专题09 一次函数（4大考点，45题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中数学一次函数专题汇编，含4大考点45题，精选江苏省多地一模试题，覆盖图象、性质、应用及综合应用，注重基础巩固与创新能力考查，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|15|一次函数图象（交点/平移）、性质（增减性/新定义）|含“奇对称点”“k-利普希兹条件函数”等创新定义题| |填空题|13|图象与坐标轴交点、性质应用|设置开放性问题（如写满足条件的函数表达式）| |解答题|17|实际应用（行程/成本/电量）、综合（与反比例/几何结合）|结合智能机器人送餐、新能源汽车等真实情境，综合考查建模与推理能力|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09一次函数(4大考点，45题) ☆4大考点概览 考点01一次函数的图象 考点02一次函数的性质 考点03一次函数的应用 考点04一次函数的综合应用 考点1 次函数的图象 一、单选题 3 1.(2026江苏省连云港市东海县一模)关于直线y=-x+b(b为常数)与直线y=三x+5的交点情况，下列 判断一定正确的是() A.有1个交点，且在第一象限 B.有1个交点，且在第二象限 C.有1个交点，且在第三象限 D.有1个交点，但不在第四象限 2.(2026江苏省无锡市一模)把函数y=2x的图像沿y轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点 () A.(1,2 B.-1,-2 C.(1,5) D.（-1,-5) 3.(2026江苏省无锡市一模)若函数y的图象上存在点M,函数y的图象上存在点N,且M、N关于原 点成中心对称，则称函数乃和存在“奇对称点”.此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”.下列结 论： ①函数y=x+2与函数y2=3x-1存在奇对称点； ②函数，=2x+2与函数乃-2的奇对称值”为2或5， ③若瓦是函数1=2x+3与函数，的奇对称值，则-1或 ④若函数1=-x2+2x(0≤x≤2)与函数2=x+1(x<0)存在奇对称点，则-0.25≤t≤2. 其中正确的是() A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④ 4.(2026江苏省扬州市宝应县一模)已知(k,b)为第二象限内的点，则一次函数y=x+b的图象大致是() 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B D 5.(2026江苏省无锡市一模)已知y是x的函数，x,x2x,≠x,)是自变量取值范围内的任意两数，其对应的 函数值分别为y,2.若存在常数kk>0),使得y-≤k:一x,则称此函数为k利普希兹条件函数”.下 列四个结论：其中正确的是() ①函数y=-3x+1是“3-利普希兹条件函数”； ②函数y=5x2是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数y=mx+n是“2026-利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026； ④己知函数y=2x2+3x+1,当1≤x≤2时，此函数是“k利普希兹条件函数”恒成立，则k的最小值为11. A.①②③ B.①③ C.②④ D.①③④ 6.(2026江苏省无锡市锡山区一模)当x,+y+x2+=0,且片≠-x,时，称点x,y与点(x2,y2)为一对“反 射点”.若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”.根据该约定，下列说法不正确 的是() A.反比例函数y=2的图象上存在无数对“反射点” B.二次函数y=x2+1的图象上没有“反射点” C.若关于x的一次函数y=@x-4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为 P D.若关于x的二次函数y=2+m是“镜像函数，则实数m≤一4 3 7.(2026江苏省徐州市泉山区一模)如图为一次函数y=x+b的图象，关于x的不等式k(x-3)+b<0的解 集为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x<-4 B.x>-4 C.x<2 D.x>2 8.(②026·江苏省南通市海门区·一模)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方 形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A, B,C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为() -2 A.(3 c.2 二、填空题 9.(2026江苏省无锡市滨湖区一模)请写出一个b的值，使一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限， b= 10.(2026江苏省苏州市·一模)过A,B两点画一次函数y=-x-2的图象，若点A的坐标为(0，-2)，则点 B的坐标可以是 (只需写出一个即可)· 11.(2026江苏省徐州市一模)如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、C,反比例函数 y=k的图象经过点A,ABC是等腰直角三角形，L4CB=90°，AC=BC,则k的值为一· 12.C026江苏省宿迁市一黄已知一次函数)=+5，将其图像绕y轴上的点P0,a)旋转180，所得 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的图像经过(0，-3)，则a的值为 三、解答题 13.(2026江苏省徐州市铜山区一模)已知，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3的图象分别与x轴、 y轴交于点A,B. VA (1)如图，若抛物线y=ax2-2ax+a+4经过点A,且与x轴的另一个交点为点C. ①求出这个二次函数的表达式： ②在抛物线上存在点P,使得BO平分∠CBP,求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D,若抛物线y=ax2-2ax+a+4与线段BD只有一个公共点，求实 数a的取值范围. 14.(2026江苏省南通市一模)如图，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=m的图象的一个交点为 A2,6). (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=m的图象相交于点B,C,求 S4BC的值， 考点2 次函数的性质 一、单选题 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 15.(2026江苏省无锡市宜兴市一模)对某一个函数给出如下定义：对于函数y,若当a≤x≤b,函数值y 满足m≤y≤n,且满足n-m=k(b-a),则称此函数为k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y=2x-1(1≤x≤5)是“2型闭函数”； ②若一次函数y=ax+23≤x≤8)是“1型闭函数”，则a=1; ③反比例函数y=《(k>0,4≤x≤b且0<a<b)是“k型闭函数”，且a+b=√2026，则a2+b=2024; ④二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a(-1≤x≤1)是“k型闭函数”，则k的取值范围是k≥1.5. 其中正确的是() A.①④ B.②④ C.①②③ D.①③④ 16.(2026江苏省南通市一模)如果一个函数同时满足条件：①图象经过点(1,1)；②图象经过第四象限；③ 当x>1时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是() A.y=2x-1B.y=1 C.y=-x2+4x-2D.y=-2x2+3x 二、填空题 17.(2026江苏省无锡市江阴市·一模)请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增 大，且图像经过点(0,4，那么这个函数的表达式可以是 。 18.(2026江苏省无锡市宜兴市一模)写一个函数表达式，使其图像经过点(0，-2)，且函数值随自变量增大 而增大： 19.(2026江苏省无锡市锡山区一模)写出一个函数表达式，使它的图像经过(3,0)，且x>0时，y随x的增 大而减小，这个函数表达式可能是：· 20.(2026江苏省南通市一模)在平面直角坐标系中，一次函数=mx+1)+1和y2=ax-1+2,无论x 取何值始终有y>y2,则m的取值范围是 21.(2026江苏省南通市一模)已知点(x,乃)，x2,2)在一次函数y=x+2(k≠0)的图象上，当x>x2时， 乃<，则实数k的值可以是 (只需写出一个符合条件的实数即可) 22.(2026江苏省南京市溧水区·一模)对于给定实数x,记y是三数x,6-x,2x+4中最小的数，则y的最 大值是· 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 23.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)我们不妨约定：若存在实数k,对于函数图象上任意两点 (x,、x,2),-9≤k(都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这 个函数的幸福指数.例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4. (1)若下列函数是幸福函数，则其中幸福指数为6的是·（填序号） ①y=2x-1-1≤x≤2)；②y=3 -3sx- ③y=(x-1+2(2≤x≤3)； (2)若一次函数y=ax+b和反比例函数y=a(a,b为常数，且a≠0，当t-1≤x≤1+1且1>1时，这两个 函数的幸福指数相同，求t的值； (3)若关于x的幸福函数y=-x2+2x+t(t为常数)，当t≤x≤t+1时，幸福指数为t,求t的值. 24.(2026江苏省宿迁市一模)在平面直角坐标系中，对于一次函数y=x+b(k≠0)，若g=y-x(t为 常数，t≠0)，则称g为y的“t型相关量”.例如：一次函数y=2x+1的2.5型相关量”为 g=(2x+1)-2.5x=-0.5x+1. 【理解】 (1)一次函数y=3x-1的“2型相关量”，则8=-： 【探究】 (2)已知g是y=x-4(k≠0)的“t型相关量”. ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系： 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若g=y-r,亦称g为y的t型相关量”.当 -2≤x≤1时，二次函数y=-x2+3x+t2-3的“t型相关量g的最大值为3，请直接写出t的值. 25.(2026江苏省南京市建邺区一模)在平面直角坐标系中，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，若g=y-x(t为 常数，1≠0)，则称g为y的“t型相关量”.例如：一次函数y=2x+1的“2.5型相关量”为 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 g=(2x+1)-2.5x=-0.5x+1. 【理解】(1)一次函数y=3x的t型相关量”为g=5x,则t=-; 【探究】(2)已知8是y=kx+2(k≠0)的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值： ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】(3)类似的，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若g=y-x,亦称g为y的“t型相关量”.当 -2≤x≤1时，二次函数y=-x2+3x+t2-3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值. 考点3 次函数的应用 一、单选题 26.(2026江苏省苏州市·一模)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音 传播的速度v(m/s)与温度t(C)部分对应数值如下表： 温度t(℃) -10 0 10 30 声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348 研究发现wt满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传播的速度v为() A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s 27.(2026江苏省南通市·一模)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚.如图，某餐厅的机器人小数 和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发 一段时间后将速度提高到原来的2倍.设小数行走的时间为x(s),小数和小文行走的路程分别为y,c), y2(Cm),,与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是() 个y/cm 450 310 302.月 1517 n x/s A.小数比小文先出发15秒 B.小文提速后的速度为30cm/s C.n=40 D.从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 28.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满 足一次函数y=0.5x+10.若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大3.5cm,则 物体A比B重kg】 29.(2026江苏省无锡市一模)如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形0ABC,A(7,0),C1,4,直 线y=x一3与BC,OA分别交于M,N,且将口OABC的面积分成相等的两部分，则k的值是 M B 三、解答题 30.(2026江苏省徐州市雅宁县一模)加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了 一处劳动实践基地.2024年计划将其中1000m的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植 成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数图象是如图所示的线段，其中200≤x≤600， 乙种蔬菜的种植成本为50元/m2. (元/m) 40------------ 20 0 200 600 x(m2) (1)当x为多少m2时，y是30元/m2; (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 31.(2026江苏省连云港市一模)某景区的同一线路上依次有A,B,C三个景点（如图1），小兴从A景点 出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500 米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点.两 人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t(分)，两人各自距A景点的路程s(米)与t(分)之间 的函数图象如图2所示. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 s(米) 3500 P景点C 1500 景点A 景点B m 50t(分钟) 图1 图2 (1)m= (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s(米)与t(分)之间的函数表达式（不必写出t的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当t是多少时，两人相距140米. 32.(2026江苏省南通市一模)近海处有一艘渔船A正向公海方向行驶，一艘快艇B从海岸出发追赶渔船A. 图中！、乙分别表示快艇B、渔船A相对于海岸的距离、（海里）与快艇追赶的时间t(分)之间的关系.根 据图象解答下列问题： S/海里 107分 (1)求☑的函数解析式： (2)当渔船A距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇B能否在渔船A进入公海前追上它？请说明理由. 33.(2026江苏省苏州市张家港市一模)小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼.小西先跑，10分钟后小傅才开始 跑，小傅跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分.小西与小傅的 跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小西跑步时间t(分)的函数关系如图所示， 里程分 时间 速度档 跑步里程 段 小 16:00~16:50 不分段 A档 4000米 西 小 第一段 B档 1800米 16:10~16:50 傅 第一次休息 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 As(米) --…小西 小傅 4600 4000 3000 1800 0 10 a50分) (1)求A,B,C各档速度（单位：米/分）： (2)小傅第二次休息后，在α分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米， 34.(2026江苏省南京市玄武区一模)甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩， 设乙行驶的时间为xh,甲、乙两人距出发点的路程S甲、S2关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之 间的路程差ykm)关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： ◆skm) 个ykm) 60 5x(h) 6 5 x(h) 图1 图2 (1)甲的速度是 kmh,乙的速度是 km/h (2)分别求出S甲、S2与x的函数关系式； (3)对比图1，图2可知：a=,b=,c= (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10km?(直接写出x的值) 35.(2026江苏省南京市·一模)某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量 y(kw·h)是其行驶路程x(km)的一次函数.已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw·h;行 驶路程为200km时，剩余电量为40kw·h. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电.行驶多少千米后，该款汽车将会 发出电量警报？ 36.(2026江苏省南通市海门区一模已知，一次函数y=x+2与y=-4x+4分别与x轴相交于点4和点D 3 ,与y轴相交于点B和点C,两直线相交于点E,连接OE. (1)求点E的坐标； (2)点F是线段AE上一点，且线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，请求出符合条件的点F的坐标. 37.(2026江苏省淮安市一模)在平面直角坐标系x0y中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点1,3)和(2,5). (1)求k,b的值； (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0)的值既小于函数y=+b的值，也小于函数y=x+k 的值，直接写出m的取值范围. 考点4 次函数的综合应用 一、单选题 38.(2026江苏省无锡市江阴市一模)在平面直角坐标系中，对于任意两点P(x,),Q(x2,y2)(x≠x2且 片≠y2),若x-x,=my1-y（m是常数)，则称线段P2是一条“m倍率线段”.下列说法中正确的有() ①若A(1,1),B(4,2),则线段AB是一条3倍率线段： ②若C-1,2),D在函数y-的图像上，则有且只有一条2倍率线段CD: ③若45,5，B在函数y-9x>0图像上，且B是1倍率线段，则B长为22或32： ④二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,点P在线段AB上，点Q在该二 函数位于第一象限内的图像上，目线段巴是)倍率线段，当P的长度最大时，点Q的坐标为？片 A.①② B.②③④ C.①②④ D.①③④ 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 39.(2026江苏省连云港市：一模)如图，在反比例函数的图象上有动点A,连接0A,y=x>0的图象经过 OA的中点B,过点B作BC∥x轴交函数y=4的图象于点C,过点C作CE∥y轴交函数y=冬的图象于点 D,交x轴于点E,连接AC,OC,BD,OC与BD交于点F. 下列结论：①k=1:②5x-号：③S.car5,c:①若BD=40,则∠40C=2∠C0E.其中正确的是 3 () A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 40.(2026江苏省无锡市一模)如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=x+1上，对称轴为直线x=1, 1 下面四个结论：①ab<0,②b<3,③a=-k,④当0<x<1时，ax+b>k,其中错误的结论是（） A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题 41.(2026江苏省无锡市惠山区一模)在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为： A1,1,B(0,2),C(-2,0),若直线1：y=mx+2m(m≠0把ABC分成面积相等的两部分，则m的值为 三、解答题 42.(2026江苏省无锡市一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是CD的中点，AE,BC的延长线 交于点F,在线段BF上取点M、N(点M在B、N之间)，使得BM=FN=。MN,当点P从点M匀速 8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 运动到点N处时，点Q恰好从点F匀速运动到点A处.设MP=x,A=y,己知y=-x+8,当x=4时， PQ与CE重合. D BM P 备用图 (I)求BF、AF的长： (2)若AB=6, ①连AP,当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，求x的值； ②将PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段PQ,当点P落在四边形ABCD的内部时，请直接写出x的取值范围. 43.(Q5-26八上江苏扬州宝应县期末图，在平面直角坐标系x0y中，正比例函数yx的图像为直线人 已知两点A0,1、B(0,5). y B (1)在直线1位于第一象限的部分找一点C,使得∠CAB=∠CBA.用直尺和圆规作出点C(不写画法，保留 作图痕迹)； (2)直接写出点C的坐标为 (3)点P在x轴上，PB+PC的最小值为 44.(2026江苏省南通市一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是矩形，点B的坐标为4,3).平 行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形 OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为（秒） 117 (1)点A的坐标是，点C的坐标是_； 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)当1=秒时，MN=AC; (3)设a0MW的面积为S,求S与t的函数关系式： (4)在(3)中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由 45.(2026江苏省常州市一模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=m(m≠0)的图象交于点 B(m,-1. ()求一次函数y=x+b(k≠0)与反比例函数y=”(m≠0)的解析式： (2)点P在x轴上，如果S。B=3,求点P的坐标. 专题09 一次函数（4大考点，45题） 4大考点概览 考点01一次函数的图象 考点02一次函数的性质 考点03一次函数的应用 考点04一次函数的综合应用 一次函数的图象 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 2．(2026·江苏省无锡市·一模)把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 3．(2026·江苏省无锡市·一模)若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据“奇对称点”定义，若在上，在上，则有解即存在奇对称点，奇对称值为，逐个验证四个结论即可． 【详解】解：设在上，由关于原点对称得在上，因此满足，，即，奇对称值为． ① 对，，代入得： ， 解得，方程有解，存在奇对称点，①正确． ② 对，， 代入得：， 整理得， 解得或． 当时，，奇对称值为； 当时，，奇对称值为， 因此奇对称值为或，②错误． ③ 奇对称值为，因此， ，得， 代入得：， 整理得， 解得或． 由，得 ， 当时，； 当时，， 因此或，③正确． ④ ，， 因此，，得 ， 代入条件得：， 整理得． ， 当时，， 当时，， 因此，④正确． 综上所述，①③④正确． 4．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 5．(2026·江苏省无锡市·一模)已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（   ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】  对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足． 【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 判断结论① ：已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确；   判断结论②：  对于函数， ∴，， ∴， 当时，，，而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误； 判断结论③：  已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． 由于， ∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确； 判断结论④：  已知函数，当时， ∴，， ∴，整理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确． 综上，正确的是①③④，答案选D． 6．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（   ） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，根据新定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A、∵， 当点在反比例函数上时，则， ∵， ∴； ∴点的反射点，必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；原说法正确，不符合题意； B、对于，若点是反射点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数的图象上没有“反射点”； 原说法正确，不符合题意； C、∵是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点与，即在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；原说法正确，不符合题意； D、∵二次函数是“镜像函数”，则图象上存在反射点与， ∴，， ∴， ∴， ∴或， 当时，即，则不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时，不符合题意； 故；原说法错误，符合题意； 故选D． 7．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 8．(2026·江苏省南通市海门区·一模)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 二、填空题 9．(2026·江苏省无锡市滨湖区·一模)请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 10．(2026·江苏省苏州市·一模)过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是________________ （只需写出一个即可）． 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查一次函数的图象性质，理解“直线上的点坐标都满足函数解析式”是解题关键． 点需在一次函数的图象上，且不同于点，故可任取一个不为的值计算对应值． 【详解】解：已知一次函数解析式， 取，则， 故点坐标可为． 故答案为：． 11．(2026·江苏省徐州市·一模)如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 12．(2026·江苏省宿迁市·一模)已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数求得与轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：在一次函数中， 令，则， 即一次函数与轴交点为（0，5）． ∵旋转后所得的图象经过点 ， ∴旋转后的函数与y轴交点为， ∵一次函数的图象，绕轴上一点旋转180°， ∴（0，5）和关于点对称， ∴． 故答案为1． 【点睛】此题考查的是一次函数与旋转问题，掌握旋转的性质和一次函数的性质是解题关键． 三、解答题 13．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 14．(2026·江苏省南通市·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 一次函数的性质 考点2 一、单选题 15．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数 ，随增大而增大 时，；时，，即，， 又，满足 ①正确； ②对于一次函数，是“1型闭函数”，则 当时，随增大而增大，，得 当时，随增大而减小，，得 故或 ②错误； ③对于反比例函数 ，随增大而减小， ， ∴ 函数是“k型闭函数”， ，约去得 ， ③正确； ④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即 当时，函数在上，随着的增大而减小， ∴， 解得 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵，， ∴在上的值随着的增大而减小， ∴ ∴； 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵， ∴在上，的值随着的增大而增大， ∴ ∴； 当时，函数在上，随着的增大而增大， ∴， 解得 综上，， ④正确． 综上，正确结论为①③④． 16．(2026·江苏省南通市·一模)如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可； 【详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B； ③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A； 对于，其对称轴为：， ∴在，y随x的增大而增大，故排除C； 对于，其对称轴为：， ∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键． 二、填空题 17．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增大，且图像经过点，那么这个函数的表达式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的增减性确定比例系数的取值范围，再利用函数经过的已知点求出常数项，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设符合条件的一次函数表达式为， 函数值随的增大而增大， ， 函数图像经过点，将代入得， 取，可得函数表达式为． 18．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)写一个函数表达式，使其图像经过点，且函数值随自变量增大而增大：________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】设一次函数解析式为，根据函数增减性确定的取值范围，再将已知点坐标代入求出，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设一次函数解析式为，其中 ， 将点代入解析式得：， 解得， 由函数值随自变量增大而增大，可得，取，可得函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 19．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)写出一个函数表达式，使它的图像经过，且时，y随x的增大而减小，这个函数表达式可能是：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求函数为一次函数，根据函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为， 时，随的增大而减小， ， 令，可得函数为， 将点代入得，解得， 因此符合条件的函数表达式可以为． 20．(2026·江苏省南通市·一模)在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 21．(2026·江苏省南通市·一模)已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 22．(2026·江苏省南京市溧水区·一模)对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 【答案】3 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，求一次函数图像交点坐标，首先根据题意设，，，然后画出图像，分别联立求出交点坐标，然后根据图像求解即可． 【详解】解：如图所示，设，，， ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴ ∵是三数，，中最小的数， ∴由图像可得， ∴的最大值在点C处取得，即当时， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 三、解答题 23．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点 ，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为． (1)若下列函数是幸福函数，则其中幸福指数为6的是 ．（填序号） ①；②；③； (2)若一次函数 和反比例函数 （为常数， 且，当 且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值； (3)若关于的幸福函数 （为常数），当 时，幸福指数为，求的值． 【答案】(1)① (2) (3)的值为或 【分析】本题 主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的运用，理解新定义的含义及计算方法，掌握函数值的计算方法是关键． （1）根据函数解析式，分别代入自变量求出对应的函数值，再结合定义判定即可求解； （2）根据题意得到，根据绝对值方程，求一个数的平方根的运算计算即可； （3）根据二次函数图象的性质得到图象开口向下，对称轴直线为，分类讨论：①当，即时；②当时；③当时，当时；分别算出函数值，结合幸福指数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：①，当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为6，符合题意； ②，当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为4，不符合题意； ③，图象开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴， ∴是幸福函数，幸福指数为3，不符合题意； 综上所述，符合题意的只有①， 故答案为：①； （2）解：一次函数 和反比例函数 （为常数， 且，当 且时，这两个函数的幸福指数相同， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵， ∴舍去， ∴； （3）解：， ∴函数图象向下，对称轴直线为， ①当，即时，当时，，当时，， ∴， 整理得，， ∵，则， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； ②当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得，； ③， 解得，， 当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，，即， 解得，， ∵，， ∴； 当时，当时，，当时，， ∴， 整理得，，即， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或．   24．(2026·江苏省宿迁市·一模)在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当时，为定值；② (3)或 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）先求出，再分时、时、三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的“2型相关量”， 则； （2）解：①由题意得：， 当时，为定值； ②， 若随的增大而减小，则，即； （3）解：由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 25．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)在平面直角坐标系中，对于一次函数，若为常数，，则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①时，为定值2；②； （3）或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1），即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）当时，，即可求解；当时、时，同理可解． 【详解】解：（1），则， 故答案为：； （2）①由题意得：， 当时，为定值2； ②， 若随的增大而增大，则； （3）由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则， 综上，或． 一次函数的应用 数 考点3 一、单选题 26．(2026·江苏省苏州市·一模)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 27．(2026·江苏省南通市·一模)人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 28．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重______． 【答案】7 【分析】本题考查一次函数的应用，设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度，故物体B质量为，即可得物体A比B重． 【详解】解：设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度， ∵在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大， ∴在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度， 在中，令得：， ∴， ∴物体B质量为， ∴物体A比B重； 故答案为：7． 29．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接、交于点，平分平行四边形面积的直线必定经过平行四边形的对称中心，利用中点公式求出点的坐标，代入直线解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即点是的中点， ∵，， ∴点的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线过点， 将代入，得， ， 解得． 三、解答题 30．(2026·江苏省徐州市睢宁县·一模)加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数图象是如图所示的线段，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当x为多少时，y是30元； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】(1)当x为时，y是30元/ (2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的运用． （1）根据题意，运用待定系数法即可得到当时，y与x的函数关系式为，令当时，代入计算即可求解； （2）由题意可得，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 当时，， 解得，即当x为时，y是30元； （2）解：由题意可得：， ∴当时，W取得最小值42000，此时； ∴当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使W最小． 31．(2026·江苏省连云港市·一模)某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 32．(2026·江苏省南通市·一模)近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)求的函数解析式； (2)当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 【答案】(1) (2)快艇能在渔船进入公海前追上它．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）设的函数解析式为，将点和代入得出，求解即可得出答案； （2）根据数据，可以计算快艇B的速度，然后计算出快艇B行驶12海里需要的时间，再将代入（1）中的函数解析式，求出相应的t的值，最后比较两个时间即可解答本题． 【详解】（1）解：（1）设的函数解析式为， 将点和代入上式，得， 解得， 的函数解析式为； （2）快艇能在渔船进入公海前追上它． 理由：由图可得快艇的速度为（海里/分）， （分钟）， 将代入得：， 解得， ， 快艇能在渔船进入公海前追上它． 33．(2026·江苏省苏州市张家港市·一模)小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小西 不分段 A档 4000米 小傅 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值； (3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米． 【答案】(1)，，各档速度米/分、米/分、米/分 (2) (3)小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． （1）由小西的跑步里程及时间可得档速度，再根据档比档快米/分、档比档快米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小傅每段跑步所用时间，再根据总时间求出小傅休息的时间，此时小丽在跑第三段，所跑时间为分， 列方程求出的值即可； （3）先求出小傅第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，然后分为种情况，根据里程差列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 档速度为(米/分) ， 则档速度为(米/分) ， 档速度为(米/分) ， 答：，，各档速度米/分、米/分、米/分； （2）小傅第一段跑步时间为(分)， 小傅第二段跑步时间为(分)， 小傅第三段跑步时间为(分)， 则小傅两次休息时间的总和为(分)， ∵小傅第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小傅在跑第三段，所跑时间为(分)， ∴， ∴； （3）解：∵小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍， ∴第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟， 当时，，解得； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，|，解得：（舍去）或； 综上所述，小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为，，或． 34．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是______，乙的速度是______； (2)分别求出、与x的函数关系式； (3)对比图1，图2可知：______，______，______； (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 【答案】(1)30，12 (2)， (3)12，，24 (4)或或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）甲的速度是，乙的速度是； （2）设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； （3）当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； （4）根据题意得， 当甲还没出发时， 解得； 当甲出发后，追上乙前， 解得 当甲追上后，还没到终点前， 解得 当甲到达终点后，乙还没到终点前， 解得 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距． 35．(2026·江苏省南京市·一模)某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． (1)求与之间的函数表达式； (2)当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【答案】(1) (2)行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的与之间的函数表达式，求出满电量，得到报警电量，代入表达式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 根据题意得，解得， 与之间的函数表达式为：； （2）解：当时，，则， 当时，，解得， 行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报． 36．(2026·江苏省南通市海门区·一模)已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 37．(2026·江苏省淮安市·一模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 一次函数的综合应用 考点4 一、单选题 38．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)在平面直角坐标系中，对于任意两点（且），若（是常数），则称线段是一条“倍率线段”．下列说法中正确的有（   ） ①若，则线段是一条3倍率线段； ②若，在函数的图像上，则有且只有一条2倍率线段； ③若，在函数图像上，且是1倍率线段，则长为或； ④二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在该二次函数位于第一象限内的图像上，且线段是倍率线段，当的长度最大时，点的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了“倍率线段”新定义、两点间距离公式、一次函数与反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个验证四个结论的正误，即可得到答案． 【详解】① 对于， ，， ， 故正确； ② 设， 由是2倍率线段得：， 化简得， 即或， 当时， 方程无解； 当时， 解得， 只有一个解， 只有一条， 故正确； ③ 设， 由是1倍率线段得：， 即或， 当时， 解得：； 当时， 解得：或； ， 当时，， 当时，， 当时，， 则长度为或， 故错误； ④ 令， 得， 即， 令， 得， 解得：或， 由于图像与轴正半轴交于点， 则， 设线段表达式为：， 将代入得：， 解得：， 故线段表达式为：， 设，则 ∴， 由是倍率线段得：， 化简得：或， 当时， ， 令， 当对称轴时，取最小值， 故此时的最大值为， 此时； 当时， ∵ ∴ ， ∵在上的长度随着的增大而增大， ∴时，的最大值为， 此时， 而，故最大时，； 故④错误； 综上，①②正确． 39．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】设，则的中点为，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边中线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为， 的图象经过点， ，故①正确； ∵轴， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于， ，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ， ， ，故③错误； ，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题以反比例函数为载体，融合中点坐标、三角形面积、角度推导等考点，通过设参表示各点，逐一验证结论，考查数形结合与代数运算能力，体现函数与几何的综合应用． 40．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下面四个结论：①，②，③，④当时，．其中错误的结论是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口向下可得，根据对称轴可得，则，结论①正确；再根据当时，可得，结论②错误；将抛物线的顶点坐标为代入直线可得，结论③正确；根据当时，抛物线位于直线的上方可得，由此即可得结论④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴，结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，结论②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴，即，结论③正确； 由函数图象可知，当时，抛物线位于直线的上方， ∴， ∴， 不等式的两边同除以得：，则结论④正确； 故选：B． 二、填空题 41．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 【答案】0.6 【分析】首先，将直线，变形得出，知直线恒过定点，然后根据题意得直线过点，再将此点代入即可得出的值． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴直线恒过定点． ∵直线，把分成面积相等的两部分， ∴直线过线段的中点． ∵， ∴直线过点． 把点代入，得，解得． 三、解答题 42．(2026·江苏省无锡市·一模)如图，在四边形中，，是的中点，，的延长线交于点，在线段上取点、（点在、之间），使得．当点从点匀速运动到点处时，点恰好从点匀速运动到点处．设，，已知，当时，与重合． (1)求、的长； (2)若， ①连，当是以为腰的等腰三角形时，求的值； ②将绕点顺时针旋转得线段，当点落在四边形的内部时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①或；②； 【分析】（1）求出时，则，求出时，则，再结合已知条件得到，即可求出的长； （2）①连接，过点作于点，过点作于点，由勾股定理逆定理推出，利用三角形面积求出，根据的余弦值，求出，利用直角三角形的性质，得出，，再结合等腰三角形的定义分两种情况列方程求解即可； ②分两种情况讨论：当点落在边上时，过点作于点，交于点；当点落在边上时，过点作于点，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，点与点重合，此时， ， 当时，点与点重合，点与点重合，此时， ， ， ， ； （2）解：①如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由（1）可知，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 在中，，， 在中，，， ， 在中，， 是以为腰的等腰三角形， 或， 当时，则， ， 解得：； 当时，则， ， 解得：（舍），， 综上可知，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或； ②如图，当点落在边上时，过点作于点，交于点， 由①得，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如图，当点落在边上时，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当点落在四边形的内部时，的取值范围为． 43．(25-26八上·江苏扬州宝应县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． (1)在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为______； (3)点P在x轴上，的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，最短路径问题，两点之间的距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）作线段的垂直平分线交直线于点即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得，点是线段的中点，轴，可得点的坐标，再将代入，即可得点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，由此求解即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线交直线于点即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点，轴． ∵、， ∴，即． 将代入得，， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴要使的值最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值是10． 故答案为：10． 44．(2026·江苏省南通市·一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、分段函数的构建以及二次函数的图象与性质，关键是根据直线运动时间的不同取值范围进行分类讨论，确定直线与矩形的交点位置，再结合几何性质和函数知识逐步求解． （1）利用矩形的顶点在坐标轴上且对边与坐标轴重合的性质，结合点的坐标直接得出点、的坐标； （2）先通过勾股定理求出对角线的长度，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与平行得到直线的解析式，分和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列方程，求解出满足的值； （3）分和两种情况，前者借助相似三角形的性质求出线段的长度，再用三角形面积公式推导面积与的关系式，后者利用割补法将的面积转化为与的面积差，计算推导得出对应关系式，进而整合得到分段函数； （4）针对分段函数中两个不同的二次函数，分别根据其开口方向和对称轴的位置，分析各自在对应的取值范围内的最值变化情况，综合两次分析的结果确定出的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，． （2）解：由，，得， ∴． 设直线的解析式为， 将点和点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴直线的解析式为． 分两种情况讨论： ①当时，直线交于，交于， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②当时，直线交于，交于，交轴于点． 令，得， ∴． 同理可得， ∴，即， ∴，解得； 综上，的值为或； 故答案为：或． （3）解：分两种情况讨论： ①当时，由，得，即， ∴， ∴； ②当时， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得， ∴，， ∴， 故当时，． 综上，与的函数关系式为 （4）解：①当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，； ②当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小，即； 综上，的最大值为． 45．(2026·江苏省常州市·一模)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数的解析式得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 把点B的坐标代入反比例函数的解析式得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式得， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $