专题07 分式方程（2大考点，39题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中数学分式方程专题汇编，含39道江苏各地市一模题，覆盖解分式方程与应用两大考点，融合传统文化（如《九章算术》送信问题）与现代情境（如新能源汽车组装、机器人搬运），梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|解分式方程基本解法、应用等量关系构建|结合研学行程（第1题）、传统文化（第19题《九章算术》）设题| |填空题|6|含参数分式方程整数解、增根问题|如第6题求参数整数解，考查分类讨论能力| |解答题|25|解方程步骤、工程/利润/行程实际应用|分层设计：基础题（如第11题解方程）到综合题（第31题利润最值），适配一模备考|

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题07分式方程(2大考点，39题) ☆2大考点概览 考点01解分式方程 考点02分式方程的应用 考点1 解分式方程 一、单选题 1.(2026江苏省无锡市·一模)某校学生去20k外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余 学生乘乙车出发，两车同时到达.已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为xkmh,则可列方程 为() 2020=5B. 2020 =5 2020_1 20201 A.1.2x x x1.2x C.1.2xx12 D. x1.2x12 21 2.(2026江苏省苏州市一模)方程2x一13x0的解为（) A.x=- 3 B.X=- C. D.无解 3 3.(2026江苏省宿迁市泗阳县·一模)分式方程1+x=1的解为() A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=2 4.(2026江苏省常州市·一模)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同， 3 搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为：，则红球的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 1 2 5.(2026江苏省无锡市·一模)方程x一3x一5的解是：x=一· 1+ax 1 6.(②026-江苏省南京市一模)已知关于x的分式方程2-xx-2=3有整数解，则满足条件的所有整数。 的和为 1/8 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2x 7.(2026江苏省南京市一模)方程x一的解是x= 8.(2026~江苏省徐州市·一模)已知x=2是方程x- 1+2a=1的解，则。的值是 x-a a-x 32 9.(2026江苏省泰州市·一模)分式方程xx-3的解为 2 10.(2026江苏省淮安市一模)分式方程x十1-1的解为 三、解答题 2-x=1-,1 11.(2026-江苏连云港赣榆实验中学一模)解分式方程：x-3-3-x 12.(2026江苏省南通市海门区·一模)计算 0)-2'-π-j°+W5-2+2sin60 3 X+1= 2 (2)解方程：x-11x-1· m-3m2-m）.9-m (3)化简：(m+3m2+6m+9m+3 2x+1=6 13.(2026江苏省苏州市常熟市一模)解方程：x-3 3-x 14.(2026江苏省泰州市泰兴市一模)(1)计算： is÷6- 2x+94x-7 (2)解方程：3x-9x-3 +2. 15.(2026江苏省泰州市一衡()计算：(-9+5-3n30+[: 1-3-8-2 (2)解方程：x-22-x 16.(2026江苏省镇江市·一模)一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同. ()从袋子中随机摸出2个球.请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球 的概率； 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个 3 球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是5，m= 红 黄1 黄2 红 (黄1，红) (黄2，红) 黄1 (红，黄1) (黄2，黄1) 黄2 (红，黄2) (黄1，黄2) 3-x_1 17.(2026江苏省镇江市·一模)解方程： 4+x2· 23 18.2026江苏省连云港市·一模)解方程x+1x· 考点2 分式方程的应用 一、单选题 19.(2026江苏省南通市·一模)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件， 若用慢马送到8O0里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2 5 天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是() 8005800 A. 800-5800 x-22x+1 B. x+22x-1 8002800 8005800 C.x-15x+2 D.x+12x-2 20.(2026江苏省徐州市泉山区·一模)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红 速度的1.2倍，两人各自骑行了6km,小亮骑行时间比小红少用了4min.设小红的骑行速度为km/h,则 可列方程为( 6+4=6 6 A.1.2x60x :+4=6 B.1.2x 646 6 6 C.1.2x60x D.12x4= x 21.(2026:江苏省无锡市·一模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请 人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210 文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210 3/8 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为() 6210_x+1 6210 6210 B. =3x-1）C. =3x+1 D. 6210_x-1 22.(2026江苏省常州市·一模)小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书 馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米.若小华、小丽各自从自己家同时出发， 分别以”米/分钟、米分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出 发，小丽仍然以，米分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以4米分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后， 再以”米分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y(米)与行进时间x(分钟)之间 的函数图像可能是() y % A 1800 1800 1800 A 900- B 900 C. D 600- 珠 1800 600---- 二、解答题 23.(2026:江苏省南京市一模)某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且 第二次的数量比第一次多500千克. (I)该商品的进价是多少？ 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x(/ y=-10x+500 (2)已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为： 若想 销售该商品每天获利2210元，该商店需将商品的售价定为多少？ 24.(2026江苏省连云港市·一模)请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了5min,没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上 你 小丽：还好我们家离学校就5km,再远点你可能就要迟到了. ()设小明原来的速度为xkm/h,则小明今天的速度为_km/h; (2)求小明今天的速度， 25.(2026·江苏省常州市·一模)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶 的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个， A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100 个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方 案？ 26.(2026江苏省苏州市·一模)铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从 标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3，假设由甲队先做10 天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成. (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为 缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出 你的判断并说明理由. 27.(2026江苏省徐州市沛县·一模)某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水 量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍.问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 28.(2026江苏省扬州市宝应县·一模)某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原 来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等.求升级后每小时组装多少辆 汽车？ 29.(2026·江苏省徐州市·一模)某化工厂采用机器人A,机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小 5/8 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等.求机器人A, 机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料： 30.(2026江苏省盐城市·一模)2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博·约”数学兴趣小组 在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时，通过 电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢 笔多15支.求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元？ 31.(2026江苏省苏州市·一模)端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康.某商 店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子 进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个. (1)求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ (2)若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个.根据销售经验，把咸肉粽子的单价 每提高2元，销量会相应减少40个.将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多 少？ 32.(2026江苏省扬州市·一模)长白山是吉林省的著名旅游景点，近年来旅游产业蓬勃发展，促进了文创产 品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的8款文创产品数量相同，每件A款文创 产品进价比B款文创产品进价多15元.求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元？ 33.(2026江苏省盐城市一模)某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人.已知A款机器 人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的 数量相同. (1)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计 购买成本最少的方案。 34.(2026·江苏省苏州市·一模)某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本 作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）· (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求 甲商店硬面笔记本的单价 (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）： 一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买m本 硬面笔记本(m为正整数)，他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔 记本的原价. 35.(2026江苏省泰州市·一模)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 每天施工面积（单位：m 工程队 每天施工费用（单位：元） 多 x+300 3600 乙 2200 信息二 1800m2 1200m2 甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等。 (1)求x的值： (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的 施工面积不少于15000m2 该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 36.(2026江苏省无锡市·一模)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司 共捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 我们公司的人数比 我们公司的人均捐款 你们公司少30人 数是你们公司的二倍 6 甲公司员工 乙公司员工 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫 物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来 (注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)， 37.(2026江苏省盐城市·一模)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定 票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元. (1)求每张门票原定的票价： (2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降 为324元，求平均每次降价的百分率. 7/8 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 38.(2026江苏省南通市·一模)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵.由于志愿者的支援，实际工 作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？ 39.(2026江苏省盐城市·一模)刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元.几天后，遇上这 种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40g.这种大米的原价是多少？ 专题07 分式方程（2大考点，39题） 2大考点概览 考点01解分式方程 考点02分式方程的应用 解分式方程 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市·一模)某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为行程问题列方程题，根据时间=路程÷速度，结合两车时间差列方程，注意统一单位即可求解． 【详解】解：∵设甲车速度为，则乙车速度为，5分钟即为小时， 依题意得：． 2．(2026·江苏省苏州市·一模)方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解． 3．(2026·江苏省宿迁市泗阳县·一模)分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程．去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： 去分母得到，， 解得， 当时，， ∴原分式方程的解为， 故选：D 4．(2026·江苏省常州市·一模)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 二、填空题 5．(2026·江苏省无锡市·一模)方程的解是：___． 【答案】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，代入最简公分母检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 6．(2026·江苏省南京市·一模)已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程，用含的代数式表示，根据方程有整数解求出的所有值，再去掉产生增根的的值，再求出满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解：原方程化为， 去分母得， 整理得， 解得 ∵方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为的约数，即 ∴ 当时，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为， 和为， 故答案为：． 7．(2026·江苏省南京市·一模)方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解， 故答案为：． 8．(2026·江苏省徐州市·一模)已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 9．(2026·江苏省泰州市·一模)分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 10．(2026·江苏省淮安市·一模)分式方程的解为 ________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴原方程的解为：， 故答案为： 三、解答题 11．(2026·江苏连云港赣榆实验中学·一模)解分式方程： 【答案】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 12．(2026·江苏省南通市海门区·一模)计算 (1)； (2)解方程：． (3)化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行求解即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解： ； 13．(2026·江苏省苏州市常熟市·一模)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 即分式方程的解是． 14．(2026·江苏省泰州市泰兴市·一模)（1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）0；（2）无解 【分析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答； 按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 15．(2026·江苏省泰州市·一模)（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算、解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解； （2）先去分母，再解整式方程，最后检验即可得解． 【详解】解：（1） ； （2）去分母得： 解得． 检验：当时，， 为原方程的解． 16．(2026·江苏省镇江市·一模)一只不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外均相同． (1)从袋子中随机摸出2个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率； (2)在这只袋中再装入个红球（这些球与袋中原来的红球大小完全相同），摇匀后，从袋中随机摸出2个球，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是，______． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，解分式方程，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）当添加个红球后，则总共有个球，画出树状图，由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，则由概率公式得到，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 红 黄1 黄2 红 （黄1，红） （黄2，红） 黄1 （红，黄1） （黄2，黄1） 黄2 （红，黄2） （黄1，黄2） 由列表可知一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数有4种， ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是； （2）解：当添加个红球后，则总共有个球， 可画树状图为： 由树状图可得一共有种等可能性的结果数，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数， ∵摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是， ∴， 整理得：， 解得：或 经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，舍 故答案为：2． 17．(2026·江苏省镇江市·一模)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 18．(2026·江苏省连云港市·一模)解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 分式方程的应用 考点2 一、单选题 19．(2026·江苏省南通市·一模)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 20．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 21．(2026·江苏省无锡市·一模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为文，结合单价总价数量，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为株， 每株椽的价钱为文． 根据题意得：． 故选：B． 22．(2026·江苏省常州市·一模)小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 二、解答题 23．(2026·江苏省南京市·一模)某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克． (1)该商品的进价是多少？ (2)已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？ 【答案】(1)该商品的进价是元 (2)该商店需将商品的售价定为元或元 【分析】（1）设该商品的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商品的进价是元， 根据题意得 即， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意． 答：该商品的进价是元． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商店需将商品的售价定为元或元 24．(2026·江苏省连云港市·一模)请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【分析】（1）由小明今天的速度是原来速度的1.2倍，可得出小明今天的速度为； （2）利用时间路程速度，结合小丽比小明多用，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：小明今天的速度为． 25．(2026·江苏省常州市·一模)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 26．(2026·江苏省苏州市·一模)铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 27．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 28．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 【答案】升级后每小时组装45辆汽车． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：升级后每小时组装45辆汽车． 29．(2026·江苏省徐州市·一模)某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 30．(2026·江苏省盐城市·一模)2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 31．(2026·江苏省苏州市·一模)端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． (1)求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ (2)若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元 (2)当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， （元）， 答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元； （2）解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得 ， ， 二次函数的图象开口向下，函数有最大值， 当时，有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 32．(2026·江苏省扬州市·一模)长白山是吉林省的著名旅游景点，近年来旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同，每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．求两款文创产品每件的进价各是多少元？ 【答案】款文创产品每件的进价元，款文创产品每件的进价是元． 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意，列出分式方程是解题的关键． 根据“用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同”这一关系，设出未知数，列出分式方程并求解． 【详解】解：设款文创产品每件的进价元，款文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（元）． 答∶款文创产品每件的进价80元，则款文创产品每件的进价是65元． 33．(2026·江苏省盐城市·一模)某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 34．(2026·江苏省苏州市·一模)某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元 (2)乙商店硬面笔记本的原价18元 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 35．(2026·江苏省泰州市·一模)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)x的值为600 (2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． （2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 36．(2026·江苏省无锡市·一模)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司各有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资 【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论; （2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案． 【详解】（1）设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得 ，解得． 经检验，是原方程的解． ∴． 答：甲公司有150人，乙公司有180人． （2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得 ，整理得． 又因为，且、为正整数， 所以，． 答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 37．(2026·江苏省盐城市·一模)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元． （1）求每张门票原定的票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）400（2）10% 【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可； （2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元， 根据题意得：， 解得x=400． 经检验，x=400是原方程的根． 答：每张门票的原定票价为400元； （2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 ， 解得： （不合题意，舍去）． 答：平均每次降价10%． 38．(2026·江苏省南通市·一模)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？ 【答案】原计划植树20天． 【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数=3，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵， 依题意得： 解得x=200， 经检验得出：x=200是原方程的解． 所以=20． 答：原计划植树20天． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题关键． 39．(2026·江苏省盐城市·一模)刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元．几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg．这种大米的原价是多少？ 【答案】这种大米的原价为每千克元． 【分析】分析：设这种大米的原价是x元，打8折后是0.8x元，根据两次一共购买了kg，列出算式，求解即可，最后要检验． 【详解】解：设这种大米的原价为每千克元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的解． 答：这种大米的原价为每千克元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $