题号猜押12 江苏南京中考数学压轴题（解答题）（江苏南京专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押12 江苏南京中考数学压轴题（解答题） 考点1 新定义问题 1．（2026•南京一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． （1）点A（﹣4，3）　是　 （填“是”或“否”）“完美点”； （2）若点B（5，a），OB＝a+1，求a的值并判断点B是否是为“完美点”； （3）若n为整数，点C（n2﹣1，2n），求证：点C为“完美点”． 【分析】（1）根据“完美点”的定义进行判断即可； （2）根据题意，求出a的值，再结合“完美点”的定义进行判断即可； （3）根据“完美点”的定义进行证明即可． 【解答】（1）解：因为点A坐标为（﹣4，3）， 所以点A到x轴距离为3，到y轴的距离为4，且3和4都是整数， 所以点A是“完美点”． 故答案为：是； （2）解：因为点B坐标为（5，a）且OB＝a+1， 所以a2+52＝（a+1）2， 解得a＝12， 所以点B坐标为（5，12）， 所以点B到x轴距离为12，到y轴的距离为5，且4和5都是整数， 所以点B是“完美点”； （3）证明：因为点C坐标为（n2﹣1，2n）， 所以点C到x轴距离为|2n|，到y轴的距离为|n2﹣1|． 因为n为整数， 所以|2n|和|n2﹣1|都是整数， 所以点C为“完美点”． 2．（2026•南京一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1，sinα． 一般地，当a、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45sin30°． 任务： （1）计算：sin75°＝　　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22，求BC的长； （3）已知0＜β＜α＜45°，且sin（α+β），求sin2α的值． 【分析】（1）利用sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45sin30°代入特殊值即可求解； （2）作AB的垂直平分线l交BC于点M，连接AM，过点A作AN⊥BC，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出BC的长； （3）利用sin2α＝sin（α+β+α﹣β）＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）进行求解． 【解答】解：（1）∵sin75°＝sin（45°+30°） ＝sin45°cos30°+cos45°sin30° ， 故答案为：； （2）作AB的垂直平分线l交BC于点M，连接AM，过点A作AN⊥BC，N为垂足， ∴AM＝BM， ∵在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22， ∴∠BAM＝∠B＝15°，∠AMN＝2×15°＝30°，∠CAN＝45° ∴AN＝NC， ∵sinC， ∵sin45°， ∴AN（2）， ∵tan∠AMN，tan30°， ∴MN＝（）， BM＝AM＝2AN＝2， ∴BC＝BM+MN+NC＝22； （3）∵0＜β＜α＜45°，sin（α+β），cos（α﹣β）， ∴cos（α+β），sin（α﹣β）， sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， ∴sin2α＝sin（α+β+α﹣β）＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β） ． 考点2 二次函数的图象 1．（2026•南京一模）某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是x＜﹣1或x＞5　 ； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 【分析】（1）根据函数解析式计算即可； （2）描点、连线、画函数图象即可； （3）（i）根据函数图象解答即可求解； （ii）①利用待定系数法解答即可；②当m＝0时，可知直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点；当平移后的直线与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3只有1个交点时，直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，利用Δ＝0求出m的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝3，y＝3；当x＝2时，y1＝﹣1，y＝1；当x＝5时，y1＝8，y＝8， 列表如下： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 3 0 1 0 3 8 15 ⋯ （2）函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，如图1即为所求； （3）（i）如图2， 由图象可知，当x＜﹣1或x＞5时，函数y＝|x2﹣4x+3|＞8， ∴不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是x＜﹣1或x＞5， 故答案为：x＜﹣1或x＞5； （ii）①如图3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由表格可知点 B（3，0），C（0，3）， 把 B（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； ②把x＝2代入y＝﹣x+3，得：y＝﹣2+3＝1， ∴点（2，1）在直线y＝﹣x+3上， 由函数图象可知，此时直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， 即m＝0； 由图象可知，直线BC只有向上平移才能与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， ∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+3+m， 由﹣x2+4x﹣3＝﹣x+3+m，得：x2﹣5x+6+m＝0， 当平移后的直线与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3只有1个交点时，直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， 此时Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6+m）＝0， 解得：； 综上所述，当m＝0或时，直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点． 2．（2026•玄武区一模）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　　 ，n＝　　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　﹣1＜x＜0或x＞1　 ． （3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　函数图象是轴对称图形　 ；②　函数值y都是非负数　 ． （4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是a＜b ． 【分析】（1）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m，n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即可画出图象； （2）由函数的图象即可得出答案； （3）观察函数图象，即可得到两条该函数的图象特征或性质； （4）由|n|＜|m|＜1可得1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0，即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵y＝|x2﹣1|， ∴当时，； 当时，； 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图： （2）由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1． （3）由函数图象可知：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． 故答案为：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数． （4）∵|n|＜|m|＜1， ∴0＜n2＜m2＜1， ∴﹣1＜n2﹣1＜m2﹣1＜0， ∴1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0， ∵点（m，a）与（n，b）在函数图象上， ∴a＝|m2﹣1|，b＝|n2﹣1|， ∴a＜b． 故答案为：a＜b． 考点3 几何综合题 1．（2026•鼓楼区校级模拟）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是　1.8　 米； ②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），求小丽身体被雨水淋湿的部分PK的长度．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出EG的最小值为　　 ． 【分析】（1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解； （2）延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用FK＝CF•tan60°，接着可得PKx+1.8，延长NM交AB于点H，过A作AI⊥MN交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【解答】解：（1）①由题意知，OG＝0.45米，GP＝1.35米，∴OP＝OG+GP＝0.45+1.35＝1.8米， 即点C到地面的距离是1.8米， 故答案为：1.8； ②∵AC＝1米，点O为AC中点， ∴OCAC＝0.5米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝72°， ∵AC∥BD， ∴∠OCK＝∠KDP＝72°， ∴在Rt△OCK中，OK＝OC•tan72°＝0.5×3.08＝1.54米， ∴PK＝OP﹣OK＝1.8﹣1.54＝0.26米； （2）如图，延长PN交AC于点F，则OF＝EG＝x， ∴CF＝OF+OC＝（x米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝60°， ∵AC∥BD， ∴∠FCK＝∠KDP＝60°， ∴在Rt△FCK中，FK＝CF•tan60°米， ∴PK＝FP﹣FK＝1.8x）x+1.8， 即y， 延长NM交AB于点H，过A作AI⊥MN于点I， 则AI＝1.8﹣1.6＝0.2（米），，AF＝NI＝0.5﹣x，为使头部不被淋湿， ∴， 解得， 又∵x≥0， ∴， ∴； （3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿， 如图，延长NM交AB于点R，过R作RT⊥BD交BD于T， 延长EG交CD于W，过W作WY⊥OG交OG于Y， 则WY＝OC＝0.5，∠GWD＝∠YGW＝60°，RT＝MQ＝1.6， ∴BD， 在Rt△YGW中，YGOG，GW； 在Rt△DEW中，EW， ∴EG＝EW﹣GW， 在Rt△BRT中，BT， 又∵BD﹣BTMN＝0.2， ∴此时头部不会被淋湿，综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为． 故答案为：． 2．（2026•建邺区一模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE； （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD•CG＝EG•FC； ②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE．又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE．又当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC，所以∠BAC＝∠BEC，即∠BEC＝∠DAE． （2）①因为AB＝AC，AD＝AE，所以，又∠BAC＝∠DAE，所以△BAC∽△DAE，所以∠AED＝∠ACB．又∠AGE＝∠FGC，所以△AEG∽△FCG，则，所以AE•CG＝EG•FC，又AD＝AE，所以AD•CG＝EG•FC． ②连接AF，△ABC是等腰直角三角形，求证AF⊥BC即可得到比例关系． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE． 又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC， ∴∠BAC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠DAE． （2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴， 又∠BAC＝∠DAE， ∴△BAC∽△DAE， ∴∠AED＝∠ACB． 又∠AGE＝∠FGC， ∴△AEG∽△FCG， ∴， 即AE•CG＝EG•FC， 又AD＝AE， ∴AD•CG＝EG•FC． ②解：如图，连接AF． 由（1）可知，△BAD≌△CAE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°． 由①知△AEG∽△FCG， ∴，即． 又∵∠AGF＝∠EGC， ∴△AGF∽△EGC， ∴∠AFG＝∠ACE， ∴∠AFE+∠EFC＝∠ECA+∠EAC＝180°﹣∠AEC＝90°， ∴∠AFC＝90°． ∴FCACAB， ∴． 考点4 代数几何综合题 1．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，BC的坐标分别为B（4，0），C（0，6），△ABC的面积为30． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线AB向右运动，点P的运动时间为t，连接PC，△POC的面积为S，请用含t的式子表示△POC的面积S．并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点A作AD⊥BC于D，AD交OC于E，连接PE，当△PCE的面积等于△AOE面积的时，求t的值． 【分析】（1）由B（4，0），C（0，6），得到OB＝4，OC＝6，根据三角形的面积公式得到AB＝10，于是得到A（﹣6，0）； （2）①当0≤t＜3时，②当t＞3时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据余角的性质得到∠OAE＝∠OCB，根据全等三角形的性质得到OE＝OB＝4，求得CE＝6﹣4＝2，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵B（4，0），C（0，6）， ∴OB＝4，OC＝6， ∵△ABC的面积为30， ∴AB•OC＝30， ∴AB＝10， ∴OA＝10﹣4＝6， ∵点A在x轴上， ∴A（﹣6，0）； （2）①当0≤t＜3时，AP＝2t，OP＝6﹣2t， ∴SOP•OC（6﹣2t）×6＝18﹣6t； ②当t＞3时，AP＝2t，OP＝6﹣2t， ∴SOP•OC（6﹣2t）×6＝18﹣6t； （3）∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝90°， ∵∠COB＝∠COA＝90°， ∴∠OAE+∠ABD＝90°，∠OCB+∠ABD＝90°， ∴∠OAE＝∠OCB， 在△OAE与△OCB中， ， ∴△OAE≌△OCB（ASA）， ∴OE＝OB＝4， ∴CE＝6﹣4＝2， ∴S△ADEOA•OE＝12，S△PCE（6﹣2t）×2＝6﹣2t， 当0≤t＜3时，∵△PCE的面积等于△AOE面积的， ∴6﹣2t12， ∴； ②当t＞3时，S△PCE（2t﹣6）×2＝2t﹣6， ∵△PCE的面积等于△AOE面积的， ∴2t﹣612， ∴t， 综上所述，当△PCE的面积等于△AOE面积的时，t的值为或． 2．（2026•鼓楼区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）①AB的长为 　25　 ； ②PN的长用含t的代数式表示为 　3t ． （2）当▱PQMN为矩形时，求t的值； （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式． 【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN． （2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值． （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15． ∴AB25． ∴， 由题可知AP＝5t， ∴PN＝AP•sin∠CAB3t． 故答案为：①25；②3t． （2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°， ∵PN⊥AB， ∴PQ∥AB， ∴， 由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t， ∴， 解得t， 即当▱PQMN为矩形时t； （3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点， 由（1）题可知：cosA＝sinB，cosB，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t． ∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t， ∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG， ∴0＜3t≤12﹣4t， ∴0＜t． ∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t． ∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t． Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时， 即：0＜12﹣4t＜3t， 解得：t＜3， ▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S． 综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当t＜3，S． 考点5 相似三角形综合题 1．（2026•南京模拟）已知△ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB的角平分线，且CD、BF、AE交于一点G，则称点G为该三角形的“金中点”． （1）求证：； （2）当∠BAC＝45°，求∠ABC度数； （3）若△CEG为等腰三角形时，求的比值k为多少？请在下面直接填写结果： ①当EC＝EG时，k＝　　 ； ②当CE＝CG时，k＝　　 ； ③当GC＝GE时，则k的一位小数的近似值≈　1.5　 ． 【分析】（1）根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，即可得证； （2）过点F作FM⊥AB于M，则△BDG∽△BMF，分别计算∠ABC，∠GAD的正切，得出tan∠ABC＝tan∠GAD，即可求解； （3）先证明DE∥AC，得出，再分类讨论，根据相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【解答】（1）证明：过点G作GH⊥AC于点H． ∵AE平分∠BAC， ∴GH＝DG， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作FM⊥AB于M， ∵∠BAC＝45°，CD⊥AB， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝DC，， ∵FM⊥AB，CD⊥AB， ∴FM∥CD， 又∵F为AC的中点， ∴FM为△ADC中位线， ∴，DMAD． 设AD＝DC＝a，则，FMa，， 由（1）得， ∴， ∵FM∥CD， ∴△BDG∽△BMF， ∴， ∴BD＝（22）BM＝（22）（BD+DM）＝（22）BD+（22）DM， ∴， ∴， ∴在Rt△CDB中，tan， 在Rt△ADG中， ∴tan∠ABC＝tan∠GAD， ∴∠ABC＝∠GAD， ∵AE是∠CAB的角平分线，∠BAC＝45°， ∴； （3）解：如图，延长GF至点M，使得FM＝FG， ∵BF是AC边上的中线， ∴AF＝FC， ∴四边形AMCG是平行四边形， ∴CG∥AM，AG∥MC， ∴，， ∴， 又∵∠ABC＝∠DBE， ∴△BDE∽△BAC， ∴∠DEB＝∠ACB， ∴DE∥AC， ∵DE∥AC， ∴， ①当EC＝EG时，如图，过点E作EH⊥CG， ∴EH∥AD， ∴△HEG∽△DAG， ∴， 设CH＝HG＝1，DG＝x， ∴， ∵k， ∴， 解得（负值舍去），即； 故答案为：； ②当CE＝CG时，如图，连接DE， ∵AE平分∠CAB， ∴， ∴∠AGD＝∠CGE＝∠CEG＝90°﹣∠EAB＝90°∠CAB， ∴∠CAB+∠AEC＝∠CAE+∠AEC＝∠ACB＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB＝90°， 设DG＝1，CG＝CE＝x， ∴， ∵DE∥AC， ∴△ACG∽△EDG，△ACB∽△DEB， ∴，， ∴， ∴1， ∴∠DEB＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠BCD， ∴△DCE∽△BCD， ∴， ∴CD2＝CE•CB， ∴CB， ∴1， ∴x2﹣x﹣1＝0， 解得：x（负值舍去），即k； 故答案为：； ③当GC＝GE时，设GC＝GE＝x，DG＝1， ∴， ∴AG＝x2， ∴， ∵， ∴， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴x2（x4﹣1）＝x4﹣1+（x+1）2， ∴x5﹣x3﹣2x﹣2＝0， x3（x2﹣1）＝2（x+1）， ∴x3（x﹣1）＝2， ∴x4﹣x3﹣2＝0， 当x＝1时，x4﹣x3﹣2＝﹣2＜0， 当x＝2时，x4﹣x3﹣2＝6＞0， 当x＝1.5，x4﹣x3﹣2＝﹣0.3125＜0， 当x＝1.55，x4﹣x3﹣2＝0.04513125＞0， ∴x≈1.54，即k≈1.54≈1.5． 故答案为：1.5． 2．（2026•建邺区一模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE； （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD•CG＝EG•FC； ②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE．又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE．又当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC，所以∠BAC＝∠BEC，即∠BEC＝∠DAE． （2）①因为AB＝AC，AD＝AE，所以，又∠BAC＝∠DAE，所以△BAC∽△DAE，所以∠AED＝∠ACB．又∠AGE＝∠FGC，所以△AEG∽△FCG，则，所以AE•CG＝EG•FC，又AD＝AE，所以AD•CG＝EG•FC． ②连接AF，△ABC是等腰直角三角形，求证AF⊥BC即可得到比例关系． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE． 又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB＝∠EGC， ∴∠BAC＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠DAE． （2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴， 又∠BAC＝∠DAE， ∴△BAC∽△DAE， ∴∠AED＝∠ACB． 又∠AGE＝∠FGC， ∴△AEG∽△FCG， ∴， 即AE•CG＝EG•FC， 又AD＝AE， ∴AD•CG＝EG•FC． ②解：如图，连接AF． 由（1）可知，△BAD≌△CAE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°． 由①知△AEG∽△FCG， ∴，即． 又∵∠AGF＝∠EGC， ∴△AGF∽△EGC， ∴∠AFG＝∠ACE， ∴∠AFE+∠EFC＝∠ECA+∠EAC＝180°﹣∠AEC＝90°， ∴∠AFC＝90°． ∴FCACAB， ∴． 考点6 图形的几何变换 1．（2026•溧水区一模）综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，再展开，折痕与AB交于点F． 第二步：如图（2），在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中EF和MH的位置关系． 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了AB＝4dm，BC＝8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△EGM为直角三角形时，直接写出AE的长． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出∠GEF＝∠GHM，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接FH，设AB＝2m，BC＝2n，先证明△FGH≌△FBH，得到，再证明△FGD∽△MGH，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当∠MEG＝90°时，得出四边形AEGF是正方形，得出AE＝2dm；当∠MGE＝90°时，过点M作MN⊥BC于点N，则MN＝4dm，再证明△GHM≌△NHM，得到MG＝4dm，dm，证明△MGE∽△MAF，得到dm． 【解答】解：（1）EF∥MN； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEH＝∠CHE， ∵∠GEF∠AEH，∠GHM∠CHE， ∴∠GEF＝∠GHM， ∴EF∥MN； （2）如图（3），连接FH，设AB＝2m，BC＝2n， ∵AF＝FB，AF＝FG， ∴FG＝FB， 由题意知∠FGH＝∠FBH＝90°， 在Rt△FGH和Rt△FBH中， ， ∴Rt△FGH≌Rt△FBH（HL）， ∴BH＝GH， ∵GH＝CH， ∴BH＝GHBC＝n， 由（1）知EF∥MN， ∴△FGD∽△MGH， ∴， ∴2， ∴CM＝GMm， ∴DM＝CD﹣CM＝2mmm， ∵DG2+MG2＝MD2，DG＝AD＝2n， ∴， ∴， ∴； （3）当∠MEG＝90°时，如图（4）， ∴∠AEG＝90°， ∵∠A＝∠EGF＝90°，AF＝FG， ∴四边形AEGF是正方形， ∴AE＝AF＝2dm； 当∠MGE＝90°时，如图（5），过点M作MN⊥BC于点N， MN＝AB＝4dm， ∵∠MGH＝∠MNH＝90°， ∠GHM＝∠NHM， MH＝HM， ∴△GHM≌△NHM（AAS）， ∴MG＝MN＝4dm， ∵AF＝FG＝2dm； ∴MF＝MG+GF＝6dm， ∴AM（dm）， ∵∠A＝∠MGE＝90°， ∠AMF＝∠AMF， ∴△MGE∽△MAF， ∴， ∴， ∴dm． 2．（2025•浦口区校级模拟）用一张矩形纸片剪一个等边三角形． 第一步，如图（1），对折矩形纸片ABCD（AB＞BC），使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平； 第二步，如图（2），再一次折叠纸片，使点D落在EF上的M处，并使折痕经过点A，得到折痕AG； 第三步，如图（3），沿GM折叠纸片，得到折痕GH． 第四步，沿AG，GM裁剪矩形纸片，得到△AGH． （1）说明△AGH是等边三角形． （2）已知矩形纸片一边长为3，另一边长为a．对于每一个确定的a的值，都能剪出最大的等边三角形．画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． （3）如图（4），用一张边长为4的正方形纸片ABCD剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶点都在正方形的边上．设这个等边三角形的面积为S，直接写出S的取值范围． 【分析】（1）由折叠性质导角证明HA＝HG．由平行线分线段成比例证明GM＝HM，进而证明Rt△AMH≌Rt△AMG（SAS），故AH＝AG，所以AH＝AG＝HG，即可证明结论； （2）分三类情形，分别画出图形，由等边三角形的性质结合三角函数计算，即可求出a的范围； （3）当等边三角形GEF的顶点E、F分别在正方形的两对边上，且EF∥CD，此时S最小，Smin； 当等边三角形GEF的顶点F与D重合，G、E分别在正方形两邻边上时，此时S最大，根据勾股定理列方程可求等边三角形的边长，进而可求Smax，故而． 【解答】（1）证明：由折叠性质可得∠AGD＝∠AGH，∠ADG＝∠AMG＝90°， 由AB∥CD，可得∠AGD＝∠HAG， 所以∠AGH＝∠HAG， 所以HA＝HG． 由题意可知EF为AD和BC边的对称轴，且AB∥EF∥DC， 由平行线分线段成比例可得1， 故GM＝HM， 在Rt△AMH和Rt△AMG中， ， ∴Rt△AMH≌Rt△AMG（SAS）， 故AH＝AG， 又∵HA＝HG， 故AH＝AG＝HG， 所以△AGH是等边三角形． （2）解：第一种情形如图a所示，△AGE为等边三角形，一边位于边长为3的边上时， 当GF＝a时，可知AE＝2AF＝2×tan30°×FG， 即3，又a＞0， 解得：； 第二种情形如图b所示，△AGE为等边三角形，一边位于边长为a的边上时， FG＝3，则AE＝2AF＝2， 故a≥2； 第三种情形如图c所示，△DEF为等边三角形，各边位于矩形的内部时， 当DE与CD重合时如图c.1，DE＝DC＝3， 此时等边三角形的高为，AD最小，则a； 当DF与AD重合时如图c.2，DF＝AD＝a， 此时DE＝2，AD最大，故a， 所以a． （3）解：当等边三角形GEF如图d.1所示时，E、F分别在正方形的两对边上，且EF∥CD， 此时S最小，Smin； 当等边三角形GEF如图d.2所示，即F与D重合，G、E分别在正方形两邻边上时， 此时S最大． 此时易证Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），故AG＝CE， 设AG＝CE＝x，则BG＝4﹣x＝BE， 由勾股定理可得DG2＝42+x2，GE2＝[（4﹣x）]2＝2（4﹣x）2， 根据DG＝GE，故42+x2＝2（4﹣x）2，解得x（正根舍去）， 故x， 此时GE， 所以Smax， 综上，． 考点7 存在性问题 1．（2026•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA＝1，OBOA，直线OC：yx交直线AB于点C． （1）求直线AB的解析式及C点的坐标； （2）如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ，当S△PCB时，求PQ+QM+MA最小值； （3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在第一象限内是否存在H点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和OC的解析式，即可求得点C的坐标； （2）先求出△OBC的面积，证明点P在点C的上方，设点P的坐标为（m，m），其中m＞0，由S△OBP＝S△OCB+S△PCB，求得m，得到点P的坐标，作四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ＝P1M，证得PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ，由勾股定理求出答案即可； （3）分两种情况：DF是直角边和DF为斜边时，分别进行求解即可． 【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴点A的坐标是（0，1）， ∵OBOA， ∴OB， ∴点B的坐标为（，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把点A 和点B的坐标代入可得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+1， 联立直线OCyx和直线AB的解析式得， 解得， ∴点C的坐标是（，）； （2）∵OB，OA＝1， ∴AB2， ∴AB＝2OA， ∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°， ∵直线OC：yx交直线AB于点C． ∴∠COB＝60°， ∴∠OCB＝90°， ∵S△OBC， ∴点P在点C的上方， ∵P为直线OC上一动点且在第一象限内， 设点P的坐标为（m，m），其中m＞0， ∴点P到x轴的距离为m， ∵S△OBP＝S△OCB+S△PCB， ∴m， 解得m， ∴m＝3， ∴点P的坐标是（，3）， 如图，过点P向左作PP1∥x轴，且PP1＝MQ，则P1的坐标为（，3），再作点P1关于x轴的对称点P2，则P2的坐标为（，﹣3），则连接AP2交x轴于点M，在x轴上截取MQ，连接PQ， 由作图过程知四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ＝P1M， ∴PQ+QM+MA的最小值为P1M+QM+MA＝P2M+QM+MA＝P2A+MQ， 作AA1⊥P1P2于点A1，则A1的坐标为（，1），则AA1，A1P2＝4， ∴PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ ． 即PQ+QM+MA最小值为； （3）存在，理由如下： 第一种情况，DF是直角边，由勾股定理得AB2， 由点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），由于平移规律相同，可得点A（0，1）平移到点D（，），点B（，0）平移到点F（，）， 如图，以AB为边作正方形ABH2H1，过点H2作H2B1⊥x于点B1， ∵∠ABO+∠H2BB1＝∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠H2BB1＝∠OAB， ∵AB＝BH2，∠AOB＝∠BB1H2＝90°， ∴△ABO≌△BH2B1（AAS）， ∴BB1＝AO＝1，H2B1＝BO， ∴OB11， ∴点H2的坐标为（1，）， 同理可得点H1的坐标为（1，1）， 点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0）， 由于平移规律相同，可知点H1（1，1），点H2（1，），平移后的坐标即点H的坐标分别为（1，），（1，）； ②DF为对角线时，如图， 由题意可得DF＝AB＝2， 在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2＝4， ∴DH2＝HF2＝2， ∴DH＝HF， 由点D（，），F（，），可知点K的坐标为（，）， 设HN的表达式为y＝k1x+b1， ∵HN⊥DF，OC⊥DF， ∴HN∥OC， ∴k1， 把点K的坐标代入y＝x+b1得， b1， 解得b1＝﹣1， ∴HN的表达式为yx﹣1， 设点H的坐标为（h，h﹣1）， 由两点间距离公式得，DH， ∴（h）2+（h）2＝（）2， 解得h1（舍去），h2， ∴h， ∴h﹣1， ∴点H的坐标为（，）， 综上所述，点H的坐标是（1，）或（1，）或（，）． 2．（2026•南京一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+n（其中m、n为常数）． （1）若，判断二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象与x轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点A（m﹣3，y1），B（m+2，y2）都在二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象上，试比较y1，y2的大小； （3）若该函数图象经过点A（3，0）和B（0，﹣4），若点P在x轴上，过P作x轴的垂线l，l交直线AB于点H，以PH为斜边作等腰直角△PHQ．当点Q落在抛物线上时，求此时Q的横坐标． 【分析】（1）利用判别式Δ判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设P（t，0），则H（t，t﹣4），则PH的中点为（t，t﹣2），根据等腰直角三角形的性质可得Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2），将Q点代入函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴Δ＝4m2﹣4（m2+m）＝2m2﹣4m+3＝2（m﹣1）2+1＞0， ∴二次函数的图象与x轴有2个公共点； （2）∵y＝x2﹣2mx+n的对称轴为x＝m， ∴|m﹣3﹣m|＝3，|m+2﹣m|＝2， ∴y1＞y2； （3）将点A（3，0）和B（0，﹣4）代入y＝x2﹣2mx+n， ∴n＝﹣4，m， ∴y＝x2x﹣4， 设直线AB的解析式为y＝kx﹣4， ∴3k﹣4＝0， 解得k， ∴yx﹣4， 设P（t，0），则H（t，t﹣4）， ∴PH的中点为（t，t﹣2）， 当t＜3时，PH＝4t， ∴Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2）， 当Q（t﹣2，t﹣2）时，（t﹣2）2（t﹣2）﹣4t﹣2， 解得t＝3（舍）或t； 当Q（t+2，t﹣2）时，（t+2）2（t+2）﹣4t﹣2， 解得t＝﹣4或t＝3（舍）； 当t＞3时，PHt﹣4， ∴Q（t﹣2，t﹣2）或（t+2，t﹣2）， 当Q（t﹣2，t﹣2）时，（t﹣2）2（t﹣2）﹣4t﹣2， 解得t＝3（舍）或t（舍）； 当Q（t+2，t﹣2）时，（t+2）2（t+2）﹣4t﹣2， 解得t＝﹣4（舍）或t＝3（舍）； 综上所述：Q点横坐标为或﹣4． 考点8 动点问题 1．（2026•玄武区一模）如图1，AB＝AC，AD＝1，BD＝CD＝2，点E在线段CA的延长线上，点F在线段DA延长线上，且EF∥AB． （1）当AB平分∠EBD时，证明：△AEB∽△BEC； （2）如图2，若，点P为AF中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿折线A﹣E﹣F运动至点F停止，作点A关于直线PQ的对称点K，t秒后P、K、B三点共线，求t的值； （3）如图3，过点F作FM⊥FD，FN∥MA且FN＝FM，若，且点E在直线MN上，求FM的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，再证∠ACB＝∠ABE，然后由∠AEB＝∠BEC和相似三角形的判定方法即可得出结论；， （2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF，再证△PDB是等腰直角三角形，得∠BPD＝45°，分两种情况，①当点Q在AE上时，②当点Q在EF上时，分别求出t的值即可； （3）过点E作ES⊥FM交FM延长线于点S，ET⊥AM于点T，证Rt△ESF≌△Rt△ETA（HL），得∠EFM＝∠EAM，则M、E、A、F四点共圆，再由圆内接四边形的性质得∠EMS＝∠EAF＝∠EFA，则∠EMS＝∠BAD，然后由平行线的性质得∠SEF＝∠BAD，进而由锐角三角函数定义求出SF＝4，ES＝2，MS＝1，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AB平分∠EBD， ∴∠ABE＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠ABE， 又∵∠AEB＝∠BEC， ∴△AEB∽△BEC； （2）解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF， ∴AB＝AC， ∴AC＝AE， ∴AD是△BCE的中位线， ∴AD∥BE，BE＝2AD＝2×1＝2， ∵EF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴AF＝BE＝2， ∵点P为AF中点， ∴AP＝FPAF2＝1， 由轴对称的性质得：PK＝PA，∠APQ＝∠KPQ， ∴点K在以P为圆心，AP为半径的圆弧上， ∵PD＝AP+AD＝1+1＝2， ∴PD＝BD， ∴△PDB是等腰直角三角形， ∴∠BPD＝45°，P、K、B三点共线有两种情况： ①如图2﹣1，当点Q在AE上时， 则∠APQ∠BPD45°＝22.5°， 作PQ的垂直平分线交AP于点H，连接QH，过点Q作QG⊥AP于点G， 则PH＝QH， ∴∠HQP＝∠APQ＝22.5°， ∴∠QHG＝∠HQP+∠APQ＝22.5°+22.5°＝45°， ∴△QGH是等腰直角三角形， ∴QG＝GH，QHGH， ∵tan∠CAD2，tan∠EAF， ∴2， 设AG＝x，则QG＝GH＝2x，PH＝QHGH＝2x， ∵AP＝AG+GH+PH＝1， ∴x+2x+2x＝1， 解得：x＝3﹣2， ∴AQx（3﹣2）＝32， 即t的值为32； ②如图2﹣2，当点Q在EF上时， 则∠BPD＝∠FPK＝45°， 由轴对称的性质得：∠APQ＝∠KPQ， ∴∠BPQ＝∠FPQ（180°+45°）﹣45°＝67.5°， 过点Q作QG⊥AF于点G，过点P作PR⊥AF， 则QG∥PR，∠BPR＝90°﹣∠BPD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PQG＝∠QPR＝∠BPQ﹣∠BPR＝67.5°﹣45°＝22.5°， 作PQ的垂直平分线交QG于点H，连接PH， 则PH＝QH， ∴∠HQP＝∠HPQ＝22.5°， ∴∠PHG＝∠HQP+∠HPQ＝22.5°+22.5°＝45°， ∴△PGH是等腰直角三角形， ∴PG＝HG，HPPG， ∵EF∥AB， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠F， ∵tan∠CAD2，tanF， ∴2， ∴QG＝2FG， 设PG＝HG＝x，则QH＝PHPGx， ∴QG＝QH+HGx+x， ∴FGQGxx， ∵FP＝FG+PG＝1， ∴xx+x＝1， 解得：x， ∴FG＝FP﹣PG＝1， ∴FQFG， ∵四边形ABEF是平行四边形， ∴EF＝AB， ∴AE+EQ＝AE+EF﹣FQ， 综上所述，t的值为32或； （3）解：如图3，过点E作ES⊥FM交FM延长线于点S，ET⊥AM于点T， ∵FM＝FN， ∴∠EMS＝∠FMN＝∠N， ∵FN∥MA， ∴∠N＝∠EMT， ∴∠EMS＝∠EMT， ∵ES⊥FM，ET⊥AM， ∴ES＝ET， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠EAF， ∴AB＝AC， ∴sin∠BAD，cos∠BAD，tan∠BAD2， ∵EF∥AB， ∴∠EFA＝∠BAD， ∴∠EFA＝∠EAF， ∴AE＝FE＝2， ∴Rt△ESF≌△Rt△ETA（HL）， ∴∠EFM＝∠EAM， ∴M、E、A、F四点共圆， ∴∠EMS＝∠EAF＝∠EFA， ∴∠EMS＝∠BAD， ∵ES⊥FS，AF⊥FS， ∴ES∥AF， ∴∠EFA＝∠SEF， ∴∠SEF＝∠BAD， ∴sin∠SEF＝sin∠BAD，cos∠SEF＝cos∠BAD， 即，， ∴SF＝4，ES＝2， ∵tan∠EMStan∠BAD＝2， ∴MSES＝1， ∴FM＝SF﹣MS＝4﹣1＝3， 即FM的长为3． 2．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝CD＝6，BE⊥AD于点E．线段BE沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动，点M从点D出发沿DA以每秒2个单位的速度向点A运动，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0≤t≤4）． （1）如图1，连接AN、CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形？ （2）设四边形CQMD面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻t，使QC平分∠MQN？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用t的代数式分别表示出线段NC，AP的长度，再利用平行四边形的对边相等列出方程解答即可； （2）利用t的代数式分别表示出线段PQ，AM的长度，再利用四边形CQMD面积S＝S△ADC﹣S△AQM和三角形的面积公式解答即可； （3）过点M作MH⊥AC于点H，求线段QH，MH的长度，再利用相似三角形的判定与性质，列出关于t的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）当t＝2时，四边形ANCP为平行四边形，理由： ∵AD∥BC， ∴∠BCD+∠D＝180°， ∵∠D＝90°， ∴∠BCD＝90°． ∵BE⊥AD， ∴四边形BEDC为矩形， ∴ED＝BC＝6，BE＝CD＝6， ∴AE＝AD﹣DE＝2． 由题意得：BN＝EP＝t，则NC＝BC﹣BN＝6﹣t，AP＝AE+EP＝2+t， 若四边形ANCP为平行四边形， 则NC＝AP， ∴6﹣t＝2+t， ∴t＝2． ∴当t＝2时，四边形ANCP为平行四边形； （2）由题意得：DM＝2t，则AM＝8﹣2t， 由（1）知：AP＝2+t，DC＝6﹣t． ∵线段BE沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动， ∴NP∥CD， ∴NP＝CD＝6． 设PQ＝x，则NQ＝NP﹣PQ＝6﹣x， ∵AD∥BC， ∴△NCQ∽△PAQ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形CQMD面积S＝S△ADC﹣S△AQM， ∴， ∴S与t之间的函数关系式为； （3）如图，作MH⊥AC，垂足为H． 根据题意知：DM＝2t，AM＝8﹣2t． ∵在Rt△ACD中，∠D＝90°， ∴AC＝10． ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴，， 解得，，， ∵QH＝AH﹣AQ， ∴， ∵NP∥CD， ∴∠NQC＝∠ACD＝∠CQM， ∴tan∠ACD＝tan∠CQM， 即， ∴， 解得， ∴当时，QC平分∠MQN． 考点9 最值问题 1．（2026•建邺区一模）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点． ①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①由抛物线的轴对称性质知：点A与点B关于直线x＝﹣1对称，所以连接AC，直线AC与直线x＝﹣1的交点即为所求的点P； ②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）在抛物线上，则： ， 解得． 所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， 那么P点为直线AC与x＝﹣1的交点． 由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3． ∴C（0，﹣3）． 可设其解析式为y＝kx﹣3， 把A（﹣3，0）代入，得 ﹣3k﹣3＝0， 解得k＝﹣1； ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3； 当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2， ∴P（﹣1，﹣2）； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得， 解得． 即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3． 设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∴QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2， ∴当x时，QD有最大值． 2．（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 【分析】（1）利用矩形的性质可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可得矩形EFPQ的面积为，令，利用根的判别式即可得y≤20，故矩形EFPQ的面积最大值为20． 【解答】解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，EQ＝x， ∴EF∥BC，EQ＝DH＝PF＝x， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：； （2）由（1）知：，EQ＝x， ∴矩形EFPQ的面积为：， 令， ∴， ∴， ∴y≤20， ∴x2+2x+5的最大值为20，即矩形EFPQ的面积最大值为20． 1．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　﹣2　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 【分析】（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，即可求解； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，即可求解；②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2，根据函数的增减性即可求解； （3）当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，即可求解；当t≥1时、t≤﹣2时，同理可解． 【解答】解：（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，则t＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 当k＝t时，g为定值2； ②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 若g随x的增大而增大，则k＞t； （3）由题意得：g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx， 函数g的对称轴为直线x＝t，顶点为（t，2t2﹣3）， 当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，同理可得：当x＝1时，g＝t2+2t﹣4， 当t≥1时，x＝1时，ymax＝t2+2t﹣4＝2，则t＝﹣1（不合题意的值已舍去）； 当t≤﹣2时，当x＝﹣2时，ymax＝t2﹣4t﹣7＝2，则t＝2±（舍去）； 当﹣2＜t＜1时，顶点处取得最大值，即2t2﹣3＝2，则t， 综上，t＝﹣1或． 2．（2026•玄武区一模）已知抛物线L：y＝x2﹣6mx（m≠0），直线x＝2m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x＝2m的对称图形，得到的整个图形L′称为抛物线L关于直线x＝2m的“L双抛图形”． （1）如图所示，当m＝1时，抛物线L：y＝x2﹣6mx上的点A，B，C，D，E分别关于直线x＝2m对称的点为A′，B′，C′，D′，E′，如表： A（2，﹣8） B（3，﹣9） C（4，﹣8） D（5，﹣5） E（6，0） … A′（2，﹣8） B′（ 　1　 ，　﹣9　 ） C′（ 　0　 ，　﹣8　 ） D′（ 　﹣1　 ，　﹣5　 ） E′（﹣2，0） … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L′； ③若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　﹣8　 ； ④若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 　1≤x≤2或x≥3　 ； 【探究问题】 （2）①若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 t＝﹣8m2 （用含m的式子表达）； ②若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 【分析】（1）①由题意得：B，C，D和B′，C′，D′关于直线x＝2对称，即可求解； ②根据函数的对称性即可画图； ③通过图可知，当x＝2时，y＝t和L′有3个交点，即可求解； ④观察函数图象即可求解； （2）①由（1）知，L′与L关于直线x＝2m对称，即可求解； ②分两种情况讨论：当m＞0时，当m＜0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，求得x的取值范围． 【解答】解：（1）①由题意得：B，C，D和B′，C′，D′关于直线x＝2对称， 故：C′（0，﹣8），B′（1，﹣9），D′（﹣1，﹣5） 故答案为：1，﹣9，0，﹣8，﹣1，﹣5； ②根据函数的对称性画图如下： ③通过图可知，当x＝2时，y＝t和L′有3个交点， 当x＝2时，y＝x2﹣6x＝﹣8， 即：t＝﹣8， 故答案为：﹣8； ④从图象看，双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，此时x的取值范围为：1≤x≤2或x≥3， 故答案为：1≤x≤2或x≥3； （2）①由（1）知，L′与L关于直线x＝2m对称，且当x＝2m时，y＝4m2﹣12m2＝﹣8m2， ∴t＝﹣8m2时L′与直线y＝t恰好有3个交点， 故答案为：t＝﹣8m2； ②设抛物线L的顶点为点B，点B关于直线x＝2m的对称点为B′， ∵抛物线L：y＝x2﹣6mx， ∴顶点B的横坐标为3m，对称点B′的横坐标为m， ∴当m＞0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：m≤x≤2m或x≥3m， 当m＜0时，若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：3m≤x≤2m或x≥m． 3．（2026•溧水区一模）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标； （3）若抛物线y＝ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0，若0≤m≤2，求n的最小值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）； （2）（1，﹣4）或（1，16）； （3）当m＝2时，n有最小值﹣12． 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设PA与y轴交于点D，利用面积得到D（0，﹣2）或D（0，8），求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：y＝﹣x2+（2+m）x+3+n，仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0，即抛物线y＝﹣x2+（2+m）x+3+n与直线y＝﹣2x仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， 如图，设PA与y轴交于点D， ∴， 又∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴CD＝5， ∴D（0，﹣2）或D（0，8）， 设直线AD：y＝k1x+b1将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AD：y＝﹣2x﹣2， 当x＝1时，y＝﹣2x﹣2＝﹣4， ∴P（1，﹣4）； 由A（﹣1，0）、D（0，8）同理可得AD：y＝8x+8，得到P（1，16）， 综上所述，P点的坐标为（1，﹣4）或（1，16）； （3）由题意得：y＝﹣x2+（2+m）x+3+n， ∵仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0， ∴抛物线y＝﹣x2+（2+m）x+3+n与直线y＝﹣2x仅有一个交点， ﹣x2+（2+m）x+3+n＝﹣2x， 整理得：x2﹣（4+m）x﹣3﹣n＝0， ∴Δ＝（4+m）2﹣4（﹣3﹣n）＝0， ∴（4+m）2+12+4n＝0， ∴， 又∵0≤m≤2，当m＞﹣4时，n随着m的增大而减小， ∴m＝2时，n最小为． ∴当0≤m≤2时，即当m＝2时，n有最小值﹣12． 4．（2026•南京模拟）（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中体积．由此可以得到的因式分解的等式是a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将x3﹣3x﹣2因式分解的结果是　（x+1）2（x﹣2）　 ． 【分析】（1）方法一：阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即a2﹣b2，方法二：拼接成长方形，面积为（a+b）（a﹣b）．等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）方法一：剩余体积为大正方体体积减小正方体体积，即a3﹣b3，方法二：分割为三个长方体，体积和为（a﹣b）（a2+ab+b2），等式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）； （3）因式分解x3﹣3x﹣2 拆项分组：x3﹣x﹣2x﹣2，提取公因式：x（x2﹣1）﹣2（x+1）＝（x+1）（x2﹣x﹣2），继续分解：（x+1）2（x﹣2）． 【解答】解：（1）大正方形边长为a，面积为a2， 小正方形边长为b，面积为b2， 阴影部分面积为：a2﹣b2； 将阴影部分拼接成一个长方形，长为（a+b），宽为（a﹣b）， 面积为（a+b）（a﹣b）， 因此a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． （2）大正方体棱长为a，体积为a3， 小正方体棱长为b，体积为b3， 剩余部分体积为a3﹣b3； 将剩余部分分割为三个部分：一个长为a、宽为a、高为（a﹣b）的长方体，体积为a2（a﹣b）； 一个长为a、宽为b、高为（a﹣b）的长方体，体积为ab（a﹣b）； 一个棱长为b的正方体，体积为b3； 剩余部分体积为： a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， ＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 因此a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 右边展开：（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 ＝a3﹣b3， 与左边相等，等式成立． 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）x3﹣3x﹣2 ＝x3﹣x﹣2x﹣2 ＝x（x2﹣1）﹣2（x+1） ＝x（x﹣1）（x+1）﹣2（x+1） ＝（x+1）[x（x﹣1）﹣2] ＝（x+1）（x2﹣x﹣2） ＝（x+1）（x﹣2）（x+1） ＝（x+1）2（x﹣2）． 故答案为：（x+1）2（x﹣2）． 5．（2026•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 【分析】（1）先求出OA＝6，根据三角形面积公式求出OB＝6，最后根据点B在x轴的负半轴上即可求出点B的坐标； （2）分点P在AO上、点P在AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点O作OM⊥AQ于M，根据三角形面积公式求出BH＝OM，证明△BHQ≌△OMQ，△AOQ≌△BOD，得到OD＝OQ＝3，即可求出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵A（0，6），△AOB的面积等于18，点B在x轴的负半轴上， ∴OA＝6， ∵， 解得：OB＝6． ∴点B的坐标为（﹣6，0）； （2）当点P在AO上时，； 当点P在AO的延长线上时，， 综上所述，； （3）如图2，BH⊥AQ，过点O作OM⊥AQ于M， ∴， ∵S△BHC＝S△OHC， ∴BH＝OM， 在△BHQ和△OMQ中， ， ∴△BHQ≌△OMQ（AAS）， ∴， ∵∠BHQ＝∠AOQ＝90°，∠BQH＝∠AQO， ∴∠QBH＝∠QAO， 在△AOQ和△BOD中， ， ∴△AOQ≌△BOD（ASA）， ∴OD＝OQ＝3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）． 6．（2026•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为a且a≠0． 7．（2026•玄武区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明△ABD∽CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE； （3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2进而即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， 又∵∠B＝∠ACB， ∴△BAD∽△DCE； （2）解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∵△CDE∽△ABD， ∴△ABD∽△CBA， ∴， 即， 解得， ∵DE∥AB， ∴， 即， 解得； （3）解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N， ∵AB＝AC， ∴BM＝CM＝16÷2＝8， 又∵AB＝10， ∴， ∴， ∵∠ADE＝∠B， ∴， ∵∠ANF＝∠AMD＝∠DAF＝90°， ∴∠FAN+∠AFN＝∠FAN+∠MAD＝90°， ∴∠AFN＝∠MAD， ∴△AFN∽△DAM， ∴， 即， ∴点F到AM所在直线的距离为， ∴点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段， 当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF1＝90°， ∵， ∴， 当点D与点C重合时，F点在F1的位置，此时，， 如图，连接F1F2， ∵∠BAF1＝∠CAF2， ∴∠F1AF2＝∠BAC， ∵AF1＝AF2， 即△AF1F2是等腰三角形， ∴△AF1F2∽△ABC， ∴， 即， ∴F1F2＝12， 即点F运动的路径长为12． 8．（2026•玄武区一模）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可求出答案； （2）h1﹣h2＝h； （3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD， ∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC， S△ABMAB×MEAB×h1， S△AMCAC×MFAC×h2， 又∵S△ABCAC×BDAC×h，AB＝AC， ∴AC×hAB×h1AC×h2， ∴h1+h2＝h． （2）解：如图所示： h1﹣h2＝h． （3）解：在yx+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4， 所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）． AB5，AC＝5，所以AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：My＝OB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：MyOB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 综上所述：点M的坐标为M（，）或（，）． 9．（2026•南京一模）【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证； （2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证； （3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可． 【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠DEA＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCA， ∴AB＝BC． （2）证明：连接AA'， ∵旋转， ∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D， ∴， ∴△ADA′∽△CDC′， ∴， ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD＝BD，BF＝A'F， ∴DF是△AA'B的中位线， ∴AA'＝2DF， ∴， ∴2DF•CD＝BD•CC' （3）解：存在，理由如下， 解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN， ∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径， ∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°， ∴∠AGD+∠CGE＝180°， ∵tanB，BE＝3， ∴BD＝5， ∵CE， ∴ENCE， ∴BN＝BE+EN， ∵DE⊥CE， ∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外， 作NF⊥AB， ∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°， ∴△BDE∽△BNF， ∴， ∴NF，即NF＞rn， ∴AB在⊙N外， ∴G点在四边形ADEC内部． 作MH⊥BC， ∵BM，tanB， ∴BH，MH， ∴NH， ∴MN7.4＜AM+CN ∴⊙M和⊙N有交点． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 解法二：相似互补弓形， 分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求． 作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC， ②作AD的中垂线， ③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2， ④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求． 证明：∵， ∴△O2AD∽△OEC， ∴∠AO2D＝∠EOC， ∵∠AGD（360°﹣∠AO2D）＝180°∠AO2D， ∠EGC∠EOC， ∴∠AGD+∠EGC＝180°． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 10．（2026•鼓楼区二模）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　　 ． 【分析】（1）作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求； （2）过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′，证明△ADE∽△A′D′E′，△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到∠BAC＝∠B'A'C'，即可得证； （3）①作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P；过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN；连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ；在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′；作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°，根据题意得到△A′D′B′∽△A′C′Q，进而B′D′C′Q，则求出C′Qmin即可求得B′D′min，当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，过点B′作B′H⊥C′Q于点H，解三角形即可解答． 【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′， ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′， ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即， ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'． （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值， 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min， 故答案为：． 11．（2026•鼓楼区一模）某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，sx，，其中，v0表示开始时的速度，vx表示x秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当s＝13.75时，求滚动时间x． 【分析】（1）首先求出的值，进而分别得出s的值，即可得出答案； （2）利用（1）中所求描出各点即可； （3）利用待定系数法确定函数关系式即可； （4）利用s＝13.75，进而代入（3）中解析式进而得出答案． 【解答】解：（1） 当x＝1时，7，则s＝7×1＝7； 当x＝2时，6，则s＝2×6＝12； 当x＝3时，5，则s＝3×5＝15； 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 7 12 15 … （2）如图所示： ； （3）由图象可得s是x的二次函数，设s＝ax2+bx，把（1，7，（2，12）代入可得： ， 解得：， 故相应的函数解析式为：s＝﹣x2+8x； （4）当s＝13.75时，则﹣x2+8x＝13.75， 解得：x1＝2.5，x2＝5.5， ∵0≤x≤4， ∴x＝2.5． 12．（2026•建邺区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为a且a≠0． 13．（2026•平陆县一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一动点，连接BE，以BE为直角边在其右侧作Rt△EBF，使△EBF∽△ABC，其中AC与BE交于点G，EF与BC交于点H，连接CF． 【猜想证明】 （1）判断CF与BC的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当AB＝CF时，求线段AG的长； （3）当△BEH是以BH为腰的等腰三角形时，请直接写出AE的长． 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，∠ABC＝∠EBF，推得∠ABE＝∠CBF，根据相似三角形的判定和性质得出∠BAE＝∠BCF，结合矩形的性质即可证明； （2）根据相似三角形的性质求出AE＝1，根据矩形的性质得出AD∥BC，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出CG＝4AG，即可求解； （3）根据正切的定义和相似三角形的性质得出tan∠BEF＝2，分两种情况讨论：当BH＝EH时，∠BEH＝∠HBE，根据平行线的性质推得∠AEB＝∠BEF，结合正切的定义即可求解；当BH＝BE时，∠BEH＝∠BHE，过点H作HK⊥AD交于点K，过点B作BL⊥EH交于点L，根据平行线的性质推得∠DEH＝∠BEH，结合正切的定义求得EK＝1，根据勾股定理求得，结合正切的定义求出，根据勾股定理求得，即可求解． 【解答】解：（1）CF⊥BC；证明如下： ∵△EBF∽△ABC， ∴，∠ABC＝∠EBF， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE∽△CBF， ∴∠BAE＝∠BCF， 在矩形ABCD中，∠BAE＝90°， ∴∠BCF＝90°， ∴CF⊥BC． （2）由题意可得CF＝AB＝2． 由（1）得△ABE∽△CBF， ∴， 即 解得AE＝1； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，， ∵AD∥BC， ∴∠EAG＝∠ACB， ∴△AEG∽△CBG， ∴， 即， ∴CG＝4AG， ∵， 故． （3）在Rt△ABC中，， 又∵△EBF∽△ABC， ∴∠BEF＝∠BAC， ∴tan∠BEF＝2． 分两种情况讨论． 情况一：当BH＝EH时，∠BEH＝∠HBE，如图①， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠HBE， ∴∠AEB＝∠BEF， ∴tan∠AEB＝tan∠BEF＝2， 在Rt△ABE中，， 即， 解得AE＝1； 情况二：当BH＝BE时，∠BEH＝∠BHE， 过点H作HK⊥AD交于点K，过点B作BL⊥EH交于点L，如图②， 则四边形ABHK是矩形，BE＝BH，EL＝HL， ∴HK＝AB＝2，AK＝BH， ∵AD∥BC， ∴∠DEH＝∠BHE， 故∠DEH＝∠BEH， ∴tan∠DEH＝tan∠BEH＝2； 在Rt△EHK中，， 即， 解得EK＝1； 在Rt△EHK中，EH， ． ∵∠BHE＝∠BEH， ∴， 即， 解得； 在Rt△BLH中，BH， 即， ∴． 综上所述，AE的长为1或． 14．（2026•抚顺校级模拟）综合探究应用： （1）如图1，在四边形ABCD中，若∠B+∠C＝90°，AB＝6，CD＝8，F，E分别是AD，BC边上的点，，求EF的长； （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC与点D，分别是AB，BC边上的点，BE＝CF，Q，P分别是EC，BF上的点，，求CP的长； （3）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD绕B逆时针旋转得到矩形GBEF，连接DF，GE，M，N分别是DF，EG边上的点，，请直接写出MN的最大值． 【分析】（1）过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G，连接DG，推导出△AEB≌△GEC（ASA），得到AB＝CG＝6，AE＝GE，进而推导出∠DCG＝90°，EF是△ADG的中位线，则，即可解答； （2）连接EP，过点F作FG∥AB交EP的延长线于点G，连接CG，过点G作GH⊥BC于点H，推导出∠ADB＝90°，得到，则∠B＝60°，进而推导出△EBP∽△GFP，得到，证明△PEQ∽△GEC，得到，求出，设BE＝2a，则FG＝6a，在Rt△GHF中，根据三角函数求出，FH＝3a，则CH＝CF+FH＝2a+3a＝5a，在Rt△GHC中，由勾股定理，得CH2+GH2＝GC2，求出a＝1，继而求出PF＝9，则CP＝CF+PF＝2+9＝11，即可解答； （3）连接BF交GE于点O，连接OM，BD，由勾股定理，求出，推导出 OM是△FBD的中位线，进而得到OM﹣ON≤MN≤OM+ON，当M，O，N三点共线且M，N位于点O的两侧时，MN最大，最大值为，即可解答． 【解答】（1）解：如图1，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G，连接DG． ∴∠B＝∠1， ∵， ∴BE＝CE，AF＝DF， ∵∠AEB＝∠GEC， ∴△AEB≌△GEC（ASA）． ∴AB＝CG＝6，AE＝GE． ∵∠B＝∠1，∠B+∠DCB＝90°， ∴∠1+∠DCB＝90°，即∠DCG＝90°， ∴在Rt△DCG中，由勾股定理，得DG10， ∵AE＝GE，AF＝DF， ∴EF是△ADG的中位线， ∴． （2）解：如图2，连接EP，过点F作FG∥AB交EP的延长线于点G，连接CG、FG，过点G作GH⊥BC于点H． ∵CD＝8，BC＝14， ∴BD＝BC﹣CD＝14﹣8＝6． ∵AD⊥BC ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴∠B＝60°， ∵FG∥AB， ∴∠B＝∠GFH＝60°， ∵∠EPB＝∠GPF， ∴△EBP∽△GFP． ∴， ∵， ∴， ∴ ∵∠PEQ＝∠GEC， ∴△PEQ∽△GEC． ∴， ∵ ∴ ∵， ∴设BE＝2a，则FG＝6a． ∵BE＝CF， ∴CF＝2a． ∵GH⊥BC， ∴∠GHC＝90° 在Rt△GHF中，∠GHC＝90°，∠GFH＝60° ∴，， ∴，FH＝3a， ∴CH＝CF+FH＝2a+3a＝5a． 在Rt△GHC中，由勾股定理，得CH2+GH2＝GC2， ∴， 解得a＝1， ∴CF＝2a＝2， ∴BF＝BC﹣CF＝14﹣2＝12， ∵， ∴， ∴PF＝9， ∴CP＝CF+PF＝2+9＝11． （3）解：如图3，连接BF交GE于点O，连接OM，BD． 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A＝90°， ∴， 由旋转的性质可知，GE＝BF＝BD＝10，OB＝OF，． ∵ ∴M是DF的中点． ∴OM是△FBD的中位线． ∴， ∵，GE＝10， ∴， ∴， ∴OM﹣ON≤MN≤OM+ON， 即， ∴如图4，当M，O，N三点共线且M，N位于点O的两侧时，MN最大，最大值为． 15．（2026•建邺区校级模拟）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A′B′C′．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A′B′C′，探究了下列问题，请你帮他解答． （1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A′落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA′P． ①若AA′⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案） ②若▱AQA′P的面积为，求A′C的长． （2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置． 【分析】（1）①由题易得三角形ABC的高为1，根据题意可知AA'＝h＝1，即可得解； ②易证△PA'C∽△QBA'，设相似比为，进而可得S△A'PC，S△BQA'，再根据S△A'PC+S△BQA'＝S△ABC﹣S▱AQA′P，建立方程求出k值，即可得解； （2）OD＝m，AD＝1，利用比例线段分别表示出SAMH、S△BNE、S△FGC，进而可得重叠部分面积，利用二次函数最值求解即可． 【解答】解：（1）①∵SBC•h＝1， ∴h＝1， 当AA'⊥BC时，AA'＝h＝1， ∴AO； ②由题可知AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'， ∴△PA'C∽△QBA'， ∴设， ∴， ∵▱AQA′P的面积为， ∴S△AA'P， ∵， ∴S△A'PC， 同理可得S△BQA'， ∵S△A'PC+S△BQA'＝S△ABC﹣S▱AQA′P＝1， ∴， 解得k＝3±2， ∵， ∴， ∴A'C； （2）如图，设AD与B'C'交于点L， 设OD＝m，AD＝1，则m， ∴OD＝OL＝m， ∴AL＝AD﹣DL＝1﹣2m， ∵MH∥BC， ∴△AMH∽△ABC， ∴（）2＝（）2＝（）2， ∵S△ABC＝1， ∴S△AMH＝（1﹣2m）2， 连接EM，FH， ∵BB'∥BC， ∴， ∵D是BC中点， ∴BD＝CD， ∴ML＝LH， 由对称可知ML＝DF＝LH＝DE， ∴四边形MEDL是平行四边形， ∴ME∥AD， ∴， ∵BC＝2BD， ∴， ∴（）2＝m2， ∴S△BNE＝m2， 同理可得S△FGC＝S△BNE＝m2， ∴S“平行六边形”EFGHMN＝S△ABC﹣S△AMH﹣S△BNE﹣S△FGC ＝1﹣（1﹣2m）2﹣m2﹣m2 ＝﹣6m2+4m ＝﹣6（m）2， 故当m时，“平行六边形”EFGHMN面积的最大值为， 此时，则点O为△ABC的重心． 16．（2026•龙泉驿区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）． （1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围； （3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示） 【分析】（1）将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）求解； （2）首先求出抛物线经过点（0，3）和（4，3），对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3），然后分两种情况讨论求解即可； （3）设，，将直线y＝kx+3﹣4a和抛物线联立得到ax2﹣（4a+k）x+4a＝0，利用韦达定理得到，，然后将C（2，﹣4a+3）和代入直线y1＝k1x+b1得到k1＝a（x1﹣2），同理可得，k2＝a（x2﹣2），然后表示出k1+k2和k1•k2，进而求解即可． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3的图象过（1，0）， ∴0＝a﹣4a+3， ∴a＝1． ∴y＝x2﹣4x+3； （2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+3＝ax（x﹣4）+3， ∴令x（x﹣4）＝0，即x＝0或x＝4时，则y＝3， ∴抛物线过点（0，3）和（4，3）． 又∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3 ∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3） ∵抛物线与线段MN有且只有一个公共点， ∴可分两种情形分析． ①当a＞0时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段MN上时，符合条件， 则﹣4a+3＝1解得； 当抛物线过点N时，MN与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要x＝3时，y＜1，即符合条件，如图所示， 当x＝3时，y＝9a﹣12a+3＜1，解得； ②当a＜0时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点N（3，1）时，1＝a×32﹣4a×3+3 解得 ∴当时，抛物线在x＝3处的函数值小于1，在x＝﹣1处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，； 当a＜0，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要x＝﹣1时，y≤1，即符合条件，如图所示， 当x＝﹣1时，y＝a+4a+3≤1，解得； 综上，或或； （3）∵直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点， 设， ∴联立得，， 整理得，ax2﹣（4a+k）x+4a＝0， ∴，， ∵抛物线顶点C（2，﹣4a+3），直线CA的解析式为y1＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴k1＝a（x1﹣2）， 同理可得，k2＝a（x2﹣2）， ∴k1+k2＝a（x1﹣2）+a（x2﹣2） ＝a（x1+x2）﹣4a ＝k； ∴k1•k2＝a（x1﹣2）•a（x2﹣2） ＝a2（x1﹣2）（x2﹣2） ＝a2[x1x2﹣2（x1+x2）+4] ＝﹣2ak， ∴ ∴k1k2＝﹣2a（k1+k2）． 17．（2026•连云港模拟）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB＝∠BPH． （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论． （3）四边形EFGP的面积为S，AP＝x． ①BE＝　　 （用含x的代数式表示）； ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由正方形与折叠可得∠APB+∠ABP＝90°，∠BPH+∠EPB＝90°，∠EBP＝∠EPB，即可证明∠APB＝∠BPH； （2）过B作BQ⊥PH于点Q，可证明AP＝PQ，QH＝CH，即可证明△PDH的周长不发生变化； （3）①过F作FM⊥AB于点M，设EF与BP交于点O，可证明ME＝AP＝x，在Rt△APE中，可求得； ②由①可得，由折叠可得S四边形EFGP＝S四边形EBCF，即可求得四边形EFGP的面积S关于x的二次函数，由此根据二次函数的性质可求得最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠APB+∠ABP＝90°， 由折叠可得，∠EPH＝∠ABC＝90°，EP＝EB， ∴∠BPH+∠EPB＝∠EPH＝90°，∠EBP＝∠EPB， ∴∠APB＝∠BPH； （2）解：△PDH的周长不发生变化． 证明：如图，过B作BQ⊥PH于点Q，则∠BQP＝∠BQH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠BQP＝∠BQH＝∠A＝∠C， 由（1）可知，∠APB＝∠BPH， 在△ABP和△QBP中， ， ∴△ABP≌△QBP（AAS）， ∴AP＝PQ，AB＝QB， ∴BQ＝BC， 在Rt△BQH和Rt△BCH中， ， ∴Rt△BQH≌Rt△BCH（HL）， ∴QH＝CH， ∴△PDH的周长＝PD+DH+PH ＝PD+DH+PQ+QH ＝（PD+PQ）+（DH+QH） ＝（PD+AP）+（DH+CH） ＝AD+DC， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形， ∴AD＝DC＝4， ∴△PDH的周长＝AD+DC＝8，即△PDH的周长不发生变化． （3）解：①如图，过F作FM⊥AB于点M，设EF与BP交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MBC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴四边形MBCF是矩形， ∴FM＝BC＝AB，CF＝BM， ∵EF为折痕， ∴EF⊥BP， ∴∠EOB＝90°， ∴∠ABP+∠BEF＝90°， ∵FM⊥AB， ∴∠FME＝90°， ∴∠EFM+∠BEF＝90°， ∴∠ABP＝∠EFM， 在△EMF和△PAB中， ， ∴△EMF≌△PAB（ASA）， ∴ME＝AP＝x， 由折叠可得，EP＝EB， 在Rt△APE中，AP2+AE2＝PE2，即AP2+（4﹣BE）2＝BE2， ∴x2+（4﹣BE）2＝BE2， ∴， 故答案为：； ②由①可知，， 由折叠可得，S四边形EFGP＝S四边形EBCF， ∴， ∵ ∴当x＝2时，S的最小值为6． 18．（2026•响水县模拟）【情境】 图①的正方形ABCD通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形ABCD沿虚线EF对折，再沿AF，DF裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： （1）求线段GF的长； （2）求点M到直线BC的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． （3）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形ABCD的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线PQ的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出BQ的长． 【分析】（1）根据折叠的性质，得到△AFM≌△FAB，进而得到∠AFG＝∠FAG，得到AG＝FG，设FG＝x，在Rt△BFG中，利用勾股定理进行求解即可； （2）作MH⊥BC，证明△FBG∽△FHM，进行求解即可； （3）取BC的中点P，在AB或CD上确定中点Q的位置，进行裁剪即可． 【解答】解：（1）由题意，可知：△AFM≌△FAB，， ∴∠AFG＝∠FAG，FM＝AB＝8， ∴AG＝FG， 设AG＝FG＝x，则BG＝8﹣x， 在Rt△BFG中，由勾股定理，得：x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， ∴FG＝5； （2）如图④，作MH⊥BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC， ∴MH∥AB， ∴△FBG∽△FHM， ∴， 由（1）可知：AG＝FG＝5，BG＝AB﹣AG＝3，FM＝8， ∴， 解得：， ∴点M到直线BC的距离为； （3）裁剪线PQ的位置及完成拼接的大致图形，如图即为所求； 或 BQ的长为4或4．理由如下： 由作图可知：或． 19．（2025•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，D为直线AB上一点，E为直线BC上异于点C的一点，连接DC，DE，使DC＝DE． （1）如图1，若点D在线段AB上，BC＝DC，求证△DBE∽△CDA； （2）如图2，若点D在线段AB上，∠ABC＝45°，AD＝1，求BE的长； （3）如图3，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE交CA于点F，∠ABC＝60°，AD＝CE，求的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得∠E＝∠A，∠BDE＝∠ACD，即可求证； （2）过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G，可求得△DGE≌△CAD（AAS），进而求得BG＝DA＝1，根据解直角三角形得出BE的长； （3）过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出△MDF≌△CEF，设AF＝a，AD＝AM＝MD＝CE＝x，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得BD＝6a，BN＝3a，EN＝a，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得DF，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DC＝DE，DC＝BC， ∴∠ABC＝∠ACB，∠E＝∠DCE，∠ABC＝∠CDB，即∠ABC＝∠ACB＝∠CDB， ∵∠ABC＝∠E+∠BDE，∠ACB＝∠DCE+∠ACD，∠BDC＝∠A+∠ACD， ∴∠E＝∠A，∠BDE＝∠ACD， ∴△DBE∽△CDA； （2）解：如图过点E作AB的垂线，交AB延长线于点G， ∵AB＝AC，∠ABC＝45°， ∴∠A＝90°， 由（1）可知∠BDE＝∠ACD， ∵DE＝DC，∠EGD＝∠A＝90°， ∴△DGE≌△CAD（AAS）， ∴DG＝CA＝AB， ∴BG＝DA＝EG＝1， ∵∠EGD＝90°，∠EBG＝45°， ∴； （3）解：如图过点D作BC的平行线，交CA延长线于点M，过点D作BC的垂线，交BC于点N， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵BC∥MD，AD＝CE， ∴∠MDA＝∠ABC＝60°，∠M＝∠ACB＝60°， ∴△ADM为等边三角形，即AD＝AM＝MD＝CE， 又∵BC∥MD， ∴∠M＝∠FCE，∠MDF＝∠CEF， ∴△MDF≌△CEF（ASA）， ∴设AF＝a，AD＝AM＝MD＝CE＝x，则MF＝CF＝a+x，AB＝BC＝AC＝2a+x，BD＝2a+2x， 又∵BC＝BE+EC，即2a+x＝BE+x， ∴BE＝2a， ∵DN⊥BC，∠ABC＝60°， ∴， ∴CN＝EN＝BN﹣BE＝a+x﹣2a＝x﹣a， ∵DN⊥BC，DE＝DC， ∴EC＝x＝2CN＝2（x﹣a）， ∴x＝2a，即BD＝6a，BN＝3a，EN＝a， ∴， 在Rt△DEN中，， ∴， ∴． 20．（2025•南京模拟）【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 AD⊥BE ，数量关系是 AD＝BE ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝8，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 【分析】（1）由 证明△ACD≌△BCE，即可得出 AD⊥BE，AD＝BE； （2）由已知得出△ADC∽△BEC，即可得出BE＝mAD，AD⊥BE； （3）①由已知得出四边形CDFE是正方形，由勾股定理即可得 出（0＜x≤8），数形结合即可求解； ②过D作DH⊥AC于H，则△ADH是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， ∵， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠ABC＝45°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°，即AD⊥BE， 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE； 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵， ∴△ADC∽△BEC， ∴，∠CBE＝∠A，则BE＝mAD， 又∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O，由（1）知，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB＝8， ∴BD＝8x，且AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴yx2﹣8x+64， ∴y与x的函数表达式为（0＜x≤8）， 由y， ∴其最小值为32； ②过D作DH⊥AC于H，则△ADH是等腰直角三角形， ∴AH＝DHx， ∴CH＝8x， 连接OB，由直角三角形性质得OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴∠CBF＝90° ∵BC＝8，BF＝2， ∴CF2， 则CDCF， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴， 解得x＝5或x＝3.， ∴AD＝5或3． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押12 江苏南京中考数学压轴题（解答题） 考点1 新定义问题 1．（2026•南京一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． （1）点A（﹣4，3）　 　 （填“是”或“否”）“完美点”； （2）若点B（5，a），OB＝a+1，求a的值并判断点B是否是为“完美点”； （3）若n为整数，点C（n2﹣1，2n），求证：点C为“完美点”． 2．（2026•南京一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1，sinα． 一般地，当a、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45sin30°． 任务： （1）计算：sin75°＝　 　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22，求BC的长； （3）已知0＜β＜α＜45°，且sin（α+β），求sin2α的值． 考点2 二次函数的图象 1．（2026•南京一模）某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 　； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 2．（2026•玄武区一模）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　 　 ，n＝　 　 ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　 　 ． （3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　 　；②　 　． （4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是　 　． 考点3 几何综合题 1．（2026•鼓楼区校级模拟）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是　 　米； ②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），求小丽身体被雨水淋湿的部分PK的长度．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出EG的最小值为　 　 ． 2．（2026•建邺区一模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE； （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD•CG＝EG•FC； ②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值． 考点4 代数几何综合题 1．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，BC的坐标分别为B（4，0），C（0，6），△ABC的面积为30． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线AB向右运动，点P的运动时间为t，连接PC，△POC的面积为S，请用含t的式子表示△POC的面积S．并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点A作AD⊥BC于D，AD交OC于E，连接PE，当△PCE的面积等于△AOE面积的时，求t的值． 2．（2026•鼓楼区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）①AB的长为 　 　 ； ②PN的长用含t的代数式表示为 　 　． （2）当▱PQMN为矩形时，求t的值； （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式． 考点5 相似三角形综合题 1．（2026•南京模拟）已知△ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB的角平分线，且CD、BF、AE交于一点G，则称点G为该三角形的“金中点”． （1）求证：； （2）当∠BAC＝45°，求∠ABC度数； （3）若△CEG为等腰三角形时，求的比值k为多少？请在下面直接填写结果： ①当EC＝EG时，k＝　 　 ； ②当CE＝CG时，k＝　 　 ； ③当GC＝GE时，则k的一位小数的近似值≈　 　 ． 2．（2026•建邺区一模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC＝∠DAE； （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD•CG＝EG•FC； ②若∠BAC＝∠ADB＝90°，求的值． 考点6 图形的几何变换 1．（2026•溧水区一模）综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，再展开，折痕与AB交于点F． 第二步：如图（2），在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中EF和MH的位置关系． 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了AB＝4dm，BC＝8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△EGM为直角三角形时，直接写出AE的长． 2．（2025•浦口区校级模拟）用一张矩形纸片剪一个等边三角形． 第一步，如图（1），对折矩形纸片ABCD（AB＞BC），使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平； 第二步，如图（2），再一次折叠纸片，使点D落在EF上的M处，并使折痕经过点A，得到折痕AG； 第三步，如图（3），沿GM折叠纸片，得到折痕GH． 第四步，沿AG，GM裁剪矩形纸片，得到△AGH． （1）说明△AGH是等边三角形． （2）已知矩形纸片一边长为3，另一边长为a．对于每一个确定的a的值，都能剪出最大的等边三角形．画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． （3）如图（4），用一张边长为4的正方形纸片ABCD剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶点都在正方形的边上．设这个等边三角形的面积为S，直接写出S的取值范围． 考点7 存在性问题 1．（2026•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA＝1，OBOA，直线OC：yx交直线AB于点C． （1）求直线AB的解析式及C点的坐标； （2）如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ，当S△PCB时，求PQ+QM+MA最小值； （3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在第一象限内是否存在H点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026•南京一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+n（其中m、n为常数）． （1）若，判断二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象与x轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点A（m﹣3，y1），B（m+2，y2）都在二次函数y＝x2﹣2mx+n的图象上，试比较y1，y2的大小； （3）若该函数图象经过点A（3，0）和B（0，﹣4），若点P在x轴上，过P作x轴的垂线l，l交直线AB于点H，以PH为斜边作等腰直角△PHQ．当点Q落在抛物线上时，求此时Q的横坐标． 考点8 动点问题 1．（2026•玄武区一模）如图1，AB＝AC，AD＝1，BD＝CD＝2，点E在线段CA的延长线上，点F在线段DA延长线上，且EF∥AB． （1）当AB平分∠EBD时，证明：△AEB∽△BEC； （2）如图2，若，点P为AF中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿折线A﹣E﹣F运动至点F停止，作点A关于直线PQ的对称点K，t秒后P、K、B三点共线，求t的值； （3）如图3，过点F作FM⊥FD，FN∥MA且FN＝FM，若，且点E在直线MN上，求FM的长． 2．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝CD＝6，BE⊥AD于点E．线段BE沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动，点M从点D出发沿DA以每秒2个单位的速度向点A运动，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0≤t≤4）． （1）如图1，连接AN、CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形？ （2）设四边形CQMD面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻t，使QC平分∠MQN？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点9 最值问题 1．（2026•建邺区一模）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点． ①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 2．（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 1．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　 　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 2．（2026•玄武区一模）已知抛物线L：y＝x2﹣6mx（m≠0），直线x＝2m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x＝2m的对称图形，得到的整个图形L′称为抛物线L关于直线x＝2m的“L双抛图形”． （1）如图所示，当m＝1时，抛物线L：y＝x2﹣6mx上的点A，B，C，D，E分别关于直线x＝2m对称的点为A′，B′，C′，D′，E′，如表： A（2，﹣8） B（3，﹣9） C（4，﹣8） D（5，﹣5） E（6，0） … A′（2，﹣8） B′（　 ，　 ） C′（ 　 ，　 ） D′（ 　 ，　 ） E′（﹣2，0） … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L′； ③若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　 　 ； ④若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 　 　 ； 【探究问题】 （2）①若双抛图形L′与直线y＝t恰好有三个交点，则t的值为 　 　（用含m的式子表达）； ②若双抛图形L′的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 3．（2026•溧水区一模）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标； （3）若抛物线y＝ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0，若0≤m≤2，求n的最小值． 4．（2026•南京模拟）（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是　 　　 　 ． （2）类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中体积．由此可以得到的因式分解的等式是　 　　 　　 　 ，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将x3﹣3x﹣2因式分解的结果是　 　　 　　 　 ． 5．（2026•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 6．（2026•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 7．（2026•玄武区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 8．（2026•玄武区一模）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 9．（2026•南京一模）【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 10．（2026•鼓楼区二模）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　　 ． 11．（2026•鼓楼区一模）某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，sx，，其中，v0表示开始时的速度，vx表示x秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当s＝13.75时，求滚动时间x． 12．（2026•建邺区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 13．（2026•平陆县一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一动点，连接BE，以BE为直角边在其右侧作Rt△EBF，使△EBF∽△ABC，其中AC与BE交于点G，EF与BC交于点H，连接CF． 【猜想证明】 （1）判断CF与BC的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当AB＝CF时，求线段AG的长； （3）当△BEH是以BH为腰的等腰三角形时，请直接写出AE的长． 14．（2026•抚顺校级模拟）综合探究应用： （1）如图1，在四边形ABCD中，若∠B+∠C＝90°，AB＝6，CD＝8，F，E分别是AD，BC边上的点，，求EF的长； （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC与点D，分别是AB，BC边上的点，BE＝CF，Q，P分别是EC，BF上的点，，求CP的长； （3）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD绕B逆时针旋转得到矩形GBEF，连接DF，GE，M，N分别是DF，EG边上的点，，请直接写出MN的最大值． 15．（2026•建邺区校级模拟）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A′B′C′．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A′B′C′，探究了下列问题，请你帮他解答． （1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A′落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA′P． ①若AA′⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案） ②若▱AQA′P的面积为，求A′C的长． （2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置． 16．（2026•龙泉驿区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）． （1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式； （2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围； （3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示） 17．（2026•连云港模拟）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB＝∠BPH． （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论． （3）四边形EFGP的面积为S，AP＝x． ①BE＝　 　（用含x的代数式表示）； ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 18．（2026•响水县模拟）【情境】 图①的正方形ABCD通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形ABCD沿虚线EF对折，再沿AF，DF裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： （1）求线段GF的长； （2）求点M到直线BC的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． （3）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形ABCD的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线PQ的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出BQ的长． 19．（2025•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，D为直线AB上一点，E为直线BC上异于点C的一点，连接DC，DE，使DC＝DE． （1）如图1，若点D在线段AB上，BC＝DC，求证△DBE∽△CDA； （2）如图2，若点D在线段AB上，∠ABC＝45°，AD＝1，求BE的长； （3）如图3，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE交CA于点F，∠ABC＝60°，AD＝CE，求的值． 20．（2025•南京模拟）【综合与实践】 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　 ，数量关系是　 　 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝8，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $