精品解析：河南济源市济水一中等2025—2026学年下学期期中质量检测八年级数学

2025—2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 4. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两边相等的平行四边形是菱形 5. “赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 勾股定理的逆定理 D. 全等三角形的判定定理 6. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（共5小题） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围______． 12. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 13. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 14. 四边形是研究几何性质的重要载体、结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，思考：在四边形中，已知，以各边向外作正方形，面积分别为，，，，用等式表示，，，之间的关系，_________． 15. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交、于点、，是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确的结论是 ________（请填写序号）． 二、解答题（8大题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 在四边形中，，，，，， （1）求的长 （2）判断与是否也垂直，并说明理由． 18. 如图，在中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 （1）的面积； （2）△AOD的周长． 19. 据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）． （1）求从40米高空抛物到落地时间； （2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能） 20. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米． 求BC间的距离；这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点 （1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB= _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明） 22. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… （1）化简：_________． （2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； （3）利用这一规律计算：． （4）利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 23. 小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ （1）小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． （2）小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． （3）【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式乘法法则，即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式是被开方数是整数且被开方数不含能开得尽方的因数． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意， 、被开方数不是整数，不属于最简二次根式，不符合题意， 、被开方数可以开的尽，不属于最简二次根式，不符合题意， 、被开方数不是整数，不属于最简二次根式，不符合题意． 3. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 4. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两边相等的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】正方形是矩形和菱形的结合，判断A；根据矩形的判定方法判断B；根据全等三角形的判定方法SAS,一角是否是其两边的夹角，判断C；根据菱形的判定方法判断D． 【详解】解：A对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A选项错误； B两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确； C有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误； D邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题，正方形，矩形，菱形的判定以及三角形全等的条件，对判定的熟练掌握是解决此类题目的关键. 5. “赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 勾股定理的逆定理 D. 全等三角形的判定定理 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的数学背景，“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．熟知相关数学史是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，二次根式的性质逐项计算即可判断． 【详解】解：选项A：因为与不是同类项，不能合并，故A错误不符合题意； 选项B：因为，故 B错误不符合题意； 选项C：因为， 故C正确符合题意； 选项D：因为，当时，，故D错误不符合题意． 7. 如图，菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得邻角互补，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 9. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵公路、互相垂直， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， 即M，C两点间的距离为， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， 由翻折得，，垂直平分， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 13. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 14. 四边形是研究几何性质的重要载体、结合特殊角、勾股定理、一元二次方程等知识，思考：在四边形中，已知，以各边向外作正方形，面积分别为，，，，用等式表示，，，之间的关系，_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：在和中，， ∴． 15. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交、于点、，是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确的结论是 ________（请填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，①先根据正方形的性质证得和全等，即可得到，同时减去即可得到结论；②再利用证得 ， 即 可 得 出 垂直平分；③连接与交于点，交于点，连接，，根据图意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出 ，即的最小值；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ，即：，故①正确； 由全等得，， ， ， ， 平分， ， 又， ， ，故②正确； 连接与交于点，交于点，连接，如图： 四边形是正方形， ，即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小， 此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为，故③正确； 垂直平分， ， 又， ，故④错误； 故答案为：①②③． 二、解答题（8大题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 17. 在四边形中，，，，，， （1）求的长 （2）判断与是否也垂直，并说明理由． 【答案】（1）4 （2） 解：．理由如下： 已知，，， 得： ，  可得 ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，， 因此 ． 【解析】 【分析】（1）因为，所以是直角三角形，可利用勾股定理求的长． （2）要判断与是否垂直，可先计算出的长度，再结合、的长度，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【小问1详解】 解：已知， 因此是直角三角形，． 根据勾股定理 ， 代入，， 得， 因为线段长度为正， 因此 ． 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 （1）的面积； （2）△AOD的周长． 【答案】（1）48（2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理先求出高AC，故可求解面积； （2）根据平行四边形的性质求出AO，再利用勾股定理求出OB的长，故可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8 ∴BC=AD=8 ∵AC⊥BC ∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2-BC2 ∴ ∴ （2）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6 ∴ ∵∠ACB=90°，BC=8 ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用． 19. 据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）． （1）求从40米高空抛物到落地时间； （2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由； （3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能） 【答案】（1）2s； （2）不正确， 理由如下：当h2＝80m时，t2＝＝＝4（s）， ∵4≠2×2， ∴不正确， （3）90焦耳，严禁高空抛物 【解析】 【分析】（1）将h=40代入t=进行计算即可； （2）将h=80代入t=进行计算即可，根据 t2与t1的比值即可得出结论； （3）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【详解】解：（1）由题意知h＝40米， t＝＝＝ ＝2（s）， （2）略 （3）当t＝6s时，6＝，h＝180m， 鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（焦耳）， 启示：严禁高空抛物． 【点睛】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 20. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米． 求BC间的距离；这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】这辆小汽车没有超速． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长； （2）直接求出小汽车的时速，进行比较得出答案． 【详解】(1)在Rt△ABC中，AC＝60 m， AB＝100 m，且AB为斜边，根据勾股定理，得BC＝80 m. (2)这辆小汽车没有超速． 理由：∵80÷5＝16(m/s)， 而16 m/s＝57.6 km/h，57.6<70， ∴这辆小汽车没有超速． 【点睛】考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点 （1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB= _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明） 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC． ∵M是边AD的中点， ∴MA＝MD， ∴△ABM≌△DCM（SAS）． （2）四边形MENF是菱形．证明如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM． ∴NE=FM，NE∥FM． ∴四边形MENF是平行四边形． ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM． ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME=MF． ∴平行四边形MENF是菱形． （3）2：1 【解析】 【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可． （2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可. （3）先假设四边形MENF是正方形得到∠BMC=90°，再进一步得出∠AMB=45°，进而求出AB=AM，再反过来求证即可完成求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵M为AD中点， ∴AD=2AM． ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB． ∵∠A=90°， ∴∠ABM=∠AMB=45°． 同理∠DMC=45°． ∴∠EMF=180°-45°-45°=90°． ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的性质与判定、三角形的中位线定理等知识，解决本题的关键是理解相关概念，能分析出要得出结论的条件并进行求解，本题逻辑性较强，对学生的分析能力要求较高． 22. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… （1）化简：_________． （2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； （3）利用这一规律计算：． （4）利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：         ． 【小问4详解】 解：根据规律可得          ． 23. 小济、小源和洋洋在教材上发现一则关于数学折纸活动的材料，材料原文叙述如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 观察所得到的，和，这三个角有什么关系？你能证明吗？ （1）小济猜想：．他的证明思路是：连接，利用轴对称性质得出是等边三角形，，从而证得猜想成立．请根据小济的思路完成下面的填空： 证明：连接， 四边形是矩形， __________． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分②_________， ③_________． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ④_________，⑤_________， ． 是等边三角形． ， ． ． （2）小源在该折纸活动基础上，进一步探索．如图2，她先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．已知，，直接写出线段的长_________． （3）【迁移探究】洋洋将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为_________． 【答案】（1）①；②；③；④；⑤． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为矩形的四个角都是直角，所以先确定的度数；因为首次对折是使与重合，折痕是的垂直平分线，所以得出垂直平分的线段，进而得到对应线段相等；因为再次折叠是轴对称变换，所以对应边和相等，对应角和相等，结合等边三角形判定定理完成填空． （2）先根据对折的轴对称性质确定相关线段的长度和角度，再利用勾股定理，结合折叠的性质建立关于的等式，求解的长度． （3）设正方形边长为未知数，利用折叠的轴对称性质得到相等的线段和角度，证明三角形全等，再结合勾股定理建立方程，求解正方形的边长． 【小问1详解】 证明：连接， 四边形是矩形， ． 首次对折纸片时，由轴对称性质知， 垂直平分， ． 再次折叠时，由轴对称性质可知， ，， ． 是等边三角形． ， ． ． 【小问2详解】 解：∵， 由折叠的性质知，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得 故线段的长为． 【小问3详解】 解析：设正方形边长为， 由（1）结论得， ∵， ∴． ∴， ∵在中，， ∴​​， 解得或（舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $