=2MG=2a,求出a=5,故MP=VI0,证明△PDM≌aPCN(ASA),即可得到 EF =MIN =2PM=210: (4)过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC延长线于点N,过点M作MG⊥AP,分当点P在线段CD上 75/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时，当点P在线段CD延长线上时两种情况进行讨论即可. 【详解】(1)解：DG=EF,理由如下： 在正方形ABCD中，AD∥BC, :DG∥EF, ·.四边形DEFG是平行四边形， ..DG=EF (2)证明：：EF⊥AP,EF∥DG, ∴.DG⊥AP, :正方形ABCD, ∴.∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC, ∴.∠DAP=90°-∠APD=∠GDC, .'∠ADP=∠DCG=90°， .∴△ADP≌aCDG(AA), .AP=DG, DG=EF, :EF=AP (3)解：过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC的延长线于点N,过点M作MG⊥AP于点G, :正方形ABCD, .EM∥FN, .N∥EF ∴.四边形EMNF是平行四边形， ∴.EF=MN, :EF∥MN,∠AQE=45°， .∠APM=∠AQE=45°， :点P是CD的中点，AB=6,正方形ABCD, .tan DAP=MG 1 AG-2D-AB=CD-6.DP-ICD=3, 2 ..AP=AD+DP2=35, 设MG=a,则GP=MG=a,GA=2MG=2a, .AP=3a=35, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a=5, .MP=Va=√1o, P为CD中点， .'DP=CP, 在△PDM和△PCN中， '∠D=∠PCN=90° DP=CP ∠MDP=∠NCP ∴.△PDM≌△PCN(ASA), ∴.PM=PN, ∴.EF=MN=2PM=2V10; F (4)解当点P在线段CD上时，过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC延长线于点N,过点M作MG⊥P, 矩形ABCD, ∴.EM∥FN, :MN∥EF ∴.四边形EMNF是平行四边形， ∴.EF=MN, .EF∥N .tan∠AQE=tan∠APM=l DP=5,AD=15,矩形ABCD, .tDAP=DP=MG=1AP=AD+DPI=50, AD AG 3' 设MG=b,则GP=2MG=2b,GA=3MG=3b, .AP=5b=5V10, .b=V10, 77/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'.MP=VMG+GP=5b=52, .MN=EF=62, ∴.PN=MN-MP=V2, '∠D=∠PCN,∠MPD=∠CPN, ∴.△PDM∽△PCN, DPMP=5 PC PN DP DP -5 DC DP+CP6 M D B 当点P在线段CD延长线上时，过点P作MN∥EF交AD于点M,交BC延长线于点N,过点M作 MG⊥4AP, :矩形ABCD, .EM∥FN, .·N∥EF .四边形EMNF是平行四边形， ∴.EF=MN, :EF∥N :tan∠AOE=tan∠APE=2' 1 :DP=5,AD=15,矩形ABCD, .tan∠DAP= AD-G34P-AD+DPE=50, DP MG 1 设MG=b,则GP=2MG=2b,GA=3MG=3b, .AP=5b=510, .b=10, ∴.MP=VMG2+GP2=√5b=5V2, .EF =6v2, .PW=112, :∠D=∠PCN,∠MPD=∠CPN, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴△PDM∽△PCN, DP MP 5 PC PN 11' DP DP5 DC CP-DP6 E A M N 综上： DP的值为 D 38.(2026江苏南通一模)图1~图3均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方 形的边长均为1，点A,B,C,D均为格点. D 图1 图2 图3 (四观察：如图1， BE CE (2)探究：如图2，仅仅用无刻度的直尺在AC上找一点M,连接BM,DM,使得△ABM∽△CDM; 小海说：作点B关于AC的对称点B，连接B'D与AC交于点M.请判断小海的方案是否可行，并说明理由 (3)应用：如图3，在BC上找一点F(仅借助无刻度的直尺作图)，使BF=2, 【答案】0)分 (②)小海的方案可行，理由见解析 (3)见解析 【分析】(1)由aBB∽aDCB可得E-B, CECD:即可求解 (2)作点B关于AC的对称点B',连接B'D与AC交于点M,则∠ABM=∠ABM,BB'∥CD,由平行线的 性质得∠AB'M=∠CDM,从而可得∠ABM=∠CDM,结合∠BAM=∠DCM=90°可证△ABM∽△CDM; (3)点B往左数2格的格点记为点G,点C往右数3格的格点记为点H,连接GH,与BC相交于点F, 点F即为所求，在Rt△BHC中由勾股定理可得BC=5,又由BG‖CH可得△GBF∽△HCF,从而得 79/81 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF BG 2 CF CH ，即可求出BF=2,故点F即为所求， 【详解】(1)解：：AB‖CD, ∴.△ABE∽△DCE, BE AB 1 CE-CD-2 (2)解：作图如下： B 小海的方案可行， 理由：点B与B关于AC对称， ..MB=MB', ∴.∠ABM=∠ABM, BB'∥CD, .∠AB'M=∠CDM, ∴.∠ABM=∠CDM, 又'∠BAM=∠DCM=90°， ∴.△ABMn△CDM: (3)解如图所示，点B往左数2格的格点记为点G,点C往右数3格的格点记为点H,连接GH,与BC 相交于点F,点F即为所求. 在Rt△BHC中，BC=VBH2+CH=V4+32=5, :BG∥CH, .AGBF∽△HCF, BF BG 2 CFCH3 :.BF BC=2×5=2. 2 2+3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 81/81