专题05 一元一次方程与二元一次方程组（3大考点，34题）（江苏专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 一元一次方程与二元一次方程组专题汇编，34题覆盖3大核心考点，融合《九章算术》等古代数学文化题（如“凫雁相逢”问题）与足球积分、工程招标等现代生活情境，适配初中数学一模复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|12|一元一次方程应用（足球积分）、方程组解法（参数问题）|8题源自《九章算术》等古籍，渗透文化传承| |填空|9|方程应用（客房分配）、方程组性质（代数式求值）|结合古代诗词（《算法统宗》）与实际问题| |解答|13|建模应用（杆秤杠杆原理）、经济问题（纪念品销售）|注重数学建模，如杆秤制作（12题）、利润计算（32题）|

专题05 一元一次方程与二元一次方程组（3大考点，34题） 3大考点概览 考点01一元一次方程的应用 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的应用 一元一次方程的应用 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 2．(2026·江苏省无锡市新吴区·一模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 3．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】追及时快马走的总路程等于慢马走的总路程，根据路程公式即可列方程． 【详解】解：∵快马每天走230里， ∴快马走的总路程为里， ∵慢马每天走140里，且先走11天， ∴慢马一共走了天，总路程为， 追及时两马路程相等，因此可得方程． 4．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 5．(2026·江苏南通联考·一模)甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（   ） A．小时或小时 B．小时 C．小时 D．小时或小时 【答案】A 【分析】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间；然后可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程；根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米： 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， ∴， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， 乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米： ， 解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：， 解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，， 解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时， 故选：A． 6．(2026·江苏南通海门区·一模)《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 7．(2026·江苏苏州 市·一模)《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可 【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度， 设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得， 根据题意可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 9．(2026·江苏省无锡市·一模)《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 二、填空题 10．(2026·江苏省南通市海门区·一模)已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 11．(2026·江苏省镇江市·一模)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可． 【详解】解：设该店有客房x间，根据题意得 ， 解得， 答：该店有客房8间． 故答案为：8． 三、解答题 12．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 13．(2026·江苏省南京市·一模)苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【答案】甲种型号的“手幅”的单价是元，乙种型号的“手幅”的商品单价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元． 根据题意得：， 解得， ． 答：甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 14．(2026·江苏省苏州市·一模)铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 15．(2026·江苏省盐城市·一模)今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？ 【答案】这根木材的长为尺 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示绳子的长度是解题的关键． 设这根木材的长为x尺，则绳子的长度为尺，也可表示为尺，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设这根木材的长为x尺， 根据题意得， 解得， 答：这根木材的长为尺． 二元一次方程组的解法 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省盐城市·一模)关于的方程组的解中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组、不等式，由两式相加，得到，再根据列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相加，可得，即 又， ∴，解得：． 所以的取值范围是． 故选：C． 二、填空题 17．(2026·江苏省南通市·一模)把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 18．(2026·江苏省南京市·一模)若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 19．(2026·江苏省宿迁市·一模)若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 20．(2026·江苏省徐州市·一模)已知方程组，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用加减消元法将方程组的两个方程相减，整理后即可得到的值． 【详解】解： 得： 整理得： 等式两边同除以得：． 21．(2026·江苏省南京市·一模)已知方程组，则的值是_____________． 【答案】3 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加即可求出的值． 【详解】解：， ①②得：， 则． 故答案为：3． 22．(2026·江苏省盐城市·一模)关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组求解问题．本题可以通过将两个方程相加或相减来简化计算，直接得到的值，而无需单独求解的值． 【详解】解：观察， 将两个方程相加，得到：， 将上述方程两边同时除以3，得：． 故答案为：． 三、解答题 23．(2026·江苏省无锡市·一模)解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：， 由可得：， 解得， 将代入②可得：， 解得， ∴方程组的解为． 24．(2026·江苏省常州市·一模)解方程组和不等式组： (1)解方程组； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组， （1）利用代入消元法求解即可； （2）分别解两个一元一次不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②中，得， 解得， 将代入①中，得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 25．(2026·江苏省无锡市·一模)（1）解方程     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】此题考查了解二元一次方程组及解一元二次方程，正确掌握二元一次方程组的解法及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用加减法先消去求解，再求解即可； （2）把方程化为，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）， 得：， 将代入①，得， 得， ∴方程组的解是； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 26．(2026·江苏省苏州市·一模)解方程和不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 二元一次方程组的应用 数 考点3 一、单选题 27．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 28．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 二、填空题 29．(2026·江苏省盐城市·一模)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 【答案】3，2 【分析】通过设未知数列出方程组，并利用加减消元法求解． 本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子 根据题意，得方程组 为消去，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以5，得 两式相减，得 解得 将代入第一个方程，得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子， 故答案为3，2． 30．(2026·江苏省泰州市·一模)小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有______种． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 设兑换成10元张，20元的零钱张，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：设兑换成10元张，20元的零钱张， 由题意得：， 整理得：， 满足题意的方程的整数解为：，,，， ∴兑换方案有种， 故答案为：． 三、解答题 31．(2026·江苏省徐州市·一模)大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 【答案】母鸡买了只，鸭子买了只． 【分析】先求出母鸡和鸭子共买了只，再根据一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元共花费了元列方程组，解方程组求出、的值即可． 【详解】解：设母鸡买了只，鸭子买了只， ∵母鸡，鸡仔，鸭子共买只，鸡仔一共买了只， ∴母鸡和鸭子共买了（只）， ∵一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元， ∴， 解得：， ∴母鸡买了只，鸭子买了只． 32．(2026·江苏省徐州市·一模)2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 33．(2026·江苏省南通市·一模)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 34．(2026·江苏省无锡市·一模)某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程与二元一次方程组（3大考点，34题） 3大考点概览 考点01一元一次方程的应用 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的应用 一元一次方程的应用 考点1 一、单选题 1．(2026·江苏省无锡市宜兴市·一模)2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．(2026·江苏省无锡市新吴区·一模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(2026·江苏省无锡市锡山区·一模)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．(2026·江苏省无锡市惠山区·一模)我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．(2026·江苏南通联考·一模)甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（   ） A．小时或小时 B．小时 C．小时 D．小时或小时 6．(2026·江苏南通海门区·一模)《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．(2026·江苏苏州 市·一模)《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．(2026·江苏省苏州市·一模)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 9．(2026·江苏省无锡市·一模)《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(2026·江苏省南通市海门区·一模)已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 11．(2026·江苏省镇江市·一模)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 三、解答题 12．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 13．(2026·江苏省南京市·一模)苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 14．(2026·江苏省苏州市·一模)铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 15．(2026·江苏省盐城市·一模)今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？ 二元一次方程组的解法 考点2 一、单选题 16．(2026·江苏省盐城市·一模)关于的方程组的解中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．(2026·江苏省南通市·一模)把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 18．(2026·江苏省南京市·一模)若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 19．(2026·江苏省宿迁市·一模)若，满足方程组，则的值为______． 20．(2026·江苏省徐州市·一模)已知方程组，则代数式的值为________． 21．(2026·江苏省南京市·一模)已知方程组，则的值是_____________． 22．(2026·江苏省盐城市·一模)关于x、y的方程组，则的值为______． 三、解答题 23．(2026·江苏省无锡市·一模)解不等式及解方程组： (1)解不等式：； (2)解方程组：． 24．(2026·江苏省常州市·一模)解方程组和不等式组： (1)解方程组； (2)解不等式组． 25．(2026·江苏省无锡市·一模)（1）解方程     （2）解方程：． 26．(2026·江苏省苏州市·一模)解方程和不等式组： 二元一次方程组的应用 数 考点3 一、单选题 27．(2026·江苏省无锡市江阴市·一模)明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 28．(2026·江苏省连云港市·一模)如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 二、填空题 29．(2026·江苏省盐城市·一模)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 30．(2026·江苏省泰州市·一模)小明将一张100元的纸币换成若干张10元和20元的纸币（两种都换），则置换方案共有______种． 三、解答题 31．(2026·江苏省徐州市·一模)大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 32．(2026·江苏省徐州市·一模)2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 33．(2026·江苏省南通市·一模)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 34．(2026·江苏省无锡市·一模)某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） / 学科网（北京）股份有限公司 $