专题06 一元二次方程（5大考点，62题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦一元二次方程5大核心考点，精选江苏各地2026年一模试题62题，覆盖解求参数、解方程、根的判别式、根与系数关系及应用，适配中考一轮复习实战需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|解求参数、根的判别式|结合具体方程解的判定，基础巩固| |填空题|31|根与系数关系、参数取值范围|融入新定义“k级和值点”，考察抽象思维| |解答题|24|方程应用、综合计算|设置新能源汽车迭代、停车场规划等真实情境，体现数学建模思想|

专题06 一元二次方程（5大 考点，62题） 5大考点概览 考点01由一元二次方程的解求参数 考点02解一元二次方程 考点03一元二次方程根的判别式 考点04一元二次方程的根与系数的关系 考点05一元二次方程的应用 由一元二次方程的解求参数 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省扬州市宝应县·一模)若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 2．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 3．(2026·江苏省扬州市·一模)设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 4．(2026·江苏省盐城市响水县·一模)若是关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入方程得：， 即， ∴， 故选：C． 5．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解． 【详解】解：根据题意得：a≠0且，即 ， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 二、填空题 6．(2026·江苏省宿迁市·一模) 设a是方程的一个实数根，则__________． 【答案】2027 【分析】将看作一个整体，再将a代入方程中化简求解即可 ． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴，即， ∵ ． 7．(2026·江苏省南京市·一模) 关于的一元二次方程有一个根是，则___． 【答案】2 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，将代入方程，得出，再求解关于的方程即可． 【详解】解：依题意，把代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 8．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 9．(2026·江苏省南京市建邺区·一模)若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 10．(2026·江苏省南京市雨花台区·一模)m是方程的根，则式子的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形为，再整体代入即可． 【详解】解： m是方程的根， ， ， ， 故答案为：2025． 11．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模) 若a为方程的解，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得，将其变形与进行关联，即可求解． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 12．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)若是方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模) 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 14．(2026·江苏省南京市建邺区·一模) 若是一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2024． 15．(2026·江苏省连云港市·一模) 若关于x的方程有实根，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查了方程的根，根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答即可得，掌握一元二次方程根的判别式，分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实根， ①方程为一元二次方程时， ， 解得：且． ②当方程为一元一次方程时，， 解得， 此时方程为：， ， 综上，时方程有实根． 故答案为：． 解一元二次方程 考点2 一、填空题 16．(2026·江苏省南通市海门区·一模)关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，）， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故方程的解为． 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 二、解答题 17．(2026·江苏省南京市·一模)解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)无实数解 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可． （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． （3）利用根的判别式可确定该方程无实数解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， ∴； （3）解：， 整理得， ，，， ∵， ∴该方程无实数解． 18．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)计算： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）采用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解； （2）对于一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，； （2） 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为． 19．(2026·江苏省徐州市·一模)解方程、解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴，； （2）解： 由①得， 解得； 由②得， ， 解得， ∴不等式组的解集为． 20．(2026·江苏省常州市·一模)解方程、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)不等式组的解集为 【分析】（1）把方程化为，再进一步解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ∴，； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 21．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)解方程或不等式组 (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）配方法解方程即可； （2）先求出每一个不等式的解，进而找到它们的公共部分，即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， 由①，得， 由②，得， ∴不等式组的解集为：． 22．(2026·江苏省苏州市·一模)（1）解方程；     （2）解不等式组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）利用配方法求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为：． 23．(2026·江苏省无锡市·一模)解方程与不等式组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算根的判别式，再代入求根公式即可得到方程的解； （2）先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 这里， ， ∴， ∴； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为：． 24．(2026·江苏省无锡市·一模)当取何值时，代数式的值与的值相等？ 【答案】； 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：； ∵， ∴ 解得：； 25．(2026·江苏省徐州市泉山区·一模)解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用求根公式进行求解； （2）利用解不等式组的步骤进行求解． 【详解】（1）解：， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 26．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)解方程和不等式组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法分别解不等式组中的不等式，再由不等式组解集的求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， 所以此不等式组的解集为． 27．(2026·江苏省徐州市铜山区·一模)解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：. 28．(2-26·江苏徐州第三十五中学·一模)解方程与解不等式组 (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了解方程和解不等式组： （1）用因式分解求解； （2）求出每个不等式的解后，再取交集． 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： 解不等式：， 得：， 解不等式：， 解得：， 不等式组的解为． 29．(2026·江苏省徐州市沛县·一模)解下列方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，． （2） 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 30．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，将方程转化为完全平方式，最后开方并移项，得到方程的两个解； （）分别求解两个不等式，第一个不等式通过系数化为得到，第二个不等式通过去分母、移项、合并同类项得到，最后取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】（1） （2）， 由①得 ， 由②得 ， ． 31．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)解方程或解不等式组． (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 32．(2026·江苏省徐州市·一模)（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】 （1），；（2） 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先分别解出不等式，再求它们的公共解部分即可． 【详解】（1）解： ， 或 ， 解得：； （2）解：解不等式 ，得 解不等式，得， 所以不等式组的解集为 ． 一元二次方程根的判别式 数 考点3 一、单选题 33．(2026·江苏盐城大丰区·一模)若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 34．(2026·江苏省宿迁市·一模)规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 二、填空题 35．(2026·江苏宿迁宿豫区·一模)当__________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 36．(2026·江苏宿迁沭阳如东实验中学·一模)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据“级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线在范围内有两个不同交点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，由定义得，整理得， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“级和值点”， 二次函数的图象与直线在的范围内有两个不同交点， 联立方程， 消去整理得， 当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式， 解得， 此时交点横坐标为， 当直线经过二次函数的端点时，将代入得， 解得， 此时方程的根为，，均满足，此时存在两个交点； 当时，方程的较大根大于，只有一个根满足，不符合题意， 当时，只有一个交点或无交点，不符合题意； 因此的取值范围为． 37．(2026·江苏省苏州市·一模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 38．(2026·江苏省南通市·一模)已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 39．(2026·江苏省常州市·一模)如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件为判别式等于零，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：方程 中，，，， 判别式 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ ，即 ， 解得 ， 故答案为：． 40．(2026·江苏省南通市·一模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 41．(2026·江苏省苏州市吴中区·一模)已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 42．(2026·江苏省连云港市东海县·一模)如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 43．(2026·江苏省南通市海门区·一模)已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 44．(2026·江苏省南通市启东市·一模)设、是方程的两个根，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 45．(2026·江苏省盐城市·一模)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】/0.125 【分析】利用根的判别式解答． 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． 故答案为：． 46．(2026·江苏省泰州市·一模)定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 三、解答题 47．(2026·江苏省无锡市·一模)某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 48．(2026·江苏宿迁泗洪县·一模)已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求下列代数式的值：①，②； (2)已知，求p的值． 【答案】(1)①；② (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （1）①变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解；②由变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解； （2）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， ∴①， ② ； （2）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 一元二次方程的根与系数的关系 考点4 一、填空题 49．(2026·江苏省扬州市·一模)若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的根的性质，根据根与系数的关系可得，并将所求表达式化简为 ． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 50．(2026·江苏省苏州市·一模)已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，，． 则． 故答案为：5． 51．(2026·江苏无锡新吴区·一模)请写出一个关于的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系，一元二次方程的两根之和为 ，设其等于3，可选取简单系数构造方程． 【详解】设一元二次方程为 （其中）， 由根与系数的关系，两根之和 ，即 ． 取 ，则 ，为简化方程， 取 ，得方程 ． 故答案为 ． 52．(2026·江苏省南京市·一模)设是方程的两个根，且，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 则，， ∴ 故答案为：． 二、解答题 53．(2026·江苏省泰州市泰兴市·一模)二次函数的图象过点，，函数有最大值为． (1)图象的顶点坐标是_____； (2)若，是该函数图象上的两点，当时，判断，的大小关系； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，能熟练利用二次函数的性质及根与系数关系，根的判别式是解题的关键． （1）由二次函数的性质得对称轴为直线，即可求解； （2）由二次函数的性质得，，由抛物线开口方向向下时，越靠近对称轴的点对应的函数值越大，即可求解； （3）易知，，则原方程可变形为，由方程有一个正根和一个负根，利用根的判别式和根与系数的关系即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：图象过点，， 对称轴为直线， 函数有最大值为， 图象的顶点坐标是； 故答案为：； （2）解：当时，函数有最大值为， ， 抛物线开口向下， ， ， ， 点较点距离对称轴更近， ； （3）解：二次函数图象的顶点坐标是， ，， ，， 关于的方程可变形为， 整理得， 方程有一个正根和一个负根， ，， ， ，解得， 即的取值范围为． 54．(2026·江苏省无锡市·一模)二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； （3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 一元二次方程的应用 考点5 一、单选题 55．(2026·江苏省无锡市·一模)某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 二、填空题 56．(2026·江苏省泰州市·一模)如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为_____ ． 【答案】 【分析】过点作交于点， 根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，过点作，则，设，则，，根据勾股定理求出，得出，，取的中点，连接，则，求出，要使最小，则要最小，在中，，当时，取最小值，最小值为，求出即可． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，则， ∵是中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 要使最小，则要最小， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为， 此时， ∴最小值为(负值已舍去)． 57．(2026·江苏省南京市鼓楼区·一模)我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 58．(2026·江苏南通海门区·一模)某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查求平均变化率的方法．三月份的产值=一月份工业产值平均每月增长的百分率，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份工业产值达50亿元，平均每月增长的百分率为x， ∴二月份的工业产值为， ∴三月份的工业产值为， ∴可列方程为， 故答案为：． 三、解答题 59．(2026·江苏省苏州市·一模)某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克． (1)该商品的进价是多少？ (2)已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？ 【答案】(1)该商品的进价是元 (2)该商店需将商品的售价定为元或元 【分析】（1）设该商品的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商品的进价是元， 根据题意得 即， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意． 答：该商品的进价是元． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商店需将商品的售价定为元或元 60．(2026·江苏省宿迁市·一模)随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 【答案】(1)车道的宽度的值为 (2)每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用与二次函数的最值问题，关键是建立正确的面积模型和租金收入函数． （1）根据图形结构，将阴影车位拼接为一个新矩形，用含的式子表示其长和宽，结合面积列出方程求解； （2）设租金上涨元，用含的式子表示日租金和租出车位数量，建立日租金收入的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． （2）解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 61．(2026·江苏省南京市玄武区·一模)某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 62．(2026·江苏省南京市·一模)（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06一元二次方程(5大考点，62题) ☆5大考点概览 考点01由一元二次方程的解求参数 考点02解一元二次方程 考点03一元二次方程根的判别试 考点04一元二次方程的根与系数的关系 考点05一元二次方程的应用 D 考点1 由一元二次方程的解求参数 一、单选题 1.(2026江苏省扬州市宝应县.一模)若x=1是关于x的一元二次方程2x2-5x+a=0的一个解，则a的值为 () A.3 B.2 C.1 D.0 2.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)下列选项中是一元二次方程x2-2x-3=0的解是() A.x=1 B.x=-3 C.x=3 D.x=2 3.(2026江苏省扬州市一模)设m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n的值() A.-2 B.-5 C.-7 D.5 4.(2026江苏省盐城市响水县一模)若x=-1是关于x的一元二次方程ax2-bx-2026=0的根，则a+b的值 为() A.-2026 B.-2025 C.2026 D.2025 5.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是() A.a2-4 B.a>-4 C.a≥-4且a≠0D.a>-4且a≠0 二、填空题 6.(2026江苏省宿迁市·一模)设a是方程x2-2x-2026=0的一个实数根，则(a-1)= 7.(2026江苏省南京市一模)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有一个根是x=1,则m=一· 8.(2026江苏省徐州市沛县一模)若关于x的方程mx2+3x-1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值 范围是 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026江苏省南京市建邺区一模)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的其中一根为x=2023, 则关于x的方程a(x+2+bx+2b+c=0必有一根为 10.(2026江苏省南京市雨花台区一模)m是方程x2+2x-2=0的根，则式子2m2+4m+2021的值为 11.(2026江苏省徐州市泉山区一模)若a为方程x2+2x-3=0的解，则3a2+6a-8的值为 12.(2026江苏省南京市玄武区一模)若0，B是方程x2-3x-4=0的两个根，则a2-4a-B的值为 13.(2026江苏省南京市鼓楼区一模)己知-3是关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的一个解，则m的值 为 14.(2026江苏省南京市建邺区一模)若x=m是一元二次方程2x2-3x-1=0的一个根，则 4m2-6m+2022= 15.(2026江苏省连云港市一模)若关于x的方程k-1x2-3x+1=0有实根，则k的取值范围是 考点2 解一元二次方程 一、 填空题 16.(2026江苏省南通市海门区一模)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=-2,x2=1（a,m,b均为常 数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 二、解答题 17.(2026江苏省南京市·一模)解方程： (1)4x2-1=0 (2)x(x-7)=8(7-x) (3)3x2=4x-2 18.(2026江苏省无锡市江阴市一模)计算： (1)解方程：x2-4x-1=0: x<4x+9 (2)解不等式组 5-5x≤10-4x 2 19.(2026江苏省徐州市一模)解方程、解不等式组： (1)解方程：x2-4x+2=0; 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x+3>3x-7 (2)解不等式组： 4x-2≤2x-5 3 20.(2026江苏省常州市一模)解方程、解不等式组： (1)x2-2x-2=0; [2x<6 (213x-12x+1 21.(2026江苏省徐州市沛县一模)解方程或不等式组 (1)解方程：x2-4x+2=0 x-3(x-2)≤4 (2)解不等式组： 2x-1、3 3 17x-2 22.(2026江苏省苏州市一模)(1)解方程x2+2x-4=0: 2x-1<3 (2)解不等式组 ∠2 2 23.(2026江苏省无锡市·一模)解方程与不等式组 (1)x2-5x+2=0; 3x>-6 22x+2<5-x 24.(2026江苏省无锡市一模)当x取何值时，代数式x2-x的值与3x+1的值相等？ 25.(2026江苏省徐州市泉山区一模)解方程及解不等式组： (1)解方程：3x2-x-1=0; 「2x-1<3 (2)解不等式组 X∠2 26.(2026江苏省无锡市锡山区·一模)解方程和不等式组 (1)x2-4x-1=0; [2x<x+1 ②)x-12x-2 3 27.(2026江苏省徐州市铜山区一模)解方程和不等式组 (1)解方程：x2-4x+3=0; 2x-3<1 (2)解不等式组： x-1 >x 2 / 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 28.(2-26江苏徐州第三十五中学、一模)解方程与解不等式组 (1)解方程：x2-4x+3=0 2x-1≤3 (2)解不等式组： x+2>1 29.(2026江苏省徐州市沛县一模)解下列方程和不等式组 (1)解方程：x2-2x-8=0; (2)解不等式组： 5x+2>7 2x≥3x-2 30.(2026江苏省无锡市锡山区.一模)解方程及解不等式组： (1)解方程：x2+2x-5=0: -2x20 (2)解不等式组： 、x-4. x> 3 31.(2026江苏省无锡市惠山区，一模)解方程或解不等式组， (1)解方程：x2-4x+3=0 2x-3<x (2)解不等式组： 3x+5>2x-1 32.(2026江苏省徐州市一模)(1)解方程：x2-2x-3=0; 5x-2<3(x-2) (2)解不等式组： 2x-5≥1+3x 3 考点3 元二次方程根的判别式 一、 单选题 33.(2026江苏盐城大丰区一模)若关于x的方程(x-4)=m+2有实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m≥-2 C.m>-2 D.m>2 34.(2026江苏省宿迁市一模)规定：对于任意实数a、b、c,有【，b】★c=ac+b,其中等式右面是通常 的乘法和加法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根， 则m的取值范围为() A.m< B.m> 4 4 C.m>且m0D.m<4且m0 4 二、填空题 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 35.(2026江苏宿迁宿豫区一模)当k= 时，关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等 的实数根. 36.(2026江苏宿迁沭阳如东实验中学一模)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k, 则称该点为“k级和值点”.在0≤x≤2的范围内，若二次函数y=一x2+2x的图象上存在两个k级和值点”， 则k的取值范围为 37.(2026江苏省苏州市一模)若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 38.(2026江苏省南通市一模)已知x2=3y+t,y2=3x+1,且x≠y(t是常数)，则称点M(x,y)是“关联 点”.若反比例函数y=”二1的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是 39.(2026江苏省常州市一模)如果关于x的方程x2-3x-k=0有两个相等的实数根，那么k的值是 40.(2026江苏省南通市一模)若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的 取值范围是 41.(2026江苏省苏州市吴中区·一模)已知关于x的一元二次方程2x2+x-m=0没有实数根，则m的取值范 围是 42.(2026江苏省连云港市东海县.一模)如图，抛物线y=ax2+c与直线y=x+b交于A-3,m,B1,n两 点，则不等式ax2+x+c<b的解集是 43.(2026江苏省南通市海门区一模)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则 (m+1(n+1=. 44.(2026江苏省南通市启东市一模)设x、x2是方程x2+mx+4=0的两个根，且x+x2-xx2=2,则m= 45.(2026江苏省盐城市一模)关于x的一元二次方程x2-x+2m=0有两个相等的实数根，则m= 46.(2026江苏省泰州市一模)定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k,则称 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 该点为“k级和值点”.在0≤x≤3的范围内，若二次函数y=-x2+3x的图像上存在两个“k级和值点”，则k 的取值范围为 三、解答题 47.(2026江苏省无锡市：一模)某农场拟用总长为60m的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为35m)的矩形 养殖区ABCD(如图1)，篱笆全部用于养殖区围挡. 35m 35m 图1 图2 (1)若养殖区的面积计划为400m2,请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形AEFG区域（如图2），且 AE:AB=1:2.此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到400m？若能，请给出设计方案；若不能， 请说明理由. 48.(2026江苏宿迁泗洪县一模)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实 数根x和x2· 1求下列代数式的值：①上+1，②支+ X x2 (2)已知x2+x=2p+1,求p的值. 考点4 元二次方程的根与系数的关系 一、 填空题 49.(2026江苏省扬州市·一模)若m,n是一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，则(m-1)+n的值为 50.(2026江苏省苏州市一模)己知X1,x2是方程2x2-4x-1=0的两个根，则x2+x3= 51.(2026江苏无锡新吴区一模)请写出一个关于x的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程 可以是 52.(2026江苏省南京市一模)设x、x2是方程x2-3x+m=0的两个根，且x1+3x2=5,则m的值为 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 53.(2026江苏省泰州市泰兴市一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2，m),(4,m,函数有最 大值为3 (1)图象的顶点坐标是； (2)若(-3，)，（ny2)是该函数图象上的两点，当n>5时，判断片，的大小关系； (3)若关于x的方程ax2+bx+c=2a+5有一个正根和一个负根，求a的取值范围. 54.(2026江苏省无锡市一模)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B(1,0),与y轴交于点E ,且对称轴为直线x=-1.该抛物线与直线y=。x+m交于C、D两点（点C在点D的左侧)· 3 YA 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)若△ACD与aCDE的面积相等时，求m的值； (3)当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q,使∠CQD=90°？（直接写出m的值） 考点5 元二次方程的应用 一、单选题 55.(2026江苏省无锡市·一模)某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级.已知 原电极材料的能量密度为Q,经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度 达到8a,则可列方程为() A.ax2=8a B.a(1+x)=8a C.a+2x=8a D.2ax=8a 二、填空题 56,2026苏省泰州市一衡加图，ABC中，AB8,BC2,an∠B,点D,E分别在边B 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC上，且8CE-5AD=16,点F为DE中点，则线段AF的最小值为= 57.(2026江苏省南京市鼓楼区·一模)我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有 杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到36.3公顷， 设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x,则可列方程为 58.(2026江苏南通海门区一模某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设 平均每月增长率为x,则可列方程为· 三、解答题 59.(2026江苏省苏州市·一模)某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且 第二次的数量比第一次多500千克. (1)该商品的进价是多少？ (2)已知该商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式为：y=-10x+500.若想销 售该商品每天获利2210元，该商店需将商品的售价定为多少？ 60.(2026江苏省宿迁市一模)随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题.政府规划利用一块矩形空地 修建一个小型停车场，布局如图所示.已知AB=41m,AD=30m,阴影部分为车位，需要硬化，其余部分 均是宽度为m的车道.已知硬化的面积为630m2. x x (1)求车道的宽度x的值： (2)该停车场共有56个车位，据调查分析，当每个车位日租金为10元时，可全部停满：若每个车位的日租金 每上涨1元，就会少租出2个车位.每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租 金是多少元？ 61.(2026江苏省南京市玄武区一模)某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每 千克32元，若每次下降的百分率相同. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取 适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克 ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元： ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 62.(2026江苏省南京市一模)(1)知识回顾： y(km/h) 72 对岸 2 60 48 V水=lm/s 36 4 12 5101520253035404550x(min) A 图① 图② 图③ 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少)，那么其在某个时间段内的平均速度 为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数.例如，由图象可知，第5mi到 第10mi汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为 12+60 2 =36(km/h,该时间段行驶的路程为36×10,5-3km 60 如图①，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为yk/h,图中的折线表示她在整个驾车过程 中y与x之间的函数关系.根据上述方法指导，小丽驾车从10min到30min共行驶 km. (2)知识应用： 如图②，一条河宽度100m,小明欲从A处游到对岸，水流速度为1m/s,小明游泳速度V=1.5m/s.(注： '表示小明在水平方向上的速度，”，表示小明在垂直方向上的速度，V表示小明斜向游泳的速度，且 ?+=2)，小明为了游到正对岸B的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度 抵消水流速度：最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为 ,最终到达点B, 所用的时间是 (3)实际情况下，如图③小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减0.01m,为了游到对岸，小 明改变策略但始终保持和对岸BC垂直的方向游泳 ①小明的游泳轨迹可能是（选择4，马，飞，其中一个） ②小明可以游到B的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置C与B的距 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 离