专题12 反比例函数（5大考点，54题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题12 反比例函数（5大考点，54题） 5大考点概览 考点01反比例函数的图象与性质 考点02反比例函数系数K的几何意义 考点03反比例函数与一次函数的综合 考点04反比例函数的实际应用 考点05反比例函数与几何综合 反比例函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省宿迁市·一模)已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．(2026·江苏省南通市·一模)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．(2026·江苏省连云港市·一模)植物研究者在研究某种植物年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在年内的生长规律．若选择，则______，______；若选择函数，则______，______．依次填入的不等号为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．(2026·江苏省常州市·一模)兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 5．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点，都在反比例函数的图象上,且,则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 7．(2026·江苏省扬州市·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 二、填空题 9．(2026·江苏省无锡市·一模)已知点在反比例函数的图像上，则_______． 10．(2026·江苏省盐城市·一模)已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 11．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________．    12．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 13．(2026·江苏省扬州市·一模)已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 14．(2026·江苏省苏州市·一模)在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）． 三、解答题 15．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)解答题 (1)已知：如图，点在一条直线上，，，．求证：． (2)已知函数．设，是该函数图象上任意两点，且．求证：． 反比例函数系数K的几何意义 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 17．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 18．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 19．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 20．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 21．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 22．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 23．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 24．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 25．(2026·江苏省盐城市·一模)在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为__________． 26．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 27．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 28．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 三、解答题 29．(2026·江苏省扬州市·一模)如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 反比例函数与一次函数的综合 数 考点3 一、单选题 30．(2026·江苏省南通市·一模)如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 31．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)函数（是常数，且）与（是常数，且）交于、两点，则时，自变量的取值范围是__________． 32．(2026·江苏省徐州市·一模)定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 33．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为_____． 34．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 35．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则________． 36．(2026·江苏省南通市·一模)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 三、解答题 37．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 38．(2026·江苏省常州市·一模)如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 39．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 40．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 41．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 反比例函数的实际应用 考点4 一、单选题 42．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 二、填空题 43．(2026·江苏省南京市·一模)某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 三、解答题 44．(2026·江苏省南京市·一模)综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 45．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 反比例函数与几何综合 考点5 一、单选题 46．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（） A．4 B． C． D． 47．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 48．(2026·江苏省无锡市·一模)在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 49．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 二、填空题 50．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数（）的图象经过点B，当时，x的取值范围为______． 51．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为__________ 52．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，点A在双曲线（k是常数，，x0）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则的面积为____． 53．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____． 三、解答题 54．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． (1)求反比例函数，的解析式； (2)连接，，计算的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 反比例函数（5大考点，54题） 5大考点概览 考点01反比例函数的图象与性质 考点02反比例函数系数K的几何意义 考点03反比例函数与一次函数的综合 考点04反比例函数的实际应用 考点05反比例函数与几何综合 反比例函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省宿迁市·一模)已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．(2026·江苏省南通市·一模)反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 3．(2026·江苏省连云港市·一模)植物研究者在研究某种植物年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在年内的生长规律．若选择，则______，______；若选择函数，则______，______．依次填入的不等号为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：若选择， 由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，； 若选择函数， 由函数图象可知，将反比例函数（）的图象从第四象限向上平移个单位即可得到函数的图象， ，； 则依次填入的不等号为，，，． 4．(2026·江苏省常州市·一模)兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵， ∴， 从图象可知，函数图象在y轴右侧有渐近线，且渐近线在y轴右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 综上，选项A符合题意． 5．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点，都在反比例函数的图象上,且,则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象与的正负关系是解题的关键． 根据反比例函数的性质，时，图象位于第二、四象限，结合点的横坐标符号，可确定纵坐标符号． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴图象在第二、四象限。 ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∴， 故选D． 6．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数，， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， A、若，则或， 当时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，则， ∴，原结论成立，符合题意； C、若，当时，， 当时，，原结论不一定成立，选项错误，不合题意； D、若，则，则 原结论不成立，选项错误，不符合题意， 故选B． 7．(2026·江苏省扬州市·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，有反比例函数解析式得出反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， ， 故选：D． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题 9．(2026·江苏省无锡市·一模)已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 10．(2026·江苏省盐城市·一模)已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 11．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________．    【答案】 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 12．(2026·江苏省扬州市·一模)已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及，可知函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，故． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴k可取任意正数，如． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．(2026·江苏省扬州市·一模)已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可得函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，又由，，可得点A在第二象限，点B在第四象限，据此即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵图象过点，且，， ∴， ∴． 故答案为： 14．(2026·江苏省苏州市·一模)在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 又∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)解答题 (1)已知：如图，点在一条直线上，，，．求证：． (2)已知函数．设，是该函数图象上任意两点，且．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可得，再由“”即可证明． （2）分别把，代入函数关系式，得出、再作差证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：、在函数的图像上， ，， ， ， ∴，， ∴， ， ∴． 反比例函数系数K的几何意义 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，作于E，于F．由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及反比例函数k的几何意义进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于E，于F． 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数（）的图像在第四象限， ∴． 18．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，通过中点的性质可得到，进而可求出． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴为的中点， ∴， ∵点C为的中点，的面积为4， ∴， ∴， 又∵点A是反比例函数图像上一点， ∴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 19．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ，， ， 解得：， 顶点在函数的图象上， ， ． 20．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 21．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据轴可知，的高为点的纵坐标，利用三角形面积公式结合反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∵点在第二象限， ∴，即， ∴， 即，解得 ． 22．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解. 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在双曲线上， ∴； ∵轴， ∴轴，且， ∵点在轴上， ∴点到直线的距离等于点的纵坐标； ∴； ∵图像在第二象限，； ∴ ∴ ∵ ∴， 如图可知： 故选：D. 23．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是的中点，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 24．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，反比例函数中k的几何意义， 根据三角形中位线的性质得，可知和的高之比为，可得，再连接，可知，则，然后结合图像所在象限得出答案． 【详解】解：∵点C，点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，. ∴， ∴和的高之比为． ∵， ∴． 连接， ∵点D分别是的中点，， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 二、填空题 25．(2026·江苏省盐城市·一模)在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，连接，设反比例函数的解析式为，先得到，再根据求出k的值解答即可． 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 26．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义．由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解：∵的面积为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点也在此函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 27．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 28．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴，， ∴， ∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 29．(2026·江苏省扬州市·一模)如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 反比例函数与一次函数的综合 数 考点3 一、单选题 30．(2026·江苏省南通市·一模)如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 31．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)函数（是常数，且）与（是常数，且）交于、两点，则时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 或 【分析】先将交点A的坐标代入两个函数解析式求出参数的值，再利用函数图象的中心对称性得到交点B的坐标，结合函数图象，判断一次函数图象在反比例函数图象上方时对应自变量的取值范围即可． 【详解】解：将代入得到：， 解得，即， 将代入得到：， 解得，即， ∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点中心对称， ∴两个交点关于原点对称，可得点坐标为，画出两个函数的图象如下图： 由函数图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 32．(2026·江苏省徐州市·一模)定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 【答案】或 【分析】把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线的图象上， 联立， 解得，， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或． 33．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的意义，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键；将分别代入反比例函数和一次函数解析式，得，，再代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵点经过， ∴， ∵经过， ∴， ∵， 故答案为． 34．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 35．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合． 连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N，先证明，再由角相等得到，进而得到，设，，求出，由直线与双曲线相交于点A，B，得到，由根与系数的关系得到，进而求出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N， 由题意可知，O为的中点，即为斜边上的中线， ∴， 即 ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵直线与双曲线相交于点A，B， 设，， ∴ ． ∵直线与双曲线相交于点A，B， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：3． 36．(2026·江苏省南通市·一模)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为_______． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质、平移的性质、坐标与图形；根据平移性质和菱形性质得，设，根据两点坐标距离公式列方程求得，则，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解k值即可． 【详解】解：由平移性质得， 当时，，则； ∵四边形是菱形， ∴， 由题意，设，则， 解得(负值已舍去)， ∴，则， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：8． 三、解答题 37．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ （2）解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 38．(2026·江苏省常州市·一模)如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点的坐标，然后根据即可以解决问题． 【详解】（1）解：将，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； （2）解：∵直线的解析式为与轴交点， ∴点的坐标为， 由， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 39．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，直线交轴于点，交轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在直线的下方，反比例函数图象上有一点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据反比例函数的性质求出，从而可得，，将代入反比例函数计算即可得出结果； （2）直线的解析式为，令直线交轴于点，求出，得到，再由计算即可得出结果； （3）求出直线的解析式为，从而求出，得到，，计算得出，则，设，再分两种情况：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点；当点在第一象限时，过点作轴交直线于点，分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 如图：当点在第三象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时点的横坐标为； 如图，当点在第一象限时，过点作轴交直线于点， ， 则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， 此时 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 40．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 41．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的平移，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，然后求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线的解析式为，解方程得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，解得， ∴，， ∵， ∴， 解得或． 反比例函数的实际应用 考点4 一、单选题 42．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 43．(2026·江苏省南京市·一模)某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 三、解答题 44．(2026·江苏省南京市·一模)综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 45．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 反比例函数与几何综合 考点5 一、单选题 46．(2026·江苏省宿迁市·一模)如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；利用旋转性质和角度关系得出直线的解析式（或利用等腰直角三角形性质设点坐标），联立反比例函数求出点的坐标；最后利用勾股定理或三角函数求出、的长，计算三角形面积． 【详解】过点作轴于点，过点作轴于点 是等腰直角三角形，， ， 双曲线经过点 ，即 线段绕点顺时针旋转交双曲线于点， ， ， 轴 是等腰直角三角形 设() 点在双曲线上 ，即 解得 在中， ． 47．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据求出的面积；设点坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形， ∴点为的交点， ∴， ． ， ． 过点作轴于，过点作轴于， ， ， ． 设，则，， ，即点的纵坐标为． 点在反比例函数上， 点的横坐标为． ． ， ，即， ， 解得． ． ， ， ， ． ， ． 48．(2026·江苏省无锡市·一模)在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质，结合坐标与线段的关系求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 由折叠的性质得，， 设点的坐标为，，， ， 由①得； 由②得； ， 即， 将代入得， ， ∵， 解得， ∴，即 ， ∵ 点在双曲线上， ∴． 49．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 50．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数（）的图象经过点B，当时，x的取值范围为______． 【答案】 【分析】先由正方形性质求解，然后根据待定系数法求解反比例函数解析式，再由反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，， ∴， ∵函数（）的图象经过点B， ∴将点代入得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∵，， ∴反比例函数在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，． 51．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为__________ 【答案】 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 52．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，点A在双曲线（k是常数，，x0）上，点C在双曲线上，连接交x轴于点B，点D在x轴上，若，，且的面积为1，则的面积为____． 【答案】/ 【分析】过A点作轴于E点，过C点作轴于F点．设，，则，，，，进而可得，．易证，则可得，得出a与b的关系为，进而可得，又由即可求出的面积． 【详解】解：如图，过A点作轴于E点，过C点作轴于F点， 设，，其中，， 则，，，， ，， ，， 且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 53．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题 54．(2026·江苏省南京市·一模)如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． (1)求反比例函数，的解析式； (2)连接，，计算的面积． 【答案】(1)， (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标． （）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，； （）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故； 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图： ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， 把点，分别代入和 得：，， 解得，， ∴，； （2）连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立 ，解得 或 (舍去)， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $