专题02 整式及因式分解（7大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 专题整合整式及因式分解7大考点，精选全国多地区2026年一模真题，基础巩固题占比60%，规律探究与综合应用题梯度设计，适配中考一轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题/45分|幂的运算、整式概念|多地区真题适配中考易错点（如第1-15题幂运算辨析）| |填空|14题/42分|整式运算、因式分解|结合代数式规律（如第20题含n代数式推理）| |解答|11题/63分|化简求值、乘法公式|创新设计类比竖式因式分解（如第57题）及图形规律探究（如第42题三行数组规律）|

专题02 整式及因式分解 7大考点概览 考点01幂的运算 考点02整式的概念 考点03整式的运算 考点04整式的化简求值 考点05代数式中的规律 考点06因式分解 考点07乘法公式 幂的运算 考点01 1．（2026·辽宁抚顺·一模）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘、除法运算法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】解：.，错误； .，正确； .，错误； .，错误． 2．（2026·浙江台州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ 选项A、B均错误； ∵ 根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得 ， ∴ 选项C正确； ∵ 根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 ， ∴ 选项D错误． 3．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，∴，B计算错误； C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误； D、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，D计算正确． 4．（2026·浙江湖州·一模）下列计算中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方以及幂的乘方、合并同类项进行计算，即可找出不正确的选项． 【详解】解：A，∵， ∴A计算正确； B，∵， ∴B计算正确； C，∵， ∴C计算不正确； D，∵， ∴D计算正确． 5．（2026·浙江温州·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除，同类项合并，幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故运算错误，不符合题意； C、，故运算错误，不符合题意； D、，故运算正确，符合题意． 6．（2026·江苏南通·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，A错误； B．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，B错误； C．∵根据完全平方公式展开， ∴，C错误； D．∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，D正确． 7．（2026·江苏扬州·一模），则（  ）里可以填写的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， D选项正确． 8．（2026·江苏扬州·一模）下列计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则和合并同类项的法则，计算即可． 【详解】解：选项A， ， A不符合要求； 选项B， ， B不符合要求； 选项C， ， C符合要求； 选项D， 与不是同类项，不能合并， D不符合要求； 则只有选项C的计算结果等于． 9．（2026·江苏徐州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，分别利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、积的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A、合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，得，故此选项错误； B、单项式乘法中，系数相乘、同底数幂相乘，得，故此选项错误； C、根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘，得，故此选项正确； D、积的乘方需要把每个因式分别乘方，得，故此选项错误． 10．（2026·广东汕头·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂运算的基本法则，分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】选项A、，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C错误； 选项D、，故D正确． 11．（2026·广东佛山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并法则、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 12．（2026·广东珠海·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及同底数幂的除法运算法则，即可一一判定． 【详解】解：A、，原计算错误； B、与不是同类项，不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确． 13．（2026·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 14．（2026·广东深圳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误，不符合题意； 选项B：与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C错误，不符合题意； 选项D： ，故D正确，符合题意； 15．（2026·广东珠海·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 整式的概念 考点02 16．（2026·广东广州·一模）多项式的次数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】找出多项式中次数最高项的次数即可得到答案． 【详解】解：∵ 的次数为，中的指数为，的指数为，次数为，常数项的次数为， ∴ 该多项式次数最高项的次数为， 即该多项式的次数是． 17．（2026·江西九江·一模）单项式的次数是_____． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，计算即可求出结果． 【详解】解：∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴所有字母的指数和为， ∴单项式的次数是． 18．（2026·河南许昌·一模）写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． 19．（2026·河南平顶山·一模）请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，满足单项式系数为，次数为即可，答案不唯一． 【详解】解：系数为，次数为的单项式可以写为． 20．（2026·云南昆明·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，，…，第2026个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从符号、系数绝对值、m的指数三个部分，找出第n个代数式的变化规律，再代入即可得到结果． 【详解】解；设项数为，根据给出的代数式找规律： 1. 符号规律：当为奇数时符号为负，当为偶数时符号为正， 又是偶数， 第个代数式的符号为正； 2. 系数绝对值规律：第个代数式的系数绝对值为， 当时，系数绝对值为； 3. 的指数规律：第个代数式中的指数为， 当时，的指数为； 综上，第个代数式为． 21．（2026·重庆万州·一模）已知整式：，其中为自然数，，，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有个；③当时，满足条件的所有整式有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①∵，，为奇数，且，，为正整数， ∴只能取（时无符合条件的），可取或， ∴满足条件的整式为和， ∴和为，故说法①正确； ②，即最大系数为，需包含，且最小系数为偶数， ∴时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，无符合条件的整式； 总个数为，故说法②正确； ③∵， ∴当时，有：，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，，，，，，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，共个， 当时，共有项，只有个数字能选择，不符合条件， ∴时，满足条件的所有整式共有（个），故③错误； 综上所述：正确的个数是． 22．（2026·吉林长春·一模）多项式的次数是______次． 【答案】 【分析】根据多项式次数的定义，先计算多项式中每一项的次数，取次数最高项的次数，即可得到该多项式的次数． 【详解】解：多项式包含的项分别为，，， 根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数，可得： 的次数为， 的次数为， 是常数项，次数为， 根据多项式次数的定义：多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，可知该多项式次数最高项的次数为，因此该多项式的次数是． 23．（2026·山东聊城·一模）已知，，，…，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，计算前面几个式子的化简结果，得到规律即可求． 【详解】解：， ， ， ， 又， ． 24．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 整式的运算 考点03 25．（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（   ） A．0 B．2 C．4a D． 【答案】B 【分析】先计算乘方，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 26．（2026·浙江杭州·一模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用合并同类项，积的乘方，同底数幂乘除法的法则，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A选项：∵与a不是同类项，不能合并，∴A运算错误． B选项：∵根据积的乘方法则，，，∴B运算错误． C选项：∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴C运算正确． D选项：∵根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，，∴D运算错误． 27．（2026·浙江·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 28．（2026·浙江衢州·一模）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 29．（2026·江苏无锡·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并法则、单项式乘法法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，故 A计算错误； 对于选项B，，故B计算错误； 对于选项C，，故 C计算正确； 对于选项D，，故D计算错误； 30．（2026·江苏无锡·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算对应法则分别计算每个选项，判断正误即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.     ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 31．（2026·江苏盐城·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初中所学的幂运算法则和同类项定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， 故此选项正确； B、同底数幂相除，底数不变，指数相减，， 故此选项错误； C、与不是同类项，不能合并，无法得到， 故此选项错误； D、积的乘方等于乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘，， 故此选项错误． 32．（2026·江苏苏州·一模）计算：________． 【答案】 【分析】根据积的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 33．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 34．（2026·广东广州·一模）计算：______． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 35．（2026·四川南充·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式的运算法则进行求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 整式的化简求值 考点04 36．（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 37．（2026·浙江嘉兴·一模）化简求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据整式乘法法则计算，再根据整式的加减法合并，然后代入求值即可． 【详解】解：原式， 把代入，原式． 38．（2026·甘肃兰州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解： 当，时，． 39．（2026·陕西铜川·一模）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先计算单项式乘以多项式、完全平方公式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式 40．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】 （1）； （2），． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ， ， 原式 ． 41．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式 ． 代数式中的规律 考点05 42．（2026·安徽六安·一模）观察下面三行数组： 第一行：1  4  9  16  25… 第二行：0  3  8  15  24… 第三行：2  6  12  20  30… 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是__________； (2)第二行第个数是__________（用含的式子表示）； (3)第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值． 【答案】(1)49 (2) (3) 【分析】（1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子； （2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子； （3）找出第三行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，，… ∴第一行第n个数为， ∴第一行第7个数是； （2）解：∵，，，，… ∴第二行第个数是； （3）解：∵，，，，… ∴第三行第个数是； ∵第三行第个数与第二行第个数的差为2027， ∴， 整理得， ∴． 43．（2026·内蒙古包头·一模）某类简单化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为________． 【答案】 【分析】观察前4种化合物的分子结构模型，统计氢原子的个数，归纳出氢原子个数与化合物序号之间的变化规律，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为． 44．（2026·山东淄博·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第133个图案中小圆点的个数为_______． 【答案】666 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个小圆点，因此可得出第n个图案的小圆点的数量为，再将代入求解即可． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“．”的个数为， 第②个图案中“．”的个数为， 第③个图案中“．”的个数为， ， ∴第n（n为正整数）个图案中“．”的个数为， ∴第133个图案中“．”的个数为． 45．（2026·陕西咸阳·一模）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．如图，第1个图形的最底层有2颗弹珠，第2个图形的最底层有3颗弹珠，第3个图形的最底层有4颗弹珠，…，依照此规律，第209个图形的最底层有______颗弹珠． 【答案】 【分析】找到规律：第个图形的最底层有颗弹珠，根据规律求解即可． 【详解】解：第1个图形的最底层有2颗弹珠， 第2个图形的最底层有3颗弹珠， 第3个图形的最底层有4颗弹珠， …， 所以得到规律：第个图形的最底层有颗弹珠， 依照此规律，第209个图形的最底层有颗弹珠． 46．（2026·新疆喀什·一模）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有____颗． 【答案】 【分析】根据题意，得出对应的规律即可求解． 【详解】解：观察图象， 第一个图形，共有颗五角星； 第二个图形，共有颗五角星； 第三个图形，共有颗五角星； 第个图形，共有颗五角星； 当时，共有颗五角星． 47．（2026·河南周口·一模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中图1有2个圆点，图2有5个圆点，图3有8个圆点，…，按照此规律排列下去，则图n中黑色圆点的个数为______．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】找出图案序号与圆点个数的关系即可求解． 【详解】解：第1幅图有圆点（个）， 第2幅图有圆点（个）， 第3幅图有圆点（个）， …， 第幅图有圆点个， 故答案为：． 48．（2026·河南信阳·一模）观察图形发现规律，第5个图形黑点的数量是（   ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】C 【详解】解：由图可知： 第一个图形有4个黑点， 第二个图形有8个黑点， 第三个图形有12个黑点， 第四个图形有16个黑点， ， ∴第个图形的黑点数为：， ∴第个图形的黑点数为：． 49．（2026·安徽合肥·一模）如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“”的个数为3，第2个图案中的“”的个数为8，第三个图案中的“”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“”的个数是________； (2)请用含的代数式（n为正整数）表示第个图案中“”的个数________．判断是否存在图案中的“”的个数为120，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)，存在，理由见解析 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图案中“”的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可得第个图案中“”的个数；令，解方程，n有正整数解则存在图案中的“”的个数为120． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中“”的个数为：； 第2个图案中“”的个数为：； 第3个图案中“”的个数为：； 第4个图案中“”的个数为：； ∴第5个图案中“”的个数为：； （2）解：观察（1）中的规律可知， 第n个图案中“”的个数为个； 存在图案中的“”的个数为120，理由如下： 令， 解得（负值已舍去）， ∴第10个图案中的“”的个数为120． 50．（2026·湖南娄底·一模）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 【答案】8106 【分析】通过观察前三个图案中正三角形的个数，发现后一个图案比前一个图案多4个正三角形，从而归纳出第n个图案中正三角形个数为，最后将代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中正三角形的个数为， 第2个图案中正三角形的个数为， 第3个图案中正三角形的个数为， 依次类推， 第个图案中正三角形的个数为， 因此，第2026个图案中正三角形的个数为． 51．（2026·甘肃天水·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键． 观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律，即可求解． 【详解】解：第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 则第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为． 故答案为：． 52．（2026·甘肃定西·一模）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成若干个图案，则第20个图案共有______个小正六边形瓷砖． 【答案】 102 【分析】观察可知第1个图案有7个小正六边形瓷砖，后一个图形比前一个图形多5个小正六边形瓷砖，据此进行求解即可. 【详解】解：观察可知第1个图案有7个小正六边形瓷砖，后一个图形比前一个图形多5个小正六边形瓷砖， 故第个图案共有个小正六边形瓷砖， ∴第20个图案共有个小正六边形瓷砖. 53．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火柴棍的根数为______． 【答案】162 【分析】观察图形，得出规律第个图案需要火柴棍的根数为根，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：第①个图案需要火柴棍的根数为根， 第②个图案需要火柴棍的根数为根， 第③个图案需要火柴棍的根数为根， …， ∴第个图案需要火柴棍的根数为根， 故第26个图案需要火柴棍的根数为根． 54．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律．通过观察图形及数据，发现每增加一个图案，木棍数量增加3根，从而归纳出第个图案的木棍数量公式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由题意及图形可知：第①个图案用了根木棍，即； 第②个图案用了根木棍，即； 第③个图案用了根木棍，即； 第④个图案用了根木棍，即； 依次类推得第个图案用的木棍根数是； 当时，（根） 因式分解 考点06 55．（2026·浙江舟山·一模）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 56．（2026·广东佛山·一模）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：原式． 57．（2026·广东·一模）【类比学习】 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步应用】 (1)请你完成下面的竖式计算． (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)见解析 (2)5，3 (3)见解析 【分析】（1）利用列竖式除法的结果进行分解； （2）根据竖式除法的运算方法先确定△表示的数，然后确定□代表的数； （3）利用列竖式除法的结果进行分解． 【详解】（1）解：列式如下： （2）解：仿照例题，得：， ∴， 则有，， ∴，； （3）解：列式如下： ∴ ， ∴将多项式可因式分解为． 58．（2026·江苏宿迁·一模）因式分解： _______________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，平方差公式，熟练掌握因式分解的相关方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 59．（2026·江苏宿迁·一模）分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 60．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解即可得到结果． 【详解】解： 61．（2026·江苏无锡·一模）下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 62．（2026·江苏宿迁·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 63．（2026·浙江舟山·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，找出原式的公因式后直接提取，即可得到结果． 【详解】解：． 64．（2026·浙江杭州·一模）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 65．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 66．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 67．（2026·陕西商洛·一模）分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 68．（2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 69．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 70．（2026·山东聊城·一模）把多项式分解因式的结果是___． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式． 【详解】解：． 乘法公式 考点07 71．（2026·福建泉州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方、幂的乘方运算法则和完全平方公式，逐个计算即可判断正确选项． 【详解】解：A、据积的乘方法则，可得，故A错误； B、据积的乘方与幂的乘方法则，可得，故B正确； C、据完全平方公式，可得，故C错误； D、据完全平方公式，可得，故D错误． 72．（2026·吉林·一模）在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 【答案】 【详解】解：根据图形可得：大正方形的面积为，也可以表示为， ∴． 73．（2026·山西·一模）计算：______． 【答案】/ 【分析】运用完全平方公式，结合二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 74．（2026·辽宁锦州·一模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、完全平方公式的法则逐一判断选项． 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴选项A错误． ∵根据积的乘方法则，，∴选项B正确． ∵根据同底数幂的除法法则，，∴选项C错误． ∵根据完全平方公式，，∴选项D错误． 75．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，可得到，用表示的式子，再代入求解， 结合为正实数舍去负根得到结果 （2）先判断出的范围，得出，进而得出为直角三角形的斜边，根据勾股定理，完全平方公式建立方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，则， ∵，是正实数，则， ∵， ∴ 解得：（负值舍去） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵以，，为边长的三角形是直角三角形， ∴为直角三角形的斜边，，是直角三角形的直角边 ∴ 又∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴该三角形的面积为 76．（2026·广东惠州·一模）先化简后求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ，即 原式 77．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 78．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则 _____． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 79．（2026·浙江衢州·一模）化简、解方程 (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)，． 【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 80．（2026·浙江湖州·一模）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02整式及因式分解 ☆7大考点概览 考点01幂的运算 考点02整式的概念 考点03整式的运算 考点04整式的化简求值 考点05代数式中的规律 考点06因式分解 考点07乘法公式 考点01 幂的运算 1.(2026辽宁抚顺一模)下列计算正确的是(). A.3a2.2a2=6a6 B.（-2ab)2=4a262 C.a5+a5=2a10 D.a4÷a4=0 2.(2026浙江台州一模)下列运算正确的是() A.a3+a2=a5 B.a3-a2=a C.a3÷a2=a D.a3.a2=a6 3.(2026浙江舟山一模)下列计算正确的是（) A.a6÷a3=a2B.(a3)2=a5 C.a4+a2=a6 D.a4.a2=a6 4.(2026浙江湖州一模)下列计算中不正确的是() A.m2.m4=m6 B.(-m2)4=m8 C.m6÷m2=m3 D.2m2-m2=m2 5.(2026浙江温州一模)下列式子运算正确的是() A.a8.a2=a16 B.a8-a2=a6 C.a8÷a2=a4 D.(a4)2=a8 6.(2026江苏南通一模)下列计算正确的是() A.a2+2a2=3a4 B.a6÷a3=a2 C.(a-b)2=a2-b2 D.（ab)2-a2b2 7.(2026江苏扬州一模)()3=27a12,则()里可以填写的式子是() A.9a4 B.9a9 C.3a9 D.3a4 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026江苏扬州一模)下列计算结果等于a6的是() A.a2.a3 B.a12÷a2 C.(a3)2 D.a8-a2 9.(2026江苏徐州一模)下列运算正确的是() A.a+2a=3a2B.2a3a=5a2C.(a2)3=a6 D.(ab)2=ab2 10.(2026广东汕头一模)下列计算正确的是() A.（a3)4=a7B.（-2xy)3=-6xy3 C.x3.x4=x12D.x6÷x2=x4 11.(2026广东佛山一模)下列计算正确的是() A.2a26+3ab=5a3b2 B.(a-b)2=a2-b2 C.(-3x)2÷x=9x D.x6.x3=x18 12.(2026广东珠海一模)下列运算正确的是() A.(a2)2=a5 B.a十a2=a3 C.5a3.3a2=15a6 D.a3÷a2=a 13.(2026广东广州.一模)下列计算正确的是() A.a2.a3=a6 B.(a2)3=a5 C.a6÷a2=a3 D.2a3-a3=a3 14.(2026广东深圳一模)下列运算正确的是() A.(x-y)2=x2-2xy-y2 B.a2+a3=a5 C.a3.a2=a6 D.(xy2)3=x3y6 15.(2026广东珠海一模)计算(2a26)3的结果是（) A.6a6b3 B.8a6b3 C.8a5b3 D.6a563 考点02 整式的概念 16.(2026广东广州一模)多项式x+y+1的次数是() A.3 B.2 C.1 D.0 17.(2026江西九江一模)单项式7xy的次数是 18.(2026河南许昌.一模)写出一个含有字母a的单项式： 19.(2026河南平顶山一模)请写出一个系数为一3，次数为3的单项式： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(2026云南昆明一模)按一定规律排列的代数式：-2m,3m2,-4m3,5m4,-6m5,7m5,., 第2026个代数式是() A.2026m2025B.-2026m2025C.2027m2026 D.-2027m2026 21.(2026重庆万州一模)已知整式M:ao十a1x+··+arx1+anx,其中n为自然数，ao,a1, ar1,an均为正整数，且a0<a1:··am-1<an,下列说法：①当n=2,a2=5,且a1为奇数时，则满足 条件的所有整式M的和为10x2+6x+3;②若an=4且ao为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有3个； ③当an=5时，满足条件的所有整式M有18个.其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 22.（2026吉林长春.一模)多项式2a2b+3ab-1的次数是次. 23.(2026山东聊城一模)已知a1=2,a2=1-千，a3=1-,,an=1-,则a2026的 2 值为 24.(2026江苏盐城一模)按一定规律排列的代数式：5x,-10x2,15x3,-20x4,25x5,,则第 2026个代数式是 考点03 整式的运算 25.(2026浙江温州一模)运算（一a)2+a2的结果是(） A.0 B.2a2 C.4a D.a4 26.（2026浙江杭州一模)下列运算中，正确的是() A.a2+a=a3 B.(-ab)2=ab2 C.a5+a2=a3 D.a5.a2=a10 27.（2026浙江一模)下列计算正确的是() A.x2-8=X B.(-2x)3=-6x3 C.8x4÷2x2=4x2 D.(x-3y)(x+3y)=x2-3y2 28.(2026浙江衢州一模)下列各式中，计算结果等于a3的是() A.a2.a B.a6÷a2 C.a2+a D.a5-a2 29.（2026江苏无锡.一模)下列计算正确的是() A.3a+2b=5ab B.5y2-2y2=3 C.7m·m=7m2 D.a3÷a3=0 30.(2026江苏无锡一模)下列计算正确的是() A.(a5)2=a10B.a3.a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.a2+a2=a4 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31.(2026江苏盐城一模)下列运算正确的是() A.m2.m4=m6B.m8÷m2=m4 C.3m+4n=12mnD.(-m2)3--m5 32.(2026江苏苏州一模)计算：（-3ab2)3= 33.(2026江苏无锡模拟预测)已知2=3,2=号，则a+b的值为() A.0 B.1 C.3 D.8 34.(2026广东广州一模)计算：（a26-ab2)÷ab= 35.(2026四川南充一模)计算： (①0a(4a-1)-(2a-1)2; 2w 2sim45°+31-(3.14-π)°. 考点04 整式的化简求值 36.(2026浙江杭州一模)化简求值：(x-3)2-x(x-8),其中x=-2: 37.(2026浙江嘉兴一模)化简求值：(x+1)2+x(3-x),其中x=青 38.(2026甘肃兰州一模)先化简，再求值：m(4n-3m)+(2m-n)2,其中m=-2,n=3. 39.(2026陕西铜川一模)先化简，再求值y(3x+y)-(x-y)2,其中x=1,y=言 40.(2026新疆乌鲁木齐一模)(1)计算：23÷4-|-5引+3×(-2)°： (2)先化简，再求值：(3a-1)2-2a(4a-1),其中a满足a2-4a+3=0. 41.(2026吉林长春一模)先化简，再求值：(x-2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=1 y=-. 考点05 代数式中的规律 42.(2026安徽六安一模)观察下面三行数组： 第一行：1491625. 第二行：0381524. 第三行：26122030. 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)第二行第n个数是 (用含n的式子表示)； (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2027，求m的值 43.(2026内蒙古包头·一模)某类简单化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳 原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 ① ② ③ ④ 44.(2026山东淄博一模)将形状、大小完全相同的小圆点“.”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图 案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，.，按此规律排列下去， 则第133个图案中小圆点的个数为 ① ② 45.（2026陕西咸阳一模)我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”.如 图，第1个图形的最底层有2颗弹珠，第2个图形的最底层有3颗弹珠，第3个图形的最底层有4颗弹珠，， 依照此规律，第209个图形的最底层有 颗弹珠。 第1个图形 第2个图形 第3个图形 46.(2026新疆喀什一模)如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写 出第20个图案中小五角星有颗。 ★ ★★★★★ ★★★★ ★★★★★★★★★ ★★★★★… ★ ★★ ★★★ ★★★★ 第1个图案第2个图案 第3个图案 第4个图案 47.(2026河南周口一模)把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中图1有2个圆点，图2有5个圆点， 图3有8个圆点，…，按照此规律排列下去，则图中黑色圆点的个数为·（用含n的代数式表示) 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●●● ● ●●●●● ●●● ●●● 图1 图2 图3 图4 48.(2026河南信阳一模)观察图形发现规律，第5个图形黑点的数量是() ●●● ● ●● 。●。。 ●●。●。 ① ② ③ ④ A.28 B.24 C.20 D.16 49.(2026安徽合肥一模)如图，将形状、大小完全相同的“.”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1 个图案中“.”的个数为3，第2个图案中的.”的个数为8，第三个图案中的“.”的个数为15，，以此类推。 第一个图案第二个图案 第三个图案 第四个图案 (1)第5个图案中“.”的个数是 (②)请用含n的代数式(n为正整数)表示第n个图案中“.”的个数 判断是否存在图案中的“.”的个 数为120，并说明理由. 50.(2026湖南娄底一模)如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正 三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形..按此规律，第2026个图案 中有 个正三角形 女汝0女00 第1个 第2个 第3个 第4个 51.(2026甘肃天水一模)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物 的分子结构模型图，其中○代表碳原子，○代表氧原子，○代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子， 第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，按照这一规 律，第2026种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 碳原子 氧原子 。氢原子 图1 图2 图3 图4 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 52.(2026甘肃定西一模)如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成若干个图案，则第20个图案共有 个小正六边形瓷砖 第1个 第2个 第3个 53.(2026黑龙江哈尔滨一模)用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小 菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，..，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火 柴棍的根数为 双☒☒ ② 3 54.(2026黑龙江哈尔滨一模)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍， 第②个图案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，，按此规律排列下 去，则第⑧个图案用了木棍数量是() ① ② ③ 4 A.26根 B.29根 C.31根 D.32根 考点06 因式分解 55.(2026浙江舟山一模)因式分解：x2-9= 56.(2026广东佛山一模) 因式分解：4m2+6m= 57.(2026广东一模)【类比学习】 小明同学类比除法240÷16=15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 15 x+2 16240 x+1x2+3x+2 16 x2+x 80 2x+2 80 2x+2 0 0 即(x2+3x+2)÷(x+1)=x+2,所以x2+3x+2=(x+1)(x+2). 【初步应用】 ()请你完成下面的竖式计算. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-1/x2+3x-4 (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+口x+6=(x+2)(x+△)，（其中口、△代表两 个被污染的系数)，他列出了下列竖式： x+△ x+2x2+▣x+6 x2+2x (▣-2)x+6 △x+2△ 0 得出如=，△=一 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式x3+2x2一x一2进行因式分解，进行到了： x3+2x2一x一2=(x+2)(*).(*代表一个多项式)，请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式 x3+2x2-x-2因式分解 58.(2026江苏宿迁一模)因式分解：4a2-36= 59.(2026江苏宿迁一模)分解因式：2a-6ab= 60.(2026江苏无锡一模)把多项式xy2-9x因式分解正确的是（) A.x(y2+9)B.x(y-9)2 C.x(x+y)(y-9)D.x(y+3)(y-3) 61.(2026江苏无锡一模)下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是() A.x2-1 B.x2+1 C.x2+x+1 D.x2+2x+1 62.(2026江苏宿迁一模)分解因式：x2-4y2= 63.(2026浙江舟山一模)分解因式：x2-2x= 64.(2026浙江杭州，一模)下列因式分解正确的是() A.x2-5x-6=(x-3)(x-2)B.x2-4=(x+2)(x-2) C.2-6x-9=(x-3)2 D.2x2-2=2(x2-1) 65.(2026浙江宁波一模)分解因式：x2-音= 66.(2026安微合肥.一模)因式分解：9a2-9= 67.(2026陕西商洛.一模)分解因式：m3+4m2n+4mn2= 68.(2026湖北十堰一模)己知a+b=3,ab=2,则a2b十ab2=() A.5 B.6 C.8 D.9 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 69.(2026河北张家口一模)在括号内填一个单项式，使多项式4x2一y2+x+()化简后能进行因式 分解，在单项式①-x;②y2;③-4x2中，符合要求的有(). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 70.(2026山东聊城一模)把多项式4ab一ab分解因式的结果是· 考点07 乘法公式 71.(2026福建泉州一模)下列运算正确的是() A.(3a)2=3a2 B.(a6)2=a6b2 C.(a-1)2=a2-1 D.(a+1)2=a2+1 72.(2026吉林一模)在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算(a+b+c)2.小星 利用多项式的乘法法则进行计算：(a+b+c)=(a+b+c(a+b+c)=…小帆利用完全平方公式进行 计算：(a+b+c)2=[(a+b)+c=(a+b)子+…小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行 计算：请问这道数学作业的计算结果是 73.(2026山西一模)计算： (2-1)2= 74.（2026辽宁锦州一模)下列运算正确的是() A.2x+3y=6xy B.(3x)2=9x2 C.x6÷x2=x3 D.(x+y)2=x2+y2 75.(2026福建厦门一模)已知正实数x,y满足x+y=5a,xy=2a2+10 (1)若y=4x,求实数a: (②)已知a<x<2a,以x,y,4a为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积. 76.(2026广东惠州一模)先化简后求值：(x-1)2+x(1-x),其中x=sin30°. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 77.(2026江苏扬州一模)先化简，再求值：（品-京），其中x是方程x2+3x-2=0的根. 1+2xy 78.(2026江苏徐州一模)已知x2+y2=1且x+y≠0，则x+7 =· 79.(2026浙江衢州.一模)化简、解方程 ()m(2-m)+(m-1)2. (2)2x2-3x=0. 80.(2026浙江湖州一模)化简求值：-2(a-1)-(a-2)(a+2),其中a=3. 2/6