专题08 一元一次不等式与不等式组（3大考点，43题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 汇编43题覆盖不等式性质、解法及应用3大考点，整合江苏、安徽等地一模真题，注重性质辨析与实际问题解决。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|13|不等式性质（实数比较）、解法（函数自变量范围）|结合新定义“拐距”（第9题）| |填空|7|性质应用（k值确定）、解法（分式意义）、实际情境（批发价问题）|设置开放性问题（第10题k值）| |解答|24|解法（不等式组及整数解）、应用（“双减”购器材、利润最大化）|综合题融合函数与不等式（第40题）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08一元一次不等式与不等式组 ☆3大考点概览 考点01不等式的性质 考点02一元一次不等式与不等式组的解法 考点03一元一次不等式与不等式组的应用 考点1 不等式的性质 一、单选题 1.(2026九江苏省无锡市一模)已知ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2026江苏省南通市海门区一模)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b,都加入 c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是() A.a+cxb+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a-c<b-c 3.(2026江苏省无锡市梁溪区·一模)已知-1<m<0,n>0,则下列判断一定正确的是() A.m+n>0 B.m2>n2 C.m-mn>0 D.n-mn>0 4.(2026江苏省南京市一模)设A=2a+1,B=-a2+3a-1,则A与B的大小关系是(） A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 5.(2026江苏省宿迁市一模)如果点M(a,b)在第二象限，那么点N(b,-a)在() A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(2026江苏省南京市一模)已知实数x,y满足x+y+1=0,0<x-y+3<2,则下列判断正确的是() A.-1<x<0B.-1<y<0 C.-2<y<0 D.-2<x<0 y 7.(2025江苏省苏州市一模)已知实数α，b满足a-b=-1,-1<a+b<0,则在下列判断中，正确的是() A0a号 B. c.1b月 D.2<b 8.(2026江苏省南京市一模)若代数式M=-2a2+4a+1,N=-3a2+4a,则M和N的大小关系是() A.M<N B.M=N C.M>N D.与a的值有关 9.(2026江苏省苏州市一模)现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点P(a,b),Q(C,),将 a-c+b-d称作P、Q两点间的“拐距”，记作G(P,Q),即G(P,Q)=a-c+b-d,已知点A0,5),动点B 在直线y=x+1上，横坐标为m,当G(A,B)取得最小值时，m应满足的条件是() A.m=0 B.0<m<4 C.0≤m≤4 D.m=4 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 10.(2026九江苏省盐城市一模)已知x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立，写出一个符合条件的k 的整数值： 三、解答题 11.(2026九江苏省盐城市一模)判断命题“如果a<b,c<d,那么a+c<b+d”的真假性？并证明你的结论. 12.(2026江苏省淮安市一模)代数式A=mx+2,代数式B=2m+1. (1)当m=3时，若A<B,则x的取值范围是-； (2)若m<0,x<2,判断代数式A与B的大小，并说明理由； (3)将“A与B的差”记为C,即C=A-B.当-2≤x≤3时，要使C的值满足3≤C≤2，直接写出m 的取值范围， 考点2 一元一次不等式与不等式组的解法 一、单选题 1.(2026江苏省镇江市一模)函数y=√3-x中自变量x的取值范围是() A.x≤3 B.x<3 C.x23 D.x≠3 2.(25-26九江苏宿迁宿豫区黄山路初级中学等校一模)在函数y=√x+2中，自变量x的取值范围是() A.x≠-2 B.x>-2 C.x≥-2 D.x≤-2 3.(2026江苏省连云港一模)若√x-1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是() A.-2 B.-1 C.0 D.2 4.(2026江苏省盐城市滨海县.一模)在平面直角坐标系中，点M(m-1,3-m不可能在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 5.(2026九江苏省无锡市一模)某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中， 最少能收到 朵，最多能收到 朵. 6.(25-26九下·江苏连云港赣榆区·一模)已知一次函数y=x+b(k,b是常数，其中k>0)的图象经过点 (-1,0),则关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集是 7.(2026江苏省南通市如东实验中学一模若分式，1有意义，则实数x的取值范围是 2x+1 三、解答题 8.(2026九江苏省无锡市一模)解不等式及解方程组： (1)解不等式：3x-1≥4x+13; 2x+y=5 (2)解方程组： x-y=1· x+3>-2x 9.(25-26九下·江苏盐城响水县双语实验学校·调研)解不等式组 2x-5≤1，并把它的解集表示在数轴上. -4-3-2-101234 x-1>-2(x-1+3 10.(2026江苏省泰州市一模)解不等式组： x-8<4x+1 x-2(x+2)≤1 1.25-26九江苏宿迁宿豫区黄山路初级中学等校一模)求不等式组x+2_之1 的整数解. 23 12.(2026江苏省无锡市江阴市一模)计算： (1)解方程：x2-4x-1=0: x<4x+9 (2)解不等式组 5-5x 2 ≤10-4x 13.(2026江苏省扬州市梅苑双语学校：一模)解方程、解不等式组： (1)解方程：x2-4x+2=0: 2x+3>3x-7 (2)解不等式组： 4x-2 ≤2x-51 3 14.(2026江苏省徐州市西苑中学.一模)解方程或解不等式组. (1)解方程：x2-4x+3=0 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x-3<x (2)解不等式组： 3x+5>2x-1 考点3 元一次不等式与不等式组的应用 一、填空题 1.(2026江苏省江阴市·调研某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101） 件以上的按批发价结算.己知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付α 元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元(a为整数)，则a= 2.(2026江苏省南京市一模)爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书.下面是他的三个同学猜测 该书价格的对话： 至多45元 至多50元) 至少60元， 小宇 小默 小亮 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了.”则这本书的价格x(元)所在的范围是 3.(2026江苏省南京市两校联盟一模)如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现 他与公交车的距离为720m.假设公交车的速度是小明速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交车，则 小明到A站之间的距离最大为 m. 720m 二、解答题 4.(2026江苏省扬州市梅岭集团一模)“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活 动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子.已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的 跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同. (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售，学校计划购 买跳绳和键子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购 买方案。 5.(2026江苏省南京市，一模)某生态农业有限公司帮助和指导当地车厘子种植基地种植和销售车厘子，已知 该车厘子的成本是12元/千克，规定销售价格不高于成本的2倍.经市场调查发现，该车厘子的销售量y(千 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系如图所示： y(千克) 2000---- 400F 0122024x(元/千克) (1)直接写出y与x之间的函数解析式： (2)求这一天销售车厘子获得的利润W的最大值； (3)该公司响应精准扶贫的号召决定每销售一千克提取α元用于捐资扶贫，根据市场情况计划销售价格不低 于15元且不高于19元.若公司要求每天的销售利润不低于2520元，求出a的值 6.(2026江苏省连云港市东海县.一模)某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明 先接温水再接开水，打算接500mL的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水 体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度) 生活经验：饮水适宜温度是37℃-44℃（包括37℃与44℃）. 温水 开水 水流速度◎ 水流速度 20m/s36花 i00 15ml/s 出水口 (1)若小明先接温水10s，则还需再接开水的时间为s; (2)设小明接温水的时间为xs, ①若最终杯子中水的温度是58℃，求x的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求x的取值范围. 专题08 一元一次不等式与不等式组 3大考点概览 考点01不等式的性质 考点02一元一次不等式与不等式组的解法 考点03一元一次不等式与不等式组的应用 不等式的性质 考点1 一、单选题 1．(2026九·江苏省无锡市·一模)已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 2．(2026·江苏省南通市海门区·一模)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3．(2026·江苏省无锡市梁溪区·一模)已知，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变；不等式两边同乘除同一个正数，不等号方向不变；同乘除同一个负数，不等号方向变反. 据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴，故A错误； ∵， ∴， ∴不一定成立，故B错误； 若， ∵ ∴，即，与已知不符合，故C错误； 若， ∵， ∴，即，与已知符合，故D正确； 故选：D 4．(2026·江苏省南京市·一模)设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 5．(2026·江苏省宿迁市·一模)如果点在第二象限，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征，确定和的符号，进而判断点的坐标符号，从而确定其所在象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第一象限， 故选：A． 6．(2026·江苏省南京市·一模)已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式组，先求解，，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 7．(2025·江苏省苏州市·一模)已知实数a，b满足，，则在下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质.求出，，代入即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 整理得：，， 只有B符合题意， 故选：B. 8．(2026·江苏省南京市·一模)若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．(2026·江苏省苏州市·一模)现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 二、填空题 10．(2026九·江苏省盐城市·一模)已知，要使不等式成立，写出一个符合条件的k的整数值：______． 【答案】2（小于3的整数均可） 【分析】根据不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，可得，求出的取值范围后即可写出符合条件的整数值． 【详解】解：，要使不等式成立， ， 解得， ∴的整数值可以为． 三、解答题 11．(2026九·江苏省盐城市·一模)判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 12．(2026·江苏省淮安市·一模)代数式，代数式． (1)当时，若，则 x 的取值范围是 ； (2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； (3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差． （1）将代入A、B的式子中，求出，利用，得出不等式3，求出x的取值范围； （2）因为，所以，因为，所以，所以，得出； （3）求出，分成、、三种情况讨论，确保，，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：因为， 当时，， 因为， 所以， 解得． （2）解：因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：因为， 所以， 因为， ①当时，C随着x的增大而增大， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得：， 解得：， ②当时，，满足， 所以满足题意． ③当时，C随着x的增大而减小， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得， 解得：， 综上所述，． 一元一次不等式与不等式组的解法 考点2 一、单选题 1．(2026·江苏省镇江市·一模)函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴对于函数， ∴， 解不等式得． 2．(25-26九·江苏宿迁宿豫区黄山路初级中学等校·一模)在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于0， ∵函数有意义， ∴， 解得． 3．(2026·江苏省连云港·一模)若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 4．(2026·江苏省盐城市滨海县·一模)在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限； B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限； C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限． 二、填空题 5．(2026九·江苏省无锡市·一模)某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【答案】 0 5 【分析】本题利用三角形的基本性质进行逻辑推理，先推导最多可能收到的小红花数量，再通过构造法得到最少可能收到的数量． 【详解】解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学收到位同学送的花，对这位同学中任意两点，都满足，， 在中，是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得， 这位同学与点O的连线形成的个相邻夹角之和为， 因此， 解得，为正整数， 故的最大值为； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为． 6．(25-26九下·江苏连云港赣榆区·一模)已知一次函数（是常数，其中）的图象经过点，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】把代入，可得，则可变形为，再结合，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴可变形为， ∵， ∴， 解得：． 7．(2026·江苏省南通市如东实验中学·一模)若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 三、解答题 8．(2026九·江苏省无锡市·一模)解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：， 由可得：， 解得， 将代入②可得：， 解得， ∴方程组的解为． 9．(25-26九下·江苏盐城响水县双语实验学校·调研)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把它的解集表示在数轴上，如下： 10．(2026·江苏省泰州市·一模)解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 11．(25-26九·江苏宿迁宿豫区黄山路初级中学等校·一模)求不等式组的整数解． 【答案】所有大于等于0的整数 【分析】分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为所有大于等于0的整数． 12．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)计算： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）采用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解； （2）对于一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，； （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为． 13．(2026·江苏省扬州市梅苑双语学校·一模)解方程、解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解： 由①得， 解得； 由②得， ， 解得， ∴不等式组的解集为． 14．(2026·江苏省徐州市西苑中学·一模)解方程或解不等式组． (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 一元一次不等式与不等式组的应用 考点3 一、填空题 1．(2026·江苏省江阴市·调研)某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出的取值范围是解本题的关键． 设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴为2的倍数， 根据题意知：， ∴， 则， 解得：，且为2的倍数 ∴时，， ∴． 故答案为：． 2．(2026·江苏省南京市·一模)爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 3．(2026·江苏省南京市两校联盟·一模)如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为_________m． 【答案】120 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，利用时间路程速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 小明到站之间的距离最大为． 故答案为：． 二、解答题 4．(2026·江苏省扬州市梅岭集团·一模)“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 5．(2026·江苏省南京市·一模)某生态农业有限公司帮助和指导当地车厘子种植基地种植和销售车厘子，已知该车厘子的成本是12元/千克，规定销售价格不高于成本的2倍．经市场调查发现，该车厘子的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示：    (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)求这一天销售车厘子获得的利润W的最大值； (3)该公司响应精准扶贫的号召决定每销售一千克提取a元用于捐资扶贫，根据市场情况计划销售价格不低于15元且不高于19元．若公司要求每天的销售利润不低于2520元，求出a的值． 【答案】(1)当时，y与x之间的函数解析式为；当时，y与x之间的函数解析式为． (2)厘子获得的利润W的最大值为5000元 (3)a的最大值是1.2 【分析】本题考查不等式、待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用， （1）当时，利用待定系数法求得y与x之间的函数解析式为；当时，y与x之间的函数解析式为； （2）当时，，结合二次函数的性质求得其最大值；当时，，结合一次函数的性质求得其最大值，取二者最大值即可； （3）由题意得，当时，捐资后的日销售利润为，整理并求得其对称轴为，结合二次函数的性质知当时，日销售利润W应不低于2520元，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数解析式为， 把；分别代入， 得， 解得， ∴当时，y与x之间的函数解析式为； 当时，y与x之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 当时，W有最大值为5000元； 当时，， ∴当时，W有最大值为5000元． 综上，厘子获得的利润W的最大值为5000元． （3）解：由题意得，当时，捐资后的日销售利润为， 该函数图象的对称轴为直线， ∴当时，日销售利润W应不低于2520元，即， 解得， 的最大值是1.2． 6．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． / 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