专题10 二次函数（4大考点，43题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数四大核心考点，精选江苏各地市一模真题43题，分层覆盖定义参数、图象性质、最值应用及平移变换，兼具基础巩固与综合创新。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|定义参数（如m值求解）、图象性质（如对称轴与交点分析）|结合坐标点判断抛物线（题8）、运动轨迹二次函数（题33）| |填空|16|最值计算（如三角形面积最大）、平移规律（如顶点坐标变换）|“倍值点”“均衡点”新定义（题3、18）、几何图形动态最值（题22、24）| |解答|17|综合应用（如利润问题、旋转平移）|传统文化情境（题28风筝筝形）、跨知识整合（函数与几何证明题17、19）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10二次函数(4大考点，43题) ☆4大考点概览 考点01根据二次函数的定义求参数 考点02二次函数的图象与性质 考点03二次函数的最值 考点04二次函数图象的平移 考点1 根据二次函数的定义求参数 一、单选题 1.(2026江苏省南京市一模)若关于x的函数y=(m-2xm-2-mx+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.4 2.(2026江苏省宿迁市·一模)函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 3.(2026江苏省苏州市·一模)定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这 个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数y=x+1图像的“倍值点”为(1,2).若关于x的二次函数 .1 y=(m-1)x2+mx+二m的图像上有唯一的“倍值点”，则m= 4 4.(2026江苏省南京市玄武区一模)若二次函数y=mx+m的图象开口向下，则m的值为 5.(2026江苏省宿迁市一模)若函数y=(k-2x+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为 6(2026江苏省南通市，一模)己知点A1,@在抛物线y=-2x2+1上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位， 点A随之平移到点A的位置，那么点A的坐标是· 7.(2026江苏省徐州市一模)若抛物线y=(k-1)x2-2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 考点2 二次函数的图象与性质 一、单选题 8.(2026江苏省南通市一模)在平面直角坐标系x0y中，五个点的坐标分别为 A(-1,5),B(1,2),C2,1,D3,-1),E(5,5).若抛物线y=ax-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 满足题意的a的值不可能为() A B D.3 4 9.(2026江苏宿迁沭阳如东实验中学.一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,其中抛物线 图像与x轴负半轴交点横坐标-1<x<0,则以下五个结论中，正确的有() ①abc>0;②2a+b=0；③b2>4ac;④4a+2b+c>0;⑤3a+c>0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(2026江苏省徐州市一模)函数y=ax2+bx+c图像的大致位置如图所示，则ab,bc,2a+b, (a+c-b2,(a+b)2-c2,等代数式的值中，正数有() A.4个 B.3个 C.1个 D.2个 11.(2026江苏徐州第三十五中学.一模)如图为函数y=ax2+bx+c的图象，下列说法中①b2-4c>0;② 2a+b>0,③a-b+c<0,④4a+2b+c>0.正确的个数有() 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2026江苏省盐城市一模)如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象过点-1,0，顶点为(1,2)， 下列结论：①abc>0;②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c<3b.其中正 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 确的结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 13.(2026江苏省徐州市一模)将抛物线y=x2-3先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则 平移后抛物线的顶点坐标为· 4,2026江苏省南家市敬楼飞模写出一条揽物线y三2x,y=2,y7共有的性质 三、解答题 15.(2026江苏省南京市一模)己知二次函数y=x2+2bx+c(b,c为常数). (1)当c=5时，若二次函数图象的对称轴为直线x=2,求该二次函数的最小值； (2)当-b≤x≤1时，函数的最小值为-b,最大值为1，求b的值： (3)若二次函数图象的顶点在y轴上，当m≤x≤n时，m≤y≤n,且y随x的增大而增大或y随x的增大而 减小，求c的取值范围. 16.(2026江苏南京玄武区一模)已知二次函数y=-(x-m)+m2+1(m是常数) (1)若m=-1, ①该函数的顶点坐标为 ②当-2≤x≤2时，该函数的最大值 ③当1≤x≤3时，该函数的最大值为 (2)当-2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为 17.(2026江苏省连云港市东海县.一模)抛物线y=-2x2+bx+c的顶点坐标为t,n),且该抛物线经过定点 A4,0). (1)当t=2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标： / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设点M(x,)、N(x2,y)在该抛物线上，且x>x3(点M在点N右侧)，1+x2<2t,求证：>y2: (3)已知点P(x,y)和Q(x4,y4)是抛物线上的两点，若对于x=2t,且t+1≤x4≤t+2,都有y<y4,求t的 取值范围。 18.(2026江苏宿迁一模)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象 的“均衡点”，例如点(1,1)是函数y=-x+2的图象的“均衡点”. )在函数①y=x-4,②y=-3,③y=2x-3x+2,④y=-x2+2x-3的图象上，存在“均衡点的函数 是 ；(填序号) (②设函数y=4x>0)与y=-2x+b的图象的均衡点”分别为点A、B,过点A作AC⊥y轴，垂足为C.若 ∠ABC=号∠AOC,求b的值： (3)若将函数y=-x2-2x的图象绕y轴上一点P旋转180°，点P在(0,1)的上方，旋转后的图象上恰有点1 个“均衡点”时，求点P的坐标， 19.(2026江苏省无锡市江阴市一模)如图，已知二次函数y=ax2-2ax-3(a>0)的图象与x轴交于 A(-1,0)、B两点，与y轴交于点C. (1)求二次函数表达式： (2)若点M(t,y)、N(t+1,y2)(0<1<2)是该函数图像上两点. ①证明：⅓<y+3; ②连接AM、AN、MN,若△AMN为直角三角形，求t的值. 20.(2026江苏省盐城市一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5a(a,b为常数，a<0)的对 称轴是直线x=2,与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C. (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点D(2,9. ①求此抛物线的表述式： 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ②点P(x,),Q(x2,为抛物线图象上的两个动点，若x,-x,≥8，求t的取值范围. (3)在抛物线上有两点m-2,)和(m,y2),若>y2,求m的取值范围. 考点3 二次函数的最值 一、填空题 21.(2026江苏省无锡市滨湖区·一模)在平面直角坐标系中，若点A0,4),B(m,0),C(m+3,0),则 AB2+2AC2的最小值为 22.(2026江苏宿迁沭阳如东实验中学.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，其中∠A=45°，AC=8, 若点M是AC边上的动点，连接BM,以BM为斜边作等腰直角△BMN,连接CN,则△CMN面积的最大值 是 M 23.(2026江苏扬州梅岭集团一模)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=∠D且∠B为锐角，CD=AD=3 ,当BC长取得最大时，则AB的值为 D B 24.(2026江苏省徐州市一模)如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD,过点E 作EF⊥AD交BD于点F,连接BE,取BE的中点为G,则GF的最小值为 A E D G F B C 25.(2026江苏省南通市海门区一模)若1≤x≤3时，二次函数y=2x2-3ax+4的最小值为-23，则a= / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 26.(226江苏宿迁宿豫区.一模)春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该 影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80， 且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 42 60 售出电影票数量y(张) 156 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润=票房收入一运营成本）为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 27.(2026江苏省无锡市新吴区一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3.将该矩形绕着点A按逆时 针方向旋转，得到矩形AEFG,连接DG、DF. Q A E B (I)当点B的对应点E落在边CD上时，求DG的长； (2)在旋转过程中，设DG=x,△DGF的面积为y.求y与x之间的函数表达式，并求出y的最大值， 28.(2026江苏省宿迁市泗阳县·一模)筝韵寄情一传统风筝中的数学探究 实践背景：风筝，古称“纸鸢鹞子”，是我国极具代表性的传统民间工艺，承载着千年民俗文化.从古代的 军事通讯到如今的清明踏青，风筝不仅是娱乐器具，其对称优美的骨架结构更是数学几何的生动体现.初 三数学某综合实践小组以经典风筝为原型，结合几何定义开展综合探究. 基础建模：在几何中，两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1，四边形ABCD为筝形，则满足 AB=AD,CB=CD;称对角线AC为筝形的中轴线，称对角线BD为筝形的横轴. 经综合实践小组研究发现，筝形有如下性质： 性质1.筝形是轴对称图形，对称轴为中轴线AC所在直线，且∠B=∠D: 性质2.中轴线AC垂直平分横轴BD; 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 性质3.筝形的面积：S=ACBD 2 请利用筝形的相关性质，解决以下问题： B D D 图1 图2 图3 (1)在图1中，若∠A=50°，∠B=80°，则∠C=°； (2)综合实践小组研究发现，筝形不具备稳定性，当筝形ABCD四条边的长度确定时，它的四个内角却不能 完全确定，测量发现某筝形ABCD的各边长分别为：AB=AD=20,CB=CD=15,要使筝形受力面积最 大，需将∠ABC固定为90°. ①如图2，若用横轴BD将筝形ABCD固定，并使∠ABC=90°，求横轴BD的长度； ②经进一步研究发现，如图3，在AB取一点E,在CD边上取一点F,固定线段EF,也可以将∠ABC固定 为90°.若始终保持BE=DF,求EF的最小值. 29.(25-26江苏连云港赣榆实验中学.一模)在二次函数y=x2-2mx-2m+3(m>0)中. (1)若它的图象与x轴只有一个交点，求m的值和顶点坐标； (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出m的值： (3)如果At-2,a,B4,b),Ct,a都在这个二次函数的图象上，且a<b<-2m+3.求t的取值范围. 30.(2026江苏南通海门区一模)已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=2. (1)求抛物线与x轴交点的坐标； (2)若二次函数y=ax2+bx的最小值为4-8a2,求a的值； (3)在(2)的条件下，若点Am,,B(,g)为该抛物线上的不同两点，g≠0，且卫+m=4=0,判断n与 9p-4 9的关系，并说明理由. 31.(2026江苏省南京市一模)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=x2-2mx+n. (1)若n=m2-1,求证：抛物线与x轴一定有两个交点. (2)若n=m2+m,点P(x1,y),Qx2,y2)在抛物线上，其中m-2<x1<m+1,x2=1-2m, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若片的最小值是-2，求函数的表达式： ②若对于，x2,都有<y2,求m的取值范围. 考点4 二次函数图象的平移 一、 单选题 32.(2026江苏省南京市建邺区，一模)将下列二次函数中图象向右平移1个单位，再向下平移5个单位后，得 到的函数图象顶点在原点的是() A.y=2(x-1)2-5 B.y=2(x-1)2+5 C.y=2(x+1)2-5 D.y=2(x+1)2+5 33.(2026江苏省南通市海门区一模)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点 P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为 边作正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如 图2，S是关于t的二次函数.在3个时刻5,42,134<1，<1)对应的正方形DPEF的面积均相等.下列4 个结论：①当1=1时，S=3；②点P在线段BA上时S=212-16t+34;③AD=4√2；④1+t2=4.其中正 确结论的个数为() S个 D C 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 34.(2026江苏省徐州市一模)将抛物线y=-x2先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得 抛物线的表达式是() A.y=(x-3)+2 B.y=-(x-3)2-2 C.y=(x+3)2-2 D.y=-(x+3)2+2 二、填空题 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(2026江苏省徐州市一模)把二次函数y=x2+4x+3向左平移2个单位后得到的图像表达式是 36.(2026江苏省南京市鼓楼区·一模)平面直角坐标系中，将二次函数y=x2-6x+8的图象向左平移2个单 位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 37.(2026江苏省南京市玄武区一模)如果将抛物线y=x2-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那 么平移后的抛物线解析式是 38.(2026江苏省南京市裸水区一模)若二次函数y=-ax2+bx+2有最大值为6，则 y=a(x+1)2-b(x+1)-2的最小值为 三、解答题 39.(2026江苏省南通市一模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C:y=a2+hx-】顶点P的坐标 2 (1,-1. (1)求抛物线C的表达式： (2)将抛物线C沿射线PO平移√2个单位长度.得到抛物线C,A(-2,m)为抛物线C,上的点. ①直接写出抛物线C,的表达式： ②若M,N为抛物线C,上异于A的两点，且AM⊥AN,记点M,N到直线x=2的距离分别为，d, dd2是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 206江水省苏州一阕如图，已知一次函数y=子+x+c(其中6，c为常数)的图象生 A6,2),点C(0,8),顶点为点M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接 BC. D 备用图 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标. (2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部 (不包括ABC的边界)，求m的取值范围. (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点为Q.当以点P、 A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标. 41.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)某数学兴趣小组在探究函数y=x2-4x+3的图象和性质时，经历以下 几个学习过程： (1)列表（完成以下表格）： -1 0 1 2 3 6 月1=x2-4x+3 15 8 0 3 15 y=x2-4x+3 15 8 0 0 3 15 (2)描点并画出函数y=x2-4x+3的图象： (3)根据图象完成以下问题： (i)数学小组探究发现直线y=8与函数y=x2-4x+3的图象交于点E、F,E(-1,8),F(5,8),则不等 式x2-4x+3>8的解集是 (立)设函数y=x2-4x+3的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧)，与y轴交于点C. 1 0 8 7 6 5 4 3 -2 -4-321912.34.56.78x ①求直线BC的解析式： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y=x2-4x+3的图象恰好有3个交点，求此时m的值. -2 6 y1=x2-4x+3 15 8 3 0 15 y=x2-4x+3 15 8 3 8 15 42.(2026江苏省南京市六合区一模)已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A1,0)和B(0,3)两点，将抛物线 的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N. O (1)求抛物线C的表达式： (2)请直接写出四边形ABMN的面积； (3)将抛物线C平移到抛物线C,点A的对应点为点A、点B的对应点为点B且在x轴上，如果四边形 ABB'A'的面积为9，求抛物线C的表达式. 43.(2026江苏省南通市海门区一模)如图，二次函数y=二x2+bx+c(b,c为常数)的图象交x轴于A,B 3 两点，交y轴于点C,已知点B的坐标为9,0)，点C的坐标为0，-3)，连接AC,BC. 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标. (3)将抛物线沿射线CA的方向平移210个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线 对称轴上的一点，若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标 专题10 二次函数（4大考点，43题） 4大考点概览 考点01根据二次函数的定义求参数 考点02二次函数的图象与性质 考点03二次函数的最值 考点04二次函数图象的平移 根据二次函数的定义求参数 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省南京市·一模)若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义得出且，求出m即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 2．(2026·江苏省宿迁市·一模)函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数y=xm+1是关于x的二次函数 ∴m+1=2，即x=1． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0、次数为2的特征是解答本题的关键． 二、填空题 3．(2026·江苏省苏州市·一模)定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 4．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为 ___． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义以及二次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：由题意：， 解得：或， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 5．(2026·江苏省宿迁市·一模)若函数表示是的二次函数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 6(2026·江苏省南通市·一模)已知点在抛物线上，将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线的平移变化点坐标的平移变化，先求出点坐标，再根据点也是沿着y轴向上平移3个单位得到点，即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 将此抛物线沿着y轴向上平移3个单位，点A随之平移到点的位置， 点也是沿着y轴向上平移3个单位， 即， 故答案为：． 7．(2026·江苏省徐州市·一模)若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围． 二次函数的图象与性质 考点2 一、单选题 8．(2026·江苏省南通市·一模)在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 9．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有， ∴，故①错误；，故②正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故③正确； 由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等， ∴当时，，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④共3个． 10．(2026·江苏省徐州市·一模)函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（   ） A．4个 B．3个 C．1个 D．2个 【答案】C 【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定及相关代数式的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于负半轴， ，；， ∵对称轴在轴右侧， ，即； ，； 由图可知对称轴，且， ，即； 当时，，当时， ； ； ，， ， ； 综上所述，正数只有这1个． 11．(2026·江苏徐州第三十五中学·一模)如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】观察图象，根据图象与x轴有两个交点，即可判定①；二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，即可判定②；根据当时，，即可判定③；根据当时，，即可判定④． 【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， ∴， ∴①正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间， ∴，， ∴， ∴， ∴②不正确； 当时，， 即可得， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴④不正确． 故选：B． 12．(2026·江苏省盐城市·一模)如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④共3个． 二、填空题 13．(2026·江苏省徐州市·一模)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 14．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 三、解答题 15．(2026·江苏省南京市·一模)已知二次函数（b，c为常数）． (1)当时，若二次函数图象的对称轴为直线，求该二次函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，最大值为1，求b的值； (3)若二次函数图象的顶点在y轴上，当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 (3)或 【分析】                                               本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴公式可得b的值，进而得到二次函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案； （3）当，且y随x的增大而增大时有，则m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，利用判别式和，可求出c的取值范围；当，且y随x的增大而减小时有，可证明，，则可得到是关于x的一元二次方程的两个实数根，根据方程有实数根得到，则；根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵若二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为1，即二次函数的最小值为1； （2）解：由题意得，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵当时，函数的最小值为，最大值为1， ∴当时，，当时，， ∴， 解得或； （3）解：∵二次函数图象的顶点在y轴上， ∴对称轴为y轴， ∴，即， ∴二次函数解析式为 ∵当时，，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， ∴当，且y随x的增大而增大时有， ∴m、n可看成是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； ∵， ∴当时，y随x增大而增大， ∴， ∴， ∴； ∴当，且y随x的增大而减小时有， 得， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； ∵， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴； 综上所述，或． 16．(2026·江苏南京玄武区·一模)已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 17．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点． (1)当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：； (3)已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式可得，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，根据，，得到，据此可证明结论； （3）分两种情况：当时，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可；当时，点在对称轴上或在对称轴右侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴当时，， ∵该抛物线经过定点， ∴，即， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即； ∵点、在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点一定在对称轴右侧； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当时，则， ∴此时点在对称轴左侧， ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴点P到对称轴的距离要大于点Q到对称轴的最大距离， ∴， 解得； 当时，则， ∴此时点在对称轴右侧或在对称轴上 ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴， 解得； 综上所述，或． 18．(2026·江苏宿迁·一模)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“均衡点”，例如点是函数的图象的“均衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“均衡点”的函数是__________；（填序号） (2)设函数与的图象的“均衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．若，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，点在的上方，旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”时，求点的坐标． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据“均衡点”的定义进行判断即可； （2）求出，，根据题意得到，据此列方程并解方程即可得到答案； （3）设点，旋转后的抛物线为，根据旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”进行解答即可． 【详解】（1）解：当时， ①，方程无解， ∴的图象上，不存在“均衡点”； ②，则，无实数根， ∴的图象上，不存在“均衡点”； ③，解得， ∴的图象上，存在“均衡点”； ④，即， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的图象上，不存在“均衡点”； 故答案为：③ （2）解：在中，令，则， 解得（舍去）， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴在直线上，其中， ∵过点作轴，垂足为． ∴， 如图，作轴于点D，轴于点C， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵当时，点在上，此时， ∴不合题意，舍去， 故 （3）的图象的顶点为，对称轴为直线， 设点， ∵绕轴上一点旋转， ∴旋转后抛物线开口向上，形状不变，顶点为， ∴旋转后的抛物线为 当时，即， ∵旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”时， ∴， 解得， ∴点 19．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 20．(2026·江苏省盐城市·一模)在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． (1)求证：该抛物线的顶点在第一象限； (2)若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． (3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，可得，可得，由抛物线顶点为，即可得到抛物线的顶点在第一象限； （2）①把代入即可得到解析式；②由交点的含义可得，可得，，进一步计算，再进一步建立不等式解题即可； （3）由离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．结合抛物线上有两点和，且，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴该抛物线的顶点在第一象限． （2）解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小． ∵抛物线上有两点和，且， ∴， ∴， 解得：． 二次函数的最值 数 考点3 一、填空题 21．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 22．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 23．(2026·江苏扬州梅岭集团·一模)如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，平行线的性质，二次函数的最值；先证明梯形和梯形是等腰梯形得到，，再利用平行线的性质得出，得出，设，，可得出与的函数关系，最后利用二次函数的最值，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过D作，交延长线于E，过B作，交延长线于F， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即当时，长取得最大． 故答案为：． 24．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，正方形边长为4，E为边上一点，连接对角线，过点E作交于点F，连接，取的中点为G，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长，交于点，取的中点，连接，先证明．得到，，根据三角形中位线定理，可得到，，设，则，，，，，可得． 【详解】 如图所示，延长，交于点，取的中点，连接． 因为， 所以． 所以， 所以 所以． 所以． 因为的中点为点， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 因为的中点为点，的中点为点， 所以，． 所以． 因为正方形， 所以 所以为等腰直角三角形， 所以． 所以． 设，则，，，，， 所以． 所以． 当时，取得最小值，即的最小值为， 所以的最小值为． 故答案为： 25．(2026·江苏省南通市海门区·一模)若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 二、解答题 26．(226·江苏宿迁宿豫区·一模)春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 42 60 售出电影票数量（张） 156 84 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润=票房收入运营成本和（1）中的结果，可以求出与之间的函数关系式； （3）将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格得：时，；时，， ，解得． ∴与之间的函数关系式为（，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ∵，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 27．(2026·江苏省无锡市新吴区·一模)如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． (1)当点的对应点落在边上时，求的长； (2)在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作，连接，过点作，如图所示，由矩形性质求出相关角度和线段关系，在中，由勾股定理求出，结合旋转性质及三角形相似的判定与性质得到相似比，代值求出，最后在中由勾股定理求解即可； （2）过点作、，过点作，构造出矩形，求出矩形的两条邻边长度，在中，由勾股定理列式求解即可得到与之间的函数表达式，再由二次函数性质及点的轨迹为圆分析求解即可得到的最大值． 【详解】（1）解：当点的对应点落在边上时，如图所示： 在矩形中，，， 过点作，连接，过点作，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， 在中，，则由勾股定理可得， 由旋转性质可知，则， ， 则， 解得，， ， 在中，，，则由勾股定理可得； （2）解：过点作、，过点作，如图所示： 四边形是矩形，则， ， 解得， ，， 是的中线，则， 在中，，则由勾股定理可得， 由等面积法可知， ，解得， 在中，由勾股定理可得，则， ， ， 直接开平方得， 即与之间的函数表达式为， ，即抛物线开口向上，且对称轴为轴， 值随着的增大而增大， 将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，则点在以点为圆心、为半径的圆周上，如图所示： 在旋转过程中，设，则为直径，即时，的面积有最大值，为． 28．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)筝韵寄情——传统风筝中的数学探究 实践背景：风筝，古称“纸鸢”“鹞子”，是我国极具代表性的传统民间工艺，承载着千年民俗文化．从古代的军事通讯到如今的清明踏青，风筝不仅是娱乐器具，其对称优美的骨架结构更是数学几何的生动体现．初三数学某综合实践小组以经典风筝为原型，结合几何定义开展综合探究． 基础建模：在几何中，两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形为筝形，则满足，；称对角线为筝形的中轴线，称对角线为筝形的横轴． 经综合实践小组研究发现，筝形有如下性质： 性质1．筝形是轴对称图形，对称轴为中轴线所在直线，且； 性质2．中轴线垂直平分横轴； 性质3．筝形的面积：． 请利用筝形的相关性质，解决以下问题： (1)在图1中，若，，则______°； (2)综合实践小组研究发现，筝形不具备稳定性，当筝形四条边的长度确定时，它的四个内角却不能完全确定，测量发现某筝形的各边长分别为：，，要使筝形受力面积最大，需将固定为． ①如图2，若用横轴将筝形固定，并使，求横轴的长度； ②经进一步研究发现，如图3，在取一点E，在边上取一点F，固定线段，也可以将固定为．若始终保持，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①24；② 【分析】（1）根据筝形的性质和四边形的内角和定理即可求解； （2）①连接交于点，根据勾股定理求出，根据筝形的性质得垂直平分，则有，，利用等积法求出的长，即可求出横轴的长度；②连接，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，设，利用相似三角形的判定与性质表示出和的长，再利用勾股定理求出的表达式，再利用二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：由筝形的性质得， ∵， ∴； （2）解：①如图2，连接交于点， ∵， ∴， 由筝形的性质得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点， 由①得，，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为288， ∴的最小值为． 29．(25-26·江苏连云港赣榆实验中学·一模)在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【详解】（1）解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； （3）解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 30．(2026·江苏南通海门区·一模)已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线与轴交点的坐标； (2)若二次函数的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，若点，为该抛物线上的不同两点，，且，判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据对称轴可得，然后代入解析式可得结论； （2）将解析式写成顶点式，根据最小值为，列出方程求解； （3）将坐标代入解析式，得到，，由，得，代入，即可得到． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，由得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：由题意知：， ， ， 解得，（舍）， ． （3）解：． ，都在抛物线上， ，． ∵， ∴， ， ， ∴， 即：， ， ． 31．(2026·江苏省南京市·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)①，②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可； （2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； （2）解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 二次函数图象的平移 考点4 一、单选题 32．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：A、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； B、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； C、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； D、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，在原点，故符合题意； 故选：D． 33．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 34．(2026·江苏省徐州市·一模)将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为：， 故选：D． 二、填空题 35．(2026·江苏省徐州市·一模)把二次函数向左平移2个单位后得到的图像表达式是_______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换和二次函数顶点式，先将原二次函数化为顶点式，再根据平移规律即可得到平移后的函数表达式． 【详解】解：， 将二次函数图象向左平移个单位，得： ， 展开得：． 36．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 37．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是________． 【答案】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：依题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”． 38．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 三、解答题 39．(2026·江苏省南通市·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点． ①直接写出抛物线的表达式； ②若，为抛物线上异于的两点，且．记点，到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是一个定值， 【分析】（1）根据顶点坐标构造方程得到，解出，即可； （2）①先计算出，则平移后抛物线的顶点坐标为，结合平移不改变抛物线的形状，求出抛物线的表达式； ②先出点，设，， 作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、．容易证明，则．通过因式分解化简后得到，则为定值． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①由（1）知抛物线的表达式为， 由勾股定理可得， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度，得到抛物线， 又∵， ∴抛物线的顶点为点， ∴抛物线的表达式为； ②如图， 作直线，直线，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点作轴的平行线，分别交直线和直线于点、，设点，， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由题意可知，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、不与点重合， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴为定值． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，平方差公式，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 40．(2026·江苏省苏州·一模)如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，利用解析式分别求得E，F的坐标，利用抛物线平移的性质，列出不等式即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：设直线的解析式为， ∴． 解得：， ∴直线的解析式为． 过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图， 当时，， ∴． ∵将该二次函数图象向下平移个单位， ∴平移后的点M的坐标为， ∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）， ∴， ∴； （3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由： ①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴． 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，． 连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点M关于直线的对称点为Q， ∴， 过点P作轴于点G， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 41．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： (1)列表（完成以下表格）： (2)描点并画出函数的图象； (3)根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（）或；（）①；②或 【分析】（）根据函数解析式计算即可； （）描点、连线、画函数图象即可； （）（）根据函数图象解答即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②当时，可知直线与函数的图象恰好有个交点；当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点，利用求出的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： （2）解：描点、连线、画函数图象如下： （3）解：（）如图， 由图象可知，当或时，函数， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （）①如图，设直线的解析式为，由表格可知点 ，， 把 和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②把代入，得， ∴点在直线上， 由函数图象可知，此时直线与函数的图象恰好有个交点， 即； 由图象可知，直线只有向上平移才能与函数的图象恰好有个交点， ∴平移后的直线解析式为， 由，得， 当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点， 此时， 解得； 综上，当或时，直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点． 42．(2026·江苏省南京市六合区·一模)已知抛物线C：经过和两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． (1)求抛物线C的表达式； (2)请直接写出四边形的面积； (3)将抛物线C平移到抛物线，点A的对应点为点、点B的对应点为点且在x轴上，如果四边形的面积为9，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，求得平移的距离是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）利用梯形的面积和三角形面积公式求得即可； （3）由题意可知，四边形为平行四边形，且的面积为，求出，再分两种情况：当在左下方时，当在右下方时，分别求解即可求得平移后的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线C：经过和， ，解得， 抛物线C的表达式为； （2）， ， 四边形的面积为：． （3）将抛物线C平移到抛物线，点A的对应点为点、点B的对应点为点， ，且， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， 当在左下方时，如下图： ， 此时将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度即可得到抛物线， ； 当在右下方时，如下图： ， 此时将抛物线C向右平移4个单位，再向下平移3个单位长度即可得到抛物线， ； 的解析式为或． 43．(2026·江苏省南通市海门区·一模)如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $