专题11 二次函数综合（3大考点，40题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 二次函数综合专题汇编，含3大考点40题，精选江苏省各地2026届一模试题，聚焦图像性质、实际应用及几何综合，适配中考一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|二次函数与不等式（图像判断、解集）|结合图像辨析系数关系，如南京溧水一模题考查对称轴与函数值比较| |填空|5题|实际应用（最值、抛物线型结构）|联系生活情境，如宿迁宿豫区一模题以等边三角形动点求最小值| |解答|27题|综合题（几何图形、动态问题）|分层设计探究任务，如泗阳大桥测量题整合建模与计算，扬州一模题结合无人机轨迹考查函数性质，贴合中考命题趋势|

专题11 二次函数综合（3大考点，40题） 3大考点概览 考点01二次函数与不等式 考点02二次函数与实际问题的应用 考点03二次函数的综合 二次函数与不等式 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由图象得，，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④由②得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有2个． 2．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到a，b的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】对于①：若经过点，则有，结合，可得，，∴，故函数必有最大值，选项正确； 对于②：可取反例，当时，，，此时当时，y随x的增大而减小，故原选项错误； 对于③：若经过点，则有，结合，可得，，∴， 令，解得，或，∵，结合图象可知，不等式的解集为或，选项正确； 对于④：由，即，可知二次函数经过定点，∴方程的其中一根为， 若，则有，，即，，解得，，故原选项错误， ∴①③正确，正确的个数为2个， 故选：B． 二、解答题 3．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)已知二次函数． (1)二次函数图象的对称轴是直线__________； (2)当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式； (3)若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2； (2)或； (3)0≤t≤4． 【分析】（1）由对称轴是直线x=-，可求解；； （2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别用含a的式子表示出最大值和最小值，列出关于a的方程，求出a即可； （3）求出x=5时对应的y的值，找到满足条件的t的范围． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=−=2， 故答案为：2； （2）∵， ∴二次函数的顶点坐标为（2，-4a）， ①当a＞0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=5时y的值，即， 最小值是当x=2时y的值，即-4a， ∴5a-（-4a）=9， ∴a=1， ∴该二次函数的解析式为， ②当a＜0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a， 最小值是当x=5时y的值，即， ∴-4a-5a=9， ∴a=-1， ∴该二次函数的表达式为， 综上所述，该二次函数的表达式为或； （3）由（2）知抛物线的对称轴为x=2， 当x=5时，， ∴y1≥5a， 由抛物线的对称性知x=-1时，y=5a， 又∵a＜0， ∴-1≤t-1，t+1≤5， ∴0≤t≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质． 4．(2026·江苏省扬州市·一模)在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴． （2）解：设P点坐标为，由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论： 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得：； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的得， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得， 综上所述：或． 5．(2026·江苏省连云港市石桥中学·一模)已知：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，结合图象回答以下问题： (1)方程的根是______； (2)函数值不大于0，的取值是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)若直线经过、两点，则时，的取值是______． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）把抛物线解析式化为顶点式，可求出抛物线的对称轴为直线，从而得到抛物线与x轴的另一个交点即可求解； （2）直接观察函数图象，即可求解； （3）点代入抛物线解析式，求出c，再观察函数图象，即可求解； （4）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， ∴方程的根是； 故答案为：； （2）解：观察图象得：当或时，函数图象位于x轴的下方， ∴函数值不大于0时，x的取值是或； 故答案为：或； （3）解：∵抛物线与x轴的一个交点为点， ∴， ∴， ∴原抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即该二次函数的最大值为4， 观察图象得：当时，y的取值范围是； 故答案为：； （4）解：观察图象得：当时，直线位于抛物线的下方， ∴时，x的取值是； 故答案为：． 6．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)已知抛物线L：，直线将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线的“L双抛图形”． （1）如图所示，当时，抛物线L：上的点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，如表： … … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为； ③若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______； ④若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为______． 【探究问题】 （2）①若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______（用含m的式子表达）； ②若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 【答案】（1）①；②见解析；③；④或；（2）①；②当时， x的取值范围为：或，当m＜0时，x的取值范围为：或 【分析】（1）①由题意得：B，C，D和，，关于直线对称，即可求解； ②根据函数的对称性即可画图； ③通过图可知，当时，和L′有3个交点，即可求解； ④观察函数图象即可求解； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求得x的取值范围． 【详解】解：（1）①∵点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，， ∴关于直线对称， 表格如下： … … 故答案为：； ②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为如图： ③通过图可知，当时，和有3个交点， 当时，， 即：， 故答案为：； ④从图象看，双抛图形的函数值随着x的增大而增大，此时x的取值范围为：或， 故答案为：或； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，且当时，， ∴时与直线恰好有3个交点， 故答案为：； ②设抛物线L的顶点为点B，点B关于直线的对称点为， ∵抛物线L：， ∴顶点B的横坐标为，对称点的横坐标为m， ∴当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或， 当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． 7．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 二次函数与实际问题的应用 考点2 一、单选题 8．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，探究变量之间的函数关系，准确地计算阴影部分面积之和并熟知二次函数图象特征是解题关键．先求出阴影部分的面积之和，再整理得到y与x之间函数关系式，最后根据二次函数图象性质以及x的取值范围得到答案． 【详解】解：∵3个全等的圆与等边三角形形成的阴影部分为三个全等的扇形， ∵圆的半径为x，阴影部分的面积之和为y， ∴， 即，， 故选：A． 9．(2026·江苏省常州市·一模)如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点，，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离、三角形的中位线定理．连接，则的面积是定值，由，分别是，的中点，得到，根据平行线间的距离处处相等可得到的底和底边上的高都是定值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则的面积是定值． ，分别是，的中点， ， 的底和底边上的高都是定值， 四边形的面积是定值， 与的函数图象是平行于轴的线段． 故选：． 二、填空题 10．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)如图，是边长为6的等边三角形，、分别是边、上的动点，满足，连接，在的左侧作等边三角形，则的最小值是__________． 【答案】3 【分析】将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，，，从而证明是等边三角形，进而得出点在边上，且，设，则，，，，过点作于点，在中用含的代数式表示和，进而表示出，在中利用勾股定理表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 在边上， 设，则，， ， ，， 过点作于点， 在中，， ，， ， 在中，， 当时，有最小值9， 的最小值为3， 的最小值为3． 11．(2026·江苏省徐州市·一模)酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【详解】解：由函数可得，， 顶点横坐标为， 故当温度为时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：． 12．(2026·江苏省南京市·一模)某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 13．(2026·江苏省镇江市·一模)“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出解析式是解决本题的关键．根据题意写出点坐标，利用待定系数法求解析式，再计算出函数的最值即可求解． 【详解】解：根据题意，点A的坐标为，点B的坐标为， 将A，B两点坐标代入， 则， 解得：， ， ∵， ∴当时，y有最大值为， 则大棚的最高处到地面的距离为米， 故答案为：． 三、解答题 14．(2026·江苏省南通市·一模)如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a，b，c数值时，无人机会沿着对应的图象飞行． (1)输入a，b，c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以为起点，过点的射线．你输入的值是：______，______，______． (2)某次无人机按钮输入一组数，，，． ①求无人机飞行的最大高度； ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中，，，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于，竖直距离不少于，按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①无人机飞行的最大高度为；②按钮设置的这条曲线符合条件，理由见解析 【分析】（1）根据题意，再利用待定系数法求解即可； （2）①化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； ②求得点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称，只需验证点E，G即可． 【详解】（1）解：∵无人机飞行的轨迹是一条射线， ∴，则解析式为， ∵以为起点，且过点， ∴， 解得， 故答案为：，，； （2）解：①当，，时， 则， 当时，无人机飞行的最大高度为； ②由题可得，在平面直角坐标系中，点，， 而点E与点F，点G与点H均关于抛物线的对称轴直线对称． 所以只需验证点E，G即可． 当时，，， 当时，，，． 当时，，， 而点G到抛物线的水平距离大于长，即大于5． 所以按钮设置的这条曲线符合条件． 15．(2026·江苏省扬州市·一模)综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，出手点为，再用待定系数法即可求出解析式； （2）设新抛物线的表达式为，再把点代入得到新抛物线的表达式为，令，解方程即可； （3）根据题意设新抛物线为，把篮筐坐标代入即可得到新抛物线的表达式，令，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为， 又出手点距地面，即出手点坐标为， ，解得， 即抛物线表达式为， 所以顶点，抛物线表达式为； （2）由题意可知，设新抛物线的表达式为， 又过点， ，解得， 即新抛物线的表达式为， 令，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，水平距离的长为； （3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为 则可设运球后起跳投篮的新抛物线为， 篮筐在距点O水平距离，垂直高度处， 即新抛物线过， 代入得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 即新抛物线的表达式为， 令，， 整理得， 解得或（舍去）， 该球员向篮筐方向沿直线运球． 16．(2026·江苏省南京市六合区·一模)如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 17．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 【答案】(1) (2)抛物线的函数表达式 (3)①；② 【分析】本题平行投影的应用，二次函数的实际应用； （1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可； （2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可； （3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到； ②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点， ∴，， 设抛物线的函数表达式，代入，，可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）解：①由题意可得， ∵， ∴， 当时，解得， ∴，， ∴； ②由题意可得“弓形”的面积为， 四边形的面积为， ∴． 二次函数的综合 数 考点3 一、单选题 18．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有(    ) A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与轴交于负半轴得到，即可判断①；②由对称轴为直线，根据在抛物线上，得出，根据，即可得出，根据是直角三角形时，，，结合②的结论得出，进而可得是钝角三角形，即可判断③，根据分别将和，解方程得出方程的解，进而判断④ 【详解】解抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①不正确； 对称轴为直线， 在抛物线上， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，设直线与轴交于点， 依题意，， 当是直角三角形时，， ∴ ∵对称轴为直线， ∴点的纵坐标为： ∵ ∴ 即 ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴时，， ∴方程为， 解得： 当时， ∴方程为， 解得：或 ∴若方程的两根为、，则，．故④正确 19．(2026·江苏省无锡市·一模)在平面直角坐标系中，若点既在函数的图像上，又在函数的图像上，且满足，则称点为这两个函数的一个“非负公共点”．例如，点就是函数和函数的一个“非负公共点”．现有函数和．已知它们存在“非负公共点”．下列说法： ①的值可以是3； ②的值可以是1； ③若仅存在一个“非负公共点”，则； ④若存在两个“非负公共点”，则． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据“非负公共点”的定义，联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的问题，结合得交点横坐标，再分别判断四个说法的正误． 【详解】解：∴联立 整理得 ∵点是两个函数的非负公共点， ∴，且，即； 对于一元二次方程，判别式 ①当时，， ∴方程的解为 由方程的两根都满足，存在非负公共点，故①正确； ②当时，，方程无实根，不存在公共点，故②错误； ③仅存在一个非负公共点分两种情况： 当，则， ∴，此时方程根为，满足条件； 当，则 即， 则方程一个根大于2，一个根小于等于2， 设，开口向上， 则，那么 解得，此时也仅一个非负公共点， ∴仅存在一个非负公共点时，或，故③错误； ④若存在两个非负公共点，需要， 解得，不是，故④错误； 综上，正确的说法只有1个． 二、填空题 20．(2026·江苏省泰州市·一模)在平面直角坐标系中，∵抛物线：，双曲线：，过点P作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题需要先求出点、的纵坐标，进而确定图形的构成，再通过分析直线与图形的公共点个数来确定的取值范围．本题主要考查了二次函数与反比例函数的性质，通过比较两个函数值大小确定图形的组成．解题关键在于准确分析两个函数值的大小关系，以及理解直线与所构成图形公共点个数和函数值之间的联系，通过对函数图象的分析来确定参数的取值范围． 【详解】解：∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得； ∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得（）． ∴ 为与中较大值，即． 令，即，解得． 当时，对与作差：， ∵， ∴，，， ∴，即，此时． 当时，，． 当时，，，， ∴，即，此时． 当时，，， ∴，此时． ∴图形是与以及点组成． 是一个开口向上，顶点在原点的抛物线（去掉原点）；是反比例函数在的部分． 当时，直线与（或）以及（）有个公共点； 当时，直线与（有两个值满足）和（有一个值满足）有个公共点． ∴的取值范围是． 三、解答题 21．(2026·江苏省无锡市·一模)抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 22．(2026·江苏省常州市·一模)如图，已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式、求点的坐标、四边形的周长、一次函数的表达式、菱形的判定与性质、分类讨论，熟练掌握二次函数的性质和几何图形的性质是解题的关键． （1）把点，点代入，即可求解； （2）过点C作于点Q，可得为等腰直角三角形，从而得到，设点，则，再由四边形为矩形，可得，，再根据，即可求解； ②过点作轴，交轴于点，先求出直线的解析式，证得四边形为菱形，可得，然后根据，设点，则可得点的坐标，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点C作于点Q， ∵点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 如图，过点作轴，交轴于点， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点E关于直线的对称点落在y轴上， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵轴， ∴， ∴， 设点，则， 当点在轴左侧时，则， 当时，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴四边形的周长为； 当时，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴四边形的周长为； 当点在轴右侧时，如图，点关于直线的对称点不会落在y轴上， 综上所述，四边形的周长为或． 23．(2026·江苏盐城响水县·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接 (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再分两种情况：①当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；②当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可； （3）分两种情况：①点绕点逆时针旋转得到点，②点绕点顺时针旋转得到点，求出点的坐标，代入计算即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与抛物线交于点， ∴，轴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 由题意，设点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴或， ①如图，当时，设直线与轴交于点，连接， ∴， ∴，， ∴的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； ②如图1和图2，当时，设直线与轴交于点，连接， ∵， ∴在图2中，的面积为，不符合题意，舍去， ∴如图1中，的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； 综上，存在这样的点，其坐标为或． （3）解：由题意，设点的坐标为， ①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时， 设直线与轴交于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得：， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：， 将点代入得：， 解得或（均不符合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或． 24．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 25．(2026·江苏省无锡市·一模)如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值； (3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）根据待定系数，可得出点、、的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设点的坐标为，由勾股定理得，得方程，求解出的值，得出点坐标，再求出直线、的表达式，通过函数表达式求交点坐标，得点的横坐标可为相对应点横坐标之差的比例，即可得出的值； （3）通过直线平行，可得令直线的表达式为，设，，由韦达定理得，，用、、表示出直线、的表达式，通过求其交点坐标，得出点横坐标固定不变，始终为，令点坐标为，根据割补法求出其面积表达式，列出方程，求解出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点坐标， ∴， ∵， ∴，， 故，， 将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：假设点的坐标为， ∵，， ∴， ，， ∵， ∴， 得方程， 化简得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 令直线的表达式为， 将点代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得， 解得， 故点的横坐标为，纵坐标为， 分别过点、作轴于点，轴于点，如下图所示： ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（2）得直线的表达式为， 即对应， ∵， 故令直线的表达式为， 联立与， 得， 设，，由韦达定理得，， 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得，结合，， 求解出， ∴点横坐标固定不变，令点坐标为， 过点作轴交轴于点，如下图所示： ∴， 即， 解得， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数表达式、韦达定理等知识点，综合性和代数计算量偏大，难度较高． 26．(2026·江苏省苏州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、角的倍分关系、一次函数解析式的求解、二次函数的最值问题以及点到直线的距离计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数求最值是解题的关键． 27．(2026·江苏省苏州市·一模)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 28．(2026·江苏省无锡市·一模)在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)当是直角三角形时，的值或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点Q和点D的坐标，再表示出即可得到答案； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 该二次函数的函数表达式为； （2）解：∵， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ， 当，则，即， 解得，不符合题意，舍去； 当，则，即， 解得（不符合题意，舍去）或； 此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 当，则，即， 解得；此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值或． 29．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 30．(2026·江苏省惠山区·一模)已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点和是该二次函数图象上的两点，当时，试比较与的大小，并说明理由； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3)和 【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可； （2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系； （3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，即， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点和是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 结合，分三种情况讨论： ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，； （3）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点， ∴，， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上的动点， ∴设， ∵、关于直线对称， ∴垂直平分， 又， ∴， ∴到的平移规律，与到的平移规律完全一致， 设到中点的横坐标变化为，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点在对称轴上，且， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∴， 整理得， ∵点和点重合时无法构成平行四边形，故， ∴两边同时除以，得 ， ∴， 设，则 ，， 化简得，， ∴， 若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； ②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴此情况不成立； ③以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为和． 【点睛】四点平行四边形存在性问题，初中阶段最稳、零漏解的通法，就是“对角线中点重合三分类”：四个点中，任选两个点为对角线，仅有种不重复的组合，分别用中点坐标公式列方程，横纵坐标解一致则为有效解，自动舍去无效情况，完全避免了按边分类的漏解、错解问题． 31．(2026·江苏省泰州市·一模)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 32．(2026·江苏省无锡市梁溪区·一模)定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为，，或 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； （2）解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； （3）解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 33．(2026·江苏省宿迁市·一模)已知二次函数． (1)点在函数图像上，且，求a的值； (2)已知，点在函数图像上运动，当时，y的最大值记作：，y的最小值记作：，记；如：当，，时，，，，． ①若，，，则______；______；______； ②已知：，，，（t、k为整数），若，求a的值． 【答案】(1)a的值为 (2)①1，，9；②a的值为 【分析】（1）将点代入解析式即可得解； （2）先找到对称轴为直线，顶点为，①将，代入求出解析式，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可得解； ②先确定时在对称轴直线的右侧取值，再利用二次函数的性质分和讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点在函数图像上，且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，对称轴为直线，顶点为， ①∵，， ∴， ∵，，，对称轴为直线， ∴当时，最大值在顶点处的函数值为，即， 最小值：端点和时，代入后两个函数值均为，即， ∴； ②∵，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴， ∴时在对称轴直线的右侧取值， ∴当时，在对称轴直线的右侧随的增大而增大， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵（t、k为整数）， ∴， ∴， ∵t、k为整数，， ∴时满足条件， ∴， ∴， 当时，在对称轴直线的右侧随的增大而减小， 同理可推导出， ∵， ∴是分数不符合题意． 综上，. 34．(2026·江苏省南京市·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； (3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 35．(2026·江苏扬州市·一模)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 【答案】(1)③④ (2)的值为或或或0 (3) 【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”； （2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案； （3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得， 可得， ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 在中，令得， 可得 ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 故存在“集团平衡点”的函数是③④； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， ， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或0； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， 有两个相等实数根， ，即， ， 的坐标为． 36．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 37．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． (1)求直线的函数表达式； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可证明垂直平分，得到，利用勾股定理求出的长，则可得到点C的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设点，然后分两种情况：点P在左侧和点P在右侧，列出以为顶点的四边形面积与p的二次函数关系式，根据S的取值使得相应的点P有且只有3个，那么所得的两个二次函数的值等于S时要满足一个方程有两个相等实数根，另一个方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴点B为的中点， ∴点B的坐标为，即， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，则， 设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设点， ①若点在的左侧，延长交于，如图所示， 同理可得所在直线函数关系式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴ • ， ； ②若点在的右侧，延长交于，如图所示， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴   ； ∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个， ∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 综上所述，或（此种情况不成立，舍去）， ∴． 38．(2026·江苏省南京市·一模)已知二次函数（其中、为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 【答案】(1)二次函数的图象与轴有个公共点； (2)； (3)点横坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用判别式判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设，则，则PH的中点为，根据等腰直角三角形的性质可得或，将点代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； （2）∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； （3）将点和代入， 得， 解得，， ∴， ∵设直线的解析式为：， 将点和代入，得：， 解得，， ∴， ∵设，轴，点在直线上， ∴， ∴的中点为， ∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离， ①当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴当时，， 解得(舍)或； 当时，， 当时， 解得或(舍)； 当时，， ②当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴或， 当时，， 解得(舍)或(舍)； 当时， 解得(舍)或(舍)； 综上所述：点横坐标为或． 39．(2026·江苏省徐州市·一模)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求的值； (2)如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 【答案】(1)； (2)； (3)，点E不在直线上． 【分析】（1）先求出点A坐标，进而得出C点坐标，进一步得出结果； （2）作轴于Q，可证得，从而，进而得出，从而； （3）作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，，可求得，从而得出，可证得，从而，进而证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，作，交的延长线于R，作于T，作轴于X，可证得，从而，，，进而证得，从而，，进而证得矩形是正方形，从而设，代入抛物线的解析式，从而得出P点坐标；由（2）得出，从而，设，则，则，根据勾股定理列出关于n的方程，进而求得点E坐标，从而得出的解析式，根据和抛物线的解析式得出Q点坐标，根据直线和直线的关系得出直线的解析式，进而得出点E不在直线上． 【详解】（1）解：由得， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于Q， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，， ∴，，， ∴C、V、B在以O为圆心，为半径的圆上， 设交x轴于I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于R，作于T，作轴于X， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， 则设， ∴， ∴，（舍去）， ∴ 由（2）得， ， ∴， 设，则，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理求得直线的解析式为， 设直线交轴于点，作轴于点，如图， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 同理得直线的解析式为：， 当时， ， ∴点E不在直线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的判定和性质等知识． 40．(2026·江苏省扬州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题综合考查二次函数图象与几何性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理． （1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【详解】（1）解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； （2）解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； （3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11二次函数综合(3大考点，40题) ☆3大考点概览 考点01二次函数与不等式 考点02二次函数与实际问题的应用 考点03二次函数的综合 考点1 二次函数与不等式 一、单选题 1.(2026江苏省南京市溧水区一模)如图，二次函数y=ar2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象与x 轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论：①abc>0;②2a+c>0;③ am+m≤日m为任意实数：国若<c<子测-2<a+8+c<-,其中正疏结论有() 2 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2026江苏省南京市建邺区一模)在平面直角坐标系xOy中，己知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)，其中 a+b=-1. ①若这个函数的图象经过点(-1,0)，则函数必有最大值； ②若0<x<1时，y随x的增大而减小，则必有a>0; ③若这个函数的图象经过点(4,1)，则不等式ax2+bx>0的解集为x<0或x>4; ④若方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一根为X,且-2<x1<-1,则必有a>b. 上述四个结论中：所有正确的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、解答题 3.(2026江苏省南京市溧水区，一模)已知二次函数y=ax2-4ax. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)二次函数图象的对称轴是直线x= (2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式： (3)若a<0,对于二次函数图象上的两点P(x,y),Q(x2,y2),当t-1≤x≤t+1,x2≥5时，均满足片≥y2,请 结合函数图象，直接写出t的取值范围. 4.(2026江苏省扬州市一模)在平面直角坐标系x0y中，⊙O的半径为2，△APQ是等腰直角三角形， ∠PAQ=90°，对于点Q和⊙O，,给出如下定义：若存在点Q在⊙O内（包含圆周），则称△APQ为⊙O的 关联三角形 P 图1 图2 (1)如图1，若点A(-4,4) ①已知点P(-8,0),P2(-8,2),则在△AP2,△APQ2中为⊙O的关联三角形的是_； ②P是x轴上的动点，且△APQ为⊙O的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是_； (2)如图2，若点A(7,0),直线y=-x+b上存在点P使得△APQ为⊙O的关联三角形，直接写出b的取值范 围 5.(2026江苏省连云港市石桥中学，一模)已知：抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于 C点，且点A的坐标为(-1,0)，结合图象回答以下问题： (1)方程-x2+2x+c=0的根是」 ； (2)函数值片不大于0，x的取值是 (3)当0≤x<3时，y的取值范围是； (4)若直线经过B、C两点，则y>y2时，x的取值是 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026江苏省南京市玄武区一模)已知抛物线L:y=x2-6mx(m≠0)，直线x=2m将抛物线L分成两部 分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=2m的对称图形，得到的整个图形 L'称为抛物线L关于直线x=2m的L双抛图形”. (1)如图所示，当m=1时，抛物线L:y=x2-6mx上的点A,B,C,D,E分别关于直线x=2m对称的点 为A,B,C,D,E,如表： A2,-8 B(3,-9 C(4,-8) D(5,-5) E(6,0) A'2,-8 B'--- C'---- D'( E'(-2,0 3 2 43211 012345 2 5 6 8 10 ①补全表格： ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为'； ③若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为 ④若双抛图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 【探究问题】 (2)①若双抛图形L'与直线y=1恰好有三个交点，则t的值为 (用含m的式子表达)： ②若双抛图形L'的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达） A2,-8 B(3,-9 C(4,-8 D(5,-5 E(6,0) A'(2,-8 B'(1,-9 C'0,-8) D'-1,-5 E'-2,0 7.(2026江苏省无锡市江阴市.一模)如图，已知二次函数y=ax2-2ax-3（a>0)的图象与x轴交于 A(-1,0)、B两点，与y轴交于点C. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求二次函数表达式： (2)若点M(t,y)、N(t+1,y2)(0<1<2)是该函数图像上两点. ①证明：乃<y+3: ②连接AM、AN、MN,若aAMW为直角三角形，求t的值. 考点2 二次函数与实际问题的应用 一、 单选题 8.(2026江苏省徐州市沛县.一模)如图，等边三角形ABC的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3 个全等的圆.若圆的半径为x,且0<x≤10，阴影部分的面积之和为y,能反映y与x之间函数关系的大致 图形是() C 50π 50元 50π B D 10 10 20x 10 50元 10 9.(2026江苏省常州市一模)如图，菱形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，P是AB边上的动点， PG⊥AB,交AC于点G,连接EG,FG,设AP=x,S四边形DEGP=y,则y与x的函数图象大致是() 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D G B B D 二、填空题 10.(2026江苏宿迁宿豫区一模)如图，ABC是边长为6的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的动 点，满足CE=2BD,连接DE,在DE的左侧作等边三角形DEF,则BF的最小值是 A E B D 11.(2026江苏省徐州市一模)酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研 究发现酶的活性与温度有密切关系.已知某种酶在一定温度范围内，其活性y(单位：U)与温度x(单位： )的关系可以近似用函数y二)+25x+1000表示，要使其催化反应最快，则温度应保持 C. 12.(2026江苏省南京市一模)某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段 发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时，日盈利为w元.据此 规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x= 元时，超市的日盈利最大？ 13.(2026江苏省镇江市·一模)“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”.近年来，邳州市通过大棚种植技术（如 图1)，大力推进农业现代化转型.小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直 角坐标系.己知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系满足 1 y=-。x2+bx+c,现测得A,B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为 8 米 y/m x/m 图1 图2 三、解答题 14.(2026江苏省南通市一模)如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a,b,c数 值时，无人机会沿着y=ax2+bx+c对应的图象飞行. 20 a A B 图1 图2 (1)输入α，b,c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以(0,20)为起点，过点10,40)的射线.你输入的值是： a=,b=c=· (2)某次无人机按钮输入一组数，4三一25，b=8 5’c=20. ①求无人机飞行的最大高度： ②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中AB=CD=5,BC=10, AE=DF=27,BG=CH=30,建筑物一侧AE距离飞行起点的水平距离为10m,若要求无人机飞行过程 中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于4m,竖直距离不少于5m,按钮设置的这条曲 线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由. 15.(2026江苏省扬州市一模)综合与实践 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投 出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面2m的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面3.8m,最高点与篮球 出手点的水平距离为3m. 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E,对称轴为直线1，篮球出手点为A,落地点为C.以 水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点. (1)请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式： 问题解决： 己知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； (2)如图，若球员原地垂直起跳0.25m投篮，篮球出手点记为B,即AB=0.25m,篮球落地点为D,求起 跳点O与落地点D的水平距离OD的长： (3)己知在距点O水平距离5.8m,垂直高度3.082m处是篮框.若该球员向篮筐方向沿直线0C运球一定 距离后，再垂直起跳0.25投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线OC运球的 距离 16.(2026江苏省南京市六合区一模)如图，在一块空地上有一段长为Q米的旧墙MN,现在利用I旧墙一部 分AD(不超过MN)和1O0米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD A D B (1)若a=30,求矩形菜园ABCD面积的最大值； (2)若木栏增加2a米，矩形菜园ABCD面积的最大值为2800米2，则a的值为 17.(2026江苏省宿迁市泗阳县一模)项目化研究： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美一数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值.作 为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成 为“水韵泗阳”的靓丽名片.某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探 究大桥主塔高度 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽OA=60m,在某一时刻测得塔顶D在桥面上的投影D,到OA中点E的 距离ED,=16m（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面)，ED与水平塔架BC的投影B,C,相交于点F, 在同一时刻测得高21cm的测绘仪的投影长度为4cm. 数学公式备用：若P(x1,y)、Q(x2,y2在抛物线y=ax2+bx+c上，则线段P2与抛物线围成“弓形PO的面 积为：S= a(x-x)川 6 数学建模：以0为坐标原点，OA为x轴的正方向建立平面直角坐标系，点A的坐标为(60,0). B B 图1 图2 探究问题： (I)桥塔的高度DE=-: (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得EE=12m ①求水平塔架BC的长度； ②设弓形BC的面积为S,四边形01C8的面积为S,记k=受，请直接写出k值， 考点3 二次函数的综合 一、 单选题 18.(2026江苏省无锡市一模)如图，0是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象与x轴交于 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A2,0),B(0,c),且-3<c<-2.以下 结论：①abc>0,②名a<牙：③4CD是钝角三角形，④若方程ar+6-2x+C=0的两根为、 1 6 x,x<x,则-2<x<4-2√7,6<，<4+2V7.其中正确结论有() D A.①③④ B.②④ C.②③ D.②③④ 19.(2026江苏省无锡市一模)在平面直角坐标系中，若点P(a,b)既在函数y,=f(x)的图像上，又在函数 y2=gx)的图像上，且满足b≥0，则称点P为这两个函数的一个“非负公共点”.例如，点(1,2)就是函数 y=x+1和函数y=2的一个非负公共点”.现有函数=-X+2和，=-r2+m.已知它们存在“非负公共点 下列说法： ①m的值可以是3； ②m的值可以是1； 7 ③若仅存在一个“非负公共点”，则m= 4 ④若存在两个“非负公共点”，则m>4: 7 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 20.(2026江苏省泰州市一模)在平面直角坐标系中，：抛物线G:y=x,双曲线C,:y=-8,过点P(p,0 作x轴的垂线，交C于点M,交C,于点N,g为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一)， 将所有这样的点(p,q)组成的图形记为图形T.若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是 三、解答题 / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026江苏省无锡市，一模)抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C0,4, 连接AC,BC,点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F,连接AF, D 4 E B主 A B主 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，当线段AF最短时，求点P的坐标； (3)当m≤x≤m+2时，设函数的最大值为片，最小值为乃2，若y-2=2,直接写出m的值. 22.(2026江苏省常州市一模)如图，已知抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A1,0)和点B两点，与y轴交 于点C(0,-4). A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点（不与点A,B,C重合），作PD⊥x轴，垂足为D,连接PC. ①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD=45°，求点P的坐标； ②如图2，直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，求四边形PECE'的 周长 23.(2026江苏盐城响水县.一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A-3,0 、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3).抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线AC相交于点M,连接 AP 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该抛物线的解析式： (2)在直线AC下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QMA与△PMA的面积相等？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由. (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处， 请直接写出所有符合条件的点N的坐标 24.(2026江苏省无锡市锡山区一模)如图，已知二次函数y= )2+bx+c其中b,c为常数)的图象经 过点A(6,2),点C(O,8),顶点为点M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连 接BC. M C D 备用图 (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标， (2)若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值 (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点为Q.当以点P、 A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标. 25.(2026江苏省无锡市一模)如图1，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点 C,OB=OC=20A,C点坐标(0，-2)，连接BC. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②在图1中，点D(x,)是线段BC下方抛物线上一动点，连接D0交线段BC于E点，设OE=k,当 ED ∠ACD=90°时，求k的值； (3)如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y=ax2+bx+ca≠0交于E、 F两点，直线CE与BF交于点P,△BCP的面积能否为3，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理 由. 26.(2026江苏省苏州市一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0,B两 点，与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1. YA y :x=1 X=] B B B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的函数表达式. (2)P为抛物线上的一点（不与点A重合），设点P的横坐标为m,连接BC. ①若点P在第一象限，且∠OCP=2∠BCP,求点P的坐标. ②若点P在BC的下方，求点P到BC的最大距离，并写出点P的坐标. 27.(2026江苏省苏州市一模)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B两点，交y轴于点C,抛物线对 称轴交x轴于点D,抛物线与双曲线y=(x>0)交于点P2,3),把点P绕点D顺时针旋转90°得到的对应 点为Q 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 【构建联系】 (1)分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上， (2)如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E,连接PE,B0,求证：∠DPE=∠DQB. 【深入探究】 (3)如图3，连接CD、CP,将△OCD绕着点O旋转得到aOC'D',其中点C、D分别是C、D两点的对 应点，在旋转的过程中，当△OC'D'与△PCD重叠部分恰好是一个点时，求出此时点D的坐标 28.(2026江苏省无锡市一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A-1,9), B(5,9),与y轴交于点C,顶点为P. (1)求该二次函数的函数表达式： (②设二次函数y=心2+x+p(m≠)的图象经过点4，B,且与y轴交于点D,顶点为Q.求P吗 CD 的值； (3)在(2)的条件下，当△PCQ是直角三角形时，求tan∠CDQ的值. 29.(2026江苏省无锡市宜兴市一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2+bx+8经过点 A(4,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1)则抛物线解析式中a= ,b= (2)当3t+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3,求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在 点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由， 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026江苏省惠山区一模)己知二次函数y=-√3x2+bx+c的图象经过点A-3,0),B(1,0),顶点为点D ,与y轴交于点C. (1)求该二次函数的表达式： (2)点M(a,y)和N(a+3,y2)是该二次函数图象上的两点，当a<0时，试比较片与的大小，并说明理由； (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点D关于直线PE的对称点为F,当以点P, A,D,F为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标. 31.(2026江苏省泰州市一模)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象经过点 A4,0),点B(1,3)及原点，直线AB与y轴交于点C. E 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点P是二次函数图象在直线AB上方的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点 P的横坐标为m. ①m为何值时△PAB的面积最大，并求出其最大值； ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由， 32.(2026江苏省无锡市梁溪区·一模)定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该 函数的一对“等值点”. 己知二次函数y=x2-2mx+m2-1(m为常数)，设其函数图像为G. (1)求证：函数图像G上总存在“等值点”； (2)设函数图像G上一对“等值点”的坐标分别为a,b)和(a2,b)，(a,<a2),若a2-a=4,求b的值； (3)将函数图像G沿经过(0,1)且平行于x轴的直线翻折得到新图像F.当函数y=x的图像与函数图像G和 F有三个公共点时，请直接写出m的值， 33.(2026江苏省宿迁市，一模)己知二次函数y=2-4+b. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)点A2,1)在函数图像上，且b=-3,求a的值： (2)已知b=3a,点P(x,y)在函数图像上运动，当m≤x≤n时，y的最大值记作：ymx=M,y的最小值记作： ymn=N，记G(m,n)=M-N;如：当a=1,m=1,n=4时，y=x2-4x+3,ymax=3,ymm=-1, G1,4=M-N=3-(-1)=4. ①若a=-1,m=-1,n=5,则M=；N=;G(-1,5)=; ②已知：m=t+2,n=2t+1,m<n,M=k·N(t、k为整数)，若Gm,n=4,求a的值， 34.(2026江苏省南京市一模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2mx. (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）： (2)若点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=x2-2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围： (3)M1-m,y),N(m,y2是抛物线y=x2-2mx上两点，若y,-y≤2，直接写出m取值范围. 35.(2026江苏扬州市一模)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函 数图象的“集团平衡点”.例如，点(-1，是函数y=x+2的图象的“集团平衡点”. (①)在函数①y=-x+3,②y=3,③y=-x2+2x+1,④y=x'+x-3的图象上，存在“集团平衡点的所有函 数是 (填序号) (②)设函数y=-4(x>0)与y=x+b的图象的集团平衡点”分别为点A、B,过点A作AC1y轴，垂足为C ,当ABC为等腰三角形时，求b的值： (3)若将函数y=x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求M 的坐标。 36.(2026江苏省南京市溧水区一模)已知如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C. (1)求抛物线解析式及顶点坐标； 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若SAC4=5,求P点的坐标： (3)若抛物线y=ax2+(b+m)x+3+n上仅存在一个点Q(x,》1),使得2x+y1=0,若0≤m≤2，求n的最小 值。 37.(2026江苏省南通市一模)如图，在平面直角坐标系中，A10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆， B为半圆上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E.已知 CD=8,抛物线经过O,E,A三点. B (1)求直线OB的函数表达式： (2)求抛物线的函数表达式： (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P,O,A,E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时， 相应的点P有且只有3个. 38.(2026江苏省南京市一模)已知二次函数y=x2-2mx+n(其中m、n为常数). (0若月=+m子，判制二次函数y=-2m+n的图象与x维公共点的个数，并说明理由： 2 (2)若点Am-3,y),Bm+2,y2都在二次函数y=x2-2mx+n的图象上，试比较y、2的大小. (3)若该函数图象经过点A(3,0)和B(0,-4),若点P在x轴上，过P作x轴的垂线1，I交直线AB于点H,以 PH为斜边作等腰直角△PHQ.当点Q落在抛物线上时，求此时Q的横坐标 39.(2026江苏省徐州市·一模)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=a(x+2)x-4)交x轴的 负半轴于点A,交x轴的正半轴于点B,交y轴于点C,且0C=20A. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D\B E 图1 图2 (1)求a的值； (2)如图1，点P在第四象限的抛物线上，连接CP交OB于点D,若P点的横坐标为t,设线段OD长为d, 求d与t的函数解析式； (3)如图2，在(2)的条件下，点Q在第三象限的抛物线上，连接PQ,过A作AE∥y轴交P9于点E,连接 DE,LADE+90°=2LAEQ,在线段CD上取点F,连接OF使∠OFP=∠DPQ,过B作BH⊥OF于点H 交DF于点G,若BG=2OH,求点Q的坐标，并直接写出点E是否在直线OF上. 40.(2026江苏省扬州市一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+2ax-3aa<0)与x轴 交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为D, D个 A 备用图 (1)求点A和点B的坐标： (2)若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AE,AC，若AC平分LEA0,求抛物线的表达式： (3)若点P是抛物线第四象限上一动点，连接AD、AC、DP、CP,线段DP与线段AC交于点F,与x轴 交于点G,当S。or=SP时，求DC的值. GP