专题13 全等三角形与特殊三角形（4大考点，60题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题13 全等三角形与特殊三角形（4大考点，60题） 4大考点概览 考点01全等三角形的性质与判定 考点02等腰与等边三角形的性质和判断 考点03直角三角形的性质 考点04勾股定理及逆定理 全等三角形的性质与判定 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省盐城市·一模)如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 4．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．(2026·江苏省常州市·一模)如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 7．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 9．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 10．(2026·江苏盐城响水县·一模)如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 三、解答题 11．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)解答下列问题： (1)【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； (2)【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； (3)【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； (4)【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 12．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 13．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图1，在中，，． (1)尺规作图：作正方形，使得点E，G分别在，上，点F，H在上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2） 14．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 15．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 等腰与等边三角形的性质和判断 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 17．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 20．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．(2026·江苏省南通市海门区·一模)在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 22．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 24．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 25．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)如图，某铁塔因长年老旧需分段修复，测得铁塔主体框架为等腰三角形（），，塔底宽，底角，脚手架平台，且，则线段的长度是______m． 26．(2026·江苏扬州梅岭集团·一模)如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 27．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)如图，内接于，若，，则______． 28．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 29．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 30．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 31．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 32．(2026·江苏省无锡市·一模)小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 33．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 三、解答题 34．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 35．(2026·江苏省扬州市·一模)如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 36．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 37．(2026·江苏省盐城市·一模)问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 38．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点P，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 39．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，锐角为的内接三角形，为的高，垂足为D，点A为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． ∵在中，，， 40．(2026·江苏省连云港市·一模)如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． (1)求证：． (2)若，求． (3)如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 直角三角形的性质 数 考点3 一、单选题 41．(2026·江苏省盐城市·一模)将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 42．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．(2026·江苏省南通市·一模)如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 44．(2026·江苏省沭阳县·一模)在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 二、填空题 45．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 46．(2026·江苏省南京市·一模)如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在边上，连接，，，且，以的中点为圆心，长为半径画圆，交边于点，交于点． （1）连接， ___________度; （2）若，则的长为___________． 47．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 48．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为_____ ；当时，线段的长为____________________ ． 49．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 三、解答题 50．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求的面积． 51．(2026·江苏省南京市雨花台区·一模)如图，在中，，，交于点，为的中点，为的中点，连接．求证：． 勾股定理及逆定理 考点4 一、单选题 52．(2026·江苏省扬州市·一模)如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 53．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 54．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 55．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 56．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 57．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是__________． 58．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 三、解答题 59．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 60．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 全等三角形与特殊三角形（4大考点，60题） 4大考点概览 考点01全等三角形的性质与判定 考点02等腰与等边三角形的性质和判断 考点03直角三角形的性质 考点04勾股定理及逆定理 全等三角形的性质与判定 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省盐城市·一模)如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点M，根据等边三角形的性质，三角函数的定义求解即可． 【详解】解：过点A作于点M， 是等边三角形，、、是三个全等的三角形，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 2．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析所有任选两个条件的组合，判断能否判定四边形为平行四边形，统计符合要求的选法数量即可． 【详解】解：从四个条件中任选两个，有①②，①③，①④，②③，②④，③④共6种组合，逐个分析如下： 选①②：，，四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合； 选①③： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选①④： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选②③：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选②④：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选③④： ∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，符合； 综上，能使四边形为平行四边形的选法共3种． 3．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 5．(2026·江苏省常州市·一模)如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交和于点、，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作法得平分，垂直平分，连接，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的性质得出，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，如图； 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴，， 故， 解得， 即， 故， 解得，经检验，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法，垂直平分线的作法，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 二、填空题 6．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 【答案】16 【分析】以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接，可证明，得到，则；由三角形中位线定理可得；证明垂直平分，得到；根据，得到当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴为的中位线， ∴； ∵，，即， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 7．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 【答案】 【分析】根据旋转的定义得到，，证明，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由旋转可知，，， ， ， ． 在和中，， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又， 则在中，． 9．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合折叠性质、菱形与等边三角形判定、解直角三角形，通过线段比例推导边长关系，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想． 10．(2026·江苏盐城响水县·一模)如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】作于点P，取线段的中点K，连接，作，再根据菱形的性质可得 ，然后根据折叠的性质可得，接下来说明，可得，即可得当点H，F，K共线时，的值最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点D作于点P，取线段的中点K，连接，过点K作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点H，F，K共线时，的值最小，即为线段的长度． ∵， ∴设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 即的最小值为． 三、解答题 11．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)解答下列问题： (1)【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； (2)【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； (3)【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； (4)【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2)的长度为或 (3)的最小值为 (4) 【分析】（1）证明，即可证出； （2）先根据勾股定理求出，，设，则，根据勾股定理得，列出方程求解即可； （3）过点作，且，连接，证明，当点、、三点共线时，最小，延长，，交于点，由，当最小时，最小，然后根据等面积法求解； （4）如图，连接，，过点A作于点F，解直角三角形求出，，，延长到点，使，连接，证明出，得到，，表示出四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最大值，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或，均满足题意， 即的长度为或． （3）解：过点作，且，连接，，如下图所示： 由（1）中证明方法，同理可得， ∴，， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴， ∵， ∴， ∴时，最小， 如图，延长，，交于点，如下图所示： ∵， ∴当时，最小，此时最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． （4）解：如图，连接，，过点A作于点F ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，延长到点，使，连接， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积 ， ∴当取得最小值时，四边形的面积取得最大值， ∵， ∴当时，最小，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值． 12．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 13．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图1，在中，，． (1)尺规作图：作正方形，使得点E，G分别在，上，点F，H在上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，分别交、于点、，与交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点、，连接，则四边形是正方形，即为所求； （2）过点作于点，求得，；过点作，交的延长线于点，则，证明，得，，，，过点作于点，分别证明，，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； 过点作于点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，； ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，得出，根据即可证明； （2）由（1）中得，得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 15．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 等腰与等边三角形的性质和判断 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 【答案】C 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理先求解圆锥的母线长，再求出圆柱和圆锥的侧面积，即可得到油毡纸的面积，即可求解费用． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴买油毡纸要花费的费用（元）． 17．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，，再解直角三角形得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 18．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，先证，设，则，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据，可得，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，， 由题意知， ，， 四边形是菱形， ， ， 又， ， ， 设， 则， ， 与的长之比为， ， ， ， 菱形中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握菱形的性质是解题的关键． 19．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】①根据题意得到，然后得到，即可证明，即可判断①；②如图，连接，证明出点A，D，C，E四点共圆，得到，即可判断②；③得到点E在直线上运动，然后结合点在边上运动，点不与点重合即可判断③；如图，作点A关于的对称点，连接，，当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值，然后利用勾股定理求解即可判断④． 【详解】解：①设交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②如图，连接 ∵ ∴点A，D，C，E四点共圆 ∴ ∴ ∴的面积等于的面积，故②正确； ③∵ ∴点E在直线上运动 ∵点在边上运动，点不与点重合 ∴不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于的对称点，连接， ∴的周长 ∴当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值 由对称得， ∴ ∵ ∴ ∴周长的最小值为，故④错误． 综上所述，其中正确的为①②． 20．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 21．(2026·江苏省南通市海门区·一模)在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 22．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可证明是等边三角形，得到，再由圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴点O在上， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 23．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 二、填空题 24．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 【答案】40或70 【分析】根据已知角度未明确是顶角还是底角，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为顶角时， 则底角； ②当的角为底角时，底角即为； 综上所述，底角为或． 25．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)如图，某铁塔因长年老旧需分段修复，测得铁塔主体框架为等腰三角形（），，塔底宽，底角，脚手架平台，且，则线段的长度是______m． 【答案】 【分析】过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点E，先证明，，，从而得，进而即可求解 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴，即 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 26．(2026·江苏扬州梅岭集团·一模)如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 27．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)如图，内接于，若，，则______． 【答案】20 【分析】利用三角形内角和求出，再用圆周角定理求，最后在等腰中求即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 28．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 【答案】/ 【分析】作于点H，设交于点E，根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得，解得，然后根据，求出即可． 【详解】解：作于点H，设交于点E， ∵四边形是矩形， ，， ∵将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置， ，，， ， ， ∵， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标是． 29．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，推导出 ，从而得到；再证明 ，利用相似比表示出；最后利用建立关于的方程求解，进而得出的长． 【详解】解： ， ， 设， 则 解得 ，（不符合题意，舍去） 经检验， 是原方程的解 ． 30．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形的三边关系得出当点在的延长线时，的长度取得最大值，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 31．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 【答案】18 【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是2， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 32．(2026·江苏省无锡市·一模)小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 【答案】 【分析】根据等边三角形与正六边形的性质，可知剪去的小等边三角形与原大等边三角形相似，且相似比为，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出小等边三角形的面积，再用原三角形面积减去三个小等边三角形的面积即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵剩下的纸片是正六边形， ∴剪去的三个等边三角形全等，且小等边三角形的边长等于正六边形的边长， ∴原大等边三角形的边长为倍小等边三角形的边长， ∴小等边三角形与原大等边三角形相似，相似比为， 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得面积比为， 设每个小等边三角形的面积为，则， 解得， ∴正六边形的面积为． 33．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 三、解答题 34．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】(1)图2中塔底半径的长约为； (2)兴国寺塔的高度约为． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，根据等腰三角形三线合一求出，，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，易证四边形是矩形，得到，解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； （2）解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 35．(2026·江苏省扬州市·一模)如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，以为直径的交于点，连接， 则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图2，，，过点作，垂足为点， ， ， ∴， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 36．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，为的直径． (1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； (2)说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】1）以点为圆心，长为半径作弧．交上方的于点；连接，则为等边三角形； ②延长交于点；顺次连接、、和，四边形就是所求作的矩形． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②矩形即为所求； （2）解：理由如下： 点，都在上， ，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， 四边形是矩形． 37．(2026·江苏省盐城市·一模)问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，解题关键是根据旋转证明三角形全等. （1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， ∵，， ∴， ∴． （2）如图：连接，    根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，当点，在的同一侧时，    根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， 当点，在的异侧时，如图：    同理可得， ∴， 综上，的值为或． 38．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点P，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，由三角形外角的性质可得； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，且， ∴， 解得， ∴． 39．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，锐角为的内接三角形，为的高，垂足为D，点A为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据已知可得，由等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据已知易证，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 【详解】（1）证明：∵点A为的中点， ∴， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，． ∵点A为的中点．， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 40．(2026·江苏省连云港市·一模)如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． (1)求证：． (2)若，求． (3)如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点A作交于点F，通过证明，根据等腰三角形三线合一得到，进而求得，根据勾股定理依次求得和的长即可． （3）过点A作的平行线交于点M，作，通过证明，得到，根据等角对等边证得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点A作的平行线交于点M，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 直角三角形的性质 数 考点3 一、单选题 41．(2026·江苏省盐城市·一模)将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 42．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．(2026·江苏省南通市·一模)如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 44．(2026·江苏省沭阳县·一模)在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 45．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 【答案】 或 【分析】由题意作辅助线，作于点H，设等边边长为，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求解即可；分未过点和超过点两种情况求解． 【详解】解：过作于点，设等边边长为， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，解得， ，又D点在线段上， ，解得， ； 等边边长为，， ①当未过点时，如图，与相交于点， 此时，又， ， 设， 又，则， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， 解得（负值已舍去）； ②当超过点时，如图，与相交于点， 由题可知， 设，则， 又，， ， ， ， 解得（负值已舍去）； 综上，的长为或． 46．(2026·江苏省南京市·一模)如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在边上，连接，，，且，以的中点为圆心，长为半径画圆，交边于点，交于点． （1）连接， ___________度; （2）若，则的长为___________． 【答案】 75 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出，再利用直径所对圆周角为直角得到，从而求出，最后结合等边三角形的外角，计算出的度数． （2）连接，利用直径所对圆周角为直角得到，在中求出的表达式，再根据求出，最后在中计算的长度． 【详解】解：（1）如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是圆的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）连接，设是等边三角形，边长为， ∵是圆的直径， ∴， ∵是等边三角形，边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， 故答案为：①；②． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、圆的性质（直径所对的圆周角是直角）、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握通过线段和差建立方程求解边长的方法是解题的关键． 47．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用解直角三角形求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理得出，证明四边形为矩形，最后利用勾股定理以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 48．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为_____ ；当时，线段的长为____________________ ． 【答案】 4 【分析】连接，利用相似进行转化，先得出是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， 中，， ， 即， 是的中点， ， ， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ， ∴， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 49．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 50．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，再结合三角形外角的性质可得，即可解答； （2）过点B作于点H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可，，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：与相切，证明如下： 连接， ， ， ∵， ． ， ∴ ， ，即， 与相切． （2）解：过点B作于点H， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ，， ∴， 又， ， ． 51．(2026·江苏省南京市雨花台区·一模)如图，在中，，，交于点，为的中点，为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 可得分别为斜边中线，则得到，那么，再由直角三角形锐角互余得到，则等量代换，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 勾股定理及逆定理 考点4 一、单选题 52．(2026·江苏省扬州市·一模)如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，设与相交于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 当的长取最小值，的长取最小值， 由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值， 此时，， 的最小值是． 53．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 54．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 二、填空题 55．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 56．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明 ，从而得出 ，确定点的运动轨迹，利用垂线段最短，结合三角函数求解的最小值． 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 57．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是__________． 【答案】 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】 6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， ， 的周长为， ， ， ， ，即 ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 即 解得， ． 三、解答题 59．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【分析】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出、、、的长度，最终即可求出最大宽度的长度． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 60．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答； （2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $