北京市备考卷（2-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年北京市中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共8小题） 1．下列传统图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（　　） A．a﹣b＞0 B．ab＞0 C．b＞﹣a D．a＜2b 3．若一个多边形的每个内角都是135°，则该多边形为（　　） A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形 4．将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C．且k≠0 D．k≥3 6．在2026年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《惊蛰无声》上映前三日，总票房便达到3.15亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（　　） A．3.15×108元 B．1.05×108元 C．31.5×107元 D．0.15×109元 7．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图）的卡片，要求学生们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小海和小华先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（　　） A．小海作图判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的依据是HL B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 C．小华作图判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的依据是SAS D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是反比例图象上两个动点，MA⊥x轴于点A，NB⊥y轴于点B，直线MN与x轴、y轴分别交于点F和点E．给出下面四个结论：①ME＝NF；②∠BMA＝∠ANB；③△OEF可能是等腰直角三角形；④△MAN与△MBN的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．③④ B．①② C．②③ D．①③④ 二．填空题（共8小题） 9．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 10．分解因式：4m2﹣16＝　 　 ． 11．方程的解是　 　 ． 12．体育委员从全年级1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x≤180 频数 4 21 13 8 4 根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有　 　 人． 13．当a＝　 　 ，b＝　 　 时，可以说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题（写出一组a，b的值即可）． 14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠BCD＝62°，则∠AOC的度数为 　 　 °． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　 　 ． 16．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）： B1 B2 B3 A1（7t） 1 2 6 A2（12t） 0 4 2 A3（11t） 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 　 　 吨到B2； （2）考虑各种方案，运费最低为 　 　 元． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知2x2﹣5x+3＝0，求（x﹣2）2+x（x﹣1）+1的值． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AC平分∠EAF，AC＝6，．求四边形AFCE的面积． 21．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，3）． （1）求函数y＝kx+b的解析式； （2）当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx的值，直接写出m的取值范围． 22．某商业体内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向、东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、2a米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． （1）①求行车道的宽度；②直接写出a的值是　 　 ；车位数量为　 　 个； （2）在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现：按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 23．某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．如表记录了5名同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 D 14 6 58 E 10 10 30 （1）答对一题得 　 　 分，答错一题扣 　 　 分． （2）参赛者F得分72分，他答对了几道题？ （3）参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 24．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O外一点，DA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上一点，DO⊥AC于点G，DO与⊙O相交于点E，连接BE交AC于点F． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若BF＝3，EF＝1，求CF的长． 25．某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：kg）与弹簧伸长长度l（单位：cm）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度lA和lB，数据如下： 所挂物体质量m（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度lA（cm） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 B型弹簧伸长长度lB（cm） 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64 通过分析数据发现，可以用函数刻画lA与m，lB与m之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有lA的函数图象，请补全lB的函数图象； （2）lA与m的关系式为 　 　 （0≤m≤10）； （3）重新取A、B弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为10cm，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为 　 　 kg； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为 　 　 kg． 26．已知抛物线y＝ax2+4x+c经过点A（﹣1，0），B（0，5），点P在抛物线上，横坐标为t，点P与点A不重合． （1）求此抛物线的解析式； （2）将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，过点Q（0，﹣t2+9）作y轴垂线l，若图象G的最高点与最低点分别位于直线l的上方和下方，求t的取值范围． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F． （1）①依题意补全图形； ②求证：∠B＝∠AFE； （2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO'，延长PO'至点Q，使得PQ＝2OP，若点M为线段PQ上一点（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”． 已知点A（0，1）、点B（0，2）． （1）M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，是线段AB的“二倍点”的是 　 　 ； （2）直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； （3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于C、D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值． 【三轮复习】2026年北京市中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B A A B D D 一．选择题（共8小题） 1．【答案】D 【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．【答案】D 【解答】解：根据数轴，a＜0，b＞0． ∴a﹣b＜0，ab＜0，故A、B选项错误． ∵﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3． ∴3＜﹣a＜4． ∴b＜﹣a． 故C错误． ∵﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3． ∴a＜2b，故D正确 故选：D． 3．【答案】B 【解答】解；设这个多边形的边数为n， 则有180•（n﹣2）＝135n， 解得：n＝8， ∴该多边形为八边形， 故选：B． 4．【答案】A 【解答】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是． 故选：A． 5．【答案】A 【解答】解：当k＝0时，原方程为：﹣2x+3＝0， 解得x，满足题意； 当k≠0时， ∵关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3 ＝4﹣12k≥0， 解得：k且k≠0， 综上，k的取值范围：k， 故选：A． 6．【答案】B 【解答】解：设在上映前三日平均每天的票房为x， 根据题意，得3x＝3.15， 解得x＝1.05， 1.05亿＝1.05×108， 故选：B． 7．【答案】D 【解答】解：由图示知，小海第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL；小华第一步为截取线段B′A′＝BA，第二步为作线段B′C′＝BC，判定方法为SAS． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 8．【答案】D 【解答】解：设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵MA⊥x轴于点A，NB⊥y轴于点B，AM与BN交于点G， ∴BG＝a，，BN＝b，， ∴GN＝BN﹣BG＝b﹣a，， ∴，， ∴， ∵MA⊥x轴于点A，NB⊥y轴于点B，AM与BN交于点G， ∴∠GBO＝∠GBO＝∠AOB＝90°， ∴四边形OBGA是矩形， ∴∠BGA＝90°， ∴∠MGB＝∠NGA＝90°， ∵， ∴无法判定， ∴△AFG∽△BEG不一定成立， ∴∠BMA≠∠ANB，故结论②不正确； ∵∠MGB＝∠NGA＝90°， ∴，， ∵， ∴GG•GM＝GA•NG， ∴S△MGB＝S△AGN， ∴S△MGB+S△MGN＝S△AGN+S△MGN， 即S△MBN＝S△MAN，故结论④正确； 连接AB，如图所示： ∵四边形OBGA是矩形， ∴∠BGA＝∠MGN＝90°， ∵， 在△ABG和△GNM中， ，∠BGA＝∠MGN＝90°， ∴△GAB∽△GMN， ∴∠GAB＝∠GMN， ∴MN∥AB， 即FE∥AB， 由条件可知AM∥BE，BN∥AF， ∴四边形AMEB和四边形BNFA都是平行四边形， ∴EM＝AB，NF＝AB， ∴ME＝NF，故结论①正确， ∵点M的坐标为，点N的坐标为， ∴，， 当a＝b时，∴OM＝ON， ∴△OEF可能是等腰直角三角形，故结论③正确； 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．【答案】x≥3 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0， 解得：x≥3， ∴x的取值范围是：x≥3． 故答案为：x≥3． 10．【答案】4（m+2）（m﹣2）． 【解答】解：原式＝4（m2﹣4）＝4（m+2）（m﹣2）． 故答案为：4（m+2）（m﹣2）． 11．【答案】x＝3． 【解答】解：原方程去分母得：x+1＝4， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝3， 故答案为：x＝3． 12．【答案】680． 【解答】解：估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有： 1000680（人）， 故答案为：680． 13．【答案】1，﹣2（答案不唯一）． 【解答】解：当a＝1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2， 说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题， 故答案为：1，﹣2（答案不唯一）． 14．【答案】56． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴，∠CBD＝90°， ∴∠BCD+∠BDC＝90°， ∵∠BCD＝62°， ∴∠BDC＝28°， ∴∠AOC＝2∠BDC＝56°， 故答案为：56． 15．【答案】． 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ， 在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝5， ∴DE＝AD﹣AE， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴DH＝DE•sin60°． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为． 故答案为：． 16．【答案】2；40． 【解答】解：（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运10﹣（1+7）＝2吨到B2， 故答案为：2； （2）解：运费如下： B1 B2 B3 A1（7t） 1 2 6 A2（12t） 0 4 2 A3（11t） 3 1 5 运输方案一： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 10 2 A3（11t） 3 8 运费为：14+4+3+40＝61； 运输方案二： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 2 10 A3（11t） 3 8 运费为：7+8+20+9+8＝52； 运输方案三： B1 B2 B3 A1（7t） 7 A2（12t） 3 0 9 A3（11t） 0 10 1 运费为：7+18+10+5＝40． 故答案为：40． 三．解答题（共12小题） 17．【答案】﹣3． 【解答】解：原式＝﹣1﹣2+5﹣5＝﹣3． 18．【答案】﹣1.5＜x≤3． 【解答】解：解不等式2（1﹣x）＜2+3得，x＞﹣1.5， 解不等式得，x≤3， 所以不等式组的解集为﹣1.5＜x≤3． 19．【答案】2， 【解答】解：原式＝x2﹣4x+4+x2﹣x+1 ＝2x2﹣5x+5， 由题意可得：2x2﹣5x＝﹣3， ∴原式＝2x2﹣5x+5＝﹣3+5＝2． 20．【答案】（1）见解析过程； （2）24． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， AD＝BC．AE∥FC， ∵ED＝BF， ∴AD﹣ED＝BC﹣BF， ∴AE＝FC， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵AE∥FC， ∴∠EAC＝∠ACF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∴∠ACF＝∠FAC， ∴AF＝FC， ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴平行四边形AFCE是菱形， ∴AOAC＝3，AC⊥EF， 在Rt△AOE中，AO＝3，tan∠DAC， ∴EO＝4， ∴S△AEOAO•EO＝6， S菱形＝4S△AEO＝24． 21．【答案】（1）y＝2x+1． （2）﹣1＜m≤2且m≠0． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到， ∴k＝2． ∵一次函数y＝2x+b的图象过点（1，3）， ∴3＝2×1+b． ∴b＝1． ∴这个一次函数的表达式为y＝2x+1． （2）当x＝1时，y＝﹣2x＝﹣2， 把（1，﹣2）代入y＝mx﹣1，求得m＝﹣1， ∵当x≥1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值既小于函数y＝2x+1的值，也大于函数y＝﹣2x的值， ∴﹣1＜m≤2且m≠0． 22．【答案】（1）①5米； ②5；80； （2）980元． 【解答】解：（1）①设行车道的宽度为b米， 由题意得：30b+30b+2b（60﹣2b）＝60×30﹣1000， 180b﹣4b2﹣800＝0， b2﹣45b+200＝0， （b﹣5）（b﹣40）＝0， 解得b＝5或b＝40＞30（不符合题意，舍去）， 答：行车道的宽度为5米． ②由题意得：a+2a+a+2×5＝30， 解得a＝5， 车位数量为：（60﹣5﹣5）÷2.5×4＝80（个）， 故答案为：5；80； （2）由题意得：ω＝（12+x）（80﹣5x） ＝﹣5x2+20x+960 ＝﹣5（x﹣2）2+980， 由二次函数的性质可知，当x＝2时，w取得最大值，最大值为980， 答：停车场当天收费总金额的最大值为980元． 23．【答案】（1）5，2； （2）16道； （3）参赛者G不可能得80分，理由见解答． 【解答】解：（1）根据题意得：答对一题得100÷20＝5（分）， 答错一题扣5×19﹣93＝2（分）． 故答案为：5，2； （2）设参赛者F答对了x道题，则答错（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣x）＝72， 解得：x＝16． 答：参赛者F答对了16道题； （3）参赛者G不可能得80分，理由如下： 假设参赛者G能得80分，设参赛者G答对y道题，则答错（20﹣y）道题， 根据题意得：5y﹣2（20﹣y）＝80， 解得：y， 又∵答对题目数需为整数，不是整数， ∴假设不成立， ∴参赛者G不可能得80分． 24．【答案】（1）连接OC， ∵OC＝OA，DO⊥AC， ∴OD垂直平分AC， ∴AD＝CD， 在△DOC与△DOA中， ， ∴△DOC≌△DOA（SSS）， ∴∠DCO＝∠DAO， ∵DA与⊙O相切于点A， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切； （2）． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA，DO⊥AC， ∴OD垂直平分AC， ∴AD＝CD， 在△DOC与△DOA中， ， ∴△DOC≌△DOA（SSS）， ∴∠DCO＝∠DAO， ∵DA与⊙O相切于点A， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切； （2）解：设AC，OD交于H，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OD垂直平分AC， ∴，EH⊥AC， ∴∠ABE＝∠EAF， ∴△AEF∽△BEA， ∴， ∵BF＝3，EF＝1， ∴BE＝4， ∴， ∴AE＝2（负值舍去）， ∴AF， ∵∠AEF＝∠AHE＝90°，∠EAH＝∠FAE， ∴△AEH∽△AFE， ∴， ∴， ∴AH， ∴FH＝AF﹣AH，CH＝AH， ∴CF＝CH﹣FH． 25．【答案】（1）图见解答； （2）lA＝2.5m； （3）①4； ②． 【解答】解：（1）lB的函数图象如图； （2）根据图象可得lA与m是正比例函数， 设lA与m的关系式为lA＝km，将（2，5）代入lA＝km， 得5＝2k， 解得k＝2.5， ∴lA＝2.5m， 故答案为：lA＝2.5m； （3）①当lA＝2.5m＝10时，m＝4，即这些重物的质量为4kg， 故答案为：4； ②根据图象可得当0＜x≤6，lB与m是正比例函数， 设lB与m的关系式为lB＝km，将（5，5）代入lB＝km， 得5＝5k， 解得k＝1， ∴lB＝m； 设需要挪动的物体质量约为xkg， 则2.5（4﹣x）＝x， 解得， 故答案为：． 26．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5； （2）1＜t＜3或t＜﹣2． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4x+c经过点A（﹣1，0），B（0，5）， ∴， ∴， ∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴顶点为（2，9）， ∴P（t，﹣t2+4t+5）， 当﹣t2+9＝0时，t＝±3， 当﹣t2+9＝﹣t2+4t+5时，t＝1， 当1＜t＜3时，P点在直线l的上方，A点在直线l的下方，； 当t＜﹣2时，A点在直线l的上方，P点在直线l的下方，且y随x的增大而增大， 综上所述：1＜t＜3或t＜﹣2时，图象G的最高点与最低点分别位于直线l的上方和下方． 27．【答案】（1）①见解析过程； ②见解析过程； （2）DF＝CF，理由见解析过程． 【解答】解：（1）①解：如图所示， ②证明：如图，连接AD， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝α，∠B+∠BAD＝90°， ∵将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM， ∴∠EAF＝α＝∠BAD， ∵EF⊥AE， ∴∠EAF+∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE； （2）解：DF＝CF，理由如下： 如图，延长AE至H，使EH＝AE，连接DH， ∵点E是BD的中点， ∴BE＝DE， 又∵AE＝EH，∠AEB＝∠HED， ∴△ABE≌△HDE（SAS）， ∴∠BAE＝∠AHD，AB＝DH＝AC， ∵AE＝EH，AE⊥EF， ∴AF＝FH， ∴∠FAE＝∠FHE＝α， ∵∠BAC＝2α， ∴∠BAE+∠CAF＝α＝∠AHD+∠FHD， ∴∠CAF＝∠FHD， ∴△ACF≌△HDF（SAS）， ∴DF＝CF． 28．【答案】（1）M1（1，1），M3（1，2）； （2）k或k≤﹣1； （3）线段MN的最小值为1，线段MN的最大值为． 【解答】解：（1）如图： ∵A（0，1）、B（0，2）， ∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部， ∴在M1（1，1），M2（3，1），M3（1，2），M4（1，4）中，M1（1，1），M3（1，2）是线段AB的“二倍点”， 故答案为：M1（1，1），M3（1，2）； （2）如图： ∵A（0，1）、B（0，2）， ∴线段AB的“二倍点”是以A（0，1）、B（0，2），C（4，2），D（2，1）为顶点的四边形及内部， 直线y＝k（x﹣1）过定点（1，0）， 当直线y＝k（x﹣1）过C（4，2）时， 3k＝2， 解得k， 当y＝k（x﹣1）过A（0，1）时， ﹣k＝1， ∴k＝﹣1， 观察图形可知，直线y＝k（x﹣1）（k≠0）存在线段AB的“二倍点”，则k或k≤﹣1； （3）设P为⊙A上一点，连接OP，将OP绕P逆时针旋转90°，并延长到M，使PM＝2OP，取K（2，1），连接PA，OM，KM，OK，过K作KT⊥x轴于T，如图： ∵PM＝2OP，∠OPM＝90°， ∴tan∠PMO，， ∵K（2，1），A（0，1）， ∴tan∠KOT，， ∴∠PMO＝∠KOT，， ∴∠POA＝90°﹣∠AOM﹣∠PMO＝90°﹣∠AOM﹣∠KOT＝∠MOK， ∴△POA∽△MOK， ∴， ∴MK， ∴M的运动轨迹是以K为圆心，为半径的⊙K，则⊙A的“二倍点”是⊙K及其内部和⊙A及其内部， 过A作AN⊥CD于N，交⊙O于M，如图： 此时MN最小， 由y＝x+4得C（﹣4，0），D（0，4）， ∴OC＝OD，AD＝3， ∴∠DCO＝∠CDO＝45°， ∴∠NRC＝45°， ∴△NDA是等腰直角三角形， ∴AN， MN＝AN﹣AM1， ∴线段MN的最小值为1； 连接CK并延长交⊙K于M，此时若N与C重合，则MN最大，如图： 在Rt△KNT中， NK， ∴MN＝NK+MK； ∴线段MN的最大值为． 综上所述，线段MN的最小值为1，线段MN的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $